结构动力学有限元法
结构动力学的有限元法
二、单元分析
单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。
动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。
e 在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 q ，则单元
内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
K M 0
2
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特
2 和相对应的n个特征向量 征值 12 , 12 ,, n
1 ,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是结构的i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是结构
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利 用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构 偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。 一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整 个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。
e
一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为
= B q e = D B q
e
但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t
变化的函数。
分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
i 1
n
其中[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵[M]、[C]也采用与 [K]相同的集成方式，即
7.2 结构动力学的有限单元法
B：应变矩阵 ν：线性阻尼系数
三、结构的动力学方程
单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条 件下，整个结构的动力学方程为：
& & Mδ& + Cδ + Kδ = f
当f = 0, c = 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程
四、有限元法求解动力学问题实例
设第j个梁单元的单位长度质量为m 抗弯刚度为EI 设第j个梁单元的单位长度质量为mj, 抗弯刚度为EIj， 长度为L 两端的节点编号为j j+1，节点j 长度为Lj， 两端的节点编号为j和j+1，节点j的横向 位移为u 角位移为u 节点j+1的横向位移为u 位移为uj1, 角位移为uj2, 节点j+1的横向位移为uj3, 角 位移为u 位移为uj4。设梁单元的广义坐标向量为：
关于振型的正交性
δ K δm = δ ω M δm
2 m
^ T n
^
^ T n
^
2 δ K δ m = δ ωn M δ m
^ T n
^
^ T n
^
(ω − ω ) δ M δ m = 0
2 m 2 n
^ T n
^
ω ≠ω
2 m
^ T n ^
2 n
δ M δm = 0
^ T n
^
同样可以求得 δ K δ = 0 振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交 m
ω T = [ω1 ω 2 ... ω N ]
四、方程的特征值及振型的正交性
对于齐次代数方程 ( K − ω M ) δ = 0 ，只能求得振型矢量 的各元素的相对值。
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
结构动力响应分析-有限元法
第十二章结构动力响应分析第一节常见的动态载荷类型第二节强迫动力瞬态响应分析第三节谱分析第四节频率响应分析返回第一节常见的动态载荷类型图12-1突加的动态载荷p t0当物体或结构在动态力（或载荷）的作用下时，它的响应就是动态响应，严格地说结构都是在动态力的作用下，只不过有的力随时间变化的很慢，所以为了简化计算，工程中有许多问题简化为静态问题来计算。
但随着科技的发展，计算机及计算手段的发展，目前许多设计中都必须考虑动态问题。
正确地识别动态载荷是正确计算动态问题关键之一，目前工程中常见的动态载荷有：1）突加的动态载荷（见图12-1）返回图12-2 简谐激振力p t 0图12-3 起重机类型pt 0图12-4 脉冲或冲击p t0t 0p 2）简谐激振力（电机等）（见图12-2）3）起重机类型（见图12-3）4）脉冲或冲击（见图12-4）返回5）随机型的激力（路面谱力，地震谱力）（见图12-5）图12-5 随机型的激力pt图12-6冲击波6）冲击波（原子弹爆炸或热冲击等）（见图12-6）返回9）各种表格表示的动载荷（即有一个时间t 就有一个力F （t ）值所描述的不规则曲线）N 3。
