球的主要性质1
正方体长方体圆柱和球的特点
正方体长方体圆柱和球的特点1.引言1.1 概述概述部分的内容：几何体是我们日常生活中经常接触到的物体，它们具有不同的形状和特点。
在本文中，我们将主要探讨正方体、长方体、圆柱和球这四种常见几何体的特点。
正方体是一种具有六个面都是正方形的立体物体。
它的每个面都是平整的，并且所有的面都相等，每个角都是直角。
正方体具有优秀的稳定性，常被用于建筑、立体拼图等领域。
长方体是一种具有六个面都是矩形的几何体。
它的长度、宽度和高度都不相同，因此可以根据需求进行调整。
长方体在日常生活中随处可见，如书桌、电视机、冰箱等。
圆柱是一种具有两个平行且相等的圆底的几何体。
底面上的圆与侧面成直角，它的形状特点使得它可以用来储存液体或者承载重物。
圆柱广泛应用于工业、建筑和交通运输等领域。
球是一种具有无限多个点到某一点的距离都相等的立体几何体。
它是三维空间中唯一完全对称的几何体，具有非常特殊的性质。
球体常用于运动、游戏和天体物理研究等领域。
通过分析正方体、长方体、圆柱和球的定义、形状特征和基本性质，我们可以更好地理解它们在不同领域的应用。
本文将进一步探讨这四种几何体的基本性质和应用领域，并通过对比分析，总结它们各自的特点。
通过本文的阅读，读者将更深入地了解这四种几何体的性质与特点。
1.2文章结构文章结构部分的内容：本文将按照以下顺序介绍正方体、长方体、圆柱和球的特点。
首先，在引言部分概述了整篇文章的主要内容和目的。
然后，文章将分别在第二、三、四和五部分详细探讨正方体、长方体、圆柱和球的定义、形状特征、基本性质和应用领域。
每个部分将先介绍几何体的定义和形状特征，然后讨论其基本性质和应用领域，以便读者能够全面了解并比较它们的特点。
最后，在结论部分总结了正方体、长方体、圆柱和球的特点，并进行了对比分析不同几何体之间的差异和相似之处。
通过这样的文章结构，读者可以逐步了解不同几何体的概念和形状特征，进而了解它们的基本性质和实际应用。
同时，通过对比分析不同几何体之间的特点，读者可以深入理解它们各自的独特性和相互关系。
2021学年高中数学1.1.1第2课时圆柱圆锥圆台和球的结构特征学案含解析人教A版必修2.doc
第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征[目标] 1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．[重点] 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[难点] 圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．知识点一圆柱[填一填]以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．棱柱和圆柱统称为柱体．[答一答]1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．知识点二圆锥[填一填]以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为锥体．[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．知识点三圆台[填一填]用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．棱台与圆台统称为台体．[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．知识点四球体[填一填]以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．类型一旋转体的结构特征[例1](1)下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台．③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析](1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错．故只有④是正确的．故选B.(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．[答案](1)B(2)D简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．。
必修2-第一章空间几何体-1.1柱、锥、台、球的结构特征
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面 与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
想一想:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，得到怎样的两个几何体?
