升第八讲容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题

导入

文氏图■■■■■■■■■■■■■■■

文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.

维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.

维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列

・

简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原

理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，

莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维

恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20

世纪初曾享有很高的声誉.

除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，

当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.

什么是容斥原理?

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.

比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱

喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2

次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.

比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.

这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.

两个量之间的重叠

例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？

如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，

而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式

就是：

R总数=沖+丹一』、号重拄

这个公式就是两个对象的容斥原理.

练一练

1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语

文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？

2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二

题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17

人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？

挑战思维

1、为了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，，

参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10人，那么参加数学兴趣小组的有多少人？

换个思路想一想至少报

一项的有多少人?

三个量之间的重叠

1、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想

去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人？

(42=44+36 )-12-8-10+4

=122- ( 12+8+10 )+4

=122-30+4

=96 (人)

答：这个单位一共有96人。

方法总结:

（1）三个量的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于参加三项的人数和减去同时参加两项的人数和，再加上同时参加的三项人数。

（2 ）三个量的重叠问题中，如果是部分参与，则总人数等于至少参加一项的人数和三项都没有参加的人数和，

如果都参加了，总数等于三个量的和减去两两重叠的部分，在加上三个量重叠的部分

公式:s=a + b + c-ab-bc-ac+abc

部分参与

练一练

1、学校对150名大学生做关于《业余生活》的调查，统计到喜欢看电影的有63人，喜欢玩球的有66人，喜欢读书的有54人，既喜欢看电影又喜欢玩球的有18人，既喜欢玩球又喜欢读书的有12人，既喜欢看电影又喜欢读书的有15人•问：三种都喜欢的有多少人？

2、在校园艺术活动中，五（2 ）班的同学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人, 参加声乐比赛的有20人，两项都参加的有12人，两项都没有参加的有10人。五（2 ）班一共有多少人？

挑战竞赛

3、学校举行运动会。四年级共有 60名同学，其中参加百米赛跑的有 21人，参加投掷的有 26人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有 9人，即参加百米有 参加投掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没有参加的有12人，问参加跳远的有 多少人？

重叠问题中的极值问题

1、40人参加某次晚会，其中28人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有

跳舞的人最多有多少人，最少有多少人?

方法总结:

f

I 、 两个量的极值中，两项都参加的人最多，就是较少的一项；两项都参加的人数最少，就是求 重叠部分。

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J 最多：25人 最少:(28+25)-40=13 人 答：最多25人最少13人

换个思路想一想

要使人数最多则重叠最多， 怎么画图才

可以重叠最多呢？要使人数最少， 可以

图形不重叠吗？