2018南通一模(四)数学

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江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理含答案

xyy 0 11π24y 05π24O （第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设复数满足（为虚数单位），则复数． 2．已知集合，，则共有个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为．5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为． 6．函数的定义域为． 7．若函数的部分图象如图所示，则的值为．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为．9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则．10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则． 11．已知数列中，，，．若是等比数列，则． 12．已知，，若，则的最小值为．13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为．14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，交于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且．（1）求证：平面；（2）求证：．17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，， ,在上，且 ,．（1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式；（2）多边形面积的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知分别为椭圆（）的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．(第16题图)PABCD QO19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．（1）若，求函数的单调增区间；（2）若函数为上的单调增函数，求的值；（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：．20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列通项公式为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．在相应的答题区域内作答A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若DA = DC，求证：AB = 2BC．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量．（1）求矩阵的另一个特征值；（2）求矩阵的逆矩阵． C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线被曲线所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．（1）求的值；（2）求的值；（3）设，求证：．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【解析】．2．【解析】由条件得，所以的子集有个．3．【解析】由题意可知．4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为6．【解析】由已知得，，所以7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．9．【解析】因为，，所以．10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以．11．3049 【解析】，所以，所以．12．【解析】因为，，，所以．令，，，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为．13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．14．【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．当时，恒成立，符合；当时，，所以在上单调递增，不符合；当时，，所以在上单调递减，此时，即．令（），不等式即为，由于，所以在上单调递增，而当时，，所以恒成立．综上所述，的取值范围是．15．解：（1），，…… 2分，…… 4分所以函数的最小正周期为．…… 6分（2），，且，，…… 8分，，…… 10分，…… 12分，．…… 14分16．证明：（1）如图，连接，因为，，所，………2分又，所以，…………4分又平面，平面，所以平面. ……… 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，…………………8分又平面，所以，…………………10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面，…………………12分又平面，所以．…………………14分17．解：连接，，，，，，………2分（1）在中，，，，，，………4分，．………8分（2）令，，则，且，………10分，，………12分当，即时，，即多边形面积的最大值为平方米．………14分18．解：（1）因为椭圆经过点和点，所以…… 2分解得，所以椭圆的方程为．…… 6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为．…… 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，．若，则．…… 14分解得，所以，即直线的斜率．…… 16分解法二：由（1）可得，设（），则①，…… 8分直线，由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，，若，则，所以②，…… 12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以，即直线的斜率．…… 16分19．解：（1）当a=0时，，，令，得，所以的单调增区间为．…… 3分（2），因为函数为上的单调增函数，所以0在上恒成立．……5分当时，，0显然成立；当时，恒成立，则恒成立，此时；当时，恒成立，则恒成立，此时．综上，．…… 8分（3）不妨设，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，，，…… 10分在上单调递减，所以要证，即证，即证，又因为，所以即证（*）．12分记，，，所以在上恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，，所以，即，（*）式得证．所以，命题成立．…… 16分20．解:（1）因为，所以，…… 2分所以，所以，即．…… 4分（2）设的公差为，因为，所以（*），特别的当时，，即，…… 6分由（*）得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，…… 8分于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是．…… 10分（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，…… 12分假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为(为常数)，则存在，，使得，即，…… 14分设，则，即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．…… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A．证明：连接OD因为DC为切线且点D为切点，所以因为OA=OD所以又因为AD=DC所以故所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B．解：（1）由条件得，，，解得………2分因为矩阵，所以特征多项式为，………4分令，解得．所以矩阵的另一个特征值为．………5分（2）因为，………7分所以．………10分C．解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即，………2分曲线表示的是圆心，半径为的圆．………4分直线的参数方程为参数化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，………8分直线被曲线所截得的弦长为．………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D．证明：由柯西不等式可知所以，当且仅当时取等号．………10分22．解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．………4分；；．………6分所以随机变量X的分布列为X 0 1 2P………8分数学期望．………10分23．解：（1）．………2分（2）．………4分（3）证明：，，，．………10分。

高三数学-2018年南通市高三第一次调研考试精品

2018年南通市高三第一次调研考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上． 3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k ) =C kn P k (1－P )n －k正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=cl 21其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球= 43π3R ，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M ={y|y=x -2}，P ={y |y=x －1 }，那么M ∩P=A ．(1，+∞)B ．［1，+∞)C ．(0，+∞)D ．［0，+∞) 2．设3a =4,3b =12,3c =36，那么数列a ，b ，cＡ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列Ｃ．既是等差数列也是等比数列Ｄ．既不是等差数列也不是等比数列 3．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为A ．p+q －2p qB ．p+q －pqC ． p+qD ． pq 4．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z.5．将棱长为3的正四面体的各棱长三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E 为A ．16B ．17C ．18D ．196．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是A ．12 B ．1 C ．2 D ．927．已知向量=(2,1)， =(1,7)， =(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．48．直线 x 4 + y 3 =1与椭圆 x 216 + y 29 =1相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使△P AB 的面积等于12．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C 3个D ．4个9．函数y=f (x )与y=g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何x ，有f (x )+f (－x )=0，g (x )·g (－x )=1，且当x ≠0时，g (x ) ≠1，则()F x ＝2f (x )g (x )－1＋()f xA ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数10．当x ∈［0,2］时，函数f (x )=ax 2+4(a －1)x －3在x=2时取得最大值，则a 的取值范围是 A ．[－21,+∞) B ．[0，+∞） C ．[1, +∞) D ．[32,+∞)11．已知直线ax+by+1=0中的a ，b 是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线的共有A ．8条B ．11条C ．13条D ．16条 12．方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．02018年南通市高三第一次调研考试数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取名． 14．不等式(x －2)x 2－2x －3 ≥0的解集是．15．若（1＋x ＋31x）10＝∑40i=1 a i x 10－i，则a 10＝．16．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为（请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．18．（本小题满分12分）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B在底面上的射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？（Ⅲ）若α = arccos 13，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．C1ABCDA1B1得分评卷人20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．（Ⅰ）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)；（Ⅱ）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．21．(本题满分12分)已知正方形的外接圆方程为x2+y2－24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3，1)．（Ⅰ）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（Ⅱ）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．22．(本题满分14分)已知数列n 满足n a >0，且对一切n ∈N + ，有∑ni=1a 3i =S 2n，其中S n =∑ni=1a i ，（Ⅰ）求证：对一切n ∈N +，有a 2n +1 －a n+1=2S n ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：∑n k=1 ka 2k＜3．2018年南通市高三第一次调研考试数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．C ． 2．A 3．A 4．D 5．C 6． B 7．B 8．B 9．B 10．D 11．D 12．C 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．13．100 14. {x |x =－1或x ≥3}， 15. 2101 16.（2）、（4）三、解答题：本大题共6小题；共74分．17．（Ⅰ）()f x = 3 sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx …………………… 2分=2ωx ＋12 (1+cos2ωx )=sin(2ωx+π6 )+ 12……………………… 4分∵ ω>0，∴T=π=2π2ω ，∴ω=1． ……………………… 6分（Ⅱ）由（1），得()f x =sin(2x+π6 ) + 12,∴0＜x ≤π3 , ∴π6 ＜2x+π6 ≤5π6 ． ………………………… 9分∴()f x ∈[1，32]． ………………………… 12分18． (Ⅰ)①P （A ）= C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 4分 ②()P B =C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 8分 (Ⅲ) P （AB ）= C 25 ·2·C 12·2 A 410 = 163 , ()()P A P B =181， ∴()()P A P B ≠()P AB ，故A 与B 是不独立的． ……………………… 8分 19. （Ⅰ）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC 平面ABC ，∴ B 1D ⊥AC , 又AC ⊥BC ,BC ∩B 1D =D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． ………………………… 3分(Ⅱ) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知，只须B 1C ⊥BC 1， ………………………… 5 分 ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形，此时，BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC , 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ………………………… 7分∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点． ……………………… 8分（Ⅲ）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． …………………… 10分设AC=BC=AA 1=a ，在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos3，C 1E=322a ．在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°．……………… 12分解法二：（1）同解法一 ……………… 3分（Ⅱ）要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →|， ∴11()0AC CB BC +=， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， …………………… 7分 ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点． …………………8分（Ⅲ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－34a ，322a ），平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）．由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43y ＋2 2 3 z =0 . ∴n 2=（22，22，1）． ……………………10分 cos<n 1, n 2>＝112 +12+1 = 2 2 ，故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．………………………12分20. （Ⅰ）∵ f (x )=(x －a )(x －b)(x －c )＝ｘ3－（a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x －abc ……………3 分f ′(x )=3 x 2－2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2－ (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2－ (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2－ (b+c )x ＋bc ]=(x －a )(x －b )＋(x －a )(x －c ) ＋(x －b )(x －c )．……………………………6分（Ⅱ）∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2－2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立．∴△≤0, 4(a+b+c )2－12(ab+bc+ca ) ≤0，∴ (a －b )2＋(a －c ）2＋ (b －c )2≤0，∴ a=b=c ．∴ f (x )=(x －a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称． ………………………9分证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x －a )3图像上的任意一点，y=(x －a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a －x ，－y )，∵(2a －x －a )3=(2a －x )3= －(x －2a )3=－y ，∴点P ′在函数f (x )=(x －a )3的图像上，即函数f (x )=(x －a )3关于点(a ，0)对称．…………………………………………………………12分21．(Ⅰ) 由（x －12）2+y 2=144－a (a <144),可知圆心M 的坐标为(12，0)， …………………………2分依题意，∠ABM=∠BAM=π4 ，k AB = 13 , MA 、MB 的斜率k 满足| k －13 1＋13k |=1, 解得AC k =2，BD k =－ 12． …………………………………4分 ∴所求BD 方程为x+2y －12=0，AC 方程为2x －y －24=0． ……………6分(Ⅱ) 设MB 、MA 的倾斜角分别为θ1，θ2，则tan θ1＝2，tan θ2＝－12，设圆半径为r ，则A （12＋,55r r ），B （12－5r，5）， ……9分再设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于A ，B 两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（5r ）2=2p (12－5r )（5r ）2=2p （12＋5） ∴ r=4 5 ，p=2．得抛物线方程为y 2＝4x 。

