第七章多元函数微分学第七节二重积分
高等数学概论易修教材目录
高等数学概论易修教材目录第一章：导言1.1 数学的定义与发展1.2 高等数学的重要性第二章：函数与极限2.1 函数的概念与性质2.2 极限的定义与性质2.3 极限的运算法则与常用极限第三章：微分学3.1 导数的定义与性质3.2 高阶导数与导数的应用3.3 微分中值定理与泰勒展开第四章：积分学4.1 不定积分的定义与性质4.2 定积分的定义与性质4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分第五章：微分方程5.1 一阶常微分方程5.2 高阶常系数线性齐次微分方程 5.3 常系数线性非齐次微分方程解法第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的定义与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分与曲线、曲面积分第八章：向量代数与空间解析几何 8.1 向量的定义与运算8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程第九章：无穷级数9.1 数列的极限与性质9.2 级数的收敛与发散9.3 幂级数与泰勒级数第十章：常微分方程初步10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性常微分方程10.3 二阶线性常微分方程及应用第十一章：几何与解析几何基础11.1 矢量与线性变换11.2 直线与平面的位置关系11.3 空间曲线的参数方程与切线第十二章：多元函数微分学进阶12.1 多元函数的极值与条件极值12.2 隐函数与参数方程的微分学应用 12.3 多元函数的泰勒公式第十三章：多元函数积分学进阶13.1 重积分的计算方法与坐标变换 13.2 曲线、曲面积分的计算方法13.3 广义积分的收敛性与判定第十四章：曲线与曲面积分14.1 曲线的曲率与曲率半径14.2 曲线积分的计算方法与应用14.3 曲面积分的计算方法与应用第十五章：多元函数微分学综合应用 15.1 极值问题的应用15.2 曲线与曲面的参数化15.3 向量场与流量的应用第十六章：傅里叶级数与傅里叶变换 16.1 傅里叶级数的定义与性质16.2 傅里叶级数的计算与应用16.3 傅里叶变换与信号处理第十七章：线性代数初步17.1 行列式与矩阵的基本概念与性质 17.2 线性方程组与向量空间17.3 特征值与特征向量第十八章：数值计算方法初步18.1 数值计算的误差与有效数字 18.2 数值求解方程的方法18.3 矩阵运算与数值积分第十九章：概率论基础19.1 随机事件与概率的基本概念 19.2 条件概率与独立性19.3 随机变量与概率密度函数第二十章：数理统计基础20.1 统计量与样本分布20.2 参数估计与假设检验20.3 简单线性回归分析第二十一章：多元统计分析初步 21.1 样本相关与回归分析21.2 单因素方差分析21.3 多因素方差分析以上为《高等数学概论易修教材》的目录，希望本教材能够帮助学生快速掌握高等数学的基本概念与方法，提高数学素养和分析问题的能力。
微积分课程教学大纲
《微积分》课程教学大纲一、使用说明（一）课程性质《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。
微积分作为一学年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生较好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其手法解决实际问题中的简单课题。
（三）教学时数本课程共132学时，8学分。
（四）教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。
（五）面向专业经济学、管理学所有本科专业。
二、教学内容第一章函数（一）教学目的及要求[教学目的]使学生正确理解函数的定义。
理解函数的各种表示法，特别是分析表示法。
了解函数的几何特性及图形特征，了解反函数、复合函数概念。
熟练掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的结构并能确定其定义域，能列出简单的实际问题中的函数关系。
[基本要求]1、理解实数及实数的绝对值的概念。
2、理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表示法。
3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。
4、了解反函数概念；知道函数及其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。
5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。
7、了解分段函数的概念。
8、会建立简单应用问题的函数关系。
（二）教学内容函数的定义，函数的几何特性，反函数，复合函数，初等函数，经济中的常用函数。
