频率特性法
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频率特性法
§5-2
一、幅相频率特性
1、代数形式
频率特性表达方法
即极坐标图，也称为 Nyquist 图
G( j) P() jQ()
2、指数形式
由G ( j ) A( )e j ( )
3、幅相特性表示法 极坐标图形式
二、对数频率特性 即 Bode 图
G ( j ) A( )e j ( ) A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) P ( )
对数幅频特性绘在以 10 为底的对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示
L() 20lg A()
纵轴是 L(w)，横轴实际上是 lgw，由于是用 w 标注，所以又转化成 w 的值，这使得每一单位 的 w 增加量为 10 倍，这 10 倍频记为 dec。横轴的起点不为 0。.
§5-3
一、比例环节
2 2
1 T
1
L( ) 20 lg A( ) 20 log 1 20 lg (1 2T 2 ) (2T ) 2
六、时滞环节或延迟环节
传递函数 : G ( s) e s j 频率特性 : G ( j )e 幅频特性 : A( ) 1 相频特性 : ( ) G ( j ) cos j sin e j cos j sin G ( j ) 1
积分环节的对数频率特性
四、微分环节
G (s) s G ( j ) j 代数式 G ( j ) j 0 j 指数式 G ( j ) j 90
L( w) 20 lg | G( jw) | 20 lg w G( jw) 90
理想微分环节的副相频率特性
五、振荡环节(0<§<1)
§5-2 频率特性的几种表示方法
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
...
0
2
1
0.01
0 .1
幅值 1
A( )
1.26
2
1.56
4
2.00
6
2.51
83.1610来自5.621510.0
20
增益 0
5
使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。 三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
第二节 频率特性的几种表示方法
1
频率特性可以写成复数形式： ( j ) P( ) jQ( ) ，也可 G 以写成指数形式：G( j ) | G( j ) | G( j )。其中，P ( ) 为实 频特性， ( ) 为虚频特性； G ( j ) |为幅频特性， G ( j ) 为相频 Q | 特性。 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
第五章 频率特性法 (2)
1 1
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
频率特性法实验报告
一、实验目的1. 了解频率特性法的基本原理和测试方法。
2. 掌握用频率特性法分析系统性能的方法。
3. 熟悉实验仪器和实验步骤。
二、实验原理频率特性法是控制系统分析和设计的重要方法之一。
它通过研究系统在正弦信号作用下的稳态响应，来分析系统的动态性能和稳态性能。
频率特性主要包括幅频特性和相频特性，它们分别反映了系统在正弦信号作用下的幅值和相位变化规律。
三、实验仪器与设备1. 微型计算机2. 自动控制实验教学系统软件3. 超低频信号发生器4. 示波器5. 信号调理器6. 被测系统（如二阶系统、三阶系统等）四、实验内容与步骤1. 实验内容（1）测量被测系统的幅频特性（2）测量被测系统的相频特性（3）绘制幅频特性曲线和相频特性曲线（4）分析系统性能2. 实验步骤（1）连接实验电路，确保各设备正常工作。
（2）使用超低频信号发生器产生正弦信号，频率范围可根据被测系统特性选择。
（3）将信号发生器的输出信号送入被测系统，同时将信号发生器和被测系统的输出信号送入示波器。
（4）调整信号发生器的频率，记录不同频率下被测系统的输出幅值和相位。
（5）将实验数据输入计算机，利用自动控制实验教学系统软件进行数据处理和绘图。
（6）分析系统性能，包括系统稳定性、动态性能和稳态性能。
五、实验结果与分析1. 幅频特性曲线根据实验数据，绘制被测系统的幅频特性曲线。
从曲线中可以看出，随着频率的增加，系统的幅值逐渐减小，并在一定频率范围内出现峰值。
峰值频率对应系统的谐振频率，峰值幅度对应系统的谐振增益。
2. 相频特性曲线根据实验数据，绘制被测系统的相频特性曲线。
从曲线中可以看出，随着频率的增加，系统的相位逐渐变化，并在一定频率范围内出现相位滞后或相位超前。
3. 系统性能分析根据幅频特性和相频特性曲线，可以分析被测系统的性能。
（1）稳定性分析：通过分析相频特性曲线，可以判断系统是否稳定。
如果系统在所有频率范围内都满足相位裕度和幅值裕度要求，则系统稳定。
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
第五章 频率特性法
-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
03频率特性法——奈氏图和伯德图画法
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
i 1
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。
相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。
2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；
遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解： 典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H (s)
40(0.5s 1) s(2s 1)( 1 s 1)
30
其对应的频率特性表达式为
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
