高三数学(理)下学期六校联考试题(含答案)

浙江省六校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间为120分钟。

参考公式：柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知集合{}2=430A x x x -+<，{}24B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2.已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，则“12//l l ”是“7-=m ” 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知空间两条不同的直线m ，n 和平面，则下列命题中正确的是A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥C ．若//m α，//n α，则//m nD ．若m α⊂，//n α，则//m n 4.将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单 位，得到的函数的图像的一个对称中心为A ．（π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π2，0） 5.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0，9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7α6.已知O 为坐标原点，双曲线的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于两点A ，B （异于原点），若，则双曲线的离 心率为A ．3B ．2C ．3D ．27.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤）， 则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，不正．． 确．的是 A ．若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+B ．若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =C ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+D ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 8.如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，5BC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点。

如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得λ=⋅PF PE 成立，那么λ的取值范围是A ．（54-，920-） B ．（920-，114） C ．（920-，14-） D ．（54-，114）非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为______，表面积为______. 10.已知2cos 2cos 2sin3)(2xx x x f -=，则)(x f 的最小正周期为 ______，单调递减区间为______.11.设函数⎩⎨⎧∈--∈=]4,2(,28]2,1[,2)(x x x x f x 则2(log 3)f =______，若(())f f t ∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______.12.动直线l ：过定点P ，则点P 的坐标为______，若直22221x y a b-=(0,0)a b >>()0AO AF OF +⋅=e (31)(1)660x y λλλ++-+-=1121111正视图 侧视图（第9题图）EFA BDP（第8题图）线l 与 不等式组 表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是_____.13.在ABC ∆中，点D 满足23BD BC =，点E 是线段AD 上的一个动点（不含端点）， 若BE AB AC λμ=+，则μλ1+=______.14.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点， 现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H 在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点H 所形成轨迹的长度为______.15.设a ，b ，c ∈R ，对任意满足1≤x 的实数x ，都有12≤++c bx ax ，则c b a ++ 的最大可能值为______.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.如图所示，在四边形中， =，且，，． （I ）求△的面积；（II ）若，求的长．17.如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，22AB =， 现将梯形沿CB ，DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如 图（2）示，已知M ，N 分别为AF ，BD 的中点．（I ）求证：//MN 平面BCF ； （II ）若直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为22，求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩λABCD D ∠2B ∠1AD =3CD =3cos 3B =ACD 23BC =AB DCBA图（1） AB E F DC 图（2）MNACDBEF DA CBE（第14题图）18.已知函数2()(0,1)axf x a b x b=>>+，满足：，且)(x f 在R 上有最大值423． （I ）求)(x f 的解析式；（II ）当x ∈[1，2]时，不等式mx x mx f -+≤)2(3)(2恒成立，求实数m 的取值范围．19.如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π。

椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ．（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．20.已知数列{}n a 满足：114()2n n na a a +=+； （I ）若34120a =，求1a 的值； （II ）若14a =，记|2|n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：38<n S浙江省六校联考 数学（理科）答案一、选择题1.C2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.C二、填空题（第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分） 9.3π ， 1522π++ 10. 2π ， 25(2,2)33k k k Z ππππ++∈ x11. 3， 279[log ,]24 12. (0,6)- 713λ≤≤ 13. 1214．π 15. 3三、解答题16. 解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ………………………（2分）因为()0,D π∠∈，所以sin 3D =，…………………………（4分）所以△ACD 的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=7分） （Ⅱ）解法一：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以AC =9分） 在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ……………（12分）把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = ……（15分） 解法二：在△ACD 中，在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以23AC =．…………………………………………………………（9分）因为BC =sin sin AC ABB ACB=∠，所以()sin 2AB B π=-，………（12分） 得4AB =．…………………………………………………………………………（15分） 17. 解：（Ⅰ）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点.在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF .∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF .……………………（4分） （Ⅱ）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且ABAE A =∴AD ⊥平面ABFE ，过点E 作EH AB H ⊥于点，连接DH DE ∴在面ABCD 上的射影是DH .所以EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成的角。

