边界层方程为

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《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程

2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St

第四章边界层理论基础边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理

y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层过湍流边界层
在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡区
u0
湍流核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x

流体力学中三个主要力学模型

流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。

在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。

这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。

一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。

欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。

欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。

欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。

欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。

欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。

二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。

纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。

纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。

纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。

它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。

纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。

三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。

边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。

边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。

第七章边界层及其基本计算

流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，即流速降为主体流速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
边界层区（边界层内）：沿板面法向的速度梯度很大，需考虑粘度的影响，剪应力不可忽略。
主流区（边界层外）：速度梯度很小，剪应力可以忽略，可视为理想
流体。
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7 绕流阻力与阻力系数
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7.5 圆管内流动的边界层
充分发展的边界层厚度为圆管的半径；
进口段内有边界层内外之分；
也分为层流边界层与湍流边界层；
进口段长度：
层流：

x0 d
0.05 Re
湍流： x0
d
40
~ 50
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第六章粘性流体管内流动
1 边界层概念 2 层流边界层微分方程 3 边界层动量积分方程 4 平板层流边界层的计算 5 圆管内流动的边界层 6 边界层分离与卡门涡街
0
vx2dy
x
0
vx2dy dx
BC:
K AC
ve
x
0
vx dy dx
3 受力分析（忽略质量力）
AB: p
BC:
p 1 p dx d
2 x
CD:
p p dx d
x
AD: wdx
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7.3 边界层的动量积分方程
二、边界层动量积分方程的推导 3 动量方程——卡门动量方程
层流边界层比湍流边界层压差阻力大；减小压差阻力应尽量减小分离区，使分离点后移： (1) 改善物体外形，采用流线型； (2) 改变边界层性质。

04第四章边界层理论基础

d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14）） ——卡门边界层积分动量方程卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动：只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边作数量级分析时，界层压力p在方向近似不变方向近似不变，界层压力在y方向近似不变，等于边界层外面流体的压力，边界层外按理想流层外面流体的压力，体处理。体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后，经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例：以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ

普朗特边界层微分方程的详细推导资料讲解

普朗特边界层微分方程的推导学校：内蒙古工业大学专业：力学姓名：宗宇显首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。

Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程连续性方程22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程（1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。

2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。

2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。

2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。

故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程（1.2） v 0u x y∂∂+=∂∂v 0u x y∂∂+=∂∂2222v v 1v v v ()p u v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析根据实验条件分析，边界层厚度δ（x ）可能与流体微团的所在位置x ，流体速度U ，粘性系数μ，密度ρ有关。

设δ=k ·x m U n μk ρl ,根据量纲分析法可求的：m=12，n=-12，k=12，l=-12；即：δ（x ）==···(1) 又因为Re x Ux Ux v ρμ== 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：~x δ=··(2) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~Lδ··(3) （符号“~”表示数量级相同）其中Re L 称为绕流场的雷诺数。

层流边界层方程积分方程

8-4 层流边界层的积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式（m不是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4

h

(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y

0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3

0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得

t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x

空气动力学部分知识要点

空气动力学及飞行原理课程空气动力学部分知识要点一、流体属性与静动力学基础1、流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。

2、静止流体在剪应力作用下（不论所加剪切应力T多么小，只要不等于零）将产生持续不断的变形运动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流体的易流性。

3、流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性，而抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性。

4、当马赫数小于0.3 时，气体的压缩性影响可以忽略不计。

5、流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。

6、流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相对运动）流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运动的能力。

流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪应力或摩擦力。

在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有7、按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力（面力）两类。

例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，彻体力也称为体积力或质量力。

8、表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。

由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：9、理想和静止流体中的法向应力称为压强，其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是［力］/［长度］210、标准大气规定在海平面上，大气温度为15 C 或T o =288.15K，压强p o = 760毫米汞柱二101325牛/米2，密度p二1.225 千克/米311 、从基准面到11 km 的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加1km，温度下降6.5 K。

从11 km到21km的高空大气温度基本不变，称为同温层或平流层，在同温层内温度保持为216.5 K。

流体力学第八章答案

流体力学第八章答案【篇一：流体力学第8、10、11章课后习题】>一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。

