控制系统最优化设计方法

T k 0
N 1


线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列 u(k)（k＝0，1，…，N－1），在把初始状态x(0) 转移到x(N) 的过程中，使性能指标函数最小。
求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态 规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进 行求解。 动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过 程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需 要决策的是控制变量 u(k) （k＝0，1，…，N －1）。
T T

1

的唯一正定对称解 。
③
稳态控制规律
u(k ) Lx(k ) T 1 T L ( Q G SG ) G SF 2
是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制 规律，最优性能指标函数为
J min x (0) Sx(0)
T
④ 所求最优控制规律使得闭环系统渐近稳定。
令二次型性能指标函数
J i x T ( N )Q0 x ( N ) x T (k )Q1 x (k ) uT (k )Q2 u(k )
k i
N 1


xT ( N )Q0 x( N ) x T (i)Q1 x(i) uT (i)Q2 u(i)
k i 1
x
第8专题 最优化设计方法
主要内容: 线性二次型控制
预报和滤波理论
线性二次型高斯控制
针对随机系统按最优化方法设计控制器
假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态 和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求 允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类 问题称为线性二次型（Linear Quadratic）控制问 题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声， 且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声， 这类问题称为线性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussian）控制问题。
Ev(k ) 0, Ev(k )v ( j) V kj
T
Ew(k ) 0, Ew(k )w ( j) W kj
T
1 kj 0
k j k j
设V为非负定对称阵，W为正定对称阵，并设v
(k) 和w (k) 不相关。
问题：如何根据输出量y (k) 估计出x (k) 由于系统中存在随机的干扰v (k)和随机的量
进一步求得最优的控制决策为
u( N 1) Q
2
G
T
Q G )
0
1
G T Q0 Fx ( N 1)
L( N 1) x( N 1)
其中 得
L( N 1) Q2 G S ( N )G GT S ( N )F
T


1
S ( N ) Q0
J N 1 xT ( N 1) S ( N 1) x( N 1)
x(k 1) Fx (k ) Gu(k ) v (k ) y(k ) Cx (k ) w(k )
其中：x (k)为n维，u (k)为m维，y (k)为r 维，v (k)为n维，w (k)为r维。
假设v (k) 和w (k) 均为离散化处理后的高
斯白噪声序列，且有
F~ x (k 1) v (k 1)
可进一步求得一步预报误差的协方差阵为
P (k | k 1) E~ x (k | k 1) ~ x T (k | k 1)
EF~ x (k 1) v(k 1)F~ x (k 1) v(k 1)
测噪声w (k)，因此系统的状态向量x (k)也
是随机向量，y (k)是能够量测的输出量。若
记x (k)的估计量为 x ˆ (k ) 。
则：
~ ˆ (k ) x (k ) x (k ) x
为状态的估计误差。
因而
T ~ ~ P (k ) Ex (k ) x (k )
为状态估计的协方差阵。显然P (k)为非负定对
引入更一般的记号
ˆ ( j | k ) Ex( j ) | y(k ), y(k 1), x
若k>j，根据直到现时刻的量测量来估计过去 时刻的状态，称为内插或平滑； k<j，根据直到现时刻的量测量来估计将来时 刻的状态，称为预报或外推； k=j，根据直到现时刻的量测量来估计现时刻 的状态，称为滤波。
x T ( N 1)Q0 x( N 1) uT ( N 1)Q0 u( N 1)
首先求解u(N-1)，以使 J N 1 最小。求 J N 1 对u (N－1) 的一阶导数并令其等于零：
dJN 1 du( N 1) 2G T Q0 F T x( N 1) 2G T Q0 F T u( N 1) 2Q2 u( N 1)
ˆ (k | k 1) x
~ ˆ (k | k 1) 一步预报估计误差 x (k | k 1) x(k ) x P (k | k 1) E~ x (k | k 1) ~ x T (k | k 1)
一步预报估计误差协方差阵
同样，如：
ˆ (k ) x ˆ (k | k ) x
被控对象
最优装置
y (k )
LQG 最优控制器
T
最优调节器结构图
1
最优控制规律设计
•有限时间最优调节器设计 设连续被控对象的离散化状态方程为
x(k 1) Fx (k ) Gu(k )
x(0) x0 初始条件 给定二次型性能指标函数
J x ( N )Q0 x( N ) x T ( k )Q1 x( k ) uT ( k )Q2 u( k )
N N
存在，且是与 Q0 无关的常数阵。
②
S是如下的黎卡堤代数方程
T 1 T L ( Q G SG ) G SF 2 T T S ( F GL ( k ) S ( F GL ) L Q2 L Q1
或：
T
S F S SG(Q2 G SG) G S F Q1