教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。
2、初等函数的概念，复合函数的复合步骤的分解方法。
高等数学2教材txt
高等数学2教材txt高等数学2教材txt是一本针对大学高等数学2课程编写的教材，旨在帮助学生深入理解和掌握高等数学的相关知识和技能。
本教材以提高学生的数学思维和解题能力为主要目标，结合理论与实践，注重培养学生的数学建模和问题解决能力。
本文将对该教材的内容进行详细介绍。
第一章：函数与极限本章主要介绍函数的基本概念和性质，引入极限的概念及其运算法则。
通过对函数的极限研究，学生可以更好地理解函数的变化过程和趋势，并能够灵活运用极限概念解决实际问题。
第二章：导数与微分本章主要介绍导数的定义和性质，探讨函数的切线、法线以及相关的应用问题。
通过对导数的研究，学生可以了解函数的局部变化规律，掌握求取函数极值以及曲线的绘制方法。
第三章：不定积分与定积分本章主要介绍不定积分和定积分的概念与性质，讨论基本的积分方法和工具。
通过对积分的研究，学生能够求解曲线下的面积、定积分的应用问题，并学会运用不定积分求解原函数。
第四章：微分方程本章主要介绍微分方程的基本理论和解法，探讨一阶和二阶常微分方程的解法。
通过对微分方程的研究，学生可以理解微分方程的物理和几何意义，掌握常微分方程的解的基本方法。
第五章：级数本章主要介绍级数的基本概念和性质，讨论级数的收敛性和发散性，以及常见级数的求和方法。
通过对级数的研究，学生可以理解级数在数学和物理上的应用，掌握级数求和的技巧。
第六章：多元函数微分学本章主要介绍多元函数的偏导数和全微分的定义及性质，讨论多元函数的极值、条件极值和隐函数定理。
通过对多元函数微分学的研究，学生可以理解多元函数的变化规律，掌握求取多元函数的极值和最优解的方法。
第七章：重积分本章主要介绍二重积分和三重积分的概念和性质，探讨积分的计算方法和坐标变换。
通过对重积分的研究，学生能够计算曲面的面积、求取空间体积，并学会运用重积分解决实际应用问题。
第八章：曲线与曲面积分本章主要介绍曲线积分和曲面积分的概念与性质，讨论曲线积分和曲面积分的计算方法。
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
新版高等数学教材答案
新版高等数学教材答案在新版高等数学教材中，有很多难题和复杂的数学理论需要学生深入理解和掌握。
为了帮助学生更好地学习和掌握高等数学知识，答案是必不可少的工具之一。
下面是我整理的一些高等数学教材答案，希望对广大学生有所帮助。
第一章：函数与极限1. 函数极限的概念和性质2. 常见函数的极限计算3. 极限的四则运算法则4. 极限存在准则第二章：导数与微分1. 导数的定义和性质2. 常见函数的导数计算3. 高阶导数与隐函数导数计算4. 微分的概念及其应用第三章：中值定理与导数应用1. 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理2. 柯西中值定理和达布中值定理3. 费马引理和罗尔定理的推广4. 高阶导数的应用第四章：不定积分与定积分1. 基本积分表与不定积分2. 常用换元法和分部积分法3. 定积分的概念和性质4. 牛顿—莱布尼茨公式和换元法在定积分中的应用第五章：曲线与曲面积分1. 曲线积分的概念和性质2. Green公式和高斯公式3. 曲面积分的概念和性质4. 斯托克斯公式和格林公式的推广第六章：无穷级数1. 数列极限的概念和性质2. 数列极限判定法3. 无穷级数的概念和性质4. 常见无穷级数的求和计算第七章：多元函数微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 方向导数和梯度4. 隐函数存在定理第八章：多元函数积分学1. 二重积分的概念和性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念和性质4. 三重积分的计算方法和应用第九章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法3. n阶常微分方程的解法4. 常微分方程的应用这些是新版高等数学教材中的一些题目的答案，每章的内容都有所涉及。
希望对学生们在学习高等数学过程中有所帮助，更好地理解和掌握数学知识。
当然，答案只是辅助学习工具，学生还需进行适当的思考和练习，从而更好地提升自己的数学能力。
通过对高等数学教材答案的整理和提供，希望能够为广大学生提供一个辅助学习的工具，使学习高等数学变得更加轻松和高效。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
北师大高等数学教材答案
北师大高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 如题所示，本章主要讨论函数与极限的概念及其相关性质。
2. 函数的定义、性质以及基本类型。
3. 极限的概念及其运算法则。
4. 一些常见函数的极限计算方法。
第二章：导数与微分1. 导数的定义及导数运算法则。
2. 高阶导数的定义与计算方法。
3. 微分的概念及微分运算法则。
