第3讲回归分析-方差分析
方差分析、主成分分析、相关与回归分析
• 2 确定主成分个数
（1定）值累（计一贡般献采率用：7当0%前以k上个）主表时示成前，分k个则的主保累成留分计累前贡信计k息献个提。取率主了达成原到分始变某。量一多特少的
（2）特征根：一般选取特征根≥1的主成分。
注意的问题
1.首先应当认识到主成分分析方法适用于变量之间存在较强相 关性的数据，如果原始数据相关性较弱，运用主成分分析后不 能起到很好的降维作用，即所得的各个主成分浓缩原始变量信 息的能力差别不大。一般认为当原始数据大部分变量的相关系 数都小于0.3时，运用主成分分析不会取得很好的效果。
.825
.435
.002
.079
-.342
-.083
ENGLISH.074
.276
-.197
Extraction Method: Principal Component Analysis.
（1）根a据. 上6 c述omp计on算ent机s 输ext出rac结te果d.判断选择哪几个主成分（即原始的6个变量要降维
回归分析
(一)一元回归方程:
y=β0+β1x β0为常数项；β1为y对x回归系数，即:x每变动一个单位所 引起的y的平均变动
(二)一元回归分析的步骤
利用样本数据建立回归方程 回归方程的拟和优度检验 回归方程的显著性检验(t检验和F检验) 残差分析 预测
思考
对100名学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语成绩的数据进行主成分分 析，得到如下SPSS输出：
同颜色点的表示 • (5)选择标记变量(label case by): 散点图上
可带有标记变量的值(如:省份名称)
计算相关系数
• (1)作用:
以精确的相关系数(r)体现两个变量间的线性关系程度. r:[-1,+1]; r=1:完全正相关; r=-1:完全负相关; r=0:
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析在统计学中，方差分析和回归分析都是常用的统计方法，用于研究不同变量之间的关系。
虽然两种分析方法的目的和应用领域有所不同，但它们都有助于我们深入理解数据集，并从中获得有关变量之间关系的重要信息。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异的统计方法。
方差分析的主要思想是通过比较组间方差与组内方差的大小来判断样本均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常包括以下几个基本步骤：1. 设置假设：首先我们需要明确研究的问题，并设置相应的零假设和备择假设。
零假设通常表示各组均值相等，备择假设表示各组均值不全相等。
2. 计算统计量：利用方差分析的原理和公式，我们可以计算出F值作为统计量。
F值表示组间均方与组内均方的比值，用于判断样本均值之间的差异是否显著。
3. 判断显著性：通过查找F分布表，我们可以确定相应的拒绝域和临界值。
如果计算出的F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为样本均值存在显著差异。
4. 后续分析：如果方差分析结果显示样本均值存在显著差异，我们可以进行进一步的事后比较分析，比如进行多重比较或构建置信区间。
方差分析广泛应用于生物医学、社会科学、工程等各个领域。
通过方差分析可以帮助我们研究和理解不同组别之间的差异，并对实验设计和数据分析提供重要的指导和支持。
二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于探究自变量与因变量之间关系的统计方法。
回归分析的目标是建立一个可信度高的数学模型，用以解释和预测因变量的变化。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归基于一条直线的关系来建立模型，非线性回归则基于其他曲线或函数形式的关系进行建模。
进行回归分析的主要步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的数据。
确保数据的准确性和完整性。
2. 确定模型：根据数据的特点和研究的目标，选择适当的回归模型。
方差分析与回归分析的原理
方差分析与回归分析的原理方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们都用于研究变量之间的相互关系，但是基于不同的背景和目的，其原理和应用也有所不同。
首先，我们来了解一下方差分析。
方差分析是一种用于比较两个或多个群体均值差异的统计方法。
它基于对总体方差的分解来分析不同因素对群体之间差异的贡献程度。
具体来说，方差分析将总体方差分解为组内变异和组间变异两部分，然后通过计算F统计量来判断组间变异是否显著大于组内变异。
方差分析可以用于很多场景，比如医疗研究中分析不同药物对疾病治疗效果的差异、教育研究中比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
在进行方差分析时，需要明确一个自变量（也称为因素或处理）和一个因变量（也称为响应变量）。
自变量是被研究者主动操作或选择的变量，而因变量是根据自变量的不同取值而发生变化的变量。
方差分析的基本原理是通过对不同组之间的变异进行比较，来判断组间是否存在统计显著差异。
方差分析的核心思想是使用F统计量来判断组间变异与组内变异的比例是否显著大于1。
通过计算F值并与临界值进行比较，可以得出结论是否存在显著差异。
