工程力学弯曲正应力
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由纯弯曲试验可观察到如下现象：
横线仍为直线，且仍与纵线正交， 只是横截面作相对转动； 纵线弯成曲线，且靠近梁顶面的纵 线缩短，靠近梁底面的纵线伸长； 在纵线的伸长区，梁的宽度减小， 在纵线的缩短区，梁的宽度增大。
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
•研究方法：实验——观察——假定
•纯弯曲试验: • 取对称截面梁，例如矩形截面梁，在其侧 表面上画上等间距的纵线和横线。
•纯弯曲试验和基本假设
• 纯弯曲试验:取对称截面梁，例如矩形截面梁，在 •其侧表面上画上等间距的纵线和横线。
•然后在梁的纵向对称面内加载，使梁产生纯弯曲变形。
•纯弯曲试验和基本假设
•正应力计算公式适用范围
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
•最大弯曲正应力
• 可见，在y=ymax，即横截面上离中性轴最远各点处
•轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 Wz从型钢表中查得
•正应力强度条件
• 梁中最大正应力发生在弯矩最大的横截面上 离中性轴最远处
•因此正应力强度条件：
•正应力强度条件
• 脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大 •故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
• 弯曲许用应力
• 对于塑性材料，由于弯曲正应力分布的 不均匀性，当危险点的应力达到屈服应力时 ，该点发生屈服。但其他各点的应力仍未达 到屈服应力值，因而不会导致整个杆件丧失 承载能力。于是，工程上规定承弯杆件的许 用正应力略高于拉伸许用应力，约高20％～ 50％。一般取为拉伸许用应力的1.2倍。
•
Mmax=Fl/4
•由正应力强度条件
•Fl/4
•+
•即
•（2）若加一个长为a的辅助梁（图（b）所示），求 许可载荷[F]2；
•（b）
•即
•+
•例1：求1-1截面上A、B两点的正应力。
•解：（1）1-1截面上的弯矩 •（2）惯性矩Iz
•（3）A、B两点的正应力
•例2：简支梁如图，若分别采用截面面积相同的实心圆和 ••空的心最圆大截正面应，力且。并D1问=4空0m心m圆，截d面2/D比2=实3/心5，圆试截分面别的计最算大它正们应 •力减少了百分之几？
•空心圆截面的最大正应力
•空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了
•例3：一对称T字形截面的外伸梁如图，求梁中 •横截面上的最大拉应力和最大压应力。
•FA=5.33KN
•FB=10.67Βιβλιοθήκη BaiduN
•弯矩图：
•1.76kNm •+
••1kNm
•最大正弯矩：M+max=1.76kNm •最大负弯矩：M-max=1kNm
•z
•x •y •dA •y
•—— 梁横截面上正应力计算公式
•纯弯曲时梁的正应力
•关于中性轴的概念
•由静力平衡关系：
•得：
•z
•x •y •dA •y
•其中
•——静矩
•而形心坐标：
•知，只有当 z 轴通过截面形心，即yc=0时，才可能有Sz=0， •故上式表明，中性轴通过截面形心。
•§8-3 横力弯曲时的正应力
•y •100
•形心坐标：
•46.7
•z
•C
•yc= 73.3
•40
•中性轴z的位置如图所示 •80
•惯性矩：
•40
•D
•1.76kNm •+
••1kNm
•最大拉应 力
•最大压应力
•例4：已知图示铸铁简支梁的E=120GPa，许用拉应力 •，许用压应力 •求许可载荷[F]。
•F
•100
•A •1m
•木料的许用弯曲正应力[]=10MPa，现需要在C上中性轴
•处钻一直径为d的圆孔，问在保证该梁强度条件下，圆孔
•的最大直径可达多少？（不考虑圆孔处应力集中的影响）
•解：截面C处的弯矩：
•2kN/m