2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。

（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）??v?vy?2v1?p?vy?????vx?x?y??x?y2????p??0?y???v?vy???0?x?y??其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x)（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。

边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。

图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度?1?1?2、动量损失厚度?2?vx1?(v?v)dy?(1?)dy x??00vv?2?1?v2???vx(v?vx)dy???vxv(1?x)dy vv（四）边界层的动量积分关系式??2???p?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即p?常数。

这样，边界层的动量积分关系式变为?wd?2d?vdy?vvdy?? x?x??00dxdx?二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。

边界层

dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1，并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue

高等传热学讲义

第2章边界层方程第一节Prandtl 边界层方程一.边界层简化的基本依据外：粘性和换热可忽略)(t δδ,l l t <<<<δδ或内：粘性和换热存在)(t δδ特征尺寸—l二.普朗特边界层方程常数性流体纵掠平板，层流的曲壁同样适用)。

δvlu ∞∞∞u lv v l u δδ~~，可见，0=∂∂+∂∂yv x u )()((x x R δ>>曲率半径yxuv∞∞T u ,wT ∞∞T u ,δl)(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρδδ∞∞u u llu u ∞∞2l u ∞ν2δν∞u )(2lu ∞除以无因次化11Re12))(Re 1(δl因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。

)(12222yv x v y p y v v x v u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1~))(Re 1(2δllδ；可见2222xuy u ∂∂>>∂∂δδ1)(2∞u l l u lu /)(∞∞δ2/)(lu l ∞δν2/)(δδν∞u l ：除以lu 2∞)(Re 1lδ))(Re 1(δl lδ可见，各项均比u 方程对应项小得多可简化为于是u 方程压力梯度项可写为。

)(2222yTx T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,0=∂∂yp dxdpρ1-),(lδ乘了δθδwu l )(∞lu w θ∞2lawθ除以：lu w θ∞Pe/12)(/1δlPe 12δθwa 1)(∞-=T T w w θPr)Re (⋅====∞∞贝克列数—导热量对流热量w w p lk u c a l u Pe θθρ边界层方程：。

时或当可忽略可见，)1,1~)(1(222>>∂∂Pe l Pe x T a δ0=∂∂+∂∂yvx u )(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ)(2222yT x T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂其中，压力的变化由主流速度的变化确定：,0=∴=∞dxdpdx du 对于平板，gf e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ（主流柏努利方程）dxdu u dx dp ∞∞=ρ1（主流速度可按势流问题求解得到）二.普朗特边界层方程定义：对于二元二阶线性偏微分方程（a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 均为x ，y 的已知函数）当，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；当，称为抛物型的；当，称为椭圆型的。

第二章流体静力学-第三节边界层的概念

1、边界层厚度（名义厚度）
v 定义：边界层内速度达到外部来流速度的99%的那些点
的连线。
因此，边界层的边线不是流线，而是人为定出的一条线。
1 x
l Re v
vx 0.99v
4
2、边界层排挤厚度（位移厚度）
由于壁面摩擦的影响，与理想流体相比，边界层内实际
流过的体积流量会有所减少。为了使基于理想流体理论计算得到的流量与粘性流的实际情况一致，需要把原来的固壁向外推一个距离，该距离被称为边界层的位移厚度。
有一个0约.5o 的扩散角，以补偿边界层增厚的影响。
y
0
1
vx v
dy
0
1
vx v
dy
（8-28）
式（8-28）的积分上限为无穷，在实际计算中，通常取为边界层名义厚
v
度。在定常流中，边界层内的 vx
总是小于 v 且两者方向保持一致，则
可直接推出定常层流边界层的位移厚
度总小于边界层厚度。
边界层方程仍然是非线性的。边界层内的解与外部势流区的解在边界层的边缘上衔接，在给定边界层方程外部边界条件后，对边界层方程的求解时，则需要对边界层厚度的定义加以说明。
22
注意：
边界层方程只适用于脱体点之前，在脱体点的下游，
由于边界层厚度大幅度增加，vx , vy 的量阶关系发生了根
本变化，因此推导边界层方程的基本假定不再适用。
y
v
dv dx
2vx
y2
20
vx vy 0
x y
vx
vx
x
vy
vx
y
v
dv dx
2vx
y2
(8-30)