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
侧棱
F A
ED
B
侧面
C
顶点
的公共边叫侧棱，侧面与底面
的公共顶点叫棱柱的顶点。
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、 四边形、五边形、 …… 我们把这样的棱柱 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
D’
GG’
C’
A’
F’
F
B’
HH ’
D
E E’
C
A
B
答：都是棱柱．
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
探究4:
观察右边的棱柱，共有多少 对平行平面？能作为棱柱的 底面的有几对？
答：四对平行平面；只有一对可以作为棱 柱的底面． 棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱 的底面吗？
用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面与截 面之间的部分是棱台。
D’
D A’
C’
B’
C
A
B
必修2-第一章空间几何体-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
棱台的分类：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱 台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…
棱台的表示方法：
球体的特点和几何计算
球体的特点和几何计算球体是一种常见的三维几何体，具有许多独特的特点和属性。
在本文中，我们将深入探讨球体的特点以及相关的几何计算。
一、球体特点1. 定义：球体是由所有距离一个固定中心点相等的点构成的集合。
这个固定中心点称为球心，而所有点到球心的距离称为半径。
2. 表面特征：球体的表面是光滑而连续的，没有棱角。
这使得球体在自然界和工程中具有广泛的应用，如天文学中的天体、球形容器等。
3. 对称性：球体具有高度的对称性，即无论从任何角度观察，球体看起来都是一样的。
这使得球体在几何和物理问题中的处理更加简单。
4. 体积：球体的体积是其最重要的特征之一。
球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
5. 表面积：除了体积，球体的表面积也是另一个重要的特征。
球体的表面积计算公式为A = 4πr²，其中A表示表面积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
二、球体的几何计算1. 半径计算：根据给定的球体的体积V，可以通过反解体积公式来计算半径r。
公式为r = （3V / 4π）^ (1/3)。
2. 体积计算：如果已知球体的半径r，可以使用体积公式来计算其体积V。
公式为V = (4/3)πr³。
3. 表面积计算：已知球体的半径r后，可以使用表面积公式来计算其表面积A。
公式为A = 4πr²。
4. 同心球体：同心球是指具有共同球心但半径不同的两个或多个球体。
对于同心球体，它们的体积和表面积之比等于半径之比的立方。
三、应用领域球体作为一种基本的几何体，在各个学科和实际应用中都具有重要的作用。
以下是一些常见的应用领域：1. 天文学：天体如行星、恒星和星系都具有球形的特征。
天文学家使用球体的特性来研究宇宙的结构和行星的运动。
2. 地理学：地球的形状近似于一个球体，因此地理学家使用球体的属性来计算地球的体积、表面积以及进行地球测量。
3. 工程学：在建筑和设计中，球体常被用于制作圆顶和球形建筑。
球的方程式
球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。
本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。
【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。
这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。
根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。
2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。
3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。
【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。
设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。
2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。
3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。
【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
高中数学球的性质一球的截面的性质
类比
2、垂直于弦的 直径平分弦
Rd
A
B
类比 2、球心与截面 圆心的连线垂直 于圆面
OO’ ⊥圆面O’
O
圆心与弦中点的
连线垂直于弦
O’
O
R
d
Mr
O’
d2r2R2
d2r2R2
在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截 面的距离为3cm,则该截面的面积为
O/ 4
35
O
例1
球的表面积是676 ，球内有两个 平行截面的面积分别是25、144, 求两截面距离
球的截面的性质
球的概念
以半圆的直径所在直 线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的几何体.
半径 O
球心
球面上的点到球心的距离等于半径
类比
1、一条直线与 圆相交，在圆内 的部分是
一条线段——弦
类比 1、用一个平面去 截球，截面是 ？圆面想一 NhomakorabeaA
B
想 ？
1、截面过球心——大圆 其半径等于球半径
2、截面不过球心——小圆
O
13
O1
13
12
A
5 O2 B
O1 12
A
O 13
13
5 O2 B
例2：在半径为13的球面上有A、B、C三点，其 中AB=6，BC=8，,AC=10，则经过这三点的截 面和球心的距离为
O
13
A6
O1 0 8
C
B
三棱锥P—ABC的四个顶点都在同一个球面上，三棱锥 的高等于球半径的 3 ，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积． 2
P
A
R r
O
1 2
R
高二数学球和它的性质1
1．球体 与定点的距离等于或小于定长 的点的集合．简称球
２、球面 与定点的距离等 于定长的点的集合
球体(简称球)是实心的,
球面是空心的
其中 球的直径
球心
记作：球O
球的半径
３、球是以AB为直径的半圆绕AB旋转一周 而得到的
二、球的截面及其性质
1.截面是一个圆面
① OO’ ⊥截面圆O’
ß
② r R2 d2
O Rd
r O'
截面
2、大圆 经过球心的截面圆
小圆 不经过球心截面圆
.o
练习１、设Ａ、Ｂ为球面上不同的两点， 则过Ａ，Ｂ的球的大圆有（ ） Ａ１个 ； Ｂ无数个 ； Ｃ０或１个；Ｄ１个或无数个
练习２、“过球面上不同的三点能确定一 个球的截面”这种说法对吗？
练习３
1）判断正误：（对的打√，错的打×）
A
K
B
40°
O
解：如图，A是北纬40°纬线圈上一点，AK是它的
半径，所以OK⊥AK。设c是北纬40°纬线长， 因为∠AOB=∠OAK=40°，所以
C =2π·AK
= 2π·OAcos∠OAK
A
K
≈2×3.142×6370×0.7660 B 40° O
=3.066×104（km）
答：北纬40°纬线的长度3.066×104km
Q oo1 o1A,oo1 B
OBO1= OAO1
O1
= 45°
A
B
AO1 BO1 AB
O
弧AB长为:
2 AO1
2R
4
A, B两点间的球面距离为: a • AO R
3
练习3、 A,B两地地处南纬300线上,且 经度差为600, 地球半径设为Ｒ， 求
1.1.1柱体、锥体、台体、球的结构特征
讨论：棱台、圆台分别具有一些什么 几何性质？ 两底面所在平面互相平行； 两底面 棱 是对应边互相平行的相似多边形； 台 侧面是梯形； 侧棱的延长线相交于一点. 两底面是两个半径不同的圆； 圆 轴截面是等腰梯形； 台 任意两条母线的延长线交于一点； 母线长都相等.
