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极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移）

例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。

证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1

f x1 +f x2=2f1

f x =2

10 +2x

x

f x =2

2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2

对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下

想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理．

不妨设 0 x11x2，要证

x1x22

x22x11

f x2f 2 x1

4f x1f2x1

4f x1f2x1

F x f x f2x， x0,1 ，则

F x f x f2x

2

2x12

2 2x 1

x2x

1

，

4 1 x 1 0

x 2x

得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。

2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路

1 、极值点偏移（ f x00 ）

二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x

1

f x

2

x

2

2x

x

1 x1x22x0

2 、拐点偏移 f x00

f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1

x1 x2 2x0

x2 2x0

x1

极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路）

例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x．

（1）求函数f x的单调区间和极值；

（2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，

f x

g x ；

（3 ）如果x1x2，且f x1 f x2，证明：

x1x22．

点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——

对称化构造的全过程，直观展示如下：

例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数 f x xe x，已知 f x1 f x2，x1x2，证明 x1 x2 2 ．

再次审视解题过程，发现以下三个关键点：

（1） x1， x2的范围0x11x2；

（2）不等式 f x f 2x x1；

（3 ）将 x 2 代入（ 2 ）中不等式，结合 f x

的单调性获证结论．

把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．

例 2 （ 2016 新课标Ⅰ卷）已知函数 f x

x 2 e x

2

a x 1 有两个零点．

（1 ）求 a 的取值范围；

（2 ）设 x 1 ， x 2 是 f x 的两个零点，证明： x 1 x 2 2 ．

解：（ 1 ） 0,

，过程略；

（2 ）由（ 1）知 f x 在

,1 上 ]

，在 1,

上 Z ，由 f x 1 f x 2 0 ，可设

x 1 1 x 2 ．

构造辅助函数 F x

f x

f 2

x

F x

f x 1 e x x

1 e x

x

f 2

x

2a 1 x

e 2 x

2a

e 2 x

当 x

1时，x 1 0 ，e x e 2 x 0 ，则 F x

0 ，得 F x 在 ,1 上 Z ，又 F 1

0 ，

故 F x

0 x 1 ，即 f x

f 2 x x 1 ． 将 x 1 代入上述不等式中得 f x 1

f x 2

f 2 x 1 ，又 x 2 1， 2 x 1 1， f

x 在

1,

上 Z ，故 x 1 2 x 1 ， x 1 x 2

2 ．

通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解．

但极值点偏移问题的结论不一定总是

x 1 x 2 2x 0 ，也可以是 x 1x 2 x 02 ，借鉴前面

的解题经验，我们就可给出类似的过程．

例 3

已知函数 f x

x ln x 的图像与直线 y m 交于不同的两点 A x 1, y 1 ， B x 2 , y 2 ，

求证： x 1 x 2

1

2

．

e

证明：（ i ） f

x

ln x 1，得 f x 在 0,

1

上 ] ，在 1

,

上 Z ；当 0

x 1 时，

e e

f x 0 ； f 1 0；当 x 1 时， f x 0 ；当 x

0 时， f

x 0（洛必达法则） ；

当 x时， f x，于是 f x 的图像如下，得 0 x11

x2 1 ．e

小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：

step1 ：求导，获得f x 的单调性，极值情况，作出 f x 的图像，由 f x1 f x2得x1，x2的取值范围（数形结合）；

step2 ：构造辅助函数（对结论x1x22x0，构造 F x f x f 2x0 x ；对结

论 x x x2，构造 F x f x f x02），求导，限定范围（x1或 x2的范围），判定120x

符号，获得不等式；

step3 ：代入x1（或x2），利用f x1 f x2及 f x 的单调性证明最终结论．