江苏省南通市启东市2018届中考数学一模试卷含答案解析

2021年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．小超同学在“〞“〞1650000百度搜寻引擎中输入中国梦，我的梦，能搜寻到与之有关结果的条数是这个数用科学记数法表示为〔〕A．165×104B．×105C．×106D．×107 2．以下实数中，是无理数的为〔〕A．0B．﹣C．D．3．以下运算正确的选项是〔〕A．3﹣12352336 =﹣3B．=±3C．a+a=aD．〔ab〕=ab4．在下边的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不同样的是〔〕．正方体B．三棱柱C．圆柱D．圆锥5．如图，BD均分∠ABC，E在BC上且EF∥AB，假定∠FEB=80°，那么∠ABD的度数为〔〕A．50°B．65°C．30°D．80°6．某市70%的家庭年收入许多于3万元，下边必定许多于3万元的是〔〕A．年收入的均匀数B．年收入的中位数C．年收入的众数D．年收入的均匀数和众数7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC订交于点P，PA=2，PC=CD=3，那么PB=〔〕A．6B．7C．8D．98．一汽车在某向来线道路上行驶，该车离出发地的距离s〔千米〕和行驶时间t〔小时〕之间的函数关系以下列图〔折线ABCDE〕，依据图中供给的信息，给出以下说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车内行驶途中逗留了小时；③汽车内行驶过程中的均匀速度为千米/小时；④汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在渐渐减小．此中正确的说法共有〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，那么∠ACE的正弦值为〔〕A ．B ．C ．D ．10 ．如图，在 x轴正半轴上挨次截取 OA=A A=AA==A ﹣ A 〔n 为正整数〕，过点A 、A 、n 12 112 23 n1A 、、A分别作x 轴的垂线，与反比率函数 y= 〔x ＞0〕交于点P 、P 、P 、、P ，连结PP 、3n123n12P 2P 3、、P n ﹣1P n ，过点P 2、P 3、、P n 分别向P 1A 1、P 2A 2、、P n ﹣1A n ﹣1作垂线段，组成的一系列直角三角形〔见图中暗影局部〕的面积和是〔〕A ．B ．C ．D ．二、填空题(本题共8小题，每题3分，共24分)不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的地点上.11．在函数y=中，自变量x 的取值范围是．12．分解因式：x 3y ﹣4xy=13．如图，在△ABC 中，M 、N分别是．AB 、AC的中点，且∠A+∠B=136°，那么∠ANM=°．14 ．对于x 的一元二次方程 x 2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，那么k 值为．15 ．如图，菱形ABCD 的对角线 AC ，BD 订交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直径作一个半圆，那么图中暗影局部的面积为．16．除颜色外完好同样的五个球上分别标有1，2，3，4，5五个数字，装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任摸一球记下数字后放回．搅匀后再从中任摸一球，那么摸到的两个球上数字和为5的概率是．17．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为〔0，8〕，点B坐标为〔4，0〕，点E是直线y=x+4上的一个动点，假定∠EAB=∠ABO，那么点E的坐标为．18．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度同样，当它们抵达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE订交于点P，M是线段BC上随意一点，那么MD+MP的最小值为．三、解答题〔本题共10小题，共96分〕解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的地点和地区内解答.19．〔1〕计算：﹣|﹣5|+3tan30°﹣〔〕0；〔2〕解不等式〔x﹣1〕≤x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．20．如图，AB∥CD，AB=BC，∠A=∠1，求证：BE=CD．21．〔1〕先化简，再求值：x〔x+4〕+〔x﹣2〕2，此中x=；〔2〕解方程：﹣=1．22．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．1〕作BD的垂直均分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．〔要求用尺规作图，保留作图印迹，不要求写作法〕；2〕求证：DE=BF．23．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h〔单位：m〕与小球的运动时间t〔单位：s〕之间的关系式是h=﹣t2+10t〔0≤t≤4〕．1〕当小球的高度是时，求此时小球的运动时间；2〕求小球运动的最大高度．24．我市某中学艺术节时期，向学校学生搜集书画作品．九年级美术李老师从整年级14个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对搜集到的作品的数目进行了剖析统计，制作了以下两幅不完好的统计图．〔1〕李老师采纳的检查方式是集到作品共件，此中〔填“普查〞或“抽样检查〞〕，李老师所检查的B班搜集到作品，请把图2增补完好．4个班征〔2〕假如整年级参展作品中有4件获取一等奖，此中有2名作者是男生，2名作者是女生．此刻要在抽两人去参加学校总结表彰会谈会，求恰巧抽中一男一女的概率．〔要求用树状图或列表法写出剖析过程〕25．如图，“和睦号〞高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．睁开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．〔参照数据sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈〕26．如图，直线与双曲线〔k＞0，x＞0〕交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线〔k＞0，x＞0〕交于点B．〔1〕设点B的横坐标分别为b，试用只含有字母b的代数式表示k；〔2〕假定OA=3BC，求k的值．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点〔点P与A、C不重合〕，过点P作PE∥BC，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动．〔1〕设点P的运动时间为 t〔s〕，DE的长为y〔cm〕，求y对于t的函数关系式，并写出t的取值范围；〔2〕当t为什么值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；〔3〕将△ABD沿直线AD翻折，获取△AB′D，连结B′C．假如∠ACE=∠BCB′，求t的值．28．如图，Rt△ABO 的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为〔﹣3，0〕、〔0，4〕，抛物线y=+bx+c经过B点，且极点在直线x=上．〔1〕求抛物线对应的函数关系式；〔2〕假定△DCE是由△ABO沿x轴向右平移获取的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D 能否在该抛物线上，并说明原因；〔3〕在〔2〕的前提下，假定M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．2021年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷参照答案与试题分析一、选择题〔共 10小题，每题 3分，总分值 30分〕在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上1．小超同学在“百度〞搜寻引擎中输入“中国梦，我的梦〞，能搜寻到与之有关结果的条数是 1650000，这个数用科学记数法表示为〔〕A ．165×104B ．×105C ．×106D ．×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【剖析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，此中 1≤|a|＜10，n 为整数．确立 n 的值时，要看把原数变为a 时，小数点挪动了多少位，n 的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将1650000用科学记数法表示为：×106．应选：C ．【评论】本题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，此中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时重点要正确确立a 的值以及n 的值．2．以下实数中，是无理数的为〔〕A ．0B ．﹣C ．D ．【考点】无理数．【剖析】依据无理数是无穷不循环小数，可得答案．【解答】解：A 、0是有理数，故 A 错误；B 、﹣ 是有理数，故B 错误；C 、是无理数，故D 、是有理数，故C 正确；D 错误；应选：C ．【评论】本题考察了无理数，无理数是无穷不循环小数，有理数是有限小数或无穷循环小数．3．以下运算正确的选项是〔〕 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 C ．a 2+a 3=a 5D ．〔ab 2〕3=a 3b 6【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；归并同类项；负整数指数幂．【剖析】依据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，正数的算术平方根是正数，同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，可得答案．【解答】解：A 、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A 错误；B 、正数的算术平方根是正数，故B 错误；C 、不是同底数幂的乘法指数不可以相加，故D 、积的乘方等于乘方的积，故D 正确；应选：D ．C 错误；【评论】本题考察了积的乘方，熟记法那么并依据法那么计算是解题重点．4．在下边的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不同样的是〔〕．正方体B ．三棱柱C ．圆柱D ．圆锥【考点】简单几何体的三视图．【剖析】主视图、左视图分别从物体正面、左面看所获取的图形．【解答】解：A、主视图与左视图都是正方形；B、主视图为长方形，左视图为中间有一条竖直的虚线的长方形，不同样；C、主视图与左视图都是矩形；D、主视图与左视图都是等腰三角形；应选B．