•5kN
•由强度条件
•250•C •1000
•160 •160
•而 •d =114.7mm
•例6 抗弯截面模量为W1的简支梁如图（a）所示。
•解：因空心圆与实 •心圆截面面积相同，
•ql2/8
•将D1=40mm代入上式，得
•+
•D2=50mm， d2=30mm
•最大弯矩产生在梁的跨中截面上：
•最大正应力发生在梁的跨中截面的上、下边缘上。
• D1=40mm，d2/D2=3/5， D2=50mm， d2=30mm ，Mmax=1KN。分别计算 •它们的最大正应力。并问空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了 •百分之几？ •实心圆截面的最大正应力
•纯弯曲试验和基本假设
根据试验观察到的表面变形现象，可作如下 假设
平面假设：变形前的平面横截面，变形后仍为 平面，且仍与梁的轴线正交，只是横截面作相 对转动。
单向受力假设：各纵向“纤维”单向受力，各纵 向“纤维”之间无挤压或拉伸作用。
•纯弯曲试验和基本假设
•中性层与中性轴
• 在平面假设的前提下，设想梁是由无数层纵向纤维 •组成，弯曲变形后，梁的一侧纤维伸长，另一侧纤维缩 •短，其中必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一层称为
•（1）[]已知，求许可载荷[F]1； •（2）若加一个长为a的辅助梁（图（b）所示），
•求许可载荷[F]2； •（3）若辅助梁抗弯截面模量为W2，材料与主梁相同， •辅助梁最合理的长度为多少？
•（a）
•（b）
• 例6：抗弯截面模量为W1的简支梁如图所示。 •（1）[]已知，求许可载荷[F]1；
•解：（1）危险截面在梁中截面
•B •1m
•+
•弯矩图
•F/2
•Mmax=F/2
•50 •50
•200 •C
•50 •200
•z
•125 •z1
•E=120GPa，许用拉应力
•，许用压应力
•Mmax=F/2。•求许可载荷[F]。
•100
•50 •50
•200 •C
•50 •200
•z
•125 •z1
•例5：一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示，
•横力弯曲与纯弯曲
•横力弯曲 —— • 剪力FS不为零 •（ Bending by • transverse force ） • 例如AC, DB段
•FS
•纯弯曲 —— • 剪力FS ＝0且 • 弯矩为常数 •（ Pure bending ）
• 例如CD段
• 变形几何关系的建立
•研究对象：等截面直梁
工程力学弯曲正应力
•本次课基本要求
•1、了解杆件横截面上的正应力分析 •过程，并熟记正应力公式。 •2、熟练掌握正应力强度计算
•重点与难点
•重点： 正应力公式的应用 •难点： 正应力分析方法
§5-1 纯弯曲
•横力弯曲与纯弯曲
当梁横截面上既有剪力又有弯矩时，梁的弯 曲称为横力弯曲，或剪切弯曲。梁横截面上只有 弯矩时，梁的弯曲称为纯弯曲。
，弯曲正应力最大。
•称为抗弯截面系数，单位：m3, mm3
•最大弯曲正应力
•x=-•M•I••zz•y•，•x•, •max=••WM••zz
•最大弯曲正应力
•x=•M•I••yy•z•，•x••,max=
•M•y •W•y
•抗弯截面系数
•宽b、高h的矩形
•y •h
•z •b
•直径为d的圆截面
• 弯曲许用应力
• 对于脆性材料，如铸铁等，由于材料本身的不 均匀性（如内部夹杂物、缺陷、气孔等），以及弯 曲正应力的非均匀分布，最大应力作用区远小于较 小应力作用区。于是，缺陷在最大应力区域内引起 破坏的概率，比在低应力区的概率要小得多。因此 ，脆性材料弯曲许用拉应力要比拉伸时高得多。例 如对于灰铸铁，弯曲许用拉应力要比拉伸时高70％ ～110％。
•中性层，中性层和横截面的交线称为中性轴。
•（1）由变形几何关系确定应变分布
•z •x •y
•直线段 aa 变为曲线弧长为： •ρ为曲率半径
•线应变为
•纯弯中，纵向线应变沿截面高度线性分布
•纯弯曲时梁的正应力
•（2）由物理关系确定正应力分布 •物理关系： •应用胡克定律
