结构动力学有限元法

在介质中运动的质点还会受到阻尼，大小与速度成正比，方 向与速度方向相反，则单位体积的阻尼力为： u

相当于另一种体积分布载荷，方向与加速度方向相反。 将单元内的惯性力与阻尼力作为体积分布载荷，再按做功相 等的原则等效分配到单元的各节点上，记为：
dV Q N u
在机械结构的动力学分析中，利用弹性力学有限元法建立 结构的动力学模型，进而可以计算出结构的固有频率、阵型等 模态参数以及动力响应。
CAUC
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二、结构的动力方程
在动态情况下，结构承受的载荷可随时间变化，是时间的 函数。在有限元法中，将载荷分配到节点上，节点载荷列阵也 是时间的函数。
Q Q(t )
T
ˆ P K P K
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
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对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e 1


C K M Q
其中：
M M C C
CAUC
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平面三节点，三角形单元 1 0 At 0 团聚质量阵： m 3 0 0 0
1 2 0 1 4 一致质量阵： m At 3 0 1 4 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
u N e N u e N u
结构在运动中，各点除位移外，还有速度和加速度。
e
N 为形函数，与时间无关
CAUC
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按达朗伯原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如 材料的密度为ρ，则结构内单位体积的惯性力为： u 相当于体积分布载荷，方向与加速度方向相反。
e T
dV Q N u
e T
CAUC
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而：
N u
e
e
e N u
T

代入：
dV Q N u
T T
M N N dV
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
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结构动力学问题的有限元法
2010年8月22日
CAUC
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一、结构动力学分析的任务
1、求出结构的动态特性，主要是求出结构的固有频率和阵型； 2、求出结构对随时间变化的载荷的响应，即结构在动载荷作用下 的运动规律、应力。 任务之一是解决结构能否正常工作问题，同一动载荷作用下， 不同结构的响应是不同的，响应的大小直接与结构的固有频率有 关。任务之二是解决结构能否可靠工作问题，有了结构各点的应 力时历曲线，可进行响应的极值分析和结构疲劳寿命估计。
T
其中： I 是单位阵
0 1 2 n 0
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T
变换法的思想就是用迭代的方法来构成阵型矩阵[Φ]，就是寻 找一系列变换矩阵[P(i)]，使得[K]和[M]经过一系列的变换逐渐化 为对角阵。
ˆ P M P M
代入特征值方程，得：
满足上面方程组的解及其相应的矢量称为特征值和特征向量。 特征方程：
K M 0
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广义雅克比法： 特征阵φ的性质：
特征值求法（雅克比变换法与子空间迭代法）：
( K M ) 0
K M
1 2 n
T M I K
Power Dynamics法；
减缩法（Reduced/Householder）； 非对称法（Unsymmetric）；
阻尼法（Damp）；
QR法。 阻尼法和QR法允许结构中存在阻尼。
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模态分析过程：
1、建 模 ——只有线性行为有效 2、加载及求解 进入ANSYS求解器；指定分析类型和分析选项； New Analysis：Modal[ANTYPE] 指定分析类型为模态分析 Modal Extraction Method[MODOPT] 选择7种模态提取方法中的一种 3、扩展模态 若在POST1中观察结果，必须先扩展阵型即将阵型写入结果 文件。 4、观察结果
i i (i l 1)
10 s
CAUC
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五、ANSYS动力学分析
模态分析是确定结构的振动特性，即固有频率和阵型。ANSYS 的模态分析是线性分析，任何非线性特性都将忽略。 ANSYS提供了7种模态提取方法，它们分别是： 子空间法（Subspace）； 分块兰索斯法（Block Lanczos）；
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
e N N dV e
CAUC
e
CAUC
式中：
M
e
1 2
1 2 0 1 4 0 1 4
对称 1 2 0 1 4 0
1 2 0 1 4
1 2 0
CAUC
CAUC K 0 M
四、特征值问题及其解法
自由振动方程： 基本解的形式：
(t ) sin t
( K 2 M ) 0
CAUC
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CAUC
CAUC
CAUC
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
CAUC
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i
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。

N N dV
T T
C N N dV
e
当ρ和μ在单元内部是常数值时，
e C M
e
比例阻尼
对于结构静力学问题，求出整体刚度阵后，有限元节点位移方程为：
K Q
CAUC
CAUC
或改写为：
K Q
m e