七、球的结构特征:
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体. A O 半径
O’
O
O' 轴 O
上底面 母线 侧面 下底面
2、圆台的表示法：用表示它的轴的字母 ′. 表示，如圆台OO
思考题：1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的 截面是什么图形？ ２．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截 面是什么图形？
性质1：平行于底面的截面都是圆。 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩 形，等腰三角形，等腰梯形。
√
√
√
理解棱柱的定义
①过BC的截面截去长方体的一角， 截去的几何体是不是棱柱，余下的几 何体是不是棱柱？
答：都是棱柱．
②观察长方体，共有多少对平行 平面？能作为棱柱的底面的有几对？ 答：三对平行平面；这三对都可 以作为棱柱的底面．
理解棱柱的定义
③观察右边的棱柱，共有多 少对平行平面？能作为棱柱的底 面的有几对？
线是圆柱的母线．
（
）
Байду номын сангаас
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ ）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（ ）
练习： 1、下列命题是真命题的是（ A ） A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴 旋转所得的几何体为圆锥；
B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所 得的旋转体为圆柱； C 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆； D 有一个面为多边形，其他各面都是三角形 的几何体是棱锥。
第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
球的性质总结
球的性质总结1. 球的概念与性质：球的概念与性质：（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
体叫做球体，简称球。
球的基本元素有：球心、半径、直径。
球的基本元素有：球心、半径、直径。
（2）截面性质：）截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r R d =-22，（计算公式）算公式）（3）球的截面是圆面：）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
球的小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆。
球的小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆。
（4）球面距离：在球面上，经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离。
球面距离。
2. 面积、体积计算公式：面积、体积计算公式：V R 球=433p S R 球=42p （1）VR R S R 球球···==134132p ，由此变形式，可将球体积记为以球心为锥顶，球面为底面的锥体积；球面为底面的锥体积；（2）球面面积等于与之等底等高的圆柱侧面积；等于与之等底等高的圆柱全面积的23。
3. “地球”的知识及方法：“地球”的知识及方法： （1）经线与经度：）经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线。
一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经。
如东经30°，西经60°等。
°等。
（2）纬线与纬度：）纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道。
一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬。
高中数学球的性质一球的截面的性质
球的概念
以半圆的直径所在直 线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的几何体.