4. 切线与切线方程的求解。
第三章：微分中值定理与导数应用1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的介绍与应用。
2. 泰勒公式及其应用。
3. 函数的单调性、极值点与拐点的判定。
4. 曲线的凹凸性与渐近线的求解。
第四章：定积分1. 定积分的定义、性质与意义。
2. 定积分的计算方法：牛顿—莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 曲线与 x 轴所围面积的计算。
4. 定积分的应用：求曲线长度、旋转体的体积、平均值等。
第五章：不定积分与定积分的应用1. 不定积分的定义与性质。
2. 基本积分表及其使用方法。
3. 积分的分部积分法、换元法等运算法则。
4. 定积分的应用：物理、几何问题中的应用。
第六章：无穷级数与幂级数1. 数项级数的概念及其性质。
2. 收敛级数与发散级数的判定方法。
3. 幂级数的收敛区间与收敛半径。
4. 幂级数的求和公式及其应用。
第七章：多元函数微分学1. 多元函数的概念与性质。
2. 偏导数的定义及计算方法。
3. 梯度、方向导数与最速下降问题。
4. 条件极值与无条件极值的求解。
第八章：重积分1. 二重积分的定义、性质与计算方法。
2. 三重积分的定义、性质与计算方法。
3. 重积分在物理、几何问题中的应用。
4. 线面积分与曲面积分的概念及计算方法。
第九章：曲线积分与曲面积分1. 曲线积分的定义、性质与计算方法。
2. 向量场及其通量、环流的概念。
3. 曲面积分的定义、性质与计算方法。
4. 电场强度、电通量与高斯定理的介绍。
以上是《北师大高等数学教材》的答案内容简介，希望能够对你的学习有所帮助。
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
高等数学理工版教材目录
高等数学理工版教材目录第一章导数与微分1.1 函数与映射1.2 限制与连续1.3 导数的定义1.4 导数的计算1.5 高阶导数1.6 微分学中的应用第二章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数的极限2.3 无穷小与无穷大2.4 极限存在准则2.5 连续的概念与性质2.6 连续函数的运算第三章一元函数微分学3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式与运算法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与函数的逼近第四章一元函数积分学4.1 不定积分与定积分4.2 积分基本公式与运算法则4.3 第一类换元积分法4.4 第二类换元积分法4.5 定积分的几何应用4.6 牛顿—莱布尼茨公式与不定积分的逆运算第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一阶线性微分方程5.3 高阶线性齐次微分方程5.4 二阶线性非齐次微分方程5.5 线性微分方程的解法总结5.6 非线性微分方程与常微分方程的初步第六章多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程的微分6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 二重积分的计算6.6 重积分的计算与应用第七章多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法7.5 曲线积分与曲面积分7.6 广义积分的概念与收敛性第八章空间解析几何8.1 坐标系与向量8.2 空间平面与直线8.3 点、直线与平面的位置关系 8.4 球面与圆锥面8.5 空间曲线与曲面8.6 曲线与曲面的参数表示第九章数值级数9.1 级数的概念与性质9.2 正项级数的审敛法9.3 收敛级数的性质9.4 幂级数与函数展开9.5 函数项级数的收敛性9.6 反常积分与反常级数第十章复变函数与积分变换10.1 复数及其运算10.2 复变函数的概念10.3 解析函数与全纯函数10.4 积分变换的基本概念10.5 拉普拉斯变换10.6 傅里叶变换第十一章偏微分方程11.1 偏微分方程的基本概念 11.2 一阶线性偏微分方程11.3 二阶线性偏微分方程11.4 热方程与波动方程11.5 椭圆型方程与抛物型方程 11.6 解的存在唯一性与稳定性第十二章线性代数初步12.1 行列式与矩阵的运算12.2 矩阵的秩与逆12.3 矩阵方程与向量空间12.4 线性方程组12.5 特征值与特征向量12.6 对角化与二次型以上是《高等数学理工版教材》的目录内容，涵盖了导数与微分、极限与连续、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、空间解析几何、数值级数、复变函数与积分变换、偏微分方程、线性代数初步等重要的数学知识点。
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
7.8二重积分
区域[0, 1; 0, 1].