如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，表明不同组之间存在显著差异；如果F值小于临界值，则接受原假设，认为组间差异不显著。
接下来，我们来了解一下回归分析。
回归分析是统计学中用于研究变量之间关系的一种方法。
它研究的是一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析可以用于预测未来趋势、解释变量之间的关系、探究因果关系以及确定主要影响因素等。
回归分析分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是最常用的一种回归方法，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
以一元线性回归为例，我们假设因变量Y可以用一个自变量X的线性函数来表示，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项，代表了未被自变量解释的因素。
通常，回归分析的目标是估计出回归系数的值，并利用这些系数来解释因变量与自变量之间的关系。
方差分析与回归分析
以及浓度和温度的交互作用对产量无显著性影响，也就是说为
了提高产量必须控制好浓度。
2 、双因素无重复试验的方差分析 在双因素试验中,对每一对水平组合只做一次试验,即不 重复实验,得到
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总平方和 误差平方和
例9.3 某化工企业为了提高产量，选了三种不同浓度、四种不同 温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其数据如
下表所示，在显著性水平α=0.05下不同浓度和不同温度以及它们
间的交叉作用对产量有无显著性影响？
B A
A1 A2 A3
B1
14,10 9,7 5,11
B2
11,11 10,8 13,14
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
解: 计算各个水平下的样本均值，得
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计算 ST=106.4, SA=68.4, SE =38.0
单因素试验的方差分析表：
方差来源 平方和 自由度 F值 临界值
显著性
因素A 误差
总计
68.4 4 38.0 10
106.4 14
4.5 F0.05(4,10)=3.48 ※ 4.5 F0.01(4,10)=5.99
变量Y服从正态分布
，即Y的概率密度为
其中
，而 是不依赖于x的常数。
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在n次独立试验中得到观测值（x1,y1）,（x2,y2）,… （xn,yn），利用极大似然估计法估计未知参数a1, a2，… ak,时，
有似然函数
似然函数L取得极大值，上式指数中的平方和
取最小值。
即为了使观测值（xi , yi）(i=1,2,…,n)出现的可能性最大，应当选 择参数a1,a2,…,ak，使得观测值yi与相应的函数值
统计学中的方差分析与回归分析比较
统计学中的方差分析与回归分析比较统计学是以搜集、整理、分析数据的方法为研究对象的一门学科，随着现代科技的不断进步，统计学在许多领域中都扮演着至关重要的角色。
在统计学的研究中，方差分析和回归分析都是两种常见的方法。
然而，这两种方法之间的区别是什么？它们各自的优缺点又是什么呢？本文将就这些问题进行探讨。
一、方差分析是什么？方差分析，也称为ANOVA (analysis of variance)，是一种用于分析各个因素对于某一变量影响力大小的方法。
在统计数据分析中，可能有多个自变量（影响因素），这时我们需要检验这些因素中哪些是显著的，即在该因素下所得的计算值与总计算值之间是否存在显著性差异。
因此，方差分析的基本思想是对总体方差进行分析，检验各个因素是否会对总体造成显著影响。
二、回归分析是什么？回归分析则是研究两个变量之间关系的一种方法。
一个自变量（independent variable）是已知的、独立的变量，一个因变量（dependent variable）是需要预测或解释的变量。
回归分析的主要目的是利用自变量对因变量进行预测，或者解释自变量与因变量之间的关系。
回归分析一般有两种，即简单线性回归和多元回归。
三、方差分析与回归分析的比较1. 适用范围方差分析适用于多个自变量之间的比较；回归分析则适用于对单个因变量的预测。
2. 关心的变量在方差分析中，我们关心的是各个自变量对总体造成的显著影响程度；在回归分析中，我们关心的是自变量与因变量之间的相关性。
3. 变量类型方差分析和回归分析处理的数据类型也不相同。
在方差分析中，自变量通常为分类变量（catogorical variable），而因变量通常为连续量（continuous variable）。
而在回归分析中，自变量和因变量都为连续量。
4. 独立性假设方差分析的独立性假设要求各组之间是相互独立、没有相关的，而回归分析的独立性假设要求各个观测或实验之间是独立的。
表3三元线性回归方程的方差分析90页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
ห้องสมุดไป่ตู้
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
