行波法求解振动方程

第七章行波法(一)

第七章行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。
第七章行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为的直线 x x2 at a t 则它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数学家们长期探索的课题。（1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量

第七章-行波法

的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at

0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at

0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。 3 适用范围：无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数

波动方程和行波法

( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件也叫 Robin边界条件）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个

第十章波动方程的达朗贝尔解

第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。

一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=；且解为a α=±。

原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。

2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。

由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。

二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩．（4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。

数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式

数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。

例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】

(3.1.4)源自(3.1.5)17
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法（达朗贝尔公式）（特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效. 1 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]

x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波

波动方程和行波法

⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x xx B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u( x, t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
u H u n(x 0 ,y 0 ,z 0 ) f(x 0 ,y 0 ,z 0 ,t)
uu fH:常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件
⑴ 衔接条件由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F ( t )集中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x00,t)不同于右极限
ux(x00,t)，因而 u x x不存在,
39
utta2uxx0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
xF dxdxutt
T u x x d x F d x d x u tt
uttTuxxF
23
即
utt a2uxxf
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
24
∴
T MLT2
: ML1
L2T2

数学物理方程第三章行波法

(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章行波法
• • • • • 主要内容掌握一维弦振动的解掌握类比方法求三维、二维问题的解了解偏微分方程的分类会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波动方程，双曲型方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热传导方程，抛物型程方. 2 t x

行波消去法求解轴向运动弦线横向振动的注解

其中，
１
（）２ｂ
者带来了一定的不便。为此，本文以余小刚…等
学者的一篇论文为例，给出了利用Ｇｒｅｅｎ函数法求解轴向运动弦线横向振动位移的详细过程。
（，）（，）ｗ（，）Ｓ＝Ｓ＋ｓｌ０＋ｘ
．
ｌ运动方程［］，
值问题的解法，给出了求解轴向运动弦线横向振动位移的详细过程。
关键词：轴向运动弦线；行波消去法；Ｇｅｎ函数；微分方程边值问题ｒｅ中图分类号：Ｏ２文献标识码：Ａ文章编号：１７．８１０２０．４．３３１６２４０（１）３０９０２
将方程（）６带入方程（）７中可得方程（ａ，ａ在１）２）（
（，）（，）Ｓ＝Ｓ＋Ｗ１，）（
１
＝
齐次边界条件下的通解为：
１
ｌ】，，（，＋ｓ，（）（。Ｇ））（）（Ｓ１，ｗｏ）７
Ｇｒｅｅｎ函数为：
令＝１
，
利用Ｈａｌｎ原理并进行拉氏变ｍｉ。ｔ
换后可得轴向运动弦线和作动器的动力学方程如
下：
福建省教育厅科研基金（Ｂ１１）Ｊｌ２６。作者简介：贾秀丽（９３）１８－，女，助教，硕士研究生，研究方向：有限元：余小刚（９５，男，助教，硕士研究生，研究方向：非线性振动及振动控制。１８一）
ｗ．０＋２ｗ．０２，）ｃ２（，（）

课件_行波法

8. 利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题延拓法
2 2u u 2 0 (t 0,0 x ), 2 a 2 x t u ( x) (0 x ) t 0 : u ( x), t x 0 : u 0
由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性质。
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
~ F ( x) u
x0
at
~ F ( x at) u
O
x0 at
x0
6. 特征线在前面的讨论中，我们看到在 (x,t) 平面上斜率为±1/a 的直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。行波法又叫特征线法
7. 相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
u y 0 x 2 , u x 1 cos y
2
1 2 x h( x) p(0) cos y y h(1) p( y ) 6 2

1 h(1) p(0)
1 2 x cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 1 2 2 h( x) p ( y ) x cos y y 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6

振动方程波动方程

振动方程波动方程振动方程和波动方程是物理学中重要的概念，涉及到很多领域，比如力学、声学等。

本文将分步骤阐述这两个方程及其应用。

一、振动方程1、概念：振动方程是描述物体振动的方程，表达式为m(x)'' + kx = 0，其中m是物体的质量，k是物体的弹性系数，x是物体的位移。

2、推导过程：假设物体振动的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，那么有以下三个式子：v(t) = dx(t)/dta(t) = dv(t)/dt = d^2x(t)/dt^2由于物体的振动是受弹性力和外力的作用，所以可以列出以下公式：ma = -kx其中m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹性系数，x是物体的位移。