【评论】本题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看获取的视图，左视图是从物体的左面看获取的视图．注意全部的看到的棱都应表此刻三视图中．5．如图，BD均分∠ABC，E在BC上且EF∥AB，假定∠FEB=80°，那么∠ABD的度数为〔〕A．50°B．65°C．30°D．80°【考点】平行线的性质．【剖析】先依据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由角均分线的定义即可得出结论．【解答】解：∵EF∥AB，∠FEB=80°，∴∠ABC=180°﹣80=100°．BD均分∠ABC，∴∠ABD=∠ABC=50°．应选A．【评论】本题考察的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．6．某市70%的家庭年收入许多于3万元，下边必定许多于3万元的是〔〕A．年收入的均匀数B．年收入的中位数C．年收入的众数D．年收入的均匀数和众数【考点】统计量的选择．【剖析】依据众数、中位数、均匀数的定义解答．【解答】解：A、均匀数受极端值的影响较大，虽有70%的家庭年收入许多于3万元，但有可能有些家庭年收入特别低，致使均匀数低于3万元，故本选项错误；B、60%的家庭年收入许多于3万元，说明有一半家庭收入高于3万元，年收入的中位数大于3，故本选项正确；C、固然70%的家庭年收入许多于3万元，可是有可能3万元以上的许多，3万元正好不是中位数，故本选项错误；D、由A、B可知，本选项错误．应选：B．【评论】本题考察了众数、中位数、均匀数，理解它们的意义是解题的重点．7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC订交于点P，PA=2，PC=CD=3，那么PB=〔〕A．6B．7C．8D．9【考点】切割线定理．【剖析】直接利用割线定理得出PA?PB=PC?PD，从而求出即可．【解答】解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA?PB=PC?PD，PA=2，PC=CD=3，2PB=3×6解得：PB=9．应选：D．【评论】本题主要考察了切割线定理，正确记忆割线定理是解题重点．8．一汽车在某向来线道路上行驶，该车离出发地的距离s〔千米〕和行驶时间t〔小时〕之间的函数关系以下列图〔折线ABCDE〕，依据图中供给的信息，给出以下说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车内行驶途中逗留了小时；③汽车内行驶过程中的均匀速度为千米/小时；④汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在渐渐减小．此中正确的说法共有〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】一次函数的应用．【剖析】依据图象分别判断即可，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，共用时间是小时．【解答】解：①行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，故此选项错误；②依据图象从时到2时，是逗留时间，逗留小时，故此选项正确；③汽车在整个行驶过程中的均匀速度为千米/时，故此选项错误；④汽车自出发后 3小时至小时之间行程与时间成一次函数关系，因此速度不变，故此选项错误，故正确的说法是：②．应选：D．【评论】本题主要考察了函数图象的读图能力．要能依据函数图象的性质和图象上的数据剖析得出函数的种类和所需要的条件，联合实质意义获取正确的结论．9．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，那么∠ACE的正弦值为〔〕A．B．C．D．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【剖析】在Rt△ABC中，设AB=2a，∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，而后表示出AE的长，从而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，那么AE=2a﹣x；222在Rt△AEC中，由勾股定理，得：〔2a﹣x〕+3a=x，解得x=；∴AE=，EC=，sin∠ACE==．应选：B．【评论】本题考察的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等是解答本题的重点．10．如图，在x轴正半轴上挨次截取OA1=A1A2=A2A3= =A n﹣1A n〔n为正整数〕，过点A1、A2、A3、、A n分别作x轴的垂线，与反比率函数y=〔x＞0〕交于点P1、P2、P3、、P n，连结P1P2、P2P3、、P n﹣1P n，过点P2、P3、、P n分别向P1A1、P2A2、、P n﹣1A n﹣1作垂线段，组成的一系列直角三角形〔见图中暗影局部〕的面积和是〔〕A．B．C．D．【考点】反比率函数系数k的几何意义．【专题】规律型．【剖析】由OA1=A1A2=A2A3==A n﹣1A n=1可知P1点的坐标为〔1，y1〕，P2点的坐标为〔2，y2〕，P3点的坐标为〔3，y3〕P n点的坐标为〔n，y n〕，把x=1，x=2，x=3代入反比率函数的分析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3S n﹣1的值，故可得出结论．【解答】解：〔1〕设OA1=A1A2=A2A3==A n﹣1A n=1，∴设P1〔1，y1〕，P2〔2，y2〕，P3〔3，y3〕，P4〔n，y n〕，∵P1，P2，P3Bn在反比率函数y=〔x＞0〕的图象上，y1=2，y2=1，y3=y n=，S1=×1×〔y1﹣y2〕=×1×1=；S1=；3〕∵S1=×1×〔y1﹣y2〕=×1×〔2﹣〕=1﹣；∴S2=×1×〔y2﹣y3〕=﹣；S3=×1×〔y3﹣y4〕=×〔﹣〕=﹣；∴S n﹣1=﹣，∴S1+S2+S3++S n﹣1==1﹣+﹣+﹣+﹣=．应选A．【评论】本题考察的是反比率函数综合题，熟知反比率函数图象上各点的坐标必定合适此函数的分析式是解答本题的重点．二、填空题(本题共8小题，每题3分，共24分)不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的地点上.11．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≠﹣2．【考点】函数自变量的取值范围．【剖析】依据分母不可以为0，可得2x+4≠0，即可解答．【解答】解：依据题意得：2x+4≠0，解得：x ≠﹣2，故答案为：x ≠﹣2．【评论】本题考察了函数自变量的取值范围，解决本题的重点是明确分母不可以为0．12．分解因式：x 3y ﹣4xy=xy 〔x+2〕〔x ﹣2〕．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【剖析】先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x 2﹣4进行分解．3，【解答】解：xy ﹣4xy=xy 〔x 2﹣4〕，=xy 〔x+2〕〔x ﹣2〕．【评论】本题是考察学生对分解因式的掌握状况．因式分解有两步，第一步提取公因式 xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2﹣4进行分解，获取结果xy 〔x+2〕〔x ﹣2〕，在作答试题时，很多学生分解不到位，提取公因式不完好，或许只提取了公因式．13．如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A+∠B=136°，那么∠ANM= 44°．【考点】三角形中位线定理．【剖析】由三角形内角和定理易得∠C 度数，MN 是△ABC的中位线，那么所求角的度数等于∠C度数．【解答】解：在△ABC 中，∵∠A+∠B=136°，∴∠ACB=180°﹣〔∠A+∠B 〕=180°﹣136°=44°， ∵△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， MN ∥BC ，ANM=∠ACB=44°．故答案为：44．【评论】本题考察了三角形中位线的性质及三角形内角和定理，中位线定理为证明两条直线平行供给了依照，从而为证明角的相等确立了根基．14．对于x 的一元二次方程 x 2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，那么k 值为3．【考点】根的鉴别式．【专题】计算题．【剖析】依据鉴别式的意义获取 △=〔﹣2〕2﹣4k=0，而后解对于k 的一元一次方程即可．【解答】解：依据题意得△=〔﹣2 〕2﹣4k=0，解得k=3．故答案为：3．【评论】本题考察了一元二次方程 ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的根的鉴别式 △=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当 △=0，方程有两个相等的实数根；当 △＜0，方程没有实数根．15．如图，菱形 A BCD 的对角线 AC ，BD 订交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直径作一个半圆，那么图中暗影局部的面积为．【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．【剖析】第一依据菱形的性质，求出 AO 、BO 的值是多少，再依据勾股定理，求出 AB 的值是多少；而后依据圆的面积公式，求出以 AB 为直径的半圆的面积，再用它减去三角形 ABO 的面积，求出图中暗影局部的面积为多少即可．【解答】解：∵AC=8，BD=6，AC ⊥BD ，AB=== =5∴图中暗影局部的面积为：π× ×﹣〔8÷2〕×〔6÷2〕÷2=π×﹣4×3÷2=故答案为：．【评论】本题主要考察了菱形的性质，以及三角形、圆的面积的求法，要娴熟掌握．16．除颜色外完好同样的五个球上分别标有1，2，3，4，5五个数字，装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任摸一球记下数字后放回．搅匀后再从中任摸一球，那么摸到的两个球上数字和为5的概率是．【考点】列表法与树状图法．【剖析】第一依据题意列出表格，而后由表格即可求得全部等可能的结果与摸到的两个球上数字和为5的状况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：567891045678934567823456712345612345∵共有25种等可能的结果，此中摸到的两个球上数字和为5的有4种状况，∴摸到的两个球上数字和为5的概率是：．故答案为：．【评论】本题考察了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．17．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为〔0，8〕，点B坐标为〔4，0〕，点E是直线y=x+4上的一个动点，假定∠EAB=∠ABO，那么点E的坐标为〔4，8〕或〔﹣12，﹣8〕．【考点】一次函数综合题．【专题】分类议论．