【2014】希望杯竞赛数学试题详解(61-70题)

【希望杯竞赛题】61-70

题61 设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +3

2

y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交

于

点P ，则点P 的轨迹方程是 ．

（第十二届高二培训题第47

题）

解 设直线y =b kx +与椭圆72x +3

2y =1相切，则二次方程72x +()132

=+b kx ，即

()0

217147322

2

=-+++b kbx x

k 有两个相等实根，其判别式

()()()2

22144377210kb k b ∆=-+-=，解得22273,73k b k b +±=+= ．因此斜率

为k 的椭圆的切线有两条：2

73k kx y +±=①，与其中每条垂直的切线也各有两条：

27

3k

k x y +±-

=②；另有与x 轴垂直的切线两条：7±=x ，与其中每条垂直的切线又各有两条：3±=y ．

由①、②得()kx y -2=2

73k +③，22

73k k x y +=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+④，④式即()7

322+=+k x ky ⑤．③+⑤得

()()()

,1101122222

+=+++k y k x k

即1022=+y x ⑥．又点

(

)(

)()()

3,7,3,7,3,7,

3,7----都适合方程⑥．故点P 的轨迹方程为

1022=+y x ．

评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题．解题的关键有两个：如何设两条动切线方程与如何消去参数．当切线的斜率存在时，我们可设其方程为b kx y +=，此时出现两个参数k 与b ，由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解，故由二次方程有等根的条件得2

73k b +±=（这与事实一致：斜率为k 的椭圆的切线应当有两条），从而切线方程为2

73k kx y +±=，那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的

k 换成k

1

-

所得方程，即273k k x y +±-=．此时突破了第一关．下面是否通过解方程组

得交点轨迹的参数方程，然后再消参得所求轨迹方程呢？想象中就是非常繁琐的．上面题解

中的方法充分体现了消参的灵活性，大大简化了解题过程．然而，事情到此并未结束，以上

所设切线方程是以切线有斜率为前提的，是否有不存在斜率的椭圆的切线呢？于是引来了分类讨论，当然，此时只要将几个点的坐标代入所求的方程102

2

=+y x ，看是否适合即可． 拓展 如果留心，我们会发现所求轨迹方程102

2

=+y x 中的10正好是已知椭圆方程

72x +32y =1中的7与3的和．那么，是否将椭圆方程改为+22a x 122

=b

y ，则所求轨迹方程就是2

2

2

2

b a y x +=+了呢？经研究，果真如此．于是我们得到

定理1 设直线m 、n 都是椭圆+22a x 122

=b

y 的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，则点

P 的轨迹方程是2

2

2

2

b a y x +=+．

证明 设l kx y +=为椭圆的切线,由2222

1y kx l

x y a b =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩,

得01212222222=-++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b l x b lk x b k a ，由0=∆x ，得2

222k a b l +=，所以

222k a b l +±=

，所以两垂直切线为，::m y kx

x n y k ⎧=±⎪

⎨

=-±⎪⎩

另有四对：b y n a x m ±=±=:,:,①式变为2

2

2

2

)(k

a b kx y +=-③，②式变为

2222)(k b a ky x +=+④．③+④得2222b a y x +=+．特殊四对垂线的交点坐标也都适合

⑤，故P 点的轨迹方程为2

2

2

2

b a y x +=+．

若将定理1中的椭圆改为双曲线，是否也有相类似的什么结论呢？为了证明定理2，先

引进两个引理．

引理1 若双曲线12222=-b y a x 的切线的斜率k 存在，则|k |b

a >．

证明 对于12222=-b

y a x 两边取x 的导数知,)(22'

y a x b x y =∴双

曲线上任意一点P （00,y x ）)0(0≠y 处切线的斜率k 有

①, ②,

|k |=|)(0'

x y |=||0022y x a b ①，又 b a y x x a b y y >∴=<|||,|||||00010，代入①得|k | b

a

>．

引理2 如果双曲线122

22=-b

y a x 有b a ≤，则不存在垂直切线．

证明 假设双曲线存在两条垂直切线，则这两条切线必然都存在斜率，斜率分别记为1k ，

2k ，由引理1知|k 1|b a >,|2k |b

a >,11||2221≥>=∴a

b k k ,即1>1,矛盾,所以不存在垂直

切线．

定理2 设直线n m ,都是双曲线)(122

22b a b

y a x >=-的切线，且n m ⊥，n m ,交于点P ，

则点P 的轨迹方程为2

2

2

2

b a y x -=+．

证明 当一条切线的斜率不存在时，该切线必然经过双曲线实轴上的顶点，这时另一条

垂直切线不存在．已知n m ,是垂直切线，所以斜率必然都存在．

设l kx y +=为双曲线的切线，则由 22

221

y kx l x y a

b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得012)1(22

22

222=----b l x b lk x b k a ①，由引理1知|k |b a >，所以222b k a >，所以01222≠-b k a 且02

22>-b k a ．由①中

0=∆x ，得2

222222,b k a l b k a l -±=∴-=，两条垂直切线

为::m y kx x n y k ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩

变形为22222222

()()y kx a k b yk x a k b

⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ ④+⑤得2222b a y x -=+，即为点P 的轨迹方程．

将定理1、2中的椭圆、双曲线改为抛物线，我们又可以得到

定理3 抛物线)0(22

>=p px y 的两条互相垂直的切线n m ,的交点M 的轨迹方程为

2

p x -

=． 证明 当其中一条切线过抛物线顶点时，另一条垂直的切线不存在，已知n m ,是垂直切线，所以斜率必然都存在．

②,

③,

④, ⑤,