•纯弯曲时梁的正应力
•（3）由静力学方程确定待定常数 •静力平衡关系：
横线仍为直线，且仍与纵线正交， 只是横截面作相对转动； 纵线弯成曲线，且靠近梁顶面的纵 线缩短，靠近梁底面的纵线伸长； 在纵线的伸长区，梁的宽度减小， 在纵线的缩短区，梁的宽度增大。
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
•研究方法：实验——观察——假定
•纯弯曲试验: • 取对称截面梁，例如矩形截面梁，在其侧 表面上画上等间距的纵线和横线。
•纯弯曲试验和基本假设
• 纯弯曲试验:取对称截面梁，例如矩形截面梁，在 •其侧表面上画上等间距的纵线和横线。
•然后在梁的纵向对称面内加载，使梁产生纯弯曲变形。
•纯弯曲试验和基本假设
•正应力计算公式适用范围
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
•最大弯曲正应力
• 可见，在y=ymax，即横截面上离中性轴最远各点处
•轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 Wz从型钢表中查得
•正应力强度条件
• 梁中最大正应力发生在弯矩最大的横截面上 离中性轴最远处
•因此正应力强度条件：
•正应力强度条件
• 脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大 •故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
• 弯曲许用应力
• 对于塑性材料，由于弯曲正应力分布的 不均匀性，当危险点的应力达到屈服应力时 ，该点发生屈服。但其他各点的应力仍未达 到屈服应力值，因而不会导致整个杆件丧失 承载能力。于是，工程上规定承弯杆件的许 用正应力略高于拉伸许用应力，约高20％～ 50％。一般取为拉伸许用应力的1.2倍。
•
Mmax=Fl/4
•由正应力强度条件
•Fl/4
•+
•即
•（2）若加一个长为a的辅助梁（图（b）所示），求 许可载荷[F]2；
•（b）
•即
•+
•例1：求1-1截面上A、B两点的正应力。
•解：（1）1-1截面上的弯矩 •（2）惯性矩Iz
•（3）A、B两点的正应力
•例2：简支梁如图，若分别采用截面面积相同的实心圆和 ••空的心最圆大截正面应，力且。并D1问=4空0m心m圆，截d面2/D比2=实3/心5，圆试截分面别的计最算大它正们应 •力减少了百分之几？
•空心圆截面的最大正应力
•空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了
•例3：一对称T字形截面的外伸梁如图，求梁中 •横截面上的最大拉应力和最大压应力。
•FA=5.33KN
•FB=10.67Βιβλιοθήκη BaiduN
•弯矩图：
•1.76kNm •+
••1kNm
•最大正弯矩：M+max=1.76kNm •最大负弯矩：M-max=1kNm
•z
•x •y •dA •y
•—— 梁横截面上正应力计算公式
•纯弯曲时梁的正应力
•关于中性轴的概念
•由静力平衡关系：
•得：
•z
•x •y •dA •y
•其中
•——静矩
•而形心坐标：
•知，只有当 z 轴通过截面形心，即yc=0时，才可能有Sz=0， •故上式表明，中性轴通过截面形心。
•§8-3 横力弯曲时的正应力
•y •100
•形心坐标：
•46.7
•z
•C
•yc= 73.3
•40
•中性轴z的位置如图所示 •80
•惯性矩：
•40
•D
•1.76kNm •+
••1kNm
•最大拉应 力
•最大压应力
•例4：已知图示铸铁简支梁的E=120GPa，许用拉应力 •，许用压应力 •求许可载荷[F]。
•F
•100
•A •1m
•木料的许用弯曲正应力[]=10MPa，现需要在C上中性轴
•处钻一直径为d的圆孔，问在保证该梁强度条件下，圆孔
•的最大直径可达多少？（不考虑圆孔处应力集中的影响）
•解：截面C处的弯矩：
•2kN/m
•5kN
•由强度条件
•250•C •1000
•160 •160
