圆与圆的位置关系

精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第一部分知识梳理

一.直线与圆的位置关系

1.直线与圆的三种位置关系

如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：

（1）直线l和⊙O相离⇔d r

>

此时：直线和圆没有公共点．

（2）直线l和⊙O相切⇔d r

=

.

（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.

证明直线是圆的切线的两种情况:

（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径

长”来判定直线与圆相切.

（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”.

二.圆与圆的位置关系

1.圆与圆的五种位置关系

在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、

（

（

（

（

（

2.

注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.

3.相交两圆的性质

相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲

例1如图，已知Rt ABC

∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4

（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？

（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？

（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.

. 已知Rt ABC

∆中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B.

（1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.

（2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.

例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且

求证：直线AB是⊙O的切线．

出题意图：考查切线的判定定理.

解析：欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OC⊥AB即可.

答案：

∵

∴

∴

∴

例3

BC=5

y

∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，

∴AB＝x＋y，BC＝y＋z，CA＝z＋x.

根据题意，得关于x、y、z的方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+=+653x z z y y x 解得

⎪⎩

⎪

⎨⎧===142z y x

∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练3

如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：例4. ∴∴1

已知1和2O 相交于122别交1O 于点C 、D. 求证：AC BD =

例5如图，1O 与2O 内切于点P ，经过1O 上点Q 的切线与2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交2O 于点R.

求证：RA RB =

出题意图：考查相切两圆的性质.

解析：利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P ，然后利用圆中的相关知识即可解答. 2O 内切于点

∴经过点P

∴1O 相切与点

5

1O 与2O 外切于点，经过1O 上点2O 相交于PQ 2O 于点R. 例6上，1O 、2O 外切于点P.1O 与2O 与AC AB 相离. （1（2）设O 的半径长为

定义域.

出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用

解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意.

答案：

解：（1）联结1O D

1O 与AB 相切于点D

DP ∴∥AC

（2）联结2O E ，则2O E AC ⊥，作AH BC ⊥于H. 当1O 与AC 当2O 与AB 在∆（1（2.

1. A.B.C.D.过直径的端点且与该直径垂直的直线.

2.已知O 的直径等于12cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与O 的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

3.

1O 的半径为3厘米，2O 的半径为2厘米，圆心距12O O =5厘米，这两圆的位置关系是（）

A.内含

B.内切

C.相交

D.外切

4.已知两圆的直径分别为6cm 和10cm ，当两圆外切时，它们的圆心距d 的大小是（） A.8d cm = B.48cm d cm << C.8d cm > D.4d cm =

5.已知线段AB=3cm ，

A 的半径为4cm ，若A 与

B 相切，则B 的半径为cm.

6.如图，AB 与O 相切于点C ，OA=OB ，若O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是 cm.

7.设与O 的位置关

系是.

8.9.1O 、2O 的半径长分别是，如果1O 与2O 内含，那么圆心距d 的取值范围为.

10.11.已知1O 和2O 的半径为方程和2O 的位置关系.

12.求证：以AB 为直径的与CD 相切.

13.如图，OA=OB=8，OA ⊥OB ，以O 为圆心、OA 为半径作AB ，2O 与以OA 为直径的1O 相切于点E ，与AB 相切于F ，与OB 相切于D ，求2O 的半径长.

14.如图，已知A 是1O 、2O 的一个交点，点P 是12O O 的中点.过点A 的直线MN 垂直于PA ，交1O 、2O 于M 、N.