图12-7 移动载荷tt 0t 1t 2…………v8）转动轴等在交变应力下的动态载荷7）移动载荷（见图12-7）返回第二节强迫动力瞬态响应分析[][]{}(){}t R K C M =+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙δδδ][[][]{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙∙∙y r r r r M K C M δδδδ][][当结构受随时间变化的强迫力或基础的加速度的作用时，求解结构的瞬态位移或瞬态应力响应,叫强迫动力响应或响应历程分析。
强迫力可以是作用于结构上任一节点的任一个自由度上的力（或力矩），或者是基础在三个方向上的加速度运动（或转动）。
而输入的强迫函数可用表格表示的冲击、脉冲或其它任意不规则的力和运动，也可用正弦函数表示。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
结构动力学方程及有限元方程
，则：
• 方程的通解为：
• 则n 自由度无阻尼系统受迫振动广义坐标下的稳态响应为：
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8.5 复杂系统动力学模型
• 对于复杂机械系统多用拉格朗日法研究其动力学模型，在广义坐标、 功和能的基础上建立微分方程，即：
• 式中 T ——系统动能； • U ——系统势能； • D ——虚功； • j Q′ ——广义势力； • j q ——系统广义坐标。
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
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8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
的微分方程的求解问题，式（8.72）则可以写为：
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8.4 振动系统响应分析
• 利用单自由度的概念和方法，可得到稳态响应为： • hr（ t） 为第r 阶模态的脉冲响应函数，则： • 代入整理得：
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8.4 振动系统响应分析
• 系统施加的初始条件为{δ (0)}和
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8.3 固有特性分析
• 将解代入振动方程中，同时消去因子e jω t ，得：
• 系统的固有频率和振型是结构固有的特性，它仅与结构的质量和刚度 有关，而与外界影响无关。外界扰动只能影响振幅，不能改变其固有
频率，若要改变结构的固有频率，只能从改变结构的质量或刚度入手， 固有频率是结构动力性能的一个重要标志。
8.4 振动系统响应分析
• 则n 自由度无阻尼系统自由振动广义坐标下的稳态响应为：
动力学问题的有限元法（ＰＤＦ）
第七章 动力学问题的有限元法结构动力学是研究动载荷作用下结构动力反应规律的学科，讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法，寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系。
研究结构在动力荷载作用下的反应规律，能够为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
前面介绍的静力学问题的研究对象是受不随时间变化的载荷作用。
而动力学问题的对象受随时间而变的载荷的作用，从而使在结构中产生的位移、速度、应力和应变都随时间而变。
当结构受随时间变化的载荷作用，且这种载荷的作用对结构的变形和应力的产生起主要作用，以致影响设备的安全性，或舒适性。
这时就要进行动力学分析，充分认识其规律性，从设计阶段就抑制这种不利状况的发生。
例如，有时虽然动载荷不大，但结构在交变力的作用下，其某些固有频率与激励力的作用频率相接近时，就会引起很大的振动、变形或应力，这时，就必须对结构作动力学分析。
又如，要利用结构在周期性作用力驱动下的定向振动，例如利用这种运动输送产品，这时，就必须巧妙地设计结构，使其具有某些与激励频率一致的固有频率，并且使结构对激励具有适当的响应能力。
总之，不管是利用振动，还是抑制振动，都需要进行结构动力学分析。
当前结构动力学的研究内容有三类。
第一类问题：反应分析（结构动力计算），第二类问题：参数（或称系统）识别，第三类问题：荷载识别。
第一类问题是已知系统动态特性和动载荷作用部位及大小，求出系统的响应——随时间变化的位移，速度，加速度和应力等。
第二类问题是已知系统的输入输出特性，分析系统固有的动态特性，结构模态分析就属于这一类问题。
第三类问题是在已知系统动态特性的条件下, 通过测量系统的响应,或由响应准则预先给出响应要求, 以此识别对响应的外载荷。
三类结构动力学研究内容的载荷、结构和响应之间的关系如图7-1所示。
动载荷种类大致分类如图7-2所示。
图7-1 结构动力学研究的内容图7-2 动载荷种类本章主要介绍结构动力学分析的基础知识，并主要介绍系统固有特性的有限元分析方法——有限元模态分析。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
结构动力学方程及有限元方程