把上式用v和x表示出来，则有：m(d^2x(t) / dt^2) = -kx(t)这就是振动方程的表达式。

3、应用：振动方程广泛应用于机械振动、电子振动等领域。

例如，有些机械装置发生共振时，会发出沉闷的低音，这就是振动方程的应用之一。

二、波动方程1、概念：波动方程是描写波动传播的方程，包括机械波、电磁波等；通常表达式为d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^2，其中u是波的振幅，x和t分别为空间和时间坐标，v为波的传播速度。

2、推导过程：波动方程是由质点振动传播而来，描写质点的受力情况来推导的。

假设沿着x轴传播的机械波的振幅为u(x,t)，波的传播速度为v，则有以下式子：1. 法向受力方程：F = ma，其中m是质点的质量，a是质点的加速度，F是在某时刻x处的受力，可以表示成F = -dV/dx，其中V为波势函数。

于是有以下公式：m(d^2u / dt^2) = -dV/dx = -d^2u / dx^2 * k其中k是弹性系数。

2. 波方程：由于波的传播速度为v，所以有以下公式：v = w/k其中w是波的圆频率。

把k代入波的受力方程，整理得出波动方程：d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^23、应用：波动方程广泛应用于物理、化学、信息科学等领域。

《数学物理方程》第3章行波法与积分变换法

S上下 : ( at ) 2 ( x ) 2 ( y) 2
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2

2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at

第二章行波法

dx/dt=a
dx/dt=-a
x
x-at
x+at
下面考虑区间[x1, x2]上的初始条件，所能影响区域和所能决定区域。 t t
dx/dt=-a
dx/dt=a
影响区域 a dx/dt=a x1 x2 x x1
dx/dt=-a
决定区域
x2
x
在影响区域内任意一点的位移值都要受该区间上初始条件的影响，影响区域内包含一个决定区域，该区域内任意一点的位移值都由[x1, x2]上的初始条件决定。
x at x at 2 2
于是在特征线，得表达式
ux, t 0 x ux, t x o x at 0 x at 0
椭圆型方程的初值稳定性
讨论阿达玛 (Hadamard) 问题
(B)
2u 2u a2 2 , 2 x t u x,0 x , ut x,0 x , u x,0 x , u x,0 x , t
x ,t 0 0 x x 0

达朗贝尔公式举例 2
试求一维齐次波动方程初值问题
2u 2u 2 , x ,t 0 2 a t x 2 u x,0 x x , u x,0 a x x t 2 2 2 2 2
-0.5 O
0.5
x
at = 1
左行波
1 x at 2
u
-1 u
O
x
右行波
1 x at 2
O
1
x

行波法和达朗贝尔公式

行波法与达朗贝尔公式我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。

偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？（一）达朗贝尔公式试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式,0 22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t即.0 =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂u x a t x a t（7-4-1）（1）通解方程（7-4-1）的形式提示我们作代换, ),(ηξηξ-=+=t a x（7-4-2）因为在这个代换下，, x a t x x t t ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ξξξ , ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x a tx x t t ηηη 方程（7-4-1）就成为 0) /(2=∂∂∂u ηξ。

但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）修改为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),(21),(21ηξηξa t x 即⎩⎨⎧-=+=.,at x at x ηξ在此代换下，方程（7-4-1）化为,0 2=∂∂∂ηξu（7-4-3）就很容易求解了。

先对 η 积分，得)( ξξf u=∂∂（7-4-4）其中 f 是任意函数。

再对ξ 积分，就得到通解),()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=⎰ηξηξξ（7-4-5）其中 1f 和 2f 都是任意函数。

式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。

不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。

通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。

以 )(2at x f - 而论，改用以速度a 沿x 正方向移动的坐标轴 X ，则新旧坐标和时间之间的关系为⎩⎨⎧=-=,,t T at x X而),()(22X f at x f =-与时间 T 无关。

