密码学数学基础第十讲 多项式环(3)
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第十讲 多项式环
教师： 教师：李艳俊
本节内容
一．环上的多项式环 二．域上的多项式环 三．域上的多项式商环
一．环上的多项式环 1．未定元
定义1 定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R’是R的扩环，x 是一个有单位元1的交换环， 是 的扩环， 中的一个元素； 是R’中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0， 中的一个元素 如果对R的任意一组不全为零的元素a a1，a2，…，an，f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn≠0； ≠0； ， ＋ 则称x 上的一个未定元。 则称x为R上的一个未定元。 定理1 定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 上的一个未定元x。 上的一个未定元 。
定理2 定理2：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加 是有单位元1的交换环， R[x]对多项式加 法和乘法做成一个有单位元1的交换环。 法和乘法做成一个有单位元1的交换环。 定义3 定义3：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋， ）称 是有单位元1的交换环， R[ ]，＋，·） 为环R上关于x的多项式环 的多项式环。 为环R上关于 的多项式环。 定理3：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元； 定理3 是有单位元1的交换环， 为 上的一个未定元； （1）R的零元0就是R[ ]的零元； 的零元0就是R[x]的零元； R[ （2）R的单位就是R[ ]的单位； 的单位就是R[x]的单位； R[ （3）若R是整环，则R[x]也是整环。 是整环， R[ ]也是整环。
练习： 的根。 练习：在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=x2＋7x＋2的根。 ， ， ， ， 中 ＋ 的根
二．域上的多项式环
(x)=a 是含有未定元x的多项式 的多项式， 设f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元 的多项式， (x)= ＋ ＋ 其中系数a 取自某一个域F 其中系数 i取自某一个域F。 用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 F[ ]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理4 F[ ]对多项式加法和乘法做成一个整环。 定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
)=2x )=x 例4：设Z3[x]中的两个元 (x)=2 4＋2，b(x)= 5＋2，求 ]中的两个元a( )=2 ( )= gcd(a( ) ))=g( ) 并找出s( ) ( ) gcd( (x)，b(x))= (x)；并找出 (x)，t(x)∈Z3[x]，使 ( ))= ] g(x)= (x)s(x)＋b(x)t(x)。 )=a( ) ( ) ( )= ( )( ) )=gcd(a( ) ))=1； 解：g(x)=gcd( (x)，b(x))=1； ( )=gcd( ( ))=1 s(x)=2 4＋x3＋2x2＋x＋1， ( )=2 )=2x ＋ t(x)=2 3＋x2＋2x＋1。 ( )=2 )=2x ＋ 练习： [x]， 练习：设f(x), g(x) ∈Z2[x]，有 f(x)= x8 + x 6 + x 3 + x + 1 g(x)= x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x 求u(x)和v(x)，使得 和 ，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)g(x)。 ， 。
)=2x )=x＋ 例1：设f(x)=2 2＋x＋2，g(x)= ＋2∈Z3[x]， ( )=2 ＋ ( )= ] 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。 ( ) ( ) ( ) )=2x 解：f(x)＋g(x)=2 2＋2x＋1， ( ) ( )=2 ＋ f(x)g(x)=2 3＋2x2＋x＋1。 )=2x ( ) ( )=2 ＋ 3．多项式的根 定义4 定义4：设R是有单位元1的交换环，f(x)∈R[ ]，称元素 是有单位元1的交换环， ( ) R[x] r∈R是多项式 (x)的一个根，如果 (r)=0。 )=0。 ∈ 是多项式f( )的一个根，如果f( )=0 例2：求剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式x2－1 求剩余类环Z ={0， ，7}上 次多项式x 内的所有根。 在Z8内的所有根。 解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。 内的所有根为：
2．环上的多项式环