半径 O
球心
球面上的点到球心的距离等于半径
类比
1、一条直线与 圆相交，在圆内 的部分是
一条线段——弦
类比 1、用一个平面去 截球，截面是 ？圆面
想
一
A
B
想 ？
1、截面过球心——大圆 其半径等于球半径
2、截面不过球心——小圆
类比
2、垂直于弦的 直径平分弦
Rd
A
B
类比 2、球心与截面 圆心的连线垂直 于圆面OO’ ⊥圆面O’O圆心与弦中点的
连线垂直于弦
O’
O
R
d
Mr
O’
d2r2R2
d2r2R2
在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截 面的距离为3cm,则该截面的面积为
O/ 4
35
O
例1
球的表面积是676 ，球内有两个 平行截面的面积分别是25、144, 求两截面距离
O
13
O1
13
12
A
5 O2 B
O1 12
A
O 13
13
5 O2 B
例2：在半径为13的球面上有A、B、C三点，其 中AB=6，BC=8，,AC=10，则经过这三点的截 面和球心的距离为
O
13
A6
O1 0 8
C
B
三棱锥P—ABC的四个顶点都在同一个球面上，三棱锥 的高等于球半径的 3 ，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积． 2
P
A
R r
O
1 2
R
C
O
地球的基本知识ppt课件
磁场强度：为某地点单位面积上磁力大小的绝对值。它是一个 具有方向〔磁力线方向〕和大小的矢量，一般在磁两极附近磁 感应强度大〔约为60 T〔微特拉斯））；在磁赤道附近最小 〔约为30 T ）。
磁偏角：磁力线在水平面上的投影与地理正北方向之间形成的 夹角。即，磁子午线与地理子午线之间的夹角。磁偏角的大小 各处都不相同。在北半球，如果磁力线方向偏向正北方向以东 称为东偏，偏向正北方向以西称为西偏。我国东部地区磁偏较 为西偏，甘肃酒泉以西地区为东偏。
基本上仍是一个圆球
二、地球表面的形态
1．大陆地形特征
平原:指海拔高 度小于200m， 面积宽广、地 势平坦或略有 起伏的平地。
1．大陆地形特征
丘陵： 指海 拔高度小于 500m或相对 高差在200 m 以下的高地， 顶部浑圆、坡 度平缓、坡脚 不明显的低矮 山丘群。
1．大陆地形特征
盆地： 指陆 地上中间低四 周高的盆形地 形。
地幔： 莫霍面与古登堡面之间的一个巨厚 圈层。其厚度约2850km。平均密度为 4.5g/cm3。根据次级界面可分为上地幔和 下地幔。上地幔：从莫霍面至地下1000km， 平均密度为3.5g/cm3，成分主要为含铁镁 质较多的超基性岩。在上地幔的上部100350km存在一个由柔性物质组成的圈层称为 软流圈〔地震波的低速带）。此软流圈之 上的固态岩石圈层称为岩石圈。下地幔： 地下1000km至古登堡面之间，平均密度增 大为5.1g/cm3，成分仍为含铁镁质的超基 性岩，但铁质的含量增加。
第一章 §1.3.1 球的表面积和体积.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
圆锥的母线长 2a，底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a· 2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
A
D D
B
C
O
A1 A
1
C1 B1 B
D
夹在两个平行平面之间的两个空间几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个空间几何体的体积相等．
棱柱的体积公式:V=S h
重要结论：等底等高的两个棱柱的体积相等
棱锥的体积
棱柱的体积公式:V=S h
问题1.棱锥的体积公式是什么?
问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.
(2)因为 S 球＝4πR2，S 圆柱侧＝2πR· 2R＝4πR2， 所以 S 球＝S 圆柱侧．
证明
小结
(1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方
(一)足球运动的概念
足球一、概述（一）足球运动的概念足球是一项以脚支配球为主，两队攻与守相对抗，以射球入门多少判定胜负的球类运动。
在世界性的各项体育比赛中，足球比赛的场面壮观，竞争激烈，颇具魅力，被人们称为“世界第一运动”。
（二）足球运动的起源与发展足球运动是一项古老的体育运动，源远流长。
从足球运动起源和发展的漫长历史来看，足球运动经历了古代足球游戏和现代足球运动两大历史阶段。
在我国二千五百年以前的文字记载中，当时的足球叫“蹴鞠”，蹴（音cù）就是踢的意思，鞠就是球。
当时的球是皮子做的，里面填充着毛发之类的东西，用来进行踢球游戏。
蹴鞠运动在我国经历了汉、唐、宋、元、明、清朝代。
史实证明：古代足球游戏起源于中国。
足球又是富有魅力的现代体育运动项目，现代足球运动诞生在英国。
1859年英国谢菲尔德成立了世界上第一个足球俱乐部──谢菲尔德足球俱乐部。
在这之后，英国的其他一些地区也相继成立了足球俱乐部。
1863年10月26日，英国的11个足球俱乐部在伦敦召开会议，成立了英国足球协会，之后又制订了全国统一的比赛规则，从此宣告了现代足球运动的诞生。
之后，足球运动迅速普及到整个欧洲，并向世界各地传播。
足球运动经历了一百多年的发展与变革，已成为世界人民喜爱的一项体育运动。
（三）足球教材的特点与功能首先，足球活动是在跑动中进行的。
足球教学和比赛中的运动负荷要比其他项目大一些，在不断跑动中经常变换速度、方向，对于内脏器官，特别是呼吸系统和心血管系统的生理功能影响较大，在奔跑和跳跃中发展速度、力量、耐力、灵敏、柔韧等各项身体素质，全面锻炼身体。
其次，足球活动是在不断变化中进行的，球的滚动与飞行，同伴的跑动与传球，进攻与防守，都在不断的变化。
人对时间、空间、方位、距离等的判断也在不断的变化中调整和掌握，这有利于训练学生的思维敏捷、灵活、判断的准确性，预测事物发展的能力和果断的应变能力。
再次，足球活动的集体性强，要求同伴之间相互配合，相互鼓舞，能很好体现团队精神和参与意识，培养学生勇敢顽强、积极主动、相互合作的精神。
球体空间的名词解释
球体空间的名词解释球体空间，顾名思义是指具有球形结构的空间领域。
球体作为一种几何体，在数学和物理学中被广泛应用和研究，其特点是具有均匀性和无边界性。
本文将从数学和物理的角度，对球体空间进行解释和探讨。
一、数学解释1. 定义与性质球体是一种简单而古老的几何对象，它是由位于一定距离内的所有点组成的。
球体由三维空间中的每一点到该点的距离（称为半径）相等的所有点组成。
数学上通常用圆心和半径来描述一个球体。
球体具有以下性质：- 均匀性：球体上的每一个点到圆心的距离都相等。
- 对称性：球体在任何轴上都具有对称性，即球体通过任意轴的旋转都能得到相同的形状。
- 体积：球体的体积由半径决定，公式为V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示半径。
2. 应用领域球体空间在数学上有广泛的应用，涵盖几何学、拓扑学和微积分等领域。
它在几何学中被用于描述实际物体的形状，如地球的近似形状可以看作是一个球体。
在拓扑学中，球体是一个基本的拓扑空间，研究球体的性质能够帮助我们理解更复杂的拓扑结构。
在微积分中，球体的体积计算常用于积分的计算中，例如球体上的定积分和球面上的曲线积分等。
二、物理解释1. 宏观与微观物理学中的球体空间的研究涉及到宏观世界和微观世界。
在宏观尺度上，球体空间的应用广泛存在于天文学、力学和流体力学等领域。
例如，天文学中的行星、恒星和星系的形状都近似为球体，这使得我们能够更好地理解宇宙的结构和演化。
在力学和流体力学中，球体物体的运动和作用具有一些特殊的性质，例如运动学和动力学方面的研究。
在微观尺度上，球体空间的应用主要存在于原子物理学和量子力学领域。
原子物理学中，原子的电子云通常被假设为球对称的分布，以便于计算原子的能级和谱线的性质。
量子力学中，球形谐振子是一种重要的模型，用于描述粒子在球面势场中的运动和能级结构。