表3三元线性回归方程的方差分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
回归分析与协方差分析
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称 为Y0的1-α预测区间。 若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据 Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0， 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立，
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放 弃原假设H0，式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x 与Y的观测值的决定系数。
2 i
i
yi ;
(2)计算l xx , l xy , l yy ;
(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。
与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE， 称为剩余平方和。
ˆ和 Y ˆ 看作是统计量， 将a、b和SSE以及 Y i 它们的表达式分别为 n
a Y bx , b
( x
i 1
i
2 ˆ ˆ i 之间的偏差 ( y i y i ) 是y i 与y i 1
n
通过回归已经达到了最小值，称为剩余平 方和，记作SSE。
n i 1
2 ˆ 而 ( y i y ) 表示n个ˆ y i 与y之间的差异，
ˆ i 所造成的， 是将x i 代入回归方程得到 y 称为回归平方和，记作SSR。
线性回归分析与方差分析.ppt
若假设Y=a+bx+ 符合实际，则b不应为零 因为如果b=0，则Y=a+ 意味着Y与x无关
所以Y=a+bx是否合理，归结为对假设：
H0: b=0 H1 : b 0
进行检验
下面介绍检验假设H0的二种常用方法.
1．t检验法
若H0成立，即b=0，由定理7.1知，
bˆ
~ N (0,1)
yˆ0 aˆ bˆx0
作为y0的预测值.可以证明
T
y0 yˆ0
~ t(n 2)
n ˆ
n2
1 1 n
(x0 x)2
n
(xi x)2
i1
从而可得
P | T | t (n 2) 1
2
所以，给定置信概率 1 ，Y0的置信区间为
( y0 (x0 ), y0 (x0 ))
其中
第九章 线性回归分析与方差分析
第一节 一元线性回归分析 第二节 可线性化的非线性回归 第三节 多元线性回归简介 第四节 方差分析
第一节 一元线性回归分析
在许多实际问题中，我们常常需要研究多 个变量之间的相互关系。 一般来说，变量之间的关系可分为两类： 一类是确定性关系，确定性关系是指变量之间的关 系可以用函数关系来表达，例如电流I电压V电 阻R之间有关系式V=IR。 另一类是非确定性关系，有些变量之间的关系是非 确定性的关系，这种关系无法用一个精确的函数 式来表示。
直线附近.但各点不完全在一条直线上，这是由于Y
还受到其他一些随机因素的影响.
这样，Y可以看成是由两部分叠加而成，一部
分是x的线性函数a+bx，另一部分是随机因素引起的
误差 ，即
y
Y=a+bx+
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析方差分析与回归分析是统计学中常用的两种分析方法，用来研究变量之间的关系和影响。
本文将分别介绍方差分析和回归分析的基本原理、应用场景以及相关注意事项。
**方差分析**方差分析（ANOVA）是一种用来比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。
它主要用于处理两个或多个组之间的变量差异性比较。
方差分析将总体方差分为组间方差和组内方差，通过比较组间方差与组内方差的大小来判断组间均值是否存在显著差异。
方差分析的应用场景包括但不限于医学研究、实验设计、市场调研等领域。
通过方差分析，研究者可以判断不同组之间是否存在显著差异，从而得出结论或制定决策。
在进行方差分析时，需要注意一些问题。
首先，要确保各组数据符合方差分析的假设，如正态性和方差齐性。
其次，要选择适当的方差分析方法，如单因素方差分析、多因素方差分析等。
最后，要正确解读方差分析结果，避免误解导致错误结论。
**回归分析**回归分析是一种用来研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
通过构建回归方程，可以预测因变量在给定自变量条件下的取值。
回归分析主要包括线性回归和非线性回归两种方法，用于描述自变量与因变量之间的相关性和影响程度。
回归分析的应用领域广泛，包括经济学、社会学、医学等。
通过回归分析，研究者可以探究变量之间的复杂关系，找出影响因变量的主要因素，并进行预测和控制。
在进行回归分析时，需要考虑一些重要问题。
首先，要选择适当的回归模型，如线性回归、多元回归等。
其次，要检验回归方程的拟合度和显著性，确保模型的准确性和可靠性。
最后，要谨慎解释回归系数和预测结果，避免过度解读和误导性结论。
综上所述，方差分析与回归分析是统计学中常用的两种分析方法，分别用于比较组间差异和探究变量关系。
通过正确应用这两种方法，可以帮助研究者得出准确的结论和有效的决策，推动学术研究和实践应用的发展。