或：
S (k ) F T S (k 1) S (k 1)G (Q2 G T S (k 1)G 1G T S (k 1) F Q1 S ( N ) Q0


的解，那么对于任何非负定对称阵 Q0 ，有
S lim S (k , N ) lim S (k , N )
LQG最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最 优估计器；另一部分是最优控制规律。 其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确 定性系统；二是考虑随机的过程干扰 v 和量测噪声
(t )
y (t )
w，设计状态最优估计器。
v(t )
状态最优 估计器
ˆ (k ) LQ 最优控 x 制规律
u (k ) 零阶保 持器 T
J N 1 J N x T ( N 1)Q1 x( N 1) uT ( N 1)Q2 u( N 1)
x T ( N )Q0 x( N ) x T ( N 1)Q1 x( N 1) uT ( N 1)Q2 u( N 1)
Fx( N 1) Gu( N 1) T Q0 Fx( N 1) Gu( N 1)
N 1
T
(k )Q1 x(k ) uT (k )Q2 u(k )

J i 1 xT (i)Q1 x(i) uT (i)Q2u(i)
其中：i＝N－1、N－2、…、0。 下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。
由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有
J N x T ( N )Q0 x( N )
S( N 1) F GL( N 1) S( N )F GL( N 1)
T
其中
Q1 LT ( N 1)Q2 L( N 1)
依次，可得
u( N 2)
、u( N 3) 、…、 u(0) 。
计算 u(k )公式归纳：
u(k ) L(k ) x(k )
Ev(k 1) | y(k ), y(k 1),
根据前面的定义，上式第一项为
ˆ (k 1) Fx
，
u(k-1)是输入到控制对象的确定量 ，因此上式
中的第二项为 Gu(k-1) 。第三项中 y (k) 、
y(k-1) 、 …均与 u(k-1)不相关，则第三项为零。 求得一步预报方程为：
这里讨论的状态最优估计问题即指滤波问题。
引入如下记号:
ˆ (k 1) x ˆ (k 1 | k 1) x

k-1时刻状态估计 k-1时刻状态估计误差 k-1时刻估计误差协方差阵 一步预报估计
~ ˆ (k 1) x (k 1) x(k 1) x
P (k 1) E~ x (k 1) ~ x T (k 1)
ˆ (k | k 1) Fx ˆ (k 1) Gu(k 1) x
根据上式，可求得一步预报估计误差为
~ ˆ (k | k 1) x (k | k 1) x(k 1) x
ˆ (k 1) Gu(k 1) Fx(k 1) Gu(k 1) v(k 1) Fx
L(k ) Q2 G S (k 1)G G T S (k 1)F
T


1
S (k ) F GL(k ) S (k 1)F GL(k ) Q1 LT (k )Q2 L(k )
T
S ( N ) Q0
其中 k N 1, N 2, ,0 最优性能指标为

wenku.baidu.com
k时刻状态估计
求一步预报误差
ˆ (k | k 1) Ex(k ) | y(k ), y(k 1), x
EFx(k 1) Gu(k 1) v(k 1) | y(k ), y(k 1),
EFx(k 1) | y(k ), y(k 1), EGu(k 1) | y(k ), y(k 1),
J min x T (0) S (0) x(0)
满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。 利用以上公式可以逆向递推计算出S (k)和L (k)。
•无限时间最优调节器设计 设被控对象的状态方程为 x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
x(0) x0 当N→∞时，其性能指标函数简化为
称阵。这里估计的准则为：根据量测量y (k)，
y (k－1)，…，最优地估计出，以使P (k)极小 （因P (k)是非负定对称阵，因此可比较其大
小）。这样的估计称为最小方差估计。
根据最优估计理论，最小方差估计为：
~ x (k ) Ex(k ) | y(k ), y(k 1),
即x(k)最小方差估计等于在直到k时刻的所有 量测量y的情况下x(k)的条件期望。
可以证明有以下几点结论：
①设S (k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程
L(k ) Q2 G T S (k 1)G 1 G T S (k 1) F T T S ( k ) F GL ( k ) S ( k 1 ) F GL ( k ) Q L (k )Q2 L(k ) 1 S(N ) Q 0
J x T (k )Q1 x (k ) u T (k )Q 2 u(k )
k 0


其中 Q1 是非负定对称阵， Q2 是正定对称阵。 假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能观的， 其中D为能使DTD＝Q1成立的任何矩阵。
计算机控制系统的最优设计，最经常碰到
的是离散定常系统终端时间无限的最优调 节器问题。当终端时间N→∞时，矩阵S (k) 将趋于某个常数，因此可得到定常的最优 反馈增益矩阵L，便于工程实现。
当满足上述结论中所给条件时，最优的反馈控制 规律是常数阵；且使闭环系统渐近稳定。
最优反馈控制规律的计算，既可以通过直接黎卡
堤代数方程求解，也可以通过迭代法解黎卡堤差
分方程求得。
结论条件“是正定对称阵”可以放宽到“是正定
对称阵”。
2
状态最优估计器设计
1）Kalman滤波公式的推导 设被控对象的离散状态空间表达式为