锐角三角函数的实际应用问题

锐角三角函数的实际应用问题

一、《数学新课程标准》课标要求

《数学新课程标准》中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。

数学离不开生活，生活也离不开数学。在实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。而锐角三角函数的实际应用注重联系学生的生活实际，侧重于解决与学生生活比较接近的实际问题，突出了学数学、用数学的意识与过程。

二、考向分析

结合近五年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:

1.命题方式为运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题. 题型解答题,以中档题出现.分值都是9分；

2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题；

三、锐角三角函数的实际应用这道题的价值

1.它是代表初中几何图形的计算中的一个最高水平；

2.此题蕴含的数学思想比较多，如化归思想、方程思想等；

3.能加入实际生活的背景，增强学生的数学应用意识；

4.能把学生的基本思想、基本方法、基本能力呈现出来。

四、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题变与不变

1.价值不变

2.基本模型不变；

3. 2012.201

4.201

5.2016四年都是考察解直角三角形的应用-仰角俯

角问题．2013年考察解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

4. 2012. 2013. 2016年的都能在图中找到与已知和未知相关联的直

角三角形，2014.2015年要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际

问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

5.外形变化，实际背景变化，一些条件和结论的变化。

五、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题回顾

1.（河南省2012）（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许

多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直

固定。小明为了测量此条幅的长度，他先测得楼顶A 点的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC =7米，∠ABD =90°.请根据以上数据求条幅

的长度（结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）.

考点： 解直角三角形的应用-

【解析】设AB x =米，

∴45,90.AEB ABE BE AB x ︒︒∠=∠=∴== 在Rt ABD 中，tan ,AB D BD

∠=

即tan 31.16x x ︒=+ ∴16tan 31160.624.1tan 3110.6

x ︒︒⨯=≈=-- 第20题

即24AB ≈(米)

在Rt ABC 中25AC =≈=

即条幅的长度约为25米

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造

直角三角形并解直角三角形．

2、（河南省2013）（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水

库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由

原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加

高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE ︒∠=，新坝体的高为DE ，背水坡坡角60DCE ∠=︒。求工程完工后背水坡底

端水平方向增加的宽度AC .

(结果精确到0.1米，参考数据

sin680.93,cos680.37,tan68 1.73︒︒︒≈≈≈≈）

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析： 在Rt △BAE 中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角

形求出AE 的长度，然后在Rt △DCE 中解直角三角形求出CE 的长度，

然后根据AC=CE ﹣AE 求出AC 的长度即可．

解答： 解：在Rt △BAE 中，

∵BE=162米，∠BAE=68°，

∴AE= = =64.8（米），

在Rt△DCE中，

∵DE=176.6米，∠DCE=60°，

∴CE= = = ≈102.1（米），

则AC=CE﹣AE=102.1﹣64.8=37.3（米）．

答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．

3．（9分）（2014河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）

CD=

==x•tan68°x=≈308 4. （河南省2015）（9分）如图所示，某学校活动小组选定测

量小河对岸大树BC 的高度，他

们在斜坡上D 处测得大树顶端B

处的仰角是300，朝大树方向下

坡走6米到达坡底A 处，在A

处测得大树顶端B 处的仰角是

480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，3≈1.73）

【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结合题目中的信息，即要延长BD 交AE 于点G ，并过点D 作DH ⊥AE 于点H ，分别在Rt △GBC 和Rt △ABC 中表示出CG 和AC 的长即可求解.

解：延长BD 交AE 于点G,过点D 作DH ⊥AE 于H ，

由题意得，∠DAE=∠BGH=300,DA=6,∴GD=DA=6,

∴GH=AH=DA ·cos300=6

…………………………2分

设BC=x 米，在Rt △GBC 中，

GC=

0x tan tan 30

BC BGC ==∠……………4分

在Rt △ABC 中，AC=0x tan tan 48BC BAC =∠………………………………………6分 ∵GC-AC=GA,

∴

x tan 48

8分 ∴x ≈13.即大树的高约为13

米。………………………………………………9分