流体力学第六章边界层理论(附面层理论)

减阻和节能
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入，将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动流体力学理论的进一步发展。

边界层理论

19世纪中，随着航海、水利工程等的迅速发展，流体力学的另一个重要分支，研究不可压缩粘性流体流动的水力学得到很大的发展。它是建立在大量实验测量的基础上。当时如哈根、泊肃叶、雷诺等用实验研究水和其他粘性流体在管道和槽渠中流动时的阻力和压强损失问题、得到的有关粘性流体的实验研究成果，有助于解决某些工程实际问题。但由于水力学在理论指导上的不足，由实验成果得出的经验公式和半经验理论公式有一定的局限性。于是在19世纪中叶产生了粘性流体运动的理论，1827年，纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项，第一个得到粘性流体运动微分方程。1846年，斯托克斯严格地导出了这个方程，称为纳维尔-斯托克斯方程，简称N-S方程。虽然N-S方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助，但对这个方程数学上的求解是十分复杂和困难的。 1851年，斯托克斯对N-S方程作了某些简化，略去方程中的惯性项，也就是在非常缓慢的流体流动条件下，计算出球体在流动的粘性流体中所受到的阻力。
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验，正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼型。

5边界层理论

p 2 2 u ) Fy ( 2 2 ) y方向动量微分方程（ x y y x y
二、流动边界层
1. 定义：当流体流过固体壁面时,由于流体粘性的作用,使得在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的流体薄层称为流动边界层或速度边界层。
传Байду номын сангаас学
对流传热微分方程组边界层理论
一、对流传热微分方程组
二维、常物性、不可压缩流体对流传热问题
对流传热微分方程式
hx
t t w t y
y 0, x
2t t t t 2t c p 能量微分方程 u x y x 2 y 2 u 0 连续性方程 x y u u u p 2u 2u u ) Fx ( 2 2 ) x方向动量微分方程（ x y x x y
三、温度边界层（热边界层）
1. 定义：在对流传热时，固体壁面附近温度发生剧烈变化的流体薄层称为温度边界层或热边界层。
2. 温度边界层厚度δ t的规定：
过余温度等于主流区流体的过余温度的99%。
t t w
t
99%t t w
3. 特点：
温度边界层厚度δt也是比壁面尺度 l 小一个数量级以上的小量即 δt << l。
2. 速度边界层厚度δ 的规定：速度等于主流速度的99%。
3. 特点：
边界层厚度δ是比壁面尺度l 小一个数量级以上的小量，即δ<< l。
如：20℃空气在平板上以16m/s 的速度流动，在1m处边界层的厚度约为5mm。
5
cm 4
3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

高等工程流体力学-边界层的基本概念

vx v
，y
yv
，
v
第七章不可压缩流体的二维边界层
18
第四节紊流边界层的速度分布
其中，v w / 为壁面摩擦速度，由柏金汉
定理可得
vx
vx v
F(y,)
（7-18）
对水力光滑壁面，内层区域（y≤0.2δ）的粘
性底层[0 ≤ y+ ≤ （5~10）]，速度分布
或
vx y
（7-19a）（直线分布）
第一节边界层的基本概念
一、边界层的基本特征二、边界层位移厚度和动量损失厚度三、紊流边界层的分层结构四、紊流猝发现象
1
一、边界层的基本特征
边界层的特性
边界层很薄；边界层厚度随来流方向逐渐增厚；沿壁面法向速度梯度很大，黏性力不能忽
略，边界层内的流动是有旋的；边界层内任一横截面上的压强都相等，等
10
第三节二维边界层动量积分方程
将乘以Ue(x)第一式连续方程，整理得
(Uevx ) x
(Uevy ) y
vx
dU e dx
（7-14a）
注意到连续方程和 vx ，可将第二式边
界层方程改写为
y
vx2 x
(vxvy ) y
Ue
dU e dx
1
y
（7-14b）
第七章不可压缩流体的二维边界层
第七章不可压缩流体的二维边界层
17
第四节紊流边界层的速度分布
一、内层速度分布——壁面律
（1）在内层区域时，速度 vx 应依赖于壁面切应力τw、流体密度ρ、动力黏度μ、离开壁面的垂直距离y和壁面粗糙度Δ，根据柏金汉的π定理，在基本量纲M-L-T中，将上述6个物理量存在3个无量纲组合量：