定义2 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 是一个有单位元1的交换环， 是 未定元， 未定元，a0，a1，a2，…，an∈R，称形如 ， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn )=a ( )= ＋ ＋ 的表达式为R上的x的一个多项式 其中， 的一个多项式， 的表达式为R上的 的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为 次项的系数。 次项， 称为i次项的系数 次项的系数。 ( ) 次项 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做deg (x)= 。 如果 ≠0，则称 ( )的次数为 ，记做degf( )=n。 deg )= 如果在多项式f( ) 同次项的系数都相等， 如果在多项式 (x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 ( ) f(x)与g(x)相等，记为 (x)= (x)。 )=g( ) ( ) ( )相等，记为f( )= 的多项式构成的集合记为R[ 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[ ]。 上所有关于 的多项式构成的集合记为R[x]
三．域上的多项式商环
在域F上多项式环F[x] 任意取定f( ) F[x] 在域F上多项式环F[ ]中，任意取定 (x)∈F[ ]，则 F[ I={g( ) ( )| )|g( ) F[x]} F[x]的理想。 ]}是 I={ (x)f(x)| (x)∈F[ ]}是F[ ]的理想。 定理5 定理5：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。 是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。 F[x]的每个理想都是一个主理想 命题2 在域F上多项式环F[x] 命题2：在域F上多项式环F[ ]中，任意取定一个多项式 F[ f(x)= a0＋a1x＋…＋anxn∈F[ ]，其中 =deg (x)＞0，I= F[x] 其中n=deg ) =degf( ( )= ＋ ＋ （f(x)），则多项式商环 ( )），则多项式商环 F[x]/（ ( ) F[ ]/（f(x)） ]/ ={b ={ 0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I| 0，b1，…，bn－1∈F}。 ＋ ＋ － － I|b ， － F}。
作业： 作业： 1．在Z2[x]中，设 ] f(x)= 7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， ( )= )=x ＋ g(x)= 3＋x＋1， ( )= )=x ＋ 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用 (x)除 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )及用g( ) f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ( )的商q( )和余式r( ) 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 ]/（ 的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ]/(x 1)上 3．在域Z2[x]/( 4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 在域Z ]/( ＋ 的逆元。 的逆元。
命题1 命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)∈F[ ]，若 是一个域， ( ) ( ) F[x] g(x)≠0，则必定存在唯一的 (x)，r(x)∈F[ ]，使得 )≠0， ( )≠0 则必定存在唯一的q( ) ( ) F[x] f(x)= (x)g(x)＋r(x)，其中或者 (x)=0，或者deg r(x)＜ )=q( ) ( ) ( ) 其中或者r( )=0 或者deg ( ) )=0， ( )= deg g(x)。 ( ) q(x)称为用 (x)去除 (x)所得的商，r(x)称为用 (x)去除 ( )称为用g( )去除f( )所得的商， ( )称为用g( ) f(x)所得的余式。 ( )所得的余式。 )=x )=2x 分别在Q[ Q[x] 例3：设f(x)= 3＋x2＋7，g(x)=2 2＋7，分别在Q[ ]和 ( )= ( )=2 求用g( ) ( )的商q( )和余式r( ) Z11[x]中，求用 (x)除f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ]
· P 1＋P x＋P ＋ 1＋xwk.baidu.comP ＋
P P P P P
1＋P P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋
x＋P ＋ P x＋ x＋P 1＋x＋P ＋ 1＋P
1＋x＋P ＋ P x＋ 1＋x＋P 1＋P x＋P ＋