伯德图画法详解
重点 掌握
系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
分析开环系统 G(s)H(s)的零点 都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆 时针包围（-1，j0）点R圈。 若 R=P （右半平面极点个数即正 实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：
正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时从下向上穿越－180°线； 负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
5-1 频域：频率特性法
jφ (ω )
b m (jω ) m b m1 (jω ) m1 b1 (jω ) b m a n (jω ) n a n 1 (jω ) n 1 a 1 (jω ) a n
U(ω ) jV(ω )
4
G ( j )
C ( j ) R ( j )
5－1
频率特性(FC)
一、频率特性的定义：
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之 比。一般用G(j)表示。
r (t ) rm sin t
c (t ) c m sin( t )
rm
t
cm
控制系统
t
R
Hale Waihona Puke r (t )i (t )
C
c (t )
1
R
设
ur (t ) A sin t 求
3
根据传递函数求取频率特性:
R(s)
G (s)
C s
传递函数:
C(s) b m s m b m1s m1 b1s b 0 G(s) R(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
频率特性: （s=j）
G(jω ) A(ω )e C(jω ) R(jω )
A( )e j ( ) U ( ) jV ( )
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 U（）—— 实频特性； G ( j ) jV V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
uc (t )
b m (jω ) m b m1 (jω ) m1 b1 (jω ) b m a n (jω ) n a n 1 (jω ) n 1 a 1 (jω ) a n
U(ω ) jV(ω )
4
G ( j )
C ( j ) R ( j )
5－1
频率特性(FC)
一、频率特性的定义：
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之 比。一般用G(j)表示。
r (t ) rm sin t
c (t ) c m sin( t )
rm
t
cm
控制系统
t
R
Hale Waihona Puke r (t )i (t )
C
c (t )
1
R
设
ur (t ) A sin t 求
3
根据传递函数求取频率特性:
R(s)
G (s)
C s
传递函数:
C(s) b m s m b m1s m1 b1s b 0 G(s) R(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
频率特性: （s=j）
G(jω ) A(ω )e C(jω ) R(jω )
A( )e j ( ) U ( ) jV ( )
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 U（）—— 实频特性； G ( j ) jV V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
uc (t )
用频率特性法分析系统稳定性
相角变化量为p180o ，系统是稳定的。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
(c) ω=0+
Im
υ=3
-1 ω=∞ ω=0
0
Re
修正
-3π2
(d) ω=0+
π 2
Im
υ=1 p=1
ω=∞
ω=0
-1 0 Re
修正
相角变化量为p180o ，系统是稳定的。 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
第五章 频率特性法
第四节 用频率特性法分析 系统稳定性
用频率法分析系统的稳定性,是根 据系统的开环频率特性来判断闭环系统 的稳定性，还可以确定系统的相对稳定 性。根据开环频率特性判断闭环系统的 稳定性，首先要找到开环频率特性和闭 环特征式之间的关系。
第五章 频率特性法
一、开环频率特性和闭环特征式的关系 二、相角变化量和系统稳定性的关系 三、奈奎斯特稳定判椐 四、含有积分环节的奈氏判椐 五、对数频率稳定判椐 六、系统的相对稳定性及稳定裕量
作业习题： 5-7 5-17
返回
例 已知系统开环传递函数试判断闭环
解：A系系(ω统统)=开ω的环稳1+频定(ωK率性T)特2。性：G(修s)正H奈(s氏)=ω曲s=(T0线+sK-I：1m)
φ (ω )=-90o-tg-1ω-1T
υ=1
特殊点：ω=0+
ω=∞
A(ω )=∞ φ (ω )=-270o ω=0 -1 0 Re
ω=∞ A(ω )=0 φ (ω )=-180o
当ω=0 →∞
p/2圈
G(jω)H(jω)曲线逆时针方向绕(-1,j0)点
闭环系统稳定 否则不稳定
第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据
c
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c
c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c
c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
频率特性法
斜率
1 10
lg ω ω
-20dB/dec
10
ω
对数频率特性曲线又称伯德图.