解： e dxdy 0 dx 0 e dy 0 e [0 e x y dy ]dx
x y x y x D
1
1
1
1
e dx e y dy (e 1)2 .
x 0 0
1
1
注 本题积分区域是矩形,所以先对 x 或 y 都是
可以的.
示第 i 个小区域的密度, 相应地, 所给平面薄片被分
割成 n个小平面薄片.
第7章 多元函数微积分学
(2)求和 由于 ( x, y) 连续,当 i 的直径很小时,
i 上的密度近似看成不变.
在小区域 i 上任取一
点 (i ,i ) ,则 i 的质量近似为 (i ,i ) i 于是整个薄片
a D
b
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y )dy ]dx.
(8.3)
第7章 多元函数微积分学
(2) 若区域 D可表示为
D {( x, y) | c y d ,1 ( y) x 2 ( y)},
称之为 y－型区域(如图7－18b所示), 则
f ( x, y)dxdy [
第7章 多元函数微积分学
对于均匀薄片,即面密度是常数时,计算公式为 质量M = 面密度×面积. 现在薄片的密度是变量, 薄片的质量, 可用处理 曲顶柱体的体积的方法来计算薄片的质量.
(1)分割 将区域 D任意分割成 n个小区域:1, 2 ,
, n ,它们两两没有公共内点,并用 i (i 1, 2,, n) 表
, n ,它们两两没有公共内点,并用 i (i 1, 2,, n)
表
示第i 个小区域的面积,相应地,所给曲顶柱体被分割
多元函数
z f x, y 在点 y y0
M 0 x0 , y0 , f x0 , y0 偏导数 f xx0 , y0 就是曲面 y y0 上曲线
二元函数 z f x, y 是区域D上的一个曲面， P0 x0 , y0 D，所以曲面上有相应的一点
称为函数 z f x, y 的图像。 所以二元函数 z f x, y 的几何意义是定义在 平面区域D上的三维空间中的一个曲面。
例4 讨论二元函数 z 1 x 2 y 2 的图像。
解：定义域为 x, y x 2 y 2 1 ，并且函数
z 0 。对 z 1 x 2 y 2 两边平方整理后，得
（2，3）点。
z (1)把y看作常数，有 x 2 xy
所以
f x2 2 （2）把x看作常数，有 x
所以
z x
2,3
2 2 3 12
f x
2,3
2 2 2
2
例3 求二元函数
ze
y sin x
的偏导数。
解：（1）把y看作常数，有
z e x
1 解：与一元函数的计算相仿，把 x , y 3 2
代入到二元函数的表达式，得
1 1 1 2 315 f ,3 3 3 2 6 3 2 2
把 x 1, y 1 代入二元函数的表达式，得：
1 f 1,1 1 1 2 1
其中
D是函数 y f x1 , x2 ,, xn 的定义域
x1 , x2 ,, xn 称为自变量，y是因变量，
二元和二元以上的函数统称为多元函数
定义7.3 设D是n维空间 R n 的非空子集，如果 对D中的任意点 Px1 , x2 , xn ，按照对应法则f，
高等数学下教材内容
高等数学下教材内容高等数学是大学数学的一门重要课程，它的教材内容十分广泛而且深入。
本文将按照章节的顺序，对高等数学下教材的内容进行概括和总结。
一、数列与函数数列与函数是高等数学的基础，也是理解后续知识的关键。
教材首先对数列的概念、性质和收敛性进行了详细的介绍。
随后讲解了函数的定义、基本性质和分类。
其中包括常见的代数函数、三角函数和指数函数等。
二、微分学微分学是高等数学的重要分支，它研究函数的变化率和极限。
教材先从导数的定义开始，介绍了常用函数的导数公式和运算法则。
然后深入讲解了微分中的极值问题、函数的凹凸性和曲线的拟合问题。
三、积分学积分学是微分学的反向过程，它研究函数的面积和累积效果。
教材从不定积分开始，介绍了基本积分公式和换元积分法。
接着讲解了定积分的概念和性质，以及应用积分解决曲线长度、旋转体体积和物理问题等。
四、多元函数微分学多元函数微分学是对单变量函数微分学的推广，它研究多元函数的导数和极值。
教材首先介绍了多元函数的概念和性质，然后讲解了多元函数的偏导数和全微分。
最后探讨了多元函数的极值问题和拉格朗日乘数法。
五、无穷级数无穷级数是数列的和的概念，它在科学和工程领域中具有广泛应用。
教材从数列极限开始，引入了单项级数和的定义和性质。
随后讲解了正项级数和和反常级数的概念，并给出了判别级数收敛的常用方法。
六、常微分方程常微分方程是研究函数变化率和初值条件的方程，它在应用数学和物理学中有重要的应用。
教材介绍了常微分方程的基本概念和分类，并以一阶线性微分方程和二阶线性常系数微分方程为例详细讲解了解法和应用。
七、二重积分与三重积分二重积分与三重积分是对积分学的推广，它们用于计算二维和三维图形的面积、体积和质量等。
教材从二重积分的定义和性质开始，讲解了极坐标系下的二重积分和曲线坐标系下的二重积分。
接着介绍了三重积分的概念和计算方法。
综上所述，高等数学下教材内容包括数列与函数、微分学、积分学、多元函数微分学、无穷级数、常微分方程以及二重积分与三重积分等。
高等数学教材郑州大学答案