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）与回归分析（Regression Analysis）是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们在不同领域的研究中有着重要的应用，用于探究变量之间的关系以及预测、解释和验证数据。
一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值是否差异显著的统计方法。
它通过计算各组之间的离散程度来揭示变量之间的关系。
方差分析常用于实验设计和实验结果的分析，可以帮助研究人员确定各因素的影响程度。
在方差分析中，我们首先将数据进行分组，然后计算每个组的方差。
通过比较各组之间的方差，我们可以判断其是否有显著差异。
方差分析根据研究设计的不同，可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况，而多因素方差分析则适用于多个自变量（因素）的情况。
方差分析的结果一般通过计算F值来判断各组之间的差异是否显著。
如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异。
反之，如果F值小于临界值，则无法拒绝原假设，即各组均值没有显著差异。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它根据自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间的相关性，建立一个预测模型来预测或解释因变量的变化。
在回归分析中，我们首先收集自变量和因变量的数据，然后通过建立数学模型来描述它们之间的关系。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
通过回归分析，我们可以估计自变量对于因变量的影响程度，并根据模型进行预测和解释。
在回归分析中，我们通常使用R方（R-squared）来衡量模型的拟合程度。
R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型的拟合效果越好。
此外，回归分析还可以通过计算标准误差、系数显著性、残差分析等指标来评估模型的质量。
结论方差分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
方差分析适用于比较多个样本均值的差异性，而回归分析用于研究变量之间的关系和预测。
方差分析线性回归
1线性回归要研究最大积雪深度X与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。
线性回归方程式：对应的估计方程式为线性回归完成的任务是，依据观测数据集仗l,yl）,仗2,y2）,...,仗n,yn）使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。
a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用a 和P表示。
为什么要做这种拟合呢？答案是：为了预测。
比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势C、勺然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。
线性回归的拟合过程使用最小二乘法，最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。
为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方乂显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！残差平方和Q ,求最小，方法有很多。
代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就0K 了，为表示方便，引入一些符号，最终估计参数a与b的结果是：自此，针对前•面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可汁算得到拟合之后的d和b。
不妨试一试？从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。
线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。
1 -2误差分析考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到e~N(0QA2)中，回归方程重写为y = a + bx + e由此汁算估计量a与b的方差结果为，a与b的方差不仅与6和x的波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关。
在设计观测实验时，x的取值越分散，佔汁ab的误差就越小，数据量越大，佔计量b的效果越好。
这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。
1.3拟合优度检验及统计量拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度，其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，称为统汁量，统讣量是样本的函数。