第一节 频率特性的基本概念
作业习题：
5-1 (1)
返回
第五章 频率数学模型是频率特性 。通过对系统频率特性的分析来分析和 设计控制系统的性能。
一、频率特性的定义 二、频率特性的几何表示法
第一节 频率特性的基本概念
-j t j ω ωt r(t)=Asin+A e ω t c [t→∞ 系统的稳态响应为)|sin ω t+ G(j 1 e 系统结构图如图:s(t)=limc(t)=A 2 cs(t)=A|G(j ω R(s)ω)] C(s) G(S) ω A 设系统传递函数为 求待定系数: A1=G(s)s2+ 2 (s+j ω) s=-j ω 系统正弦信号作用下的稳态输出是与 U(s) ω A ω G(s)= (s-s )(s-s )·(s-s ) 特征方程的根 -j G(jω R(s)=s2)+ 2 · n 1 2 · ω 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 ω)| A = A|G(j e =G(-j -2j ω) ω U(s) A -2j 值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位 C(s)=G(s)R(s)= (s-s )(s-s )·(s-s ) · + 2 · j n ωs2 ω 1 2 · G(j ) 差为∠G(jAG(j AA =nA|G(j )|e ω)。 Bi ω ω) 2 A 同理: = 2= 1 + 2j +∑ 2j s+j s-jω i=1 s–siG(jω) ω -j ωt ω j[ω t+ωG(jω)] j-j[ n 根据 G(-j )=|G(j-j )|e ω tω t+ G(jω)] t 拉氏反 e e +A -ee +∑ B esi cs(t)=A|G(j c(t)=A1 ω)| i 2 2j 变换得: i=1
第五章 频率法
二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
频率特性法
1
=0
纯微分 j
G(s) s G( j) 0 j e 2
∠ G(j) | G(j)| U() V ()
0
9 0º 0
0
0
1
90º 1
0
1
∞
90º ∞
0
∞
相位超前90° 低频衰减 高频放大
=∞ Im
=0
Re
一阶微分
G(s) 1 s G( j) 1 j 12 2e jarctan
j2T
G( j)
arctan
1
2T 2T
2
180
arctan
2T 2T 2 1
1
T
1
T
| G( j) |
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
振荡环节2
U ()
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
V ()
1 2T 2
V(
)=
T
T 2 2
1
频率特性与传递函数
频率特性G(j)
j
j
s s
传递函数G(s)
d
dt d
dt
微分方程பைடு நூலகம்
0 1/T ∞ Im =∞
0.5
惯性环节
∠ G(j) | G(j)| U()
0º -45º -90º
1
1
0.707 0.5
0
0
V ()
0 0.5 0
0.5
∠G(j)
5.2典型环节频率特性
5.2.1极坐标图（奈氏图）
G(j)=| G(j)|∠ G(j)=U()+jV ()
频率特性法-奈氏图和伯德图画法
基本原理
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
自动控制原理第五章--频率法
G(s) s G(s) 1 Ts
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
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第三节 用实验法确定系统传递函数
一、用实验法确定系统的伯德图
若线性系统是稳定的，可用实验的方 法获得其伯徳图，具体步骤如下： 12. .在用规斜定率的为频0率dB范/d围e内c、，±给2被0d测B系/de统c施、