……………………………（6分）所以：tan HE EDH DH ∠==所以：2,DH DA ==设P EF ∈且AP EF ⊥，分别以,,AB AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(A D E F(0,0,2),(2,2,0),(2,2,2),(22,0,0)AD AE DE DC ==-=--=………………………………（9分） 设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量令00,00m AD n DC m AE n DE ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，即0,00⎧==⎪⎨==⎪⎪⎩⎩ 取(1,1,0),(0,1,1)m n ==………………………………（13分） 则1cos ,2m n m n m n<>==∴平面ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为π3. ……………………（15分） 18. 解：（1）因为(1)1f =，得：1ab =+， …………………2分 又因为max ()f x ==…………………4分 解得：32a b =⎧⎨=⎩ 或 3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）即：23()2xf x x =+ …………………6分 （2）解法一：因为23(2)mx x m+-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴∈-∞+∞ …8分 则问题为22332(2)x mx x x m≤++-即对恒成立，即0≤--m m x x 对]2,1[∈x 恒成立令()g x x x m m =--，()0g x ≤对]2,1[∈x 恒成立， 由()()1102220g m m g m m ⎧=--≤⎪⎨=--≤⎪⎩ 得434≤≤m …………10分整理得⎩⎨⎧<-+-≥--=)(,)(,)(22m x m mx x m x m mx x x g 问题转化为：求)(x g 在]2,1[上的最大值0)(max ≤x g ① 当234≤≤m 时，{})2(),1(m ax )(max g g x g = m g g 34)2(,1)1(-=-=3534≤≤m 时，)1()2(g g ≥ 235≤<m 时，)2()1(g g >，234≤≤∴m 成立 …………12分 ② 当42≤<m 时，042)(2max≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m g x g42≤<∴m …………14分又(,1)(2,)m ∈-∞+∞综上，实数m 的取值范围为24m <≤ ………………15分 解法二： 因为23(2)mx x m+-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴∈-∞+∞……8分问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对恒成立，即对恒成立，m x m x -≤m mx m x x-≤-≤ …………………10分 ① 1x =显然成立当时，4m ≤② 对于对恒成立，等价于，令，，则，，，递增， ， 即，综上，实数m 的取值范围为24m <≤ …………………15分19. 解：（1）由题意得：1b =，则3a b =，所以椭圆方程为：2219x y +=………………5分（2）由题意得：直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥， 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-由：22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩所以：2221891:(,)9191k k P k k -++ 同理得:222189:(,)99k k M k k --++ 2110PMk k k-= ………………8分 由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得：22221:(,)11k k A k k -++， 所以：212AB k k k -=所以：342221162()1162()929829982EPM k k k k S PE EM k k k k ∆++=⋅==++++ ………………12分 设1t k k =+， 则2162162276496489EPM t S t t t∆==≤++ ……13分 当且仅当183t k k =+=时取等号，所以1k k -=则直线2111:()22k AB y x k x k k-==- 所以所求直线l 方程为：73y x =± ………………15分20. 解：（1）2222411458()20225a a a a =+∴==或.........2分当25=2a 时，解得1=14a 或 .........4分 当28=5a 时，无解 所以，1=14a 或 .........6分(2)方法1：22114112(4)(44)(2)222n n n n n n n na a a a a a a a +-=+-=-+=- ①22114112(4)(44)(2)222n n n n n n n na a a a a a a a ++=++=++=+ ② ①/②得，因为21212(2)2(2)n n n n a a a a ++--=++ .........9分 12124212124121(2)(2)(2)(2)1....()()(2)(2)(2)(2)3n n n n n n n n a a a a a a a a ----------∴=====++++ 112211()3211()3n n n a --+∴=⋅- .........12分 11122211()443|2|2213311()3n n n n n a ---+-=⋅-=<--12121|2||2| (2)1144421832...2()2(1)133933313n n n n n S a a a --∴=-+-++--<+++=+=+-<-.........14分 方法2：因为14a =，2112(2)02n n na a a +-=-> 又因为14a =，所以2n a >所以21402n n n na a a a +--=<，所以{}n a 为单调递减数列所以24n a <<2111224n n n a a a -=-< 1212(2)(2)24n n n n n a a a a a +--=-<-， 111112()(2)2()44n n n a a ---≤-=⋅ 所以：121221...22...221121822()...2()2(1())444343n n n n n S b b b a a a -=+++=-+-++-≤++⋅++⋅=+-<。