•而 •d =114.7mm
•例6 抗弯截面模量为W1的简支梁如图（a）所示。
•解：因空心圆与实 •心圆截面面积相同，
•ql2/8
•将D1=40mm代入上式，得
•+
•D2=50mm， d2=30mm
•最大弯矩产生在梁的跨中截面上：
•最大正应力发生在梁的跨中截面的上、下边缘上。
• D1=40mm，d2/D2=3/5， D2=50mm， d2=30mm ，Mmax=1KN。分别计算 •它们的最大正应力。并问空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了 •百分之几？ •实心圆截面的最大正应力
•纯弯曲试验和基本假设
根据试验观察到的表面变形现象，可作如下 假设
平面假设：变形前的平面横截面，变形后仍为 平面，且仍与梁的轴线正交，只是横截面作相 对转动。
单向受力假设：各纵向“纤维”单向受力，各纵 向“纤维”之间无挤压或拉伸作用。
•纯弯曲试验和基本假设
•中性层与中性轴
• 在平面假设的前提下，设想梁是由无数层纵向纤维 •组成，弯曲变形后，梁的一侧纤维伸长，另一侧纤维缩 •短，其中必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一层称为
•（1）[]已知，求许可载荷[F]1； •（2）若加一个长为a的辅助梁（图（b）所示），
•求许可载荷[F]2； •（3）若辅助梁抗弯截面模量为W2，材料与主梁相同， •辅助梁最合理的长度为多少？
•（a）
•（b）
• 例6：抗弯截面模量为W1的简支梁如图所示。 •（1）[]已知，求许可载荷[F]1；
•解：（1）危险截面在梁中截面
•B •1m
•+
•弯矩图
•F/2
•Mmax=F/2
•50 •50
•200 •C
•50 •200
•z
•125 •z1
•E=120GPa，许用拉应力
•，许用压应力
•Mmax=F/2。•求许可载荷[F]。
•100
•50 •50
•200 •C
•50 •200
•z
•125 •z1
•例5：一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示，
•横力弯曲与纯弯曲
•横力弯曲 —— • 剪力FS不为零 •（ Bending by • transverse force ） • 例如AC, DB段
•FS
•纯弯曲 —— • 剪力FS ＝0且 • 弯矩为常数 •（ Pure bending ）
• 例如CD段
• 变形几何关系的建立
•研究对象：等截面直梁
工程力学弯曲正应力
•本次课基本要求
•1、了解杆件横截面上的正应力分析 •过程，并熟记正应力公式。 •2、熟练掌握正应力强度计算
•重点与难点
•重点： 正应力公式的应用 •难点： 正应力分析方法
§5-1 纯弯曲
•横力弯曲与纯弯曲
当梁横截面上既有剪力又有弯矩时，梁的弯 曲称为横力弯曲，或剪切弯曲。梁横截面上只有 弯矩时，梁的弯曲称为纯弯曲。
，弯曲正应力最大。
•称为抗弯截面系数，单位：m3, mm3
•最大弯曲正应力
•x=-•M•I••zz•y•，•x•, •max=••WM••zz
•最大弯曲正应力
•x=•M•I••yy•z•，•x••,max=
•M•y •W•y
•抗弯截面系数
•宽b、高h的矩形
•y •h
•z •b
•直径为d的圆截面
• 弯曲许用应力
• 对于脆性材料，如铸铁等，由于材料本身的不 均匀性（如内部夹杂物、缺陷、气孔等），以及弯 曲正应力的非均匀分布，最大应力作用区远小于较 小应力作用区。于是，缺陷在最大应力区域内引起 破坏的概率，比在低应力区的概率要小得多。因此 ，脆性材料弯曲许用拉应力要比拉伸时高得多。例 如对于灰铸铁，弯曲许用拉应力要比拉伸时高70％ ～110％。
•中性层，中性层和横截面的交线称为中性轴。
•（1）由变形几何关系确定应变分布
•z •x •y
•直线段 aa 变为曲线弧长为： •ρ为曲率半径
•线应变为
•纯弯中，纵向线应变沿截面高度线性分布
•纯弯曲时梁的正应力
•（2）由物理关系确定正应力分布 •物理关系： •应用胡克定律
•纯弯曲时梁的正应力
•（3）由静力学方程确定待定常数 •静力平衡关系：