加±不40同dB频/d率e的c等正的弦直信线号近，似并被相测应对地数测 量幅出频系特统性的曲稳线态，输得出到幅系值统和的相对位数值幅， 据频此特作性出曲系线统的的渐对近数线幅。频特性和相频 特性曲线。
第三节 用实验法确定系统传递函数
确定增益 K的几种方法
1. υ = 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 L(ω)=20lgK=χ
L(ω)/dB
x
-20dB/dec
20lgK
-40dB/dec
0
ωc ω
χ
即
K=10 20
第三节 用实验法确定系统传递函数
2. υ = 1
系统的伯德图：
L(ω)/dB
ω=1
L(ω)=20lgK
0
低频段的曲线与横
轴相交点的频率为ω0
因为
0-20lgK lgω0-lg1
=-40
故
-40dB/dec -20dB/dec
1 ω0 ωc ω
-40dB/dec
20lgK=40lgω0 K=ω02
例：求如图所示最小相位系统的传递函数。
dB
40
dB/dec
20
-20dB/dec
G1 (
j )
1 1
jT jT1
G2 (
j )
1 1
jT jT1
L1( ) 20 lg
1 2T 2 1 2T12
1() arctgT acrtgT1
L2 ( ) 20lg
1 2T 2 1 2T12
2 () arctgT acrtgT1
arctg[(T T1) / (1 2TT1)] arctg[(T T1) / (1 2TT1)]
2ω0
的最高次数分别为m和n，则时，相频特性()
-(n-m)90°。非最小相角系统不满足此条件。
例：设两个传递函数分别为
1 Ts
1 Ts
G1(s) 1 T1s , G2 (s) 1 T1s ,
试比较两者的频率特性。
(T1 T 0)
解：很显然，G1(s)是最小相角系统，G2(s)是非最小相角系统。
3、根据伯德图确定最小相位系统传递函数
1)根据低频段的对数幅频曲线渐近线或其斜率大
小，确定增益 K =L(1)。
2)根据对数幅频曲线渐近线的转折，确定转折频 率（相应环节的时间常数）和斜率。 3）根据斜率变化大小，确定相应的典型环节类 型。 4）当斜率变化为－40dB/dec时，对应的环节 可能为振荡环节，也可能为重惯性环节。需要根 据相应转折频率附件是否存在谐振现象进一步确 定。
12
4.2( s 1) G(s) 0.5
s2( 1 s 1)
50.4(2s 1) s2 (s 12)
12
第三节 用实验法确定系统传递函数
例 已知采用积分控制液位系统的结构
和对数频率特性曲线,试求系统的传
递函数。
L(ω)/dB
20
1
4
0
-20dB/dec -20
φ(ω)
hr(t)
1
-S
K h(t) Ts+1
20lgK
-20dB/dec
L(ω)=20lgK
ω0
0 1 ω1 ωc
ω
低频段的曲线与横
-40dB/dec
轴相交点的频率为ω0
因为
0-20lgK lgω0-lg1
=-20
故
20lgK=20lgω0 K=ω0
第三节 用实验法确定系统传递函数
3. υ = 2
系统的伯德图：
L(ω)/dB
ω=1
20lgK
arctg[(T T1) / ] / (1/ 2 TT1) arctg[(T T1) / ] / (1/ 2 TT1)
dB 0 0.01
-20 0
°
-90°
-180°
0.1
1
10
-20dB/dec
最小相角系统的 相频曲线
非最小相角系统的 相频曲线
Bode图（T1=10， T=1）
第三节 用实验法确定系统传递函数
2、特点
1）对于最小相角系统，其幅频特性和相频特性直接 关联，即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对 应，反之亦然。
对于最小相角系统，只要根据对数幅频曲线就可以写 出系统的传递函数。
2）若两个系统的幅频特性相同，则>0时，最小相
角系统的相角变化小于非最小相角系统的相角。
3）对于最小相角系统，若其传递函数的分子和分母
12.5 0 0.1 0.5 1
12
10
100
-20
-40dB/dec