【剖析】分两种状况：当点E在y轴右边时，由条件可判断AE∥BO，简单求得E点坐标；当点E 在y轴左边时，可设E点坐标为〔a，a+4〕，过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线 AE的分析式，可表示出C点坐标，再依据勾股定理可表示出AC的长，由条件可获取AC=BC，可获取对于a 的方程，可求得E点坐标．【解答】解：当点E在y轴右边时，如图1，连结AE，∵∠EAB=∠ABO，AE∥OB，∵A〔0，8〕，∴E点纵坐标为8，又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，∴E点坐标为〔4，8〕；当点E在y轴左边时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E 点坐标为〔a ，a+4〕，设直线AE 的分析式为 y=kx+b ，把A 、E 坐标代入可得，解得，∴直线AE 的分析式为y= x+8，令y=0可得 x+8=0，解得x= ，∴C 点坐标为〔，0〕，∴AC 2=OC 2+OA 2，即AC 2=〔〕2+82，∵B 〔4，0〕，∴BC 2=〔4﹣〕2=〔〕2﹣+16，∵∠EAB=∠ABO ， AC=BC ，22 2 2 2﹣ +16，∴AC=BC ，即〔〕 +8=〔〕解得a=﹣12，那么a+4=﹣8， ∴E 点坐标为〔﹣ 12，﹣8〕，综上可知 E 点坐标为〔4，8〕或〔﹣12，﹣8〕，故答案为：〔4，8〕或〔﹣12，﹣8〕．【评论】本题主要考察一次函数的综合应用，波及待定系数法、平行线的判断和性质、等腰三角形的性质、分类议论思想等知识点．确立出E 点的地点，由条件获取AE ∥OB 或AC=BC 是解题的重点．本题难度未大，注意考虑全面即可．18．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度同样，当它们抵达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 订交于点P ，M是线段BC上随意一点，那么MD+MP 的最小值为．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【剖析】第一作出点D对于BC的对称点D′从而可知当点P、M、D′在一条直线上时，路径最短，当点E与点D重合，点轴对称图形的性质可知：的最小值．【解答】解：如图作点F与点C重合时，PG和GD′均最短，即PD′最短，而后由正方形的性质和PG=1，GD′=3，最后由勾股定理即可求得PD′的长，从而可求得MD+MPD对于BC的对称点D′，连结PD′，由轴对称的性质可知：MD=D′M，CD=CD′=2∴PM+DM=PM+MD′=PD′过点P作PE垂直DC，垂足为G，易证AF⊥BE，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，∴此时，PD′最短．∵四边形ABCD为正方形，∴PG=，GC=．∴GD′=3．在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′==．故答案为：．【评论】本题主要考察的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确立出点是解题的重点．P的地点三、解答题〔本题共10小题，共对应的地点和地区内解答.96分〕解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸19．〔1〕计算：﹣|﹣5|+3tan30°﹣〔〕0；〔2〕解不等式〔x﹣1〕≤x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】实数的运算；零指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；特别角的三角函数值．【剖析】〔1〕本题波及二次根式化简、绝对值、特别角的三角函数值、零指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，而后依据实数的运算法那么求得计算结果；〔2〕先去括号，再移项、归并同类项、最后系数化为1即可，再在数轴上把解集表示出来．【解答】解：〔1〕﹣|﹣5|+3tan30°﹣〔〕=2﹣5+3×﹣1=2﹣5+﹣1=3﹣4；2〕〔x﹣1〕≤x+1，x﹣≤x+1，x﹣x≤1+，﹣x≤，≥﹣5，把解集画在数轴上为：【评论】本题主要考察了实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的重点是娴熟掌握二次根式化简、绝对值、特别角的三角函数值、零指数幂等考点的运算．同时考察认识一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，是根基知识要娴熟掌握．20．如图，AB ∥CD ，AB=BC ，∠A=∠1，求证：BE=CD ．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题．【剖析】先由平行线的性质得出内错角相等∠ABC=∠C ，再证明△ABE ≌△BCD ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABC=∠C ，在△ABE 和△BCD 中，，∴△ABE ≌△BCD 〔AAS 〕， BE=CD ．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质、平行线的性质；娴熟掌握全等三角形的判断与性质是解决问题的重点．21．〔1〕先化简，再求值：x 〔x+4〕+〔x ﹣2〕2，此中x= ；〔2〕解方程： ﹣=1．【考点】解分式方程；整式的混淆运算 —化简求值．【剖析】〔1〕先化简多项式，再代入求值即可解答； 2〕依照解分式方程的步骤，即可解答．【解答】解：〔1〕x 〔x+4〕+〔x ﹣2〕2， =x 2+4x+x 2﹣4x+4=2x 2+4，当x= 时，+4原式==4+4=8．〔2〕在方程两边同乘x2﹣4得：x〔x+2〕﹣1=x2﹣4解得：x=﹣，当x=﹣时，x2﹣4≠0，故分式方程的解为：x=﹣．【评论】本题考察认识分式方程，解决本题的重点是熟记解分式方程的步骤．22．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．1〕作BD的垂直均分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．〔要求用尺规作图，保留作图印迹，不要求写作法〕；2〕求证：DE=BF．【考点】作图—根本作图；线段垂直均分线的性质；矩形的性质．【专题】作图题；证明题．【剖析】〔1〕分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直均分线；〔2〕利用垂直均分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．【解答】解：〔1〕答题如图：2〕∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠ADB=∠CBD ，∵EF 垂直均分线段BD ， ∴BO=DO ，在△DEO 和三角形BFO 中，，∴△DEO ≌△BFO 〔ASA 〕， DE=BF ．【评论】本题考察了根本作图及全等三角形的判断与性质，认识根本作图是解答本题的重点，难度中等．23．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h 〔单位：m 〕与小球的运动时间 t 〔单位：s 〕之间2的关系式是h=﹣ t+10t 〔0≤t ≤4〕．1〕当小球的高度是时，求此时小球的运动时间； 2〕求小球运动的最大高度．【考点】二次函数的应用．2【剖析】〔1〕当小球的高度是时，代入关系式是 h =﹣ t+10t 〔0≤t ≤4〕解方程即可；2〕把函数关系式变形为极点式，即可解决．【解答】解：〔1〕由题意可得，8.4=﹣t 2+10．∵ 解得t 1，t 2．∵ 0≤t ≤4，t1，t2都切合题意．答：当小球的运动时间为或时，它的高度是．2〕h=﹣t 2+10t=﹣〔t﹣2〕2+10．∵﹣＜0，∴当小球的运动时间为2s时，小球运动的最大高度是10m．【评论】本题考察二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的实质应用，配方法求二次函数最值，把函数式化成极点式是解题重点．24．我市某中学艺术节时期，向学校学生搜集书画作品．九年级美术李老师从整年级14个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对搜集到的作品的数目进行了剖析统计，制作了以下两幅不完好的统计图．〔1〕李老师采纳的检查方式是抽样检查〔填“普查〞或“抽样检查〞〕，李老师所检查的4个班征集到作品共12件，此中B班搜集到作品3，请把图2增补完好．〔2〕假如整年级参展作品中有4件获取一等奖，此中有2名作者是男生，2名作者是女生．此刻要在抽两人去参加学校总结表彰会谈会，求恰巧抽中一男一女的概率．〔要求用树状图或列表法写出剖析过程〕【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．【专题】计算题；压轴题．【剖析】〔1〕依据题意获取此次检查为抽样检查，用C的度数除以360度求出所占的百分比，由C 的件数除以所占的百分比即可获取检查的总件数；从而求出B的件数；（2〕画树状图得出全部等可能的状况数，找出一男一女的状况数，即可求出所求的概率．【解答】解：〔1〕此次检查为抽样检查；依据题意得检查的总件数为：5÷=12〔件〕，B的件数为12﹣〔2+5+2〕=3〔件〕；补全图2，以下列图：故答案为：抽样检查；12；3；〔2〕画树状图以下：全部等可能的状况有12种，此中一男一女有8种，那么P==．【评论】本题考察了条形统计图，扇形统计图，概率的计算，以及用样本预计整体，弄清题意是解本题的重点．25．如图，“和睦号〞高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．睁开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．〔参照数据sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈〕【考点】解直角三角形的应用．【剖析】延伸CB交AO于点D．那么CD⊥OA，在Rt△OBD中依据正弦函数求得BD，依据余弦函数求得OD，在Rt△ACD中，依据正切函数求得AD，而后依据AD+OD=OA=75，列出对于x的方程，解方程即可求得．【解答】解：延伸CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，那么OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OB?cos∠AOB，BD=OB?sin∠AOB，∴OD=〔75﹣x〕?cos37°〔75﹣x〕=60﹣，BD=〔75﹣x〕sin37°〔75﹣x〕=45﹣，在Rt△ACD中，AD=DC?tan∠ACB，AD=〔x+45﹣〕tan37°〔0.4x+45〕，∵AD+OD=OA=75，0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得．；故小桌板桌面的宽度BC约为．【评论】本题考察认识直角三角形的应用，解题的重点是正确结构直角三角形并求解．26．如图，直线与双曲线〔k＞0，x＞0〕交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线〔k＞0，x＞0〕交于点B．〔1〕设点B的横坐标分别为b，试用只含有字母b的代数式表示k；。