回归分析方差分析
回归分析方差分析回归分析和方差分析是统计学中两种重要的数据分析方法。
回归分析用于研究两个或多个变量之间的关系，并预测一个变量对另一个或多个变量的影响。
方差分析则用于比较三个或更多个组或处理之间的均值差异。
本文将分别介绍回归分析和方差分析的基本原理和应用。
回归分析是一种通过建立数学模型来研究两个或多个变量之间关系的方法。
回归模型用来预测一个因变量（响应变量）对一个或多个自变量的依赖关系。
回归分析可以分为简单线性回归和多元回归。
简单线性回归是一种建立在一个自变量和一个因变量之间的关系上的模型。
多元回归则是一种包含多个自变量和一个因变量之间关系的模型。
回归分析的基本原理是通过最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合线，使得观测数据点与拟合线之间的误差最小。
回归分析可以用来评估变量之间的关系强度和方向。
相关系数用来衡量变量之间的线性关系强度，其取值范围在-1到1之间。
回归方程用来预测因变量的值，可以根据自变量的值来计算。
回归分析的应用广泛，包括但不限于以下几个领域。
在经济学中，回归分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP和失业率之间的关系。
在医学研究中，回归分析可以用来探索疾病与风险因素之间的关系，如吸烟与肺癌之间的关系。
在市场营销中，回归分析可以用来预测销售额与广告支出之间的关系。
在社会科学中，回归分析可以用来研究人口统计学变量与社会行为之间的关系。
方差分析是一种用来比较三个或更多个组或处理之间的均值差异的方法。
方差分析的基本原理是通过分解总方差为组间方差和组内方差来进行检验。
组间方差衡量了不同组之间的均值差异，而组内方差则衡量了同一组内的个体之间的差异。
方差分析通常用来比较不同处理或实验条件下的均值之间是否存在显著差异。
方差分析的假设是每个组内个体之间的差异是相同的，只有组间的差异是不同的。
方差分析可以用来比较多个组之间的均值差异，如不同药物治疗组的疗效比较，或不同教学方法对学生成绩的影响。
方差分析与回归分析
不同行业被投诉次数的散点图
行业
1. 随机误差
▪ 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 ▪ 这种差异可以看成是随机因素的影响，
2. 系统误差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异
▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可
a.画散点图
较强的线性正相关关系
b. 求r
• 样本容量n＝14，查教材附录540页《相关系数 检验表》，当显著性水平为1％时，r0.01＝0.661。 显然，样本相关系数r> r0.01 ，因此线性回归效果 显著，认为抗拉强度y与含碳量x之间存在高度显 著的正相关关系。
c.求抗拉强度y关于含碳量x 的线性回归方程
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
非线性回归
• 在许多实际问题中，变量之间并不一定是 变量的关系，而是某种非线性相关关系， 称为一元非线性回归。许多有价值的非线 性回归方程，可以利用适当的变换，转换 为线性回归方程，例如，倒数变换、半对 数变换、双对数变换、多项式变换等；然 后再利用线性回归分析的最小二乘法进行 估计和检验。
k
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij x 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSA + SSE
▪ 前例的计算结果：
4164.608696=1456.608696+2708
关系强度的测量
1. 拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有
方差分析与回归分析在统计学中的作用
方差分析与回归分析在统计学中的作用统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的科学，涵盖了各种数据分析方法和技术。
在统计学中，方差分析和回归分析是两种常用的数据分析方法，它们在推断统计和相关领域内具有重要的作用。
一、方差分析的作用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或多个样本均值差异的方法。
它基于方差的性质，通过对数据的方差进行分解，判断不同来源的变异对总变异的贡献程度。
方差分析在统计学中的作用主要体现在以下几个方面：1.比较多个样本均值：方差分析通过比较多个样本的均值，确定它们是否差异明显。
这对于研究人员来说至关重要，因为它能够帮助他们确定是否存在一个或多个处理组的均值与其他组有显著差异。
2.评估解释变量的效果：方差分析可以用来评估解释变量对响应变量的效果。
通过分析方差组成，并计算F统计量来判定解释变量是否对响应变量有显著影响。
这对于找出影响变量之间关系的因素非常重要。
3.确定处理组间的差异：方差分析可以帮助识别处理组间的差异。
如果方差分析表明不同处理组之间存在显著差异，则可以进行进一步的多重比较分析或后续实验。
这对于研究人员来说非常有用，因为它能够帮助他们深入了解实验结果。
二、回归分析的作用回归分析是一种用于建立变量之间关系模型和预测的方法。