-40 某最小相角系统的对数幅频曲线
解：因为最左端直线的斜率为：-40dB/dec 1
系统传递函数中有两个积分环节： s2
=1时，最左端直线的延长线的纵坐标为L(1)=12.5dB
20lgK=L(1)=12.5, K10^0.625=4.2。
20lgK=L(1)=0,
ω
-40dB/dec
解:
K=1;
1=1/T1=1
0
ω
2=1/T2=4
-90 -180
φ(s)=
1 (S+1) (S/4+1)
第三节 用实验法确定系统传递函数
例 由实测数据作出系统的伯德图如图
所示，试求系统的传递函数。
解: 由图可得：
L(ω ) dB
由2频0l率gM曲r=线3d得B
（也可以根据c确定K: 20lgK-40lg c+20lg2 c =0）
=0.5时，直线的斜率由：-40dB/dec-20dB/dec
系统传递函数中有一个一阶微分环节：
1 0.5
s
1
=12时，直线的斜率由：-20dB/dec-40dB/dec
1
系统传递函数中有一个惯性环节： 1
s1
系统传递函数为： 1
40
GζωM(1s根n=)rK==±=据2=1sω02.(4.Tω02901.=222==r35=12ω(ζ.ωsζ0112n6(+n122)12=02-ζ1=s=±.+-13202ζ108.0)2s2.+得5318：)
20 0
-20
0 -90
φ
-40dB/dec -20dB/dec 3dB
0.5
(ω )
第三节 用实验法确定系统传递函数
对一系统实测得到的频率特性曲线如图
近似后 得到的 渐近线:
相频特 性曲线:
L(ω)/dB
40
-20dB/dec
20
-40dB/dec
0 -20
φ(ω)
2
10 ω
-60dB/dec
0
ω
-90
-180
-270
二、根据伯德图确定传递函数
1、最小相角系统和非最小相角系统
一个开环稳定系统，若其在右半s平面无零点， 称为最小相角系统（最小相位系统）；否则，称为 非最小相角系统（非最小相位系统）。
一、用实验法确定系统的伯德图
若线性系统是稳定的，可用实验的方 法获得其伯徳图，具体步骤如下： 12. .在用规斜定率的为频0率dB范/d围e内c、，±给2被0d测B系/de统c施、
加±不40同dB频/d率e的c等正的弦直信线号近，似并被相测应对地数测 量幅出频系特统性的曲稳线态，输得出到幅系值统和的相对位数值幅， 据频此特作性出曲系线统的的渐对近数线幅。频特性和相频 特性曲线。
第三节 用实验法确定系统传递函数
确定增益 K的几种方法
1. υ = 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 L(ω)=20lgK=χ
L(ω)/dB
x
-20dB/dec
20lgK
-40dB/dec
0
ωc ω
χ
即
K=10 20
第三节 用实验法确定系统传递函数
2. υ = 1
系统的伯德图：
L(ω)/dB
ω=1
L(ω)=20lgK
0
低频段的曲线与横
轴相交点的频率为ω0
因为
0-20lgK lgω0-lg1
=-40
故
-40dB/dec -20dB/dec
1 ω0 ωc ω
-40dB/dec
20lgK=40lgω0 K=ω02
例：求如图所示最小相位系统的传递函数。
dB
40
dB/dec
20
-20dB/dec
G1 (
j )
1 1
jT jT1
G2 (
j )
1 1
jT jT1
L1( ) 20 lg
1 2T 2 1 2T12
1() arctgT acrtgT1
L2 ( ) 20lg
1 2T 2 1 2T12
2 () arctgT acrtgT1
arctg[(T T1) / (1 2TT1)] arctg[(T T1) / (1 2TT1)]
2ω0
的最高次数分别为m和n，则时，相频特性()
-(n-m)90°。非最小相角系统不满足此条件。
例：设两个传递函数分别为
1 Ts
1 Ts
G1(s) 1 T1s , G2 (s) 1 T1s ,
试比较两者的频率特性。
(T1 T 0)
解：很显然，G1(s)是最小相角系统，G2(s)是非最小相角系统。
3、根据伯德图确定最小相位系统传递函数