07第七章行波法

∫ ∫ 特解 uspecial = − dξ dη f ( a ξ + aη, ξ − η)
• 二维泊松方程 ux x + uy y = f ( x, y) 的特解？ a → i, t → y
5
3. 一维波动方程的达朗贝尔公式
∫ u( x, t) = ϕ( x − at) + ϕ( x + at) + 1 x+atψ(α)dα
− f1′(3x) + f2′(x) = x
−
1 3
f1(3x) +
f2( x)
=
1 2
x2
+c
f1(3x)
=
3 4
(sin
x
−
c
−
1 2
x2
),
f2
(
x)
=
1 4
(sin
x
+
3
c
+
3 2
x2
)
u=
f1[3(x −
y )]+ 3
f2(x +
y)
= 1 sin(x + y) + 3 sin(x − y ) + x y + y2
x+a t
2dα
2
2a x −a t
= cosx cos(a t) + 2t
(2) 因式分解 ux x + 2ux y −3u y y = (∂ x + 3∂ y )(∂ x − ∂ y )u = uξη
∂ξ ∂
= ∂x η=∂
+ 3∂y x −∂y
dx = dξ + dη dy = 3dξ − dη

第三章行波法

第三章行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。

达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。

已知波动方程求某点的振动方程

已知波动方程求某点的振动方程如果你已知波动方程，并希望求解某点的振动方程，可以按照以下步骤进行：
1. 确定波动方程：首先，确认你所研究的波动方程的形式。

波动方程通常可以描述为时间和空间变量的关系，例如一维波动方程可以表示为：
∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²
其中u 是振动的位移或波函数，t 是时间，x 是空间位置，v 是波速。

2. 确定求解点：确定你想要求解振动方程的具体点位置，即确定所感兴趣的 x 值。

3. 替换变量并求解：将波动方程中的 x 替换为你感兴趣的位置，得到在该位置的振动方程。

其他变量保持不变。

例如，假设你感兴趣的位置为 x = x₀，则波动方程中的 x 替换为 x₀，得到：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x₀²
这是在位置 x = x₀处的振动方程。

4. 解振动方程：对得到的振动方程进行求解，以获得振动的解析表达式或数值解。

具体的求解方法将取决于波动方程的形式和边界条件。

常见的求解方法包括分离变量法、叠加法、有限差分法等。

请注意，上述步骤是一个一般性的指导，具体的求解方法和步骤可能因波动方程的具体形式和边界条件而有所不同。

如果你能提供更具体的波动方程和求解要求，我可以提供更详细和具体的帮助。

波的振动方程

振动方程表达式：x=Acos(ωt+φ)，振动方程也称之为是波动方程，简单来说的话是一种重要的偏微分方程的内容，主要是用来描述自然界中或者我们能够理解的一些各种波动的现象，这一些现象中包含的是横波、纵波，所以波动方程主要是来自于声学、流体力学以及电磁学等多个领域。

1、振动方程如何介绍？在历史上，有相当多的科学家，在研究自己的乐器或者是其他物体的时候，都能发现到一些物体的振动现象，而这样的弦振动问题，其实都是对于振动方程的一种贡献和研究力量，而弦振动方程是在18世纪的时候被大朗贝尔等人系统的研究和提出的，这种方程主要是一种大类型上的偏微分的方程典型代表。

而在最开始的时候，这种振动方程往往是出现于一个标量对于波动方程的一种具体形式，主要指的是一个固定的常熟对于一些波动的传播速度，而对于弦振动来说的话，是有一个十分巨大的变化范围，不论是速度的快还是速度的慢，针对于这些变化范围来说的话，是作为一个波长的汉书改变，所以这一点需要明确，一定不能叠加到另外的运动之上，如果叠加之后，可能会导致标量出现变化。

2、振动方程的要点分析是什么？针对于振动方程来说的话，一些要点还是需要明确的，其中关于所在区域内的自由电荷的具体密度，是需要等于0的，且其中的媒质都是一个均匀、线性且各向同性的内容，所以则是会出现一些同等条件下的麦克斯韦方程组和本构关系可以导出，而我们将一些波动方程也称之为是大朗贝尔方程，并且这个解是在空间中沿着一个特定的方向传播的电磁波，所以这种问题的分析也是十分关键的。

3、振动方程的物理意义有什么？振动方程的物理意义其实就是描述波动现象的偏微分方程，物理意义比较宽泛，主要是在一个介质下来进行传播，这其实也是狭义相对论建立的一个重要思想。

行波法求解振动方程

第七章 行波法(一)

第七章-行波法

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