2. 场论和相对论在物理学的最前沿，球体空间的研究也涉及到了场论和相对论。
第1章 7.3 球的表面积和体积
7．3球的表面积和体积学习目标 1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．知识点一球的截面思考什么叫作球的大圆与小圆？答案平面过球心与球面形成的截线是大圆．平面不过球心与球面形成的截线是小圆．梳理用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面α过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝R2－d2，即此时截线是以O′为圆心，以r＝R2－d2为半径的球的小圆．知识点二球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的长度都相等．知识点三球的表面积与体积公式1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )类型一 球的表面积与体积例1 已知球的表面积为64π，求它的体积． 考点 题点解 设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．跟踪训练1 已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 设球的的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 类型二 球的截面例2 在半径为R 的球面上有A ，B ，C 三点，且AB ＝BC ＝CA ＝3，球心到△ABC 所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 考点 题点解 依题意知，△ABC 是正三角形，△ABC 的外接圆半径r ＝33×3＝ 3. 由R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋(3)2，得R ＝2. 所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3考点 题点 答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3)．类型三 与球有关的组合体命题角度1 球的内接或外切柱体问题例3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________． 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案 14π解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S ＝4πR 2＝14π.(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________． 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案4π3解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×12＝4π3.反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a ，此时球的半径为r 1＝a2.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2.跟踪训练3 表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A.23π B.13π C 23π D.223π 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案 A解析 如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .∵正四面体的表面积为433，∴4×34a 2＝433，解得a ＝233， ∴正方体的棱长是63， 又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ，∴2R ＝63×3，∴R ＝22，∴球的体积为43π·⎝⎛⎭⎫223＝23π，故选A.命题角度2 球的内接锥体问题例4 若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积． 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x ，则a ＝2x ， 由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， ∴S 球＝4πR 2＝32πa 2.反思与感悟 将正四面体补成正方体．由此可得正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________． 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案932或332解析 设球的半径为R ，则球心到圆锥底面的距离为12R .①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，此时圆锥底面圆的半径为32R ，高为32R ，故圆锥的体积与球的体积之比为13π⎝⎛⎭⎫32R 2·32R 43πR 3＝932.②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，同理求得二者体积比为332.1．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题 答案 D解析 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，得h ＝4R .2．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题 答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3.即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.3．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr D ．π(R ＋r )2答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 题点 答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.5．若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍． 考点 题点 答案 8 4解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2.所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 2．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.一、选择题1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的( ) A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍考点 题点 答案 C解析 设三个球的半径由小到大依次为r 1，r 2，r 3， 则r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，∴V 3＝43πr 33＝43×27πr 31＝36πr 31，V 1＋V 2＝43πr 31＋43πr 32＝43×9πr 31＝12πr 31， ∴V 3＝3(V 1＋V 2)．2．