推论2 ]/(p( ))是域当且仅当 推论2：设F是域，p(x)∈F[ ]，F[ ]/( (x))是域当且仅当 是域， ( ) F[x] F[x]/( )) p(x)是F[ ]上不可约多项式。 ( ) F[x]上不可约多项式。 2)，Q[x]/P={ ]/P={a 例5：设P=(x2－2)，Q[ ]/P={ 0＋a1x＋P| i∈Q}；在Q[ ]/P P=( ＋P|a Q}； Q[x]/P 的和与积。 中，求3x＋4＋P与5x－6＋P的和与积。 ＋ － P)＋(5x－ P)=8x－ 解：(3x＋4＋P)＋(5 －6＋P)=8 －2＋P， (3 ＋ (3x＋4＋P)(5x－6－P)=2 ＋6＋P。 P)=2x＋ (3 ＋ P)(5 － ]/(x 例6：设域Z3[x]/( 3＋2x＋1)={ 0＋a1x＋a2x2＋(x3＋2x＋ 设域Z ]/( ＋1)={a ＋ ＋ 1)|a 的逆元。 1)| i∈Z3}，求x2＋(x3＋2x＋1)的逆元。 ＋1)的逆元 ]/(x 解：在Z3[x]/( 3＋2x＋1)中， ]/( ＋1)中 x2+( 3＋2x＋1) 的逆元为：2x2＋2x＋1＋(x3＋2x＋1)。 +(x 的逆元为： ＋ ＋ ＋1)。
]/（ 的加法和乘法的运算表。 例4：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ＋ 解：令P=(x2＋x＋1)， P=( ＋1)， ]/P={a Z2[x]/P={ 0＋a1x＋P| 0，a1∈Z2} ]/P={ ＋P|a ={P， ={P，1＋P，x＋P，1＋x＋P}； ＋ ＋P}； 加法和乘法的运算如下表。 加法和乘法的运算如下表。 ＋ P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ P P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ 1＋P 1＋P P 1＋x＋P ＋ x＋P ＋ x＋P ＋ x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ P 1＋P 1＋x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ x＋P ＋ 1＋P P
设R是有单位元1的交换环，多项式 是有单位元1的交换环， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， )=a ( )= ＋ ＋ g(x)= 0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm， ( )= )=b ＋ ＋ 其中m≥ ， 其中 ≥n，a0，a1，…，an∈R， b0，b1，…，bm∈R； ， ， 规定加法： ( ) )=(a 规定加法：f(x)＋g(x)=( 0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋ ( )=( ＋ ＋ ＋ bn)xn＋bn＋1xn＋1＋…＋bmxm 。 ＋ ＋ 规定乘法： ( ) ( )= )=a 规定乘法： f(x)g(x)= 0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋ ＋ ＋ a0b2)x2＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n ( ＋ ＋ －
教师： 教师：李艳俊
本节内容
一．环上的多项式环 二．域上的多项式环 三．域上的多项式商环
一．环上的多项式环 1．未定元
定义1 定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R’是R的扩环，x 是一个有单位元1的交换环， 是 的扩环， 中的一个元素； 是R’中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0， 中的一个元素 如果对R的任意一组不全为零的元素a a1，a2，…，an，f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn≠0； ≠0； ， ＋ 则称x 上的一个未定元。 则称x为R上的一个未定元。 定理1 定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 上的一个未定元x。 上的一个未定元 。
定理2 定理2：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加 是有单位元1的交换环， R[x]对多项式加 法和乘法做成一个有单位元1的交换环。 法和乘法做成一个有单位元1的交换环。 定义3 定义3：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋， ）称 是有单位元1的交换环， R[ ]，＋，·） 为环R上关于x的多项式环 的多项式环。 为环R上关于 的多项式环。 定理3：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元； 定理3 是有单位元1的交换环， 为 上的一个未定元； （1）R的零元0就是R[ ]的零元； 的零元0就是R[x]的零元； R[ （2）R的单位就是R[ ]的单位； 的单位就是R[x]的单位； R[ （3）若R是整环，则R[x]也是整环。 是整环， R[ ]也是整环。
练习： 的根。 练习：在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=x2＋7x＋2的根。 ， ， ， ， 中 ＋ 的根
二．域上的多项式环
(x)=a 是含有未定元x的多项式 的多项式， 设f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元 的多项式， (x)= ＋ ＋ 其中系数a 取自某一个域F 其中系数 i取自某一个域F。 用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 F[ ]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理4 F[ ]对多项式加法和乘法做成一个整环。 定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