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方 程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面 力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换， 再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自 由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单 元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷 无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、 模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
结构系统动力分析可以采用总体结构有限元法但该方法对于
结构系统动力分析可以采用总体结构有限元法，但该方法对于复杂大型结构进行分析存在计算规模大，计算时间长，所用的磁盘空间、计算机系统太庞大，如飞机、车辆、船舶、高层建筑等整体结构。
特别是用有限元法进行较高频率振动分析时，要求结构被划分成非常多的单元数以便获得详细的位移和应力特性。
这时结构模型的节点自由度可能达到几十万甚至上百万，直接求解如此庞大的模型是很困难。
即使能够分析，也要耗费大量机时，效率极低。
模态综合法（Component Mode Synthesis ）就是在这样的背景下发展起来的一种缩减自由度方法。
它可以将大模型化小，先进行各个子结构的模态分析，然后进行模态综合。
由于仅采用了各个子结构的低阶模态，因而使所建立整体结构动力模型的自由度数大大降低，而且可以在不同的机器上对各子结构进行模态分析提高计算速度。
模态综合法的基本思想是根据复杂结构的特点将整体结构划分成若干子结构，对各个子结构分别进行模态分析，得到其动力特性。
再利用子结构间力平衡条件及位移协调条件将各子结构部分低阶模态特性综合，由此得到整体结构的动力特性。
一.模态综合法基本原理先将整个结构划分为s 个子结构，每个子结构应该是容易分析的，子结构之间的连接尽可能要“弱”些，使子结构之间耦合较小，每个子结构在力学上有较大的独立性。
1.建立各个子结构的模态矩阵),2,1(][s r r =φ，其中][][B r F r r φφφ=；Fr φ是交界面完全固定时所算出的一部分（参加综合的）固有模态，即主模态矩阵；Br φ是依次释放每一边界自由度，使其得到单位位移而产生的静位移分布所组成的约束模态矩阵。
它可以由对子结构直接求解一系列静平衡方程（边界自由度发生单位强迫位移）而得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡*⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡F u u k k k k j i jj ij ji ii 0下标i 与j 分别代表该子结构的内部及界面自由度。
结构作自由振动时，内部自由度上作用力为零，而界面自由度依次产生单位位移，则相当于j u 是一个单位矩阵。
结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析
结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析结构动力学是研究结构在外部载荷作用下的振动特性和动态响应的学科。
大型工程结构系统的复杂性和非线性特性给结构动力学分析提出了挑战，而有限元方法则成为求解这种非线性响应的一种重要手段。
在本文中，我们将探讨结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析。
1. 有限元方法有限元法是一种现代数值计算方法。
它是把连续物体分割成多个单元，通过单元间的相互作用关系求解结构的内部应力、变形和各种响应的数值方法。
有限元法的基本思想是把复杂的整体结构分解成有限数量的小单元，并对每个小单元进行数学模型分析。
通过求解这些模型，可以推导出整个结构的力学特性和响应情况。
2. 结构动力学中的有限元方法在结构动力学中，有限元方法也是一种重要的分析方法。
一般来说，结构动力学的有限元模型应包括结构的物理性质、载荷和边界条件等。
在构建有限元模型之前，需要对结构几何形状进行测量和描述，然后将结构分割成有限数量的单元，每个单元都有一组节点和自由度，节点之间的相互作用关系是通过构建单元刚度矩阵来实现的。
在建立了完整的有限元模型后，可以采用不同的求解算法，如静力求解和动力求解进行解析求解。
3. 动力响应分析在有限元法中，一般需要对结构进行动力响应分析。
动力响应分析的主要目标是确定在特定载荷下结构的动态响应情况。
动态响应包括结构的位移、速度、加速度、应力和应变等。
这些响应都对结构的安全性、稳定性和寿命等方面产生影响，因此需要进行充分的动态响应分析。
在动力响应分析中，一般采用有限元模型接触外部载荷模拟结构振动情况。
通过分析结构的固有振动模态和相应的频率响应，可以计算出特定载荷下结构的动态响应。
在实际分析中，通常需要考虑多种载荷并结合计算机模拟技术实现更为准确的动态响应分析。
4. 结论本文简要介绍了结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析。
有限元法是一种现代数值计算方法，它可以将结构分割成多个小单元，进行数值模拟，计算结构内部应力、变形和各种响应。
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