2018年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷

2018年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣42．（3分）下列计算，正确的是（）A．a3+2a=3a4B．a4÷a=a3C．a2•a3=a6D．（﹣a2）3=a63．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（）A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011 4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C等于（）A．60°B．35°C．25°D．20°6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（）A．B．C．D．27．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．68．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（）A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤19．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分到达终点②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米③当划行分钟时，甲队追上乙队④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC=8，BC=6，则BE的长为（）A．4.25B．C．3D．4.8二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若∠α=35°，则∠α的补角为度．12．（3分）分解因式：2a3b﹣8ab3=．13．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．14．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交点O，△OAB是等边三角形，且AB=3，则▱ABCD的面积是．15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是．17．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若∠OAB=90°，，则k的值是．18．（3分）若x=﹣m和x=m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（10分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；（2）先化简，再求值：÷，其中x=﹣1．20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB=GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB=5，AG=3，求BE的长．26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s 的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a=2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（14分）定义：形如y=|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y=|x﹣1|，y=，y=|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y=|x|写成分段函数的形式：探索并解决下列问题：（1）将函数y=|x﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y=|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y=|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；（3）已知函数y=|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y=|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．2018年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣4【分析】根据相反数的定义作答即可．【解答】解：﹣4的相反数是4．故选：C．【点评】本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为0．2．（3分）下列计算，正确的是（）A．a3+2a=3a4B．a4÷a=a3C．a2•a3=a6D．（﹣a2）3=a6【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+2a，无法计算，故此选项错误；B、a4÷a=a3，正确；C、a2•a3=a5，故此选项错误；D、（﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（）A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：7700亿用科学记数法表示为7.7×1011，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据常见几何体的三视图解答可得．【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；B、球的左视图是圆，符合题意；C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意；D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图及三视图的概念．5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C等于（）A．60°B．35°C．25°D．20°【分析】先根据平行线的性质得出∠E=∠CBE=60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．【解答】解：∵BC∥DE，∴∠E=∠CBE=60°；∵∠A=35°，∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°，故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（）A．B．C．D．2【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的值，再将其代入tan∠ABO=中即可求出结论．【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，∴点A的坐标为（0，1），∴OA=1．当y=0时，有x+1=0，解得：x=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），∴OB=2．∴tan∠ABO==．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．7．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．6【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故选：B．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（）A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．【解答】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＜3，得到k的范围是k≥1，故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分到达终点②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米③当划行分钟时，甲队追上乙队④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】利用图中信息一一判断即可；【解答】解：观察图象可知：甲队比乙队提前0.5分到达终点，故①正确；由题意y甲=200x，y乙=，当x=1时，y甲=200，250﹣200=50，∴当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确，由，解得，∴当划行分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是米，故③正确，④错误，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC=8，BC=6，则BE的长为（）A．4.25B．C．3D．4.8【分析】连接OD，作CH⊥AB于H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则根据勾股定理可计算出AB=10，利用面积法计算出CH=，再利用勾股定理计算出BH=，接着证明△CHE∽△DOE，根据相似的性质得到OE=EH，从而得到EH+EH+=5，然后起后计算EH+BH即可．【解答】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==10，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==，在Rt△BCH中，BH==，∵点D为半圆AB的中点，∴OD⊥AB，∴OD∥CH，∴△CHE∽△DOE，∴EH：OE=CH：OD=：5=24：25，∴OE=EH，∵EH+EH+=5，∴EH=，∴BE=EH+BH=+=．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若∠α=35°，则∠α的补角为145度．【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．【解答】解：180°﹣35°=145°，则∠α的补角为145°，故答案为：145．【点评】本题考查的是余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．12．（3分）分解因式：2a3b﹣8ab3=2ab（a+2b）（a﹣2b）．【分析】先提取公因式2ab，再根据平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：2a3b﹣8ab3，=2ab（a2﹣4b2），=2ab（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．13．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥0且x≠1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交点O，△OAB是等边三角形，且AB=3，则▱ABCD9．【分析】由△AOB是等边三角形可以推出▱ABCD是矩形，得出AC=BD=6，∠BAD=90°，由勾股定理求出AD，即可得出▱ABCD的面积．【解答】解：如图，∵▱ABCD的对角线相交于点O，△AOB是等边三角形，∴OA=OC，OB=OD，OA=OB=AB=3，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD=2OA=6，∴AD===3，∴▱ABCD的面积=AB•AD=3×3=9；故答案为：9．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于 5.2．【分析】先由平均数是6计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．【解答】解：∵数据3，4，6，x，9的平均数是6，∴（3+4+6+x+9）=6，解得：x=8，s2=[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2]=5.2，故答案为：5.2．【点评】本题主要考查方差的计算方法，正确记忆方差公式是解题关键．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是3≤DE≤5．【分析】根据勾股定理得出CD的长和DE⊥BC时DE的长，进而得出DE的取值范围．【解答】解：当E与C重合时，DE最长，在Rt△ABC中，AB=，∵点D是线段AB的中点，∴CD=5，当DE⊥BC时，DE最短，DE=，所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5，故答案为：3≤DE≤5【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出CD的长和DE⊥BC时DE 的长．17．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若∠OAB=90°，，则k的值是2．【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO=∠BDA=90°，OC=1，AC=n，先判定△AOC∽△BAD，即可得到AD=，BD=，进而得出B（1+，n﹣），依据k=1×n=（1+）（n﹣）可得到n的值，即可得到k的值．【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO=∠BDA=90°，OC=1，AC=n，∵∠BAO=90°，∴∠CAO+∠BAC=∠ABD+∠BAC=90°，∴∠CAO=∠DBA，∴△AOC∽△BAD，∴==，即，∴AD=，BD=，∴B（1+，n﹣），∵k=1×n=（1+）（n﹣），解得n=2或n=﹣0.5（舍去），∴k=1×2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形相似是解决问题的关键．18．（3分）若x=﹣m和x=m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是．【分析】根据题意，可以将多项式转化函数，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：∵x=﹣m和x=m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2，∴令y=ax2+bx+4a+1时的对称轴是直线x==﹣2，∴a＞0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，a＜0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，∴当a＞0时，a﹣b+4a+1＜3＜4a+2b+4a+1，由﹣=﹣2，解得，；当a＜0时，a﹣b+4a+1＞3＞4a+2b+4a+1，由﹣=﹣2，此时无解，故答案为：．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（10分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；（2）先化简，再求值：÷，其中x=﹣1．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°==4﹣1+2﹣=5；（2）÷=====，当x=﹣1时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形两个直角三角形△CDA、△BDA，应利用其公共边AD构造等量关系，进而可求出答案．【解答】解：在Rt△ABD中，cos∠BDA=，∴AD=4×=（km）；在Rt△ACD中，cos∠CDA=，∴CD==（km）．∴C点距离雷达站D是km．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了50名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数；（2）总人数乘以C组的百分比求得C组人数，总人数减去其余各组人数求得B 人数人数即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中E组人数所占比例可得．【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为10÷20%=50（人），故答案为：50；（2）∵1.5≤x＜2的人数为50×40%=20人，∴1≤x＜1.5的人数为50﹣（3+20+10+4）=13人，补全图形如下：（3）900×=72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中两次抽到的数字之和为奇数有8种，所以两次抽到的数字之和为奇数的概率为=．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？【分析】设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据“买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y 的值，根据总价=打折前的单价×数量结合打折后的总价为3240元，即可求出节省的钱数．【解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据题意得：，解得：，40x+40y﹣3240=360．答：打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花360元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE ﹣S扇形COB进行计算即可．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴cos∠COE==，∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣=﹣π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB=GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB=5，AG=3，求BE的长．【分析】（1）根据正方形性质求出A=AG，AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，求出∠BAE=∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE=DG，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△AGD和△AEB中∵AB=AD，AG=AE，∠BAE=∠DAG，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB=GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD=AB=5，AE=AG=3．∴由勾股定理得：EG==6，AH=GH=EG=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH==4，∴BE=DG=DH+GH=3+4=7．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键．26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣m、x1x2=m﹣2，将其代入y=x12+x22+4x1x2=（x1+x2）2+2x1x2中即可找出y与m的函数关系式；（3）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的顶点坐标，由二次函数的性质结合﹣1≤m≤2，即可找出y的取值范围．【解答】（1）证明：∵△=m2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，∵x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣2，∴y=x12+x22+4x1x2=（x1+x2）2+2x1x2=（﹣m）2+2（m﹣2）=m2+2m﹣4．（3）解：∵y=m2+2m﹣4=（m+1）2﹣5，∴顶点（﹣1，﹣5）．又∵﹣1≤m≤2，∴当x=﹣1时，y=﹣5；最小值当x=2时，y=4．最大值∴﹣5≤m≤4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出x1+x2=﹣m、x1x2=m﹣2；（3）利用二次函数的性质找出y的最大值及最小值．27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s 的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a=2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先表示出CF，AE，EC，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG∽△ACD，得出EG，再判断出EG=DF，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG=厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣（厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵t=2，∴CF=2厘米，AE=2a厘米，∴EC=（4﹣2a ）厘米，∵△ECF∽△BCA．∴．（2分）∴．∴．（4分）（2）由题意，AE=厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴，．∴EG=．（5分）∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG=DF．当0≤t＜3时，，∴．（7分）当3＜t≤6时，，∴．综上，或（9分）（3）∵点D是BC中点，∴CD=BC=3，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=5，由题意，AE=2t厘米，CF=t厘米，由（2）知，△AEG∽△ACD，∴==，∴∴AG=厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣（厘米）．若∠GFD=90°，则EG=CF，=t．∴t=0，（舍去）（11分）若∠FGD=90°，则△ACD∽△FGD．∴，∴．∴t=．（13分）综上：t=，△DFG是直角三角形．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．28．（14分）定义：形如y=|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y=|x﹣1|，y=，y=|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y=|x|写成分段函数的形式：探索并解决下列问题：（1）将函数y=|x﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y=|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y=|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；（3）已知函数y=|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y=|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据绝对值的性质即可得到函数y=|x﹣1|分段函数的形式；（2）根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2），根据两点间的距离公式得到BE，DE，AE，CE，再根据相似三角形的判定即可求解；（3）由题意得y=|﹣x2+2x+3|=，设P的横坐标为x，分△PMH∽△FMO，△PMH∽△MFO，△PMH∽△MF，进行讨论可求点P的坐标．【解答】解：（1）；（2）∵函数y=|x﹣1|与函数的图象交于B，C，过点B作x轴的平行线分别交函数，y=|x﹣1|的图象于D，E两点．∴根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2）．∴BE=3﹣（﹣1）=4，DE=﹣1﹣（﹣3）=2，AE=，CE=，∴在△AEB和△CED中，∠AEB=∠CED，，∴△PMB∽△PNA．（3）P的坐标为（6，21），（，），（，）．当x=0时，y=|﹣x2+2x+3|=3，∴F（0，3）．当y=0时，|﹣x2+2x+3|=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴M（﹣1，0），N（3，0）．由题意得y=|﹣x2+2x+3|=，设P的横坐标为x，当x＜﹣1时，由题意得P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，，．解得x1=﹣1（舍去），x2=0（舍去）．若△PMH∽△MFO，，．解得．当﹣1＜x＜3时，由题意得P（x，﹣x2+2x+3），若△PMH∽△MFO，，．解得．∴P的坐标为（，）．若△PMH∽△MFO，，．解得x1=﹣1（舍去），x2=0（舍去）．当x＞3时，由题意P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，，．解得x1=﹣1（舍去），x2=6．∴P的坐标为（6，21）．若△PMH∽△MF，，．解得．∴P的坐标为（，）．综上：P的坐标为（6，21），（，），（，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，弄清绝对值函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．。

