边界层方程为
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（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。
第5章 边界层理论及其近似
5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征
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5.1 边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:
1
2
ue2
eue
3
1 2
0
ue2u
u3
dy
3
0
u eue
1
u2 ue2
dy
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5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
1
0
1
u ue
dy
2
0
u ue
1
u ue
dy
3
0
u ue
1
u2 ue2
dy
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5.1、边界层近似及其特征
多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 1 ，其流量写
为 eue1 ，从而
eue1 eue udy
0
1
0
1
u eue
dy
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。
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5.1、边界层近似及其特征
0
2
0
u eue
1
u ue
dy
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（c）边界层能量损失厚度
边界层内实际流体通过的动能为：
1 u 2udy
02
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动能为：
1
2
ue2
0
udy
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用δ表示。
位流区
δ
粘流区
（2）边界层的有涡性
粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：
z
v x
u y
u y
o
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5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力 学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
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5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。
对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
A U
L2
由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2 U L2
1
L Re
由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。
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5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，
实际流体通过的质量流量为:
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影 响，按位势流理论处理。
（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄
层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作
有旋运动。
位流区
粘流区
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5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主
• 惯性力：
FJ
m dV dt
L3 V
t
L2V 2
• 粘性力：
F
dV dy
A
VL
• 惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV Re
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
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5.1 边界层近似及其特征
理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就 是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。
ue u
而在 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
eue 0 eue dy 其中，ue 为边界层外缘速度。
上述两部份流量之差是：
0 (eueu)dy
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5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度ຫໍສະໝຸດ Baidu动时比实际流量多出来的值,这些
（5）几点说明
（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边 界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被 流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言 ，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。
U∞
ue
u
δ
此外在许多情况下对于ue 和 U∞ 往往不加以严格区别
第5章 边界层理论及其近似
5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征
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5.1 边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:
1
2
ue2
eue
3
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ue2u
u3
dy
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u eue
1
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5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
1
0
1
u ue
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u ue
1
u ue
dy
3
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u ue
1
u2 ue2
dy
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5.1、边界层近似及其特征
多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 1 ，其流量写
为 eue1 ，从而
eue1 eue udy
0
1
0
1
u eue
dy
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。
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5.1、边界层近似及其特征
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u eue
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u ue
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（c）边界层能量损失厚度
边界层内实际流体通过的动能为：
1 u 2udy
02
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动能为：
1
2
ue2
0
udy
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用δ表示。
位流区
δ
粘流区
（2）边界层的有涡性
粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：
z
v x
u y
u y
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5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力 学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
3/67
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5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。
对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
A U
L2
由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2 U L2
1
L Re
由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。
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5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，
实际流体通过的质量流量为:
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影 响，按位势流理论处理。
（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄
层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作
有旋运动。
位流区
粘流区
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5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主
• 惯性力：
FJ
m dV dt
L3 V
t
L2V 2
• 粘性力：
F
dV dy
A
VL
• 惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV Re
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
2/67
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5.1 边界层近似及其特征
理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就 是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。
ue u
而在 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
eue 0 eue dy 其中，ue 为边界层外缘速度。
上述两部份流量之差是：
0 (eueu)dy
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5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度ຫໍສະໝຸດ Baidu动时比实际流量多出来的值,这些
（5）几点说明
（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边 界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被 流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言 ，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。
U∞
ue
u
δ
此外在许多情况下对于ue 和 U∞ 往往不加以严格区别