)=2x )=x 例4：设Z3[x]中的两个元 (x)=2 4＋2，b(x)= 5＋2，求 ]中的两个元a( )=2 ( )= gcd(a( ) ))=g( ) 并找出s( ) ( ) gcd( (x)，b(x))= (x)；并找出 (x)，t(x)∈Z3[x]，使 ( ))= ] g(x)= (x)s(x)＋b(x)t(x)。 )=a( ) ( ) ( )= ( )( ) )=gcd(a( ) ))=1； 解：g(x)=gcd( (x)，b(x))=1； ( )=gcd( ( ))=1 s(x)=2 4＋x3＋2x2＋x＋1， ( )=2 )=2x ＋ t(x)=2 3＋x2＋2x＋1。 ( )=2 )=2x ＋ 练习： [x]， 练习：设f(x), g(x) ∈Z2[x]，有 f(x)= x8 + x 6 + x 3 + x + 1 g(x)= x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x 求u(x)和v(x)，使得 和 ，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)g(x)。 ， 。
)=2x )=x＋ 例1：设f(x)=2 2＋x＋2，g(x)= ＋2∈Z3[x]， ( )=2 ＋ ( )= ] 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。 ( ) ( ) ( ) )=2x 解：f(x)＋g(x)=2 2＋2x＋1， ( ) ( )=2 ＋ f(x)g(x)=2 3＋2x2＋x＋1。 )=2x ( ) ( )=2 ＋ 3．多项式的根 定义4 定义4：设R是有单位元1的交换环，f(x)∈R[ ]，称元素 是有单位元1的交换环， ( ) R[x] r∈R是多项式 (x)的一个根，如果 (r)=0。 )=0。 ∈ 是多项式f( )的一个根，如果f( )=0 例2：求剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式x2－1 求剩余类环Z ={0， ，7}上 次多项式x 内的所有根。 在Z8内的所有根。 解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。 内的所有根为：
2．环上的多项式环
定义2 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 是一个有单位元1的交换环， 是 未定元， 未定元，a0，a1，a2，…，an∈R，称形如 ， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn )=a ( )= ＋ ＋ 的表达式为R上的x的一个多项式 其中， 的一个多项式， 的表达式为R上的 的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为 次项的系数。 次项， 称为i次项的系数 次项的系数。 ( ) 次项 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做deg (x)= 。 如果 ≠0，则称 ( )的次数为 ，记做degf( )=n。 deg )= 如果在多项式f( ) 同次项的系数都相等， 如果在多项式 (x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 ( ) f(x)与g(x)相等，记为 (x)= (x)。 )=g( ) ( ) ( )相等，记为f( )= 的多项式构成的集合记为R[ 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[ ]。 上所有关于 的多项式构成的集合记为R[x]
三．域上的多项式商环
在域F上多项式环F[x] 任意取定f( ) F[x] 在域F上多项式环F[ ]中，任意取定 (x)∈F[ ]，则 F[ I={g( ) ( )| )|g( ) F[x]} F[x]的理想。 ]}是 I={ (x)f(x)| (x)∈F[ ]}是F[ ]的理想。 定理5 定理5：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。 是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。 F[x]的每个理想都是一个主理想 命题2 在域F上多项式环F[x] 命题2：在域F上多项式环F[ ]中，任意取定一个多项式 F[ f(x)= a0＋a1x＋…＋anxn∈F[ ]，其中 =deg (x)＞0，I= F[x] 其中n=deg ) =degf( ( )= ＋ ＋ （f(x)），则多项式商环 ( )），则多项式商环 F[x]/（ ( ) F[ ]/（f(x)） ]/ ={b ={ 0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I| 0，b1，…，bn－1∈F}。 ＋ ＋ － － I|b ， － F}。