它通过对自变量与因变量之间的线性关系进行建模，来解释和预测因变量的变化。
回归分析在统计学中的作用主要体现在以下几个方面：1.探究变量之间的关系：回归分析可以帮助研究人员理解不同变量之间的关系。
通过对因变量和自变量之间的回归方程进行分析，可以确定变量之间的相关性，从而解释它们之间的关系。
2.预测和预测分析：通过回归分析，可以构建一个预测模型，用于预测因变量的值。
这对于研究人员来说非常有用，因为它可以帮助他们预测未来的趋势和结果，并作出相应的决策。
3.变量重要性评估：回归分析可以评估不同自变量对因变量的重要性。
通过回归系数和显著性检验，可以确定哪些自变量对因变量的解释最为重要。
方差分析及回归分析ppt60页课件
设因素有S个水平，在水平Aj (j=1,2,…,s)下，进行nj (nj≥2)次独立试验，结果如下：
水平 观察结果
A1
A2
…
As
X11 X21 …
X11 X21 …
… … …
X11 X21 …
样本总和 样本均值 总体均值
T.1 X.1 μ 1
T.2 X.2 μ 2
… … …
160
180
60
80
100
40
设Y关于x的回归函数为μ(x)。利用样本来估计μ(x)的问题称为求Y关于x的回归问题。 若μ(x)是线性函数μ(x)=a+bx，此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 一元线性回归模型： 设Y~N(a+bx, σ2 )其中a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y-（a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （1） 称上式为一元线性回归模型。 称a+bx为x的线性函数，而ε ~N(0, σ2 )是随机误差。
SE称为误差平方和， SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。
（1，8）
则得 ST=SE+SA ，
（1，9）
（1，10）
（三） SE，SA的统计特性 1、SE的统计特性
由于 是总体 的nj-1倍， 所以 由于独立，（1，11）中各式独立，根据 分布的可加性，得
（1，14）
（1，15）
可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时 （四）假设检验问题的拒绝域 由（1，15）式，当H0为真时 所以SA /(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时， 这时 而由于
统计学中的方差分析与回归分析
统计学中的方差分析与回归分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，方差分析和回归分析是两个重要的方法。
它们可以帮助我们理解数据之间的关系，并进行预测和推断。
一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异的统计方法。
它可以帮助我们确定不同因素对于观测值的影响程度。
方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素之间的差异是否显著。
在方差分析中，我们需要将数据分成不同的组别，然后计算每个组别的均值和方差。
通过计算组间变异和组内变异的比值，我们可以得到一个统计量，称为F 值。
如果F值大于某个临界值，我们就可以认为不同组别之间的差异是显著的。
方差分析可以应用于各种领域，例如医学研究、社会科学和工程领域。
它可以帮助我们确定不同因素对于某种现象的影响程度，从而指导我们做出决策或制定政策。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并进行预测和推断。
回归分析的基本原理是通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，我们首先需要确定自变量和因变量之间的函数形式，例如线性关系、非线性关系或多项式关系。
然后，我们使用最小二乘法来估计模型的参数，从而得到一个最优的拟合曲线或平面。
通过回归分析，我们可以得到自变量对于因变量的影响程度，以及其他统计指标，如回归系数、标准误差和显著性水平。
这些指标可以帮助我们解释数据的变异，并进行预测和推断。
回归分析可以应用于各种领域，例如经济学、金融学和市场营销。
它可以帮助我们理解市场需求、预测销售额，并制定相应的营销策略。
三、方差分析与回归分析的区别方差分析和回归分析在统计学中有着不同的应用和目的。
方差分析主要用于比较不同组别之间的均值差异，以确定不同因素的影响程度。
而回归分析主要用于研究变量之间的关系，以理解自变量对因变量的影响。
此外，方差分析和回归分析在数据处理和模型建立上也有所不同。
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(yi yi )2 ( yi y)2
SSE SSR
其中SSE为回归平方和 SSR为剩余变差
三、回归方程的选择
SPSS中可以提供多元回归分析，当有多 个自变量时，不仅要求与因变量相关， 且要求自变量之间彼此尽可能独立。
SPSS中提供了五种选择：
– 强制进入ENTER: 进入 “Enter”所选择的 自变量将全部进入建立的回归方程中，该项 为默认方式。
• “Histogram”用直方图显示标准化残差。 • “Normal probability plots”比较标准化残差与正态残