设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ) A.6π cm 3 B.323π cm 3 C.83π cm 3 D.43π cm 3 考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题 答案 D解析 由正方体的表面积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2 cm ，故这个球的体积为43π cm 3.3.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题 答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3.4．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36π D ．144π，144π考点 题点 答案 B解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3cm 3 B.208π3 cm 3 C.500π3cm 3 D.4163π3cm 3 考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 C解析 如图，根据题意，|OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( )A ．(2＋42) cm 2B ．(8＋162) cm 2C ．(4＋82) cm 2D ．(16＋322) cm 2考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，∴正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4 cm ，正四棱柱的底面对角线长为2 2 cm ，∴正四棱柱的高为16－8＝2 2 (cm)，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋16 2 (cm 2)，故选B.7．若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为( )A.252π B ．50π C.12523π D.503π考点题点答案 B解析 因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r ＝12×52＋42＋32＝522，所以它的外接球的表面积S ＝4πr 2＝50π. 二、填空题8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．考点题点答案 364π3 解析 设大，小两球半径分别为R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3. 9．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________． 考点题点 答案 3 解析 设球的半径为R ，正方体棱长为a ，则V 球＝43πR 3＝92π，得到R ＝32，正方体体对角线的长为3a ＝2R ，则a ＝3，所以正方体的棱长为 3.10．已知正四棱锥O-ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．考点题点答案 24π解析 V 四棱锥O-ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322， ∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π.11．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．考点题点答案 92π 解析 如图所示，CD 是截面圆的直径．∴⎝⎛⎭⎫12CD 2·π＝π，即CD ＝2，设球O 的半径为R ，∵AH ∶HB ＝1∶2，∴AH ＝13×2R ＝23R ， ∴OH ＝R －23R ＝13R ， 由OD 2＝OH 2＋HD 2，得R 2＝19R 2＋1， ∴R 2＝98， ∴S 球＝4πR 2＝92π. 三、解答题12．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.4 3πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.该组合体的体积V＝13．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·⎝⎛⎭⎫33h 2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r .四、探究与拓展 14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． 考点题点答案 9π解析 如图，是过长方体的一条体对角线AC 1的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32， 所以S 球＝4πR 2＝9π. 15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题解 设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a 2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3， R 3＝32a ，所以R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. 所以S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 23＝1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.。
球的性质1 PPT课件
练习：
1）填空
（1）设球的半径为R，则过球面上任
意两点的截面圆中，最大面积是 。
（2）球的半径为R，若过其半径的中 3
点，作一个垂直于这2 条半径的截面，
则这截面圆的半径是
。
2）在半径为R的球面上有A、B两点，
半径OA、OB的夹角是n°（n＜180)，
求A、B两点的球面距离。
A
B
n° O
小结：
√ 球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
2）在球的性质中，若将“球”改为“圆”， 将“截面”改为“弦”，你能将球的上述性 质变为平面几何中圆的类似性质吗？
O
A
C
B
D
纬线
北极
北纬40°
0° 经线
60° 90° 南极
赤道
O1
A
α O
B
P OQ
例: 我国首都北京靠近北纬40度。 求北纬40度纬线的长度约为多少千 米（地球半径约为6370千米）。
O R C
Rd C
A
r
DB
练习： 1）判断正误：（对的打√，错的打×）
× （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲
面叫球。（ ）
× （2）在空间，到定点的距离等于定长
的所有点的集合叫球。（ ）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂
√ 直于这个小圆所在平面。（ ）
× （4）经过球面上不同的两点只能作一
个大圆。（ ） （5）球半径是5，截面圆半径为3，则
5.球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度。
思考题：
地球半径为R，A、B是北纬 45°纬 线圈上两点，它们的经度差是90°，求 A、B两地的球面距离。
A
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球的主要性质
性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面 都叫做球的小圆.