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合A ={−1, 0, a}，B ={0, √a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z =1+4i 1−i，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足{x ≥1y ≤3x −y −1≤0 ，则2x −y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216−y 29=1的渐近线的距离为________．8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y =xlnx 在x =1与x =t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．11. 如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm ，圆柱的底面积为9√3cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，AD =1．点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ =45∘，则AP →⋅AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−4, 0)，B(0, 4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2+y 2=4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ．设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．14. 已知函数f(x)={x 2−2ax −a +1,x ≥0ln(−x),x <0 ，g(x)=x 2+1−2a ．若函数y =f（g(x)）有4个零点，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥PC ，CA =CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点．求证：（1）MD // 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC ．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2−bc ，a =√152b ．（1）求sinB 的值；（2）求cos(C+π12)的值．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；（2）设∠POD=θ，θ∈(0, π2)．①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式；（2）当a>0时，若函数F(x)=f(x)−g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<−73．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n(n >k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．（1）已知a n ={2n −1,n 为奇数2n,n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p >1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．一、【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T ．点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M ．若PM =√3，求PT 的长．[选修4-2：矩阵与变换]已知x ∈R ，向量[01]是矩阵A =[1x02]的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A −1．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与曲线{x =t −1y =t 2−1 （t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]已知a >1，b >1，求b 2a−1+a 2b−1的最小值．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，四棱锥P −ABCD 中，AP 、AB 、AD 两两垂直，DE // BC ，且AP =AB =AD =4，BC =2．（1）求二面角P −CD −A 的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC =DH ，求PHPC 的值．（1）用数学归纳法证明：当n∈N∗时，cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx= sin(n+12)x2sin12x−12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；（2）求sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6的值．参考答案与试题解析2018年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【答案】1【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集定义直接求解，【解答】∵集合A={−1, 0, a}，B={0, √a}．B⊆A，∴√a=a，且a≠0．解得a=1，∴实数a的值为1．2.【答案】−3 2【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=1+4i1−i =(1+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+52i，∴复数z的实部为−32．3.【答案】25【考点】分层抽样方法【解析】根据题意求出抽样比例值，再计算应从高三年级抽取的学生数．【解答】根据题意，抽样比例为65400+400+500=120，∴应从高三年级抽取500×120=25（名）．4.【答案】10伪代码（算法语句）【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值．【解答】模拟程序的运行过程，得： S =1，i =1，满足条件i ≤5，执行循环S =1+1=2，i =3 满足条件i ≤5，执行循环S =2+3=5，i =5 满足条件i ≤5，执行循环S =5+5=10，i =7 此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出S =10． 5.【答案】12【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C31=3，由此能求出数学建模社团被选中的概率．【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C 31=3， ∴ 数学建模社团被选中的概率为p =m n=36=12．故答案为：12. 6.【答案】 5【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】画出不等式表示的平面区域：z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，由{y =3x −y −1=0 可得交点坐标为(4, 3)，根据图形可知在点(4, 3)处，z =2x −y 取得最大值，最大值为5 7.【答案】 65【考点】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，双曲线x216−y29=1的渐近线方程为y=±34x，即3x±4y=0．则F到双曲线的渐近线的距离为d=22=658.【答案】√3【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出结果．【解答】∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a8=a6+6a4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+6a1q3，且q>0．解得q2=3，∴q=√3，∴a3=a1q⋅q=q=√3．9.【答案】π6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的平移变换求出结果．【解答】将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．得到：y=sin(2x−2φ+π3)，平移后得到的图象经过坐标原点，由于：0<φ<π2，则：−2φ+π3=0，解得：φ=π6．10.【答案】e−2【考点】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．【解答】y =xlnx 的导数为y′=1+lnx ，可得在x =1与x =t 处的切线斜率分别为1和1+lnt ，由切线互相垂直，可得： 1+lnt =−1，解得t =e −2． 11.【答案】 2√10 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，利用棱柱、圆柱的体积公式列出方程，由此能求出该正三棱柱的底面边长．【解答】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，则12∗x 2∗sin60∘∗6=6×(12×4×4×sin60∘)×4−9√3×4，解得x =2√10．(cm) 12.【答案】 4√2−4 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ，分别由解直角三角形可得AQ ，AP 的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．【解答】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ， AP →⋅AQ →=|AP →|⋅|AQ →|cos45∘， =2cosθ⋅1cos(45∘−θ)⋅√22， =cosθ∗(√22cosθ+√22sinθ)，=2cos 2θ+cosθsinθ， =21+cosθ2+sin2θ2，=√22sin(2θ+45)+12，当且仅当2θ+45∘=90∘，∴ θ=22.5∘时取“=”，当θ=22.5∘时，点P 恰在边BC 上，Q 恰边CD 上，满足条件，综上所述，AP →⋅AQ →的最小值为4√2−4， 13.【答案】 3√2【考点】圆的切线方程【解析】由题意可得AB 所在直线方程，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，求出CD 所在直线方程为x 0x +y 0y =4，再求出直线OM 的方程x 0y −y 0x =0，联立消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程，数形结合即可求得线段AM 长的最大值．【解答】如图，直线AB 的方程为x −y +4=0，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，① 以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−x 0x −y 0y =0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−x 0x −y 0y =0 ，可得CD 所在直线方程为：x 0x +y 0y =4，② ∵ 线段CD 的中点为M ，则直线OM:x 0y −y 0x =0，③联立①②③消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，圆心坐标为(−12, 12)，半径r =√22，又A(−4, 0)，∴ |AM|max =√14+494+√22=3√2．14. 【答案】(−1+√5, 1)∪(1, +∞) 【考点】函数零点的判定定理【解析】求出f(x)=0的解，讨论f(x)的零点与g(x)的最小值1−2a 的关系，得出a 的范围．【解答】当x ≥0时，令f(x)=0得x 2−2ax −a +1=0， △=4a 2−4(1−a)=4(a 2+a −1)，方程f(x)=0(x ≥0)无解，由f （g(x)）=0可得g(x)=−1，又g(x)为偶函数，故而f （g(x)）=0最多只有2解，不符合题意（1）（2）若△=0即a =−1−√52或a =−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x =a =−1+√52，而g min (x)=1−2a =2−√5，此时g(x)=−1无解，g(x)=−1+√52只有2解，不符合题意（2）（3）若△>0即a <−1−√52或a >−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x 1=a −√a 2+a −1，x 2=a +√a 2+a −1， ①若a <−1−√52，则x 1<0，x 2<0，且g min (x)=1−2a >0，此时f （g(x)）=0无解，不符合题意（3）②若−1+√52<a <1，则x 2>x 1>0，而−1<1−2a <2−√5<0，∴ g(x)=x 1和g(x)=x 2各有2解，故f （g(x)）=0有4解，符合题意（4）③若a =1，则x 1=0，x 2=2，g min (x)=1−2a =−1，此时g(x)=x 1有2解，g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有1解，此时f （g(x)）=0有5解，不符合题意（5）④若a >1，则x 2>0，x 1<0，而g min (x)=1−2a <−1，∴ g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有2解，故f （g(x)）=0有4解，符合题意．综上，−1+√52<a <1或a >1．故答案为：(−1+√52, 1)∪(1, +∞)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】证明：（1）在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点，所以MD // AN ．又因为AN ⊂平面PAC ，MD 平面PAC ，所以MD // 平面PAC ．（2）在△ABC 中，CA =CB ，M 是AB 的中点，所以AB ⊥MC ．又因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC =C ，所以AB ⊥平面PMC ．又因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC ．【考点】平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】证明：（1）在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点．所以MD // AN．又因为AN⊂平面PAC，MD平面PAC，所以MD // 平面PAC．（2）在△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC．又因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC=C，所以AB⊥平面PMC．又因为AB⊂平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC．【答案】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理和正弦定理求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出结论．【解答】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【答案】设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x24+y22=1．△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：x24+y22=1．∴A(−2, 0)．设M(x0, y0)，则B(2x0+2, 2y0)．由x02+y02=89，(2x0+2)24+(2y0)22=1，化为：9x02−18x0−16=0，−2√23≤x0≤2√23．解得：x0=−23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±12，因此，直线AB的方程为：y=±12(x+2)．【考点】椭圆的定义【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解出即可得出．(2)△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，利用中点坐标公式可得：B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，联立解出，即可得出直线AB 的方程．【解答】设椭圆的焦距为2c ，由题意得，ca=√22，2a 2c=4√2，解得a =2，c =b =√2． ∴ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴ AB =2AM ， ∴ 点M 为AB 的中点． ∵ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴ A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，则B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，化为：9x 02−18x 0−16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x 0=−23．代入解得：y 0=±23， ∴ k AB =±12，因此，直线AB 的方程为：y =±12(x +2)．【答案】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)，由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)；直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)，令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)，令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2，区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t−4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2．答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）写出直线PB 的方程与半圆O 的方程，联立求得y 值，即可得到点P 到AD 的距离；（2）①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)．写出直线PB 的方程，求得E 的坐标，写出直线PC 的方程，求出F 的坐标，可得EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②求出区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和S 1 与区域Ⅱ的面积S 2，作和可得S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3，然后利用基本不等式求最值．【解答】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)，由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)；直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)，令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)，令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2，区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t −4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2．答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【答案】∵ 函数f(x)=(x +a)e x ， ∴ f′(x)=e x (x +a +1)，令f′(x)=0，解得x =−a −1，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)， ∴ g′(x)=3x 2+2ax +b ，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)有极值，且函数f(x)=(x +a)e x 的极值点是g(x)的极值点，∴ g′(−a −1)=3(−a −1)2+2a(−a −1)+b =0，解得b =−a 2−4a −3．证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x +a)e x −x 3−ax 2−bx =(x +a)e x −x 3−ax 2+(a 2+4a +3)x ，F′(x)=(x +a +1)e x −3x 2−2ax +a 2+4a +3 =(x +a +1)e x −(x +a +1)(3x −a −3) =(x +a +1)(e x −3x +a +3)，令ℎ(x)=e x −3x +a +3，则ℎ′(x)=e x −3，令ℎ′(x)=0，得x =ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）推导出f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，得x=−a−1，求出g′(x)=3x2+ 2ax+b，从而g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，由此能求出b关于a的函数关系式．（2）F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，推导出F′(x)= (x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)= e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)=6−3ln3+a 为ℎ(x)最小值，推导出F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，由此能证明M(a)<−73．【解答】∵函数f(x)=(x+a)e x，∴f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，解得x=−a−1，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)，∴g′(x)=3x2+2ax+b，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，∴g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，解得b=−a2−4a−3．证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2−bx=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，F′(x)=(x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)e x−(x+a+1)(3x−a−3)=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)=e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【答案】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．【考点】数列递推式【解析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n−3+a n−2+a n−1+a n+1+a n+2+a n+3= (a n−3+a n+3)+(a n−2+a n+2)+(a n−1+a n+1)=2×3a n，根据“P(k)数列”的定义，可得数列{a n}是“P(3)数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．【解答】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．一、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．因为∠O1TP=∠O2TC，△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，所以△O1TP∽△O2TC，所以PT TC=PO1CO2=2，所以PTPC =23，即PC=32PT．因为PC×PT=32×PT×PT=3，解得PT=√2．【考点】与圆有关的比例线段【解析】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．推导出△O1TP∽△O2TC，从而PC=32PT．由此能求出PT．【解答】延长PT ，交⊙O 2与点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T ，由切割线定理得：PM 2=PC ×PT =3．因为∠O 1TP =∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT TC =PO1CO 2=2，所以PT PC =23，即PC =32PT ．因为PC ×PT =32×PT ×PT =3，解得PT =√2．[选修4-2：矩阵与变换] 【答案】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]，所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]．方法一：设A −1=[abcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12．所以λ=2，A −1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]．【考点】特征向量的意义【解析】根据矩阵的特征向量的定义，即可求得λ及矩阵A ，方法一：设逆矩阵，根据AA −1=E ，即可求得A −1．方法二：求得|A|=2，根据二阶矩阵逆矩阵的求法，即可求得|A|=2，【解答】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]，所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]．方法一：设A −1=[abcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12．所以λ=2，A−1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ，联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1，所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程，与直线方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出线段长度．【解答】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ，联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1 ，所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ；两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ； ∴b 2a−1+a 2b−1≥8；当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【考点】基本不等式及其应用【解析】根据a >1，b >1即可得出b 2a−1+4(a −1)≥4b,a 2b−1+4(b −1)≥4a ，两式相加便可求出b 2a−1+a 2b−1的最小值．【解答】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ；两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ；∴b 2a−1+a 2b−1≥8；当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)．平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20，化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13．又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13．故PHPC =13．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出二面角P −CD −A 的余弦值．（2），PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，由DC =DH ，能求出PHPC 的值．【解答】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)．平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20，化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13．又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13．故PHPC =13．【答案】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−1+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．【考点】数学归纳法【解析】（1）先验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，验证n=k+1结论是否成立即可；（2）对（1）的结论两边求导，再令x=−π6即可得出答案．【解答】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−12+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．。