高等数学教材郑州大学答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念及其计算方法1.2 导数的几何意义与应用1.3 高阶导数第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理2.2 高阶导数的应用2.3 函数的单调性与曲线的凹凸性2.4 函数的图形与曲线的渐近线第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.2 换元积分法3.3 分部积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 定积分的计算方法4.3 牛顿-莱布尼茨公式4.4 定积分的应用第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次线性微分方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性微分方程第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数的概念与性质6.4 幂级数收敛半径的计算6.5 幂级数的展开与运算第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数与参数方程7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 二重积分的概念与计算方法第八章：空间解析几何与向量代数8.1 点、直线与平面的方程8.2 空间曲线的参数方程与切向量8.3 空间曲面的方程与法向量8.4 空间直线与平面的位置关系8.5 向量的基本运算与数量积第九章：多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.2 三重积分的概念与性质9.3 二重积分的计算方法9.4 三重积分的计算方法9.5 曲线、曲面积分与应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 第一类曲面积分10.4 第二类曲面积分10.5 牛顿-莱布尼茨公式再探第十一章：无穷级数的收敛性11.1 数项级数的审敛法11.2 幂级数的收敛性11.3 函数项级数的一致收敛性11.4 傅里叶级数第十二章：曲线与曲面积分的应用12.1 斯托克斯定理12.2 高斯公式12.3 曲线积分、曲面积分与物理应用12.4 一类重要的积分变换以上是《高等数学教材郑州大学答案》的大致内容框架，具体的答案请参考教材中的习题解析和题库。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
高等数学第七版教材解析
高等数学第七版教材解析高等数学是大学数学的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。
而高等数学第七版教材是目前主流的教材之一，本文将对该教材进行详细解析，让读者对其内容有更深入的了解。
第一章：函数与极限函数与极限是高等数学的基础，本章主要介绍了函数的概念、性质以及极限的定义与运算法则。
其中，函数的定义包括定义域、值域、图像等重要概念，而极限的概念则是理解微积分基础的重要前提。
在本章中，学生将学会如何判断函数的奇偶性、周期性，并能熟练计算函数的极限。
第二章：导数与微分导数是微积分的核心内容之一，本章主要介绍了导数的概念、性质以及相关运算法则。
学生将学会如何求函数的导数，掌握常见函数导数的计算方法，并能运用导数进行函数的分析与优化问题的求解。
此外，本章还深入介绍了微分的概念，对于理解函数的变化规律十分重要。
第三章：数列与级数数列与级数是高等数学的重要内容，本章主要介绍了常数数列、通项数列以及级数的概念与性质。
学生将了解数列与级数的收敛性与敛散性的判断方法，并能应用各种收敛定理进行数列与级数的求和计算。
这些概念与方法在数学、物理等领域都有广泛应用。
第四章：一元函数的微分学本章主要研究一元函数的微分学，包括函数的单调性、极值与最值、函数的凹凸性与拐点等内容。
学生将学会如何利用导数信息对函数进行全面的分析与解释，从而更好地理解数学模型与实际问题之间的关联。
此外，本章还介绍了泰勒公式和麦克劳林公式等重要的数学工具。
第五章：一元函数的积分学积分学是微积分的另一个重要分支，本章主要介绍了一元函数的不定积分、定积分以及其应用。
学生将学会利用不定积分求解函数的原函数，掌握定积分的计算方法，并能应用定积分解决实际问题。
此外，本章还深入讨论了反常积分的性质与计算方法。
第六章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学的拓展内容，本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、梯度以及多元函数的极值与最值等概念和性质。
学生将学会如何求解多元函数的偏导数，掌握多元函数的微分运算法则，并能运用微分学方法解决多元函数的优化问题。
07_多元函数和二重积分
