球的主要性质1

球的主要性质

性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面 都叫做球的小圆.

已知球O 的半径为R .

(1)若截面经过球心O .

如图1，设A 是截面与球面的任意一个交点，连接OA .

由球的定义可知，OA R =，所以点A 的轨迹是以O 为圆心，R 为

半径的圆，即该截面是圆.

(2)若截面不经过球心O .

如图1，设球心O 在截面上的射影为1O ，B 是截面与球面的任意一个交点，

连接1OO ， OB 和1O B ，则OB R =为定值，且1OO 也为定值，所以2211O B R OO =-为定值，

因此，点B 的轨迹是以1O 为圆心，1O B 为半径的圆，即该截面也是圆.

性质 2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.

如图2所示，若圆1O 是球O 的小圆，则11OO O ⊥圆面.

证明：如图，设AB ，CD 分别是圆1O 的两条直径，连接OA ，

OB ，OC ，OD ，1OO .

依题意可得OA OB =，所以1OO AB ⊥.

同理可得1OO CD ⊥，又因为1AB CD O =，所以11OO O ⊥圆面.

性质3. 如图2，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ，球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-.

性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 如图3，设球O 的两个平行截面的圆心分别为1O ，2O ，连接1OO ，

2OO ，由性质3可知，11OO O ⊥圆面，又因为12//O O 圆面圆面，

所以12OO O ⊥圆面.同理可得，21OO O ⊥圆面，且22OO O ⊥圆面，

所以O ，1O ，2O 三点共线，因此，12O O 垂直于1O 圆面和2O 圆面，且12O O O ∈.

性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.

性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两 个底面的外接圆的圆心的连线的中点.

例1.(10年·第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为( )

(A)2a π (B)273a π (C)2113

a π (D)25a π

例2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上. 若12AB AC AA ===， 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .

.

性质7. 设底面边长为a ，侧棱长为b 的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球 的半径2

2222R a

b =-.

例3.(11年·第15题)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且 6AB =，23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为_______．

.

性质8. 设正三棱锥P ABC

-的底面边长为a，侧棱长为b的所有顶点都在一个球

面上，则该球的半径

2

2

2

2

3

R

a

b

=

-

.

例4.(15年·第9题)已知A，B是球O的球面上两点，90

AOB

∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC

-体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

(A)36π(B)64π

(C)144π (D)256π

例5.(12 年·第11题)已知三棱锥S ABC

-的所有顶点都在球O

的球面上，△ABC

是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2

SC=，则此棱锥的体积为( )

(A)

2

6

(B)

3

6

(C)

2

3

(D)

2

2

例7.已知球的直径4

SC=，A、B是该球球面上的两点，3

AB=，ASC BSC

∠=∠

30

=︒，则棱锥S ABC

-的体积为( )

(A)33 (B)23 (C)3 (D)1

.

例8.高为

2

4

的四棱锥S ABCD

-的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、

D均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )

(A)

2

4

(B)

2

2

(C)1 (D)2

例9.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2

AB CD

==，则四面体ABCD的体积的最大值为( )

(A)23

(B)

43

(C)23 (D)

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