作业： 作业： 1．在Z2[x]中，设 ] f(x)= 7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， ( )= )=x ＋ g(x)= 3＋x＋1， ( )= )=x ＋ 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用 (x)除 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )及用g( ) f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ( )的商q( )和余式r( ) 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 ]/（ 的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ]/(x 1)上 3．在域Z2[x]/( 4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 在域Z ]/( ＋ 的逆元。 的逆元。
命题1 命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)∈F[ ]，若 是一个域， ( ) ( ) F[x] g(x)≠0，则必定存在唯一的 (x)，r(x)∈F[ ]，使得 )≠0， ( )≠0 则必定存在唯一的q( ) ( ) F[x] f(x)= (x)g(x)＋r(x)，其中或者 (x)=0，或者deg r(x)＜ )=q( ) ( ) ( ) 其中或者r( )=0 或者deg ( ) )=0， ( )= deg g(x)。 ( ) q(x)称为用 (x)去除 (x)所得的商，r(x)称为用 (x)去除 ( )称为用g( )去除f( )所得的商， ( )称为用g( ) f(x)所得的余式。 ( )所得的余式。 )=x )=2x 分别在Q[ Q[x] 例3：设f(x)= 3＋x2＋7，g(x)=2 2＋7，分别在Q[ ]和 ( )= ( )=2 求用g( ) ( )的商q( )和余式r( ) Z11[x]中，求用 (x)除f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ]
· P 1＋P x＋P ＋ 1＋xwk.baidu.comP ＋
P P P P P
1＋P P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋
x＋P ＋ P x＋ x＋P 1＋x＋P ＋ 1＋P
1＋x＋P ＋ P x＋ 1＋x＋P 1＋P x＋P ＋
推论2 ]/(p( ))是域当且仅当 推论2：设F是域，p(x)∈F[ ]，F[ ]/( (x))是域当且仅当 是域， ( ) F[x] F[x]/( )) p(x)是F[ ]上不可约多项式。 ( ) F[x]上不可约多项式。 2)，Q[x]/P={ ]/P={a 例5：设P=(x2－2)，Q[ ]/P={ 0＋a1x＋P| i∈Q}；在Q[ ]/P P=( ＋P|a Q}； Q[x]/P 的和与积。 中，求3x＋4＋P与5x－6＋P的和与积。 ＋ － P)＋(5x－ P)=8x－ 解：(3x＋4＋P)＋(5 －6＋P)=8 －2＋P， (3 ＋ (3x＋4＋P)(5x－6－P)=2 ＋6＋P。 P)=2x＋ (3 ＋ P)(5 － ]/(x 例6：设域Z3[x]/( 3＋2x＋1)={ 0＋a1x＋a2x2＋(x3＋2x＋ 设域Z ]/( ＋1)={a ＋ ＋ 1)|a 的逆元。 1)| i∈Z3}，求x2＋(x3＋2x＋1)的逆元。 ＋1)的逆元 ]/(x 解：在Z3[x]/( 3＋2x＋1)中， ]/( ＋1)中 x2+( 3＋2x＋1) 的逆元为：2x2＋2x＋1＋(x3＋2x＋1)。 +(x 的逆元为： ＋ ＋ ＋1)。
]/（ 的加法和乘法的运算表。 例4：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ＋ 解：令P=(x2＋x＋1)， P=( ＋1)， ]/P={a Z2[x]/P={ 0＋a1x＋P| 0，a1∈Z2} ]/P={ ＋P|a ={P， ={P，1＋P，x＋P，1＋x＋P}； ＋ ＋P}； 加法和乘法的运算如下表。 加法和乘法的运算如下表。 ＋ P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ P P 1＋P x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ 1＋P 1＋P P 1＋x＋P ＋ x＋P ＋ x＋P ＋ x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ P 1＋P 1＋x＋P ＋ 1＋x＋P ＋ x＋P ＋ 1＋P P
设R是有单位元1的交换环，多项式 是有单位元1的交换环， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， )=a ( )= ＋ ＋ g(x)= 0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm， ( )= )=b ＋ ＋ 其中m≥ ， 其中 ≥n，a0，a1，…，an∈R， b0，b1，…，bm∈R； ， ， 规定加法： ( ) )=(a 规定加法：f(x)＋g(x)=( 0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋ ( )=( ＋ ＋ ＋ bn)xn＋bn＋1xn＋1＋…＋bmxm 。 ＋ ＋ 规定乘法： ( ) ( )= )=a 规定乘法： f(x)g(x)= 0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋ ＋ ＋ a0b2)x2＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n ( ＋ ＋ －