第一节课例5 考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：(1) f(x,y)在点（0,0x y ）处连续 (2) f(x,y)在点()00,x y 处的两个偏导数连续 (3) f(x,y)在()00,x y 可微 (4) f(x,y)在点()00,x y 处的两个偏导数存在 若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q,则有（ ）（A ）②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① (D)③⇒①⇒④ 解：偏导数连续（最强）⇒可微⇒在点（00,x y ）连续. 故选(A).图例6 设)()(xy xg y x yf u +=其中函数 f, g 具有二阶连续导数，求222uux y x y x ∂∂+∂∂∂解： 混合偏导数连续2221''()u u x yy x u y yf g xg xyx∂∂⇒=∂∂∂∂∂=++-∂22232221''''''''u yf g y x x u x y f g x y y x ⎧∂=+⎪∂⎪⎨∂⎪=--⎪∂∂⎩2220u u xyx yx∂∂∴+=→∂∂∂经常有此种情况，可做经验。
例7 设3(,),y z x f xy f x=具有连续二阶偏导数，求222,,z z z y x yy∂∂∂∂∂∂∂'22'14f x f x yz +=∂∂ ,"22"123"115222xf f x f x yz ++=∂∂,"22"114'2'132224yf yf x xf f x xy z yx z -++=∂∂∂=∂∂∂例8设(2)(,)z f x y g x xy =-+其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数，求2z x y∂∂∂解：2'''2'''''''u vuv v vvz f g yg xz f xg g xyg x y∂=++∂∂=-+++∂∂例9 设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，求2z x y∂∂∂解：vf x y uf xz ∂∂+∂∂=∂∂c 2vf xvf xx y vu f x y x uf yx z ∂∂+∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂c o s c o s s i n )c o s s i n 2(2222222例10 设变换2u x y v x ay=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x y x y ∂∂∂+-=∂∂∂∂ 简化为20zx y ∂=∂∂。
高等数学c教材各章内容
高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一，也是学习数学的基础。
它包含了多个章节，每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。
下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。
第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。
学习这一章的内容，我们可以了解到导数的几何意义和物理意义，可以计算各种类型函数的导数，掌握求导的基本规则，并能够利用导数解决实际问题。
第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。
通过学习这一章，我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。
在导数的应用方面，我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值，计算函数的曲率，解决相关最优化问题等。
第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质，以及常见的求不定积分的方法。
学习这一章的内容，我们可以了解到不定积分的定义和基本性质，学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分，还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。
第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。
通过学习这一章，我们可以了解到定积分的几何和物理意义，学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。
此外，我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。
第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。
在这一章节，我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。
同时，我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。
第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。
通过学习这一章的内容，我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。
此外，我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法，以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。
第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。