江苏省南通市如东县2018年中考一模数学试卷(含答案)参考答案和评分标准

2018年中考模拟考试数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了典型解法供参考，如果考生的解法与本解答不同．．．．，参照本评分标准的．．．．．．．．精神给分．．．．．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．145 12．2ab(a＋2b) (a－2b) 13．x≥0且x≠114．15．5.2 16．3≤DE≤5 17．2 18．81＜a＜2三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝4122-+ -------------------------------------------------------------------- 4分＝5；------------------------------------------------------------------------------------------- 5分（2）解：原式＝11()(1)1xxx x+---＝21xx+．------------------------------------------------------------------------------------- 8分当x＝－1时，原式＝2(1)121-+=--． ----------------------------------------------------- 10分20．（本小题满分8分）解：在Rt△ABD中，cos∠BDA＝ADBD，∴AD＝4=km）；------------------- 4分在Rt△ACD中，cos∠CDA＝ADCD，∴CD km）．∴C点距离雷达站D是． ------------------------------------------------------------- 8分21．（本小题满分9分）解：（1）50； ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分（2）图略； ------------------------------------------------------------------------------------------------- 6分（3）900×8%＝72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．------ 9分22．（本小题满分8分）解：画出树形图如下（表格参照给分）：-------- 5分由图可以看出，可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种， ------------------------------------------------- 6分所以P (两次抽到的数字之和为奇数)＝812＝23． ------------------------------------------------ 8分23．（本小题满分8分）解：设A 商品和B 商品打折前的单价分别为每件x 元和y 元． ------------------------------------- 1分根据题意，得2030220050102900x y x y +=⎧⎨+=⎩，， ------------------------------------------------------------------ 4分解得5040x y =⎧⎨=⎩； -------------------------------------------------------------------------------------------- 6分40x ＋40y －3240＝360（元）． ------------------------------------------------------------------------ 7分答：打折后，买40件A 商品和40件B 商品用了3240元，比不打折少花360元． ---------- 8分24．（本小题满分8分）解：（1）连接OC ．∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴CO CD ⊥于点E ． --------- 1分又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ．∴∠DAC ＝∠ACO ． ------- 2分∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ． ---------------------------- 3分 ∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ． ------------------ 4分（2）设⊙O 半径为r ．∵在Rt △OEC 中，OE 2＋EC 2＝OC 2，∴r 2＋27＝(r ＋3)2，解得r =3， ----------- 5分∴60COE ∠=． ------------------------------------------------------ 6分 ∴ S 阴影＝S △COE －S 扇形COBD32π． ------------------------------------------------------ 8分 25．（本小题满分8分）解：（1）∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，∴AB ＝AD ，AG ＝AE ，∠BAD ＝∠GAE ＝90°． -------- 1分 ∴∠BAE ＝∠DAG ． -------------------------------------------- 2分 ∵AB ＝AD ，AG ＝AE ，∠BAE ＝∠DAG ，（第24题）第一次第二次1234213431244123∴△ABG ≌△CBE （SAS ）． ---------------------------------- 3分 ∴EB ＝GD ； ------------------------------------------------------ 4分（2）作AH ⊥DG 于H .∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，∴AD ＝AB ＝5，AE ＝AG ＝．∴EG ＝6，AH ＝GH ＝3． ---------------------------------------------------------------------- 6分 ∴DH． ------------------------------------------------------------------------ 7分 ∴BE ＝DG ＝DH ＋GH ＝7． -------------------------------------------------------------------- 8分（其它解法参照给分）26．（本小题满分10分）解：（1）∵△＝224(2)(2)4m m m --=-+＞0，∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． ------------------------------- 4分（2）∵12122x x m x x m +=-=-，，∴y ＝x 12＋x 22＋4x 1x 221212=()2x x x x ++2()2(2)m m =-+-224m m =+-．------------------------------------------------------------------------------------- 7分（3）∵2224(1)5y m m m =+-=+-，∴顶点（－1，－5）．又∵－2≤m ≤1，∴当x ＝－1时，y 最小值＝－5；当x ＝1时，y 最小值＝－1．∴－5≤m ≤－1 --------------------------------------------------------------------------------------- 10分27．（本小题满分13分）解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝(4－2a ) 厘米．∵△ECF ∽△BCA ．∴EC CFCB AC=． ------------------------ 2分 ∴42264a -=．∴12a =． -------------------------------------4分（2）由题意，AE ＝12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米．∵EG ∥CD ，∴△AEG ∽△ACD ．∴EG AE CD AC =，1234tEG =． ------------------- 5分 ∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形，∴EG ＝DF ．（第27题）当0≤t ＜3时，338t t =-，2411t =． ---------------------------------------------------------------------- 7分当3＜t ≤6时，338t t =-，245t =．综上2411t =或245------------------------------------------------------------------------------------------------ 9分（3）由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由△AEG ∽△ACD 可得：AG ＝52t，DF ＝3－t 厘米，DG ＝5－52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t ＝t ．∴t ＝0，舍去． ----------------------------------------- 11分若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD FD CD GD =，535352t t -=-．∴t ＝3219． ----------- 13分综上：t ＝3219，△DFG 是直角三角形．28．（本小题满分14分）解：（1）1()11()x x y x x x -⎧=-=⎨-+⎩≥1，＜1． ------------------------------------------------------------------------- 3分（2）∵函数y ＝1x -与函数6y x=的图象交于B ，C ，过点B 作x 轴的平行线分别交函数6y x=，y ＝1x -的图象于D ，E 两点． ∴根据条件得各点坐标为： B （3，2），C （－2，3），E （－1，2），D （－3，2）． ----------------------------------- 4分 ∴BE ＝3－(－1)＝4，DE ＝－1－(－3)＝2， AECE∴在△AEB 和△CED 中，∠AEB ＝∠CED ，2BE AEDE CE==；∴△PMB ∽△PNA ． --------8分（3）P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119）． ----------------------------------------- 14分图1解法参考：当x ＝0时，y ＝223x x -++＝3，∴F （0，3）．当y ＝0时，223x x -++＝0，∴1213x x =-=，，∴M （－1，0），N （3，0）．由题意222223123233233x x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪=-++=-++⎨⎪-+⎩（＜），（-1≤≤），（＞）．设P 的横坐标为x ，当x ＜－1时，由题意P （x ，223x x --），若△PMH ∽△FMO ， 3PH FOMH MO ==，22331x x x --=--． ∴1210x x =-=（舍去），（舍去）．若△PMH ∽△MFO ，13PH MO MH FO ==，223113x x x --=--． ∴12813x x =-=（舍去），（舍去）．当－1＜x ＜3时，由题意P （x ，223x x -++），若△PMH ∽△MFO ，13PH MO MH FO ==，223113x x x -++=+． ∴12813x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（83，119）．若△PMH ∽△MFO ，3PH MOMH FO==，22331x x x -++=+． ∴1210x x =-=（舍去），（舍去）．当x ＞3时，由题意P （x ，223x x --），若△PMH ∽△FMO ， 3PH FOMH MO ==，22331x x x --=+． ∴1216x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（6，21）．若△PMH ∽△MF ，13PH MO MH FO ==，223113x x x --=+．∴121013x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（103，139）．综上：P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119）．。

2018年江苏省南通市通州区、如东县中考数学一模试卷

上，甲、乙两队所划行的路程 y（单位：米）与时间 t（单位：分）之间的函
数关系式如图所示，根据图中提供的信息，
有下列说法：
①甲队比乙队提前 0.5 分到达终点
②当划行 1 分钟时，甲队比乙队落后 50 米
③当划行分钟时，甲队追上乙队
④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是 300 米其中错误的是（）
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2018 年江苏省南通市通州区、如东县中考数学一模试卷
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C； 2．B； 3．D； 4．B； 5．C； 6．A； 7．B； 8．C； 9．D； 10．B；二、填空题（本大题共 8 小题．每小题 3 分，共计 24 分．不需写出解答过程，
于
．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D 是线段 AB 的中点，点 E 是
线段 BC 上的一个动点，若 AC=6，BC=8，则 DE 长度的取值范围是
．
17．（3 分）如图，点 A（1，n）和点 B 都在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，
若∠OAB=90°，
，则 k 的值是
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C 等于（）
A．60°
B．35°
C．25°
6．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=
D．20° 与 y 轴交于点 A，与 x 轴
交于点 B，则 tan∠ABO 的值为（）
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2018年上半年南通事业单位统考行测4套全真模拟卷4-学生版合

2018年上半年江苏省属事业单位模拟卷（四）一、常识判断（每题1.25分）1．十九大报告指出，要以________为着眼点，强化教育引导、实践养成、制度保障，发挥社会主义核心价值观对国民教育、精神文明创建、精神文化产品创作生产传播的引领作用，把社会主义核心价值观融入社会发展各方面，转化为人们的情感认同和行为习惯。

A.培养担当民族复兴大任的时代新人B.培养新时代的接班人C.培养全面建成小康社会的实践者D.培养优秀教育人才2．根据雄安新区的规划面积和远期人口数量，雄安新区应定位为：A.一型大城市B.二型大城市C.特大城市D.中等城市3．“大漠孤烟直，长河落日圆”“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，这些描绘大自然的诗句，表达了人们对自然的惊奇和敬畏，使人们不由自主地震撼于我们头顶的星空：“世界是什么？是神的居所，还是物质的存在？人又是什么？”人们对这些问题的思索中渐渐形成了对世界总的看法。

”“哲学开始于仰望天穹”。

这句话生动形象地说明：A.哲学的产生发展源于大自然B.哲学是关于世界观的传说C.哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考D.认识与改造世界从哲学开始4．“稳中求进”连续几年被确定为宏观经济政策的总基调，既要保护经济平稳较快发展，又要在转变方式上取得新进展。

稳中求进的哲学道理是：A.社会存在决定社会意识B.前进性与曲折性的辩证统一C.思维与存在的统一D.绝对运动与相对静止的统一5．“高岸为谷，深谷为陵”。

意思是说高的彼岸可以变成深谷，深谷也可以变成丘陵，这是一种：A.朴素辩证法观点B.客观唯心主义观点C.形而上学观点D.相对主义观点6．党的十八届三中全会明确指出设立国家安全委员会，完善国家安全体制和国家安全战略，确保国家安全。

根据行政组织设置的原则，设立国家安全委员会主要遵循的是________原则。

A.整体效能B.精干合理C.职能目标D.危机管理7．________两级行政层次，是我国现行行政管理体制的基础层次，也称基层政府，直接负责农村行政事务的管理，在推动农村经济发展、维护农村稳定和促进农村社会进步方面担负着重要使命。

南通一模数学

南通一模数学集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若BA ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x216－y29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD∥平面PAC ； (2) 平面ABN⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2. (1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R，且x ≠2k π，k ∈Z)； (2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9. π6 10. e －211. 210 12. 42－413. 3 2 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点，所以MD ∥AN.(3分)因为AN 平面PAC ，MD 平面PAC ，所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点，所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC 平面PMC ，MC 平面PMC ，PC ∩MC ＝C ，所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB 平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝b sin B得 sin B ＝basin A ＝215×32＝55.(6分) (2) 因为a ＝152b>b ，所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎪⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)．所以x 20＋y 20＝89， ①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分)代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为 y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为 f(θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2，区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)，当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x.令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1.f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x－(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x－(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x－3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x－3，令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值，此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分) 令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分) 所以m(t)<－e －t－2<－13－2＝－73，所以M(a)<－73.(16分)20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分)a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立；若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分)所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3，所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT＝3. 因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分) 所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2，所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT.因为PC·PT＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分)B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12，所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分)C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分) D. 解析：因为a >1，b >1，所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ，所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分)当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立，即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分)22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． (1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝2. 所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23，所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)．设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分) 因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13.因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分)23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫1－12x2sin 12x＝12sin 12x×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分) ②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x×{sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1＋12x2sin 12x－12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018＋12x 2sin 12x－12，两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x ＝12sin 212x×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分)所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin2π12×[⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6cos π12]＝2 0152－3，所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。

南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷含解析

南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．123．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 4．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．()712x x-的展开式中2x 的系数为（）A ．84-B ．84C ．280-D ．2806．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥7．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．51- C ．51+D ．51+ 8．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（） A ．324B ．522C ．535D ．5789．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（）A ．3B 22C ．22D ．1310．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之32C 的渐近线方程为（） A ．20x y =B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，113QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A ．61⎡-⎢⎣⎭ B ．(62⎤⎦C ．2312⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．(31⎤⎦12．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年江苏省南通市通州区、如东县中考一模数学试卷(解析版)