已知球O 的半径为R .
(1)若截面经过球心O .
如图1，设A 是截面与球面的任意一个交点，连接OA .
由球的定义可知，OA R =，所以点A 的轨迹是以O 为圆心，R 为
半径的圆，即该截面是圆.
(2)若截面不经过球心O .
如图1，设球心O 在截面上的射影为1O ，B 是截面与球面的任意一个交点，
连接1OO ， OB 和1O B ，则OB R =为定值，且1OO 也为定值，所以2211O B R OO =-为定值，
因此，点B 的轨迹是以1O 为圆心，1O B 为半径的圆，即该截面也是圆.
性质 2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
如图2所示，若圆1O 是球O 的小圆，则11OO O ⊥圆面.
证明：如图，设AB ，CD 分别是圆1O 的两条直径，连接OA ，
OB ，OC ，OD ，1OO .
依题意可得OA OB =，所以1OO AB ⊥.
同理可得1OO CD ⊥，又因为1AB CD O =，所以11OO O ⊥圆面.
性质3. 如图2，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ，球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-.
性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 如图3，设球O 的两个平行截面的圆心分别为1O ，2O ，连接1OO ，
2OO ，由性质3可知，11OO O ⊥圆面，又因为12//O O 圆面圆面，
所以12OO O ⊥圆面.同理可得，21OO O ⊥圆面，且22OO O ⊥圆面，
所以O ，1O ，2O 三点共线，因此，12O O 垂直于1O 圆面和2O 圆面，且12O O O ∈.
性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两 个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
例1.(10年·第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为( )
(A)2a π (B)273a π (C)2113
a π (D)25a π
例2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上. 若12AB AC AA ===， 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .
.
性质7. 设底面边长为a ，侧棱长为b 的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球 的半径2
2222R a
b =-.
例3.(11年·第15题)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且 6AB =，23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为_______．
.
性质8. 设正三棱锥P ABC
-的底面边长为a，侧棱长为b的所有顶点都在一个球
面上，则该球的半径
2
2
2
2
3
R
a
b
=
-
.
例4.(15年·第9题)已知A，B是球O的球面上两点，90
AOB
∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC
-体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
(A)36π(B)64π
(C)144π (D)256π
例5.(12 年·第11题)已知三棱锥S ABC
-的所有顶点都在球O
的球面上，△ABC
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2
SC=，则此棱锥的体积为( )
(A)
2
6
(B)
3
6
(C)
2
3
(D)
2
2
例7.已知球的直径4
SC=，A、B是该球球面上的两点，3
AB=，ASC BSC
∠=∠
30
=︒，则棱锥S ABC
-的体积为( )
(A)33 (B)23 (C)3 (D)1
.
例8.高为
2
4
的四棱锥S ABCD
-的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、
D均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )
(A)
2
4
(B)
2
2
(C)1 (D)2
例9.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2
AB CD
==，则四面体ABCD的体积的最大值为( )
(A)23
(B)
43
(C)23 (D)
83。