边界层理论及其近似

z
v x
u y
u y
o
5/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
u
L t
ue ,
v u,
v
t
L / ue
L ue,
v ue
1 Re
（3）压强与外流速度的平方成正比
p ue2
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
19/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组各项量级比较:
u v 0 x y
ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
陆士嘉
16/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
1. 边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结
为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空气流过翼型的物理图画：

第11章边界层理论详解

第11章边界层理论（Boundary Layer ~）课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？本章内容：1.边界层基本概念2.边界层基本微分方程3.边界层动量方程4.边界层排挤厚度和动量损失厚度5.平板层流边界层6.平板湍流边界层7.平板混合边界层8. 船体摩擦阻力计算9.曲面边界层分离现象形状阻力10. 绕流物体的阻力11.减少粘性阻力的方法§11-1 边界层的概念N-S方程理论上完备但求解困难。

解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。

高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。

1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。

从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。

均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。

边界层：均匀来流速度平板上u=0边界层内粘性力不可忽略这一薄层内速度梯度很大yvx∂∂与来流速度相同的量级,U99％边界层外边界U99％外边界上流速达到U99％的边界层名义厚度点到物面的法向距离。

边界层厚度根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层二、边界层外部区域边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。

这一薄层内速度梯度很大。

xv y ∂∂边界层内的流动是有旋流动1()2y x x z v v v x y yω∂∂∂=-=-∂∂∂重要推论：（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力：即：P1=P2=PP2PP1x（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。

边界层运动微分方程

对于长为L，宽为b的平板，其一侧的摩擦阻力为：
边界层方程的精确解
故可得：
ux ( ) u0
或
ux u0 ( )
2-207
变由此可见，通过引进量纲为一的变量ƞ，已使两个独立自量x,y合二为一。考虑到流函数ѱ与两个因变量ux与uy有关，但 ѱ是有量纲的，故还需寻找一个量纲为一的流函数将ux和uy统
一起来。
前已知，流函数的定义式为：
2
2-221
式（2-221）是一恒等式，因其右侧为零，故左侧多项式中各项的系数均为零，得：
2a3 0，
由此可得：
a3 0，
2a4 0，
a4 0，
2 a2 2a5 0， ...
2-222 2-223
2 a2 a5 ， ... 2
边界层方程的精确解
式（2-223）表明，除了为零得系数以外，所有非零项系数均可表达为a2的函数。将各系数代入式（2-219），得：
则N-S方程可以简化为如下形式：
u x u x u x 1 p 2u x 2u x ux uy 2 2 x y x x y
u y
2 2 u uy 1 p y ux uy 2 2 x y y x y
2 2 2 u0 u0 u0 f f (f f ) f f 2x 2x x
2-216
经简化后，得关于f(ƞ)的微分方程为：
ff 2 f 0
2-217
边界层方程的精确解
相应的边界条件变为：
边界条件
0
f f0 f 1
将式（2-211）代入式（2-212）得：

边界层ns方程

边界层ns方程
边界层是指在流体中，由于黏性效应的存在，流速在靠近壁面时会逐渐减小，最终趋向于零的区域。

在边界层区域内，液体或气体的物理量（如速度、温度、密度等）发生了明显的变化。

为了研究边界层内的流动和传热现象，工程和科学界采用了一种称为边界层方程的数学模型。

边界层方程可以用来描述流体的运动和热传递，使得我们能够深入理解流体的行为以及壁面附近的物理现象。

边界层方程又称为Navier-Stokes方程（NS方程），是描述流体运动的最基本方程之一。

NS方程基于质量守恒、动量守恒和能量守恒原理，通过标量、矢量和张量运算构成，可以描述流体内部的速度、压力、密度和温度等物理量的变化规律。

这些物理量之间相互耦合，在描述时需要考虑彼此之间的相互作用和影响，因此边界层方程的求解往往非常复杂。

为了获得精确的解析结果，研究者还需要考虑边界条件和物体形状等因素的影响。