基于有限元方法的结构动力学分析
基于有限元方法的结构动力学分析随着现代科技的发展，结构动力学分析成为工程领域中不可或缺的重要环节。
结构动力学分析旨在研究结构在外界荷载作用下的动态响应，以评估其安全性和可靠性。
有限元方法作为一种常用的数值分析方法，在结构动力学分析中具有广泛的应用。
本文将深入探讨基于有限元方法的结构动力学分析的原理和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将复杂连续体分割成若干有限个简单元素，然后在每个单元上建立适当的数学模型，进而建立总体的数学模型和求解方法的数值分析方法。
有限元方法在数学模型中引入适当的近似，以求解真实问题的近似解。
其基本思想是将连续体离散化成若干个有限个形状简单、性质相同的基本单元，再根据相邻两个基本单元之间的相容条件，将基本单元联系在一起，组成复杂的结构体系。
二、结构动力学分析方法1. 模态分析方法模态分析是结构动力学中常用的分析方法之一。
它通过求解结构的特征值和特征向量，得到结构在固有频率下的振型和振动模态，从而揭示结构动力特性。
模态分析在设计中起到了重要的作用，能够帮助工程师判断结构的固有频率和振型是否满足要求。
2. 静力分析方法静力分析是结构动力学分析的基础，它用于求解结构在静力荷载作用下的应力和位移。
通过静力分析，可以评估结构的强度和稳定性，进而进行设计和优化。
3. 动力响应分析方法动力响应分析是结构动力学分析的核心内容，主要研究结构在外界动力荷载作用下的响应情况。
这种分析方法可以帮助工程师评估结构的动力性能，如位移、加速度和应力等。
三、有限元方法在结构动力学中的应用有限元方法在结构动力学分析中的应用广泛，可以模拟各种结构的动态响应。
例如，有限元方法可以用于分析建筑物在地震作用下的响应，以评估结构的抗震性能。
此外，有限元方法还可以用于模拟机械设备、桥梁和航天器等工程结构在振动荷载下的响应。
在使用有限元方法进行结构动力学分析时，需要注意选择适当的数学模型和边界条件，并合理选择有限元单元的类型和尺寸。
机械结构有限元分析---结构动力问题有限元法
e T
单元阻尼矩阵
单元刚度矩阵 单元等效结点荷 载向量
F (t )e V N T FV dV S N T Fs T dS
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.3 结构运动方程及其动力学矩阵
一、结构的运动方程 按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进 行集成，可得结构总体运动方程：
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7.1 动力学问题的基本概念
1、自由振动与受迫振动 自由振动——动荷载为零，由初始位移和初始速度引 起的结构振动。 受迫振动——由动荷载引起的结构振动。 2、动力问题的主要研究内容 结构的自振特性分析（无阻尼自由振动分析)，寻求结构 的固有频率和主振型
结构的动力响应分析（受迫振动分析），寻求结构的 动内力、动位移的大小及其变化规律。
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3、动力有限元法的基本概念
结构离散
与静力问题相同，基本未知量仍为独立的结点位移 {δ}，但{δ}是时间t的函数，同时是确定结构全部质量位置 的参数，故又称作动力自由度。 位移模式
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2、集中质量矩阵 将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动 力自由度顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称集中质 量矩阵。 当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和 体积确定该结点集中质量的大小。 因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转 动自由度相对应的质量为零。
0 sin t
代带入自由振动方程得
K M O
5-结构动力学(有限元计算)解读
偏微分方程
当考虑结构体系是具有分布质量和刚度的、具有无限自由度的连续体时， 其运动方程具有偏微分方程的形式，亦称波动方程。例如，具有均匀分布质量 的剪切梁的运动方程为：
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) K m p ( x, t ) 2 2 x t
3.2.1
式中： u ( x, t ) 为梁在垂直于轴线方向的位移； K 为梁的剪切刚度； m 为梁单位 长度的质量； x 为对应梁横截面位置的空间坐标变量； t 为时间变量； p ( x, t ) 为作用于梁上随位置和时间变化的横向外荷载。一维波动方程（3.2.1）可描 述水平地震动作用下多层框架结构的地震反应，具有相当高的精确性。 连续地壳介质的弹性动力反应一般采用三维波动方程描述。
集中质量模型
用若干集中质量模拟结构 的质量分布，沿平面或空间分 布则构成二维平面模型活三维 空间模型。最简单的集中质量 模型是单质点模型，广泛用于 阐述振动理论和计算地震反应 谱，也可粗略地描述复杂结构 体系或近似模拟质量集中的摆 式结构（如柱承式贮仓和水塔 等）。各集中质量之间和集中 质量与地面间以无质量的杆件 相连。这些杆件模拟结构体系 的刚度和阻尼特性。