差的分布示意图。 “Produce all partial plot”偏残差图。对每一个自变量生
成其残差对因变量残差的散点图。
SAVE按钮 • ①“Predicted Values”预测值栏选项：
“Selection Variable”为控制变量输入栏。 控制变量相当于过滤变量，即必须当该变 量的值满足设置的条件时，观测量才能参 加回归分析。
• Regression Coefficients复选框组：定义回归系 数的输出情况，选中Estimates可输出回归系数B 及其标准误，t值和p值，还有标准化的回归系数 beta；选中Confidence intervals输出每个回归系 数的95%可信区间；选中covariance matrix会输 出各个自变量的相关矩阵和方差、协方差矩阵。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据 文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名的变 量，存放根据回归模型拟合的预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整 后预测值。S.E. of mean predictions 预测值的 标准 Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。
– 逐步回归STEPWISE: 逐步进入 “Stepwise” 根据“Options”对话框中的设置，在方程中加入 或剔除单个变量直到所建立的方程中不再含有可 加入或剔除的变量为止。
四、功能菜单
菜单“Analyze->Regression->Linear”
对话框
• 设置因变量： “Dependent”栏 • 设置自变量： “Independent(S)”框
– 强制退出REMOVE: 后进入 “Remove”将 进入方程中的自变量同时剔除。
– 向前选择FORWARD: 条件进入“Forward”根 据“Options”对话框中的设置，在方程中每次加 入一个变量，直至加入所有符合条件的变量为止。
– 向后剔除BACKWARD: 先进入 “Backward”自 变量框中所有的变量同时进入方程中，然后根据 “Options”对话框中的设置，剔除某个变量，直 到所建立的方程中不再含有可剔除的变量为止。
• Descriptives复选框：提供一些变量描述，如有 效例数、均数、标准差等，同时还给出一个自变 量间的相关矩阵。
• Part and partial correlations复选框：显示自 变量间的相关、部分相关和偏相关系数。
• Collinearity diagnostics复选框：给出一些用于 共线性诊断的统计量，如特征根 （Eigenvalues）、方差膨胀因子(VIF)
• ⑤ “Export model information to XML file” 导出 统计过程中的回归模型信息到指定XML文件。
散点图 • “DEPENDNT”因变量。 “ZPRED”标准化预测值。 • “ZRESID”标准化残差。 “DRESID”删除残差。 • “ADJPRED”修正后预测值。 “SRESID”学生氏化残
差。 • “SDRESID”学生氏化删除残差。
“Standardized Residual Plots”设置各变量的标准化残差 图形输出。其中共包含两个选项：
Leverage values: 杠杆值。 • ③“Prediction Intervals”预测区间选项：
Mean: 区间的中心位置。 Individual: 观测量上限和下限的预测区间。
• ④“Save to New File”保存为新文件： 选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定 的文件中。
二、回归方程的数学模型 模型求解：
即要使得
f (xi) (yi yi)2
(yi b0 b1x1i b2x2i bnxni)2 min
分别对b0，b1，…，bn求导，并令其一阶导数 为0，可求出各个系数
二、回归方程的数学模型
估计标准误差 是估计y与对应观测值之间的离差平方和
SST Lyy ( yi yi )2
• Residuals复选框组：用于选择输出残差诊断的信 息，可选的有Durbin-Watson残差序列相关性检 验、超出规定的n倍标准误的残差列表。
• Model fit复选框：模型拟合过程中进入、退出的 变量的列表，以及一些有关拟合优度的检验：R， R2和调整的R2, 标准误及方差分析表。
• R squared change复选框：显示模型拟合过程中 R2、F值和p值的改变
为了求回归系数b0，b1令一阶导为0，得
bn0b0xbi1b1xi
xi2
yi
xiyi
从中解出：
b1
(xi x)( yi y) (xi x)2
b0 y b1 x
二、回归方程的数学模型 模型
多元回归：用于分析n个自变量和因变量y 之间的关系
基本形式
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Yi b0 b1x1i b2x2i bnxni
第3讲回归分析-方差分析
主要内容
• 线性回归 • 曲线回归
线性回归
二、回归方程的数学模型
模型 一元回归:用于分析两个变量之间的关系 基本形式是：
^
Yi b0 b1xi b0,b1分 别 是 回 归 直 线 的 和截 斜距 率
二、回归方程的数学模型 模型求解：最小二乘法
fxi yiy ^ i 2 yi b 0 b 1 xi2m in