2018年江苏省南通市通州区、如东县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣42．（3分）下列计算，正确的是（）A．a3+2a＝3a4B．a4÷a＝a3C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6 3．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（）A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011 4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠E＝60°，则∠C等于（）A．60°B．35°C．25°D．20°6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（）A．B．C．D．27．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．68．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（）A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤19．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分到达终点②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米③当划行分钟时，甲队追上乙队④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（）A．4.25B．C．3D．4.8二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若∠α＝35°，则∠α的补角为度．12．（3分）分解因式：2a3b﹣8ab3＝．13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交点O，△OAB是等边三角形，且AB ＝3，则▱ABCD的面积是．15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的中点，点E 是线段BC上的一个动点，若AC＝6，BC＝8，则DE长度的取值范围是．17．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是．18．（3分）若x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（10分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC 的中点．点E从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（14分）定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y＝|x|写成分段函数的形式：探索并解决下列问题：（1）将函数y＝|x﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y＝|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．2018年江苏省南通市通州区、如东县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣4【解答】解：﹣4的相反数是4．故选：C．2．（3分）下列计算，正确的是（）A．a3+2a＝3a4B．a4÷a＝a3C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝a6【解答】解：A、a3+2a，无法计算，故此选项错误；B、a4÷a＝a3，正确；C、a2•a3＝a5，故此选项错误；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；故选：B．3．（3分）2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为（）A．7.7×108B．7.7×109C．7.7×1010D．7.7×1011【解答】解：7700亿用科学记数法表示为7.7×1011，故选：D．4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；B、球的左视图是圆，符合题意；C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意；D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意；故选：B．5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠E＝60°，则∠C等于（）A．60°B．35°C．25°D．20°【解答】解：∵BC∥DE，∴∠E＝∠CBE＝60°；∵∠A＝35°，∴∠C＝∠CBE﹣∠C＝60°﹣35°＝25°，故选：C．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点A的坐标为（0，1），∴OA＝1．当y＝0时，有x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2．∴tan∠ABO＝＝．故选：A．7．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故选：B．8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（）A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1【解答】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＜3，得到k的范围是k≥1，故选：C．9．（3分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分到达终点②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米③当划行分钟时，甲队追上乙队④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：观察图象可知：甲队比乙队提前0.5分到达终点，故①正确；由题意y甲＝200x，y乙＝，当x＝1时，y甲＝200，250﹣200＝50，∴当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确，由，解得，∴当划行分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是米，故③正确，④错误，故选：D．10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（）A．4.25B．C．3D．4.8【解答】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝＝，在Rt△BCH中，BH＝＝，∵点D为半圆AB的中点，∴OD⊥AB，∴OD∥CH，∴△CHE∽△DOE，∴EH：OE＝CH：OD＝：5＝24：25，∴OE＝EH，∵EH+EH+＝5，∴EH＝，∴BE＝EH+BH＝+＝．故选：B．二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若∠α＝35°，则∠α的补角为145度．【解答】解：180°﹣35°＝145°，则∠α的补角为145°，故答案为：145．12．（3分）分解因式：2a3b﹣8ab3＝2ab（a+2b）（a﹣2b）．【解答】解：2a3b﹣8ab3，＝2ab（a2﹣4b2），＝2ab（a+2b）（a﹣2b）．13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥0且x≠1．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．14．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交点O，△OAB是等边三角形，且AB ＝3，则▱ABCD的面积是9．【解答】解：如图，∵▱ABCD的对角线相交于点O，△AOB是等边三角形，∴OA＝OC，OB＝OD，OA＝OB＝AB＝3，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD＝2OA＝6，∴AD＝＝＝3，∴▱ABCD的面积＝AB•AD＝3×3＝9；故答案为：9．15．（3分）已知一组数据3，4，6，x，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于 5.2．【解答】解：∵数据3，4，6，x，9的平均数是6，∴（3+4+6+x+9）＝6，解得：x＝8，s2＝[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2]＝5.2，故答案为：5.2．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的中点，点E 是线段BC上的一个动点，若AC＝6，BC＝8，则DE长度的取值范围是3≤DE≤5．【解答】解：当E与C或重合时，DE最长，在Rt△ABC中，AB＝，∵点D是线段AB的中点，∴CD＝5，当DE⊥BC时，DE最短，DE＝，所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5，故答案为：3≤DE≤517．（3分）如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是2．【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA ＝90°，OC＝1，AC＝n，∵∠BAO＝90°，∴∠CAO+∠BAC＝∠ABD+∠BAC＝90°，∴∠CAO＝∠DBA，∴△AOC∽△BAD，∴＝＝，即，∴AD＝，BD＝，∴B（1+，n﹣），∵k＝1×n＝（1+）（n﹣），解得n＝2或n＝﹣0.5（舍去），∴k＝1×2＝2，故答案为：2．18．（3分）若x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2．当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，则a的取值范围是．【解答】解：∵x＝﹣m和x＝m﹣4时，多项式ax2+bx+4a+1的值相等，且m≠2，∴令y＝ax2+bx+4a+1时的对称轴是直线x＝＝﹣2，∴a＞0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，a＜0时，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵当﹣1＜x＜2时，存在x的值，使多项式ax2+bx+4a+1的值为3，∴当a＞0时，a﹣b+4a+1＜3＜4a+2b+4a+1，由﹣＝﹣2，解得，；当a＜0时，a﹣b+4a+1＞3＞4a+2b+4a+1，由﹣＝﹣2，此时无解，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（10分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°＝＝4﹣1+2﹣＝5；（2）÷＝＝＝＝＝，当x＝﹣1时，原式＝．20．（8分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？【解答】解：在Rt△ABD中，cos∠BDA＝，∴AD＝4×＝（km）；在Rt△ACD中，cos∠CDA＝，∴CD＝＝（km）．∴C点距离雷达站D是km．21．（9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了50名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为10÷20%＝50（人），故答案为：50；（2）∵1.5≤x＜2的人数为50×40%＝20人，∴1≤x＜1.5的人数为50﹣（3+20+10+4）＝13人，补全图形如下：（3）900×＝72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中两次抽到的数字之和为奇数有8种，所以两次抽到的数字之和为奇数的概率为＝．23．（8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？【解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据题意得：，解得：，40x+40y﹣3240＝360．答：打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花360元．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2＝OC2，∴r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，∴OC＝3，OE＝6，∴cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝•3•3﹣＝﹣π．25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中∵AB＝AD，AG＝AE，∠BAE＝∠DAG，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．【解答】（1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，∵x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，∴y＝x12+x22+4x1x2＝（x1+x2）2+2x1x2＝（﹣m）2+2（m﹣2）＝m2+2m﹣4．（3）解：∵y＝m2+2m﹣4＝（m+1）2﹣5，∴顶点（﹣1，﹣5）．＝﹣5；又∵﹣1≤m≤2，∴当x＝﹣1时，y最小值当x＝2时，y＝4．最大值∴﹣5≤m≤4．27．（13分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC 的中点．点E从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米，∴EC＝（4﹣2a）厘米，∵△ECF∽△BCA．∴．（2分）∴．∴．（4分）（2）由题意，AE＝厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米．∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴，．∴EG＝．（5分）∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF．当0≤t＜3时，，∴．（7分）当3＜t≤6时，，∴．综上，或（9分）（3）∵点D是BC中点，∴CD＝BC＝3，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝5，由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，由（2）知，△AEG∽△ACD，∴＝＝，∴∴AG＝厘米，EG＝，DF＝3﹣t厘米，DG＝5﹣（厘米）．若∠GFD＝90°，则EG＝CF，＝t．∴t＝0，（舍去）（11分）若∠FGD＝90°，则△ACD∽△FGD．∴，∴．∴t＝．（13分）综上：t＝，△DFG是直角三角形．28．（14分）定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y＝|x|写成分段函数的形式：探索并解决下列问题：（1）将函数y＝|x﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y＝|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【解答】解：（1）；（2）∵函数y＝|x﹣1|与函数的图象交于B，C，过点B作x轴的平行线分别交函数，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．∴根据条件得各点坐标为：B（3，2），C（﹣2，3），E（﹣1，2），D（﹣3，2）．∴BE＝3﹣（﹣1）＝4，DE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，AE＝，CE＝，∴在△AEB和△CED中，∠AEB＝∠CED，，∴△PMB∽△PNA．（3）P的坐标为（6，21），（，），（，）．当x＝0时，y＝|﹣x2+2x+3|＝3，∴F（0，3）．当y＝0时，|﹣x2+2x+3|＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴M（﹣1，0），N（3，0）．由题意得y＝|﹣x2+2x+3|＝，设P的横坐标为x，当x＜﹣1时，由题意得P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，，．解得x1＝﹣1（舍去），x2＝0（舍去）．若△PMH∽△MFO，，．解得．当﹣1＜x＜3时，由题意得P（x，﹣x2+2x+3），若△PMH∽△MFO，，．解得．∴P的坐标为（，）．若△PMH∽△MFO，，．解得x1＝﹣1（舍去），x2＝0（舍去）．当x＞3时，由题意P（x，x2﹣2x﹣3），若△PMH∽△FMO，，．解得x1＝﹣1（舍去），x2＝6．∴P的坐标为（6，21）．若△PMH∽△MF，，．解得．∴P的坐标为（，）．综上：P的坐标为（6，21），（，），（，）．。

2018年江苏省南通市高考模拟试卷(四)数学(理)试题(word版)

高三数学试卷第 1 页共 13 页（第7题） 2018年江苏省南通市高考模拟试卷（四）数学（理）试题南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的1，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ． 6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设PD AB ACλμ=+，则λμ+= ▲ ． 11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =．（1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式；（2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O A B C DE F高三数学试卷第 3 页共 13 页（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间；（2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈；（2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．高三数学试卷第 5 页共 13 页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 552．8 3．10 4．150 5．221x y -= 6．(,2]-∞- 7．48．359．10．2311．3049 12．8313．14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．解：（1）1(sin )2x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅=+ …… 2分ππsin cos cos sin x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，高三数学试卷第 7 页共 13 页11sin 02222x x ∴-⨯=，…… 8分sin x ∴=，(0,2xπ∈，cos x ∴=…… 10分 sin 22sin cos 2x x x ∴=⋅==，…… 12分 225cos 212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 22226f x x x ∴=+== …… 14分16．证明：（1）如图，连接OQ ，因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ，所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合，即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ，12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥，EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分（1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,)2πθ∈． ………8分（2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =，即4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12+ ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，， …… 2分解得21a b c ==，，所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，．若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分直线)2(2:00--=x x y y l ，由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，高三数学试卷第 9 页共 13 页又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)0y x x y F M F B x ---⋅=--==，所以)2)(1(20020--=x x y ②， …… 12分由①②可得042411020=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ，所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-，即直线l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分（2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+，函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增．因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立，所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*），特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++，整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+，所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n n SS +≤，所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=，又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥，又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<，所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=，即2112n da n ba ++≥， …… 14分高三数学试卷第 11 页共 13 页设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立，因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为6，………8分直线l 被曲线C 所截得的弦长为………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221))1](23)y z x y z +⋅+++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)C C C P X C ++===；111133342107(1)C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分高三数学试卷第 13 页共 13 页（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)nn n k n n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

江苏省南通市2018-2019学年高考数学一模试卷Word版含解析.pdf

2018-2019学年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= ．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．10．已知，则的值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．。

南通市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题含解析

南通市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．34．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（） A 5 B ．22C ．23D ．335．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（）A ．22B ．2C ．223 D ．236．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2747．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π9．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（） A ．2(,5)3 B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7 D ．18(,4)(4,6)7⋃ 10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >12．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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