f I f D fS p(t )
3.2.1.1-3 3.2.1.1-4
即
mu cu ku p(t )
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
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A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
CAUC
CAUC
i
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。
CAUC
CAUC
平面三节点，三角形单元 1 0 At 0 团聚质量阵： m 3 0 0 0
1 2 0 1 4 一致质量阵： m At 3 0 1 4 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
T
ˆ P K P K
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
e N N dV e
CAUC
e
CAUC
式中：
M
e
在介质中运动的质点还会受到阻尼，大小与速度成正比，方 向与速度方向相反，则单位体积的阻尼力为： u
相当于另一种体积分布载荷，方向与加速度方向相反。 将单元内的惯性力与阻尼力作为体积分布载荷，再按做功相 等的原则等效分配到单元的各节点上，记为：
dV Q N u
Power Dynamics法；
减缩法（Reduced/Householder）； 非对称法（Unsymmetric）；
阻尼法（Damp）；
QR法。 阻尼法和QR法允许结构中存在阻尼。
CAUC
CAUC
模态分析过程：
1、建 模 ——只有线性行为有效 2、加载及求解 进入ANSYS求解器；指定分析类型和分析选项； New Analysis：Modal[ANTYPE] 指定分析类型为模态分析 Modal Extraction Method[MODOPT] 选择7种模态提取方法中的一种 3、扩展模态 若在POST1中观察结果，必须先扩展阵型即将阵型写入结果 文件。 4、观察结果
N N dV
T T
C N N dV
e
当ρ和μ在单元内部是常数值时，
e C M
e
比例阻尼
对于结构静力学问题，求出整体刚度阵后，有限元节点位移方程为：
K Q
CAUC
CAUC
或改写为：
K Q
m e
i i (i l 1)
10 s
CAUC
CAUC
五、ANSYS动力学分析
模态分析是确定结构的振动特性，即固有频率和阵型。ANSYS 的模态分析是线性分析，任何非线性特性都将忽略。 ANSYS提供了7种模态提取方法，它们分别是： 子空间法（Subspace）； 分块兰索斯法（Block Lanczos）；
T
其中： I 是单位阵
0 1 2 n 0
CAUC
CAUC
T
变换法的思想就是用迭代的方法来构成阵型矩阵[Φ]，就是寻 找一系列变换矩阵[P(i)]，使得[K]和[M]经过一系列的变换逐渐化 为对角阵。
ˆ P M P M
代入特征值方程，得：
满足上面方程组的解及其相应的矢量称为特征值和特征向量。 特征方程：
K M 0
CAUC
CAUC
广义雅克比法： 特征阵 M ) 0
K M
1 2 n
T M I K
u N e N u e N u
结构在运动中，各点除位移外，还有速度和加速度。
e
N 为形函数，与时间无关
CAUC
CAUC
按达朗伯原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如 材料的密度为ρ，则结构内单位体积的惯性力为： u 相当于体积分布载荷，方向与加速度方向相反。
在机械结构的动力学分析中，利用弹性力学有限元法建立 结构的动力学模型，进而可以计算出结构的固有频率、阵型等 模态参数以及动力响应。
CAUC
CAUC
二、结构的动力方程
在动态情况下，结构承受的载荷可随时间变化，是时间的 函数。在有限元法中，将载荷分配到节点上，节点载荷列阵也 是时间的函数。
Q Q(t )
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e 1
C K M Q
其中：
M M C C
1 2
1 2 0 1 4 0 1 4
对称 1 2 0 1 4 0
1 2 0 1 4
1 2 0
CAUC
CAUC K 0 M
四、特征值问题及其解法
自由振动方程： 基本解的形式：
(t ) sin t
( K 2 M ) 0
e T
dV Q N u
e T
CAUC
CAUC
而：
N u
e
e
e N u
T
代入：
dV Q N u
T T
M N N dV
CAUC
结构动力学问题的有限元法
2010年8月22日
CAUC
CAUC
一、结构动力学分析的任务
1、求出结构的动态特性，主要是求出结构的固有频率和阵型； 2、求出结构对随时间变化的载荷的响应，即结构在动载荷作用下 的运动规律、应力。 任务之一是解决结构能否正常工作问题，同一动载荷作用下， 不同结构的响应是不同的，响应的大小直接与结构的固有频率有 关。任务之二是解决结构能否可靠工作问题，有了结构各点的应 力时历曲线，可进行响应的极值分析和结构疲劳寿命估计。
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CAUC
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