1)根据低频段的对数幅频曲线渐近线或其斜率大
小，确定增益 K =L(1)。
2)根据对数幅频曲线渐近线的转折，确定转折频 率（相应环节的时间常数）和斜率。 3）根据斜率变化大小，确定相应的典型环节类 型。 4）当斜率变化为－40dB/dec时，对应的环节 可能为振荡环节，也可能为重惯性环节。需要根 据相应转折频率附件是否存在谐振现象进一步确 定。
12
4.2( s 1) G(s) 0.5
s2( 1 s 1)
50.4(2s 1) s2 (s 12)
12
第三节 用实验法确定系统传递函数
例 已知采用积分控制液位系统的结构
和对数频率特性曲线,试求系统的传
递函数。
L(ω)/dB
20
1
4
0
-20dB/dec -20
φ(ω)
hr(t)
1
-S
K h(t) Ts+1
20lgK
-20dB/dec
L(ω)=20lgK
ω0
0 1 ω1 ωc
ω
低频段的曲线与横
-40dB/dec
轴相交点的频率为ω0
因为
0-20lgK lgω0-lg1
=-20
故
20lgK=20lgω0 K=ω0
第三节 用实验法确定系统传递函数
3. υ = 2
系统的伯德图：
L(ω)/dB
ω=1
20lgK
arctg[(T T1) / ] / (1/ 2 TT1) arctg[(T T1) / ] / (1/ 2 TT1)
dB 0 0.01
-20 0
°
-90°
-180°
0.1
1
10
-20dB/dec
最小相角系统的 相频曲线
非最小相角系统的 相频曲线
Bode图（T1=10， T=1）
第三节 用实验法确定系统传递函数
2、特点
1）对于最小相角系统，其幅频特性和相频特性直接 关联，即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对 应，反之亦然。
对于最小相角系统，只要根据对数幅频曲线就可以写 出系统的传递函数。
2）若两个系统的幅频特性相同，则>0时，最小相
角系统的相角变化小于非最小相角系统的相角。
3）对于最小相角系统，若其传递函数的分子和分母
12.5 0 0.1 0.5 1
12
10
100
-20
-40dB/dec
-40 某最小相角系统的对数幅频曲线
解：因为最左端直线的斜率为：-40dB/dec 1
系统传递函数中有两个积分环节： s2
=1时，最左端直线的延长线的纵坐标为L(1)=12.5dB
20lgK=L(1)=12.5, K10^0.625=4.2。
20lgK=L(1)=0,
ω
-40dB/dec
解:
K=1;
1=1/T1=1
0
ω
2=1/T2=4
-90 -180
φ(s)=
1 (S+1) (S/4+1)
第三节 用实验法确定系统传递函数
例 由实测数据作出系统的伯德图如图
所示，试求系统的传递函数。
解: 由图可得：
L(ω ) dB
由2频0l率gM曲r=线3d得B
（也可以根据c确定K: 20lgK-40lg c+20lg2 c =0）
=0.5时，直线的斜率由：-40dB/dec-20dB/dec
系统传递函数中有一个一阶微分环节：
1 0.5
s
1
=12时，直线的斜率由：-20dB/dec-40dB/dec
1
系统传递函数中有一个惯性环节： 1
s1
系统传递函数为： 1
40
GζωM(1s根n=)rK==±=据2=1sω02.(4.Tω02901.=222==r35=12ω(ζ.ωsζ0112n6(+n122)12=02-ζ1=s=±.+-13202ζ108.0)2s2.+得5318：)
20 0
-20
0 -90
φ
-40dB/dec -20dB/dec 3dB
0.5
(ω )
第三节 用实验法确定系统传递函数
对一系统实测得到的频率特性曲线如图
近似后 得到的 渐近线:
相频特 性曲线:
L(ω)/dB
40
-20dB/dec
20
-40dB/dec
0 -20
φ(ω)
2
10 ω
-60dB/dec
0
ω
-90
-180
-270
二、根据伯德图确定传递函数
1、最小相角系统和非最小相角系统
一个开环稳定系统，若其在右半s平面无零点， 称为最小相角系统（最小相位系统）；否则，称为 非最小相角系统（非最小相位系统）。