大学物理习题解答5第五章稳恒电流 (2)

第四章 静电场

本章提要

1．电荷的基本性质

两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。

2．库仑定律

两个静止的点电荷之间的作用力

1212

22

04kq q q q r r =

=F r r πε 其中

922910(N m /C )k =⨯⋅

122-1-201

8.8510(C N m )4k -=

=⨯⋅επ

3．电场强度

q =

F E 0q 为静止电荷。由

1010

22

04kq q q q r r =

=F r r πε 得

11

2204kq q r r

=

=E r r πε

4．场强的计算

（1）场强叠加原理

电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。

i =∑E E

（2）高斯定理 电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ∆=∆S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ∆的电场强度通量定义为

e cos E S ∆ψ=∆=⋅∆v S θ

取积分可得电场中有限大的曲面的电通量

ψd e s

S =⋅⎰⎰E

高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有

电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。即

i 0

1

d s

q

=

∑⎰⎰

E S 内

ε

5．典型静电场

（1）均匀带电球面

0=E （球面内）

2

04q r

πε=

E r （球面外）

（2）均匀带电球体

3

04q R πε=

E r （球体内）

2

04q r

πε=

E r （球体外）

（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为

02E r

λ

πε=

（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为

2E σε=

6．电偶极矩

电偶极子在电场中受到的力矩

=⨯M P E

思考题

4-1 02

0 4q

q r =

=

πεr 与F

E E 两式有什么区别与联系。 答：公式

q F

E =

是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。而公式

02

04q r

πε=

E r

是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。

4-2一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？

（1） 气球内部 （2） 气球外部 （3） 气球表面

答：取球面高斯面，由00d n

i i q ε=⋅=∑⎰⎰ E S 可知

（1）内部无电荷，而面积不为零，所以E 内= 0。 （2）E 外=

2

04r

q πε与气球吹大无关。

（3）E 表=

2

04R q πε随气球吹大而变小。

4-3 下列几种说法是否正确，为什么？

（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。 （2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。 （3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。 （4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。 答：（1）错

因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。

（2）错

高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的d s

⎰⎰ E S 的累积为零。并不一

定电场强度处处为零。

（3）错

穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的d s

⎰⎰ E S 的累积为零。并

不一定电场强度处处为零。 （4）对

E = 0，则整个高斯面的d s

⎰⎰ E S 的累积为零。所以电通量φ=0。

4-4 试利用电场强度与电势的关系式d d l U

E l

=-

分析下列问题： （1） 在电势不变的空间内，电场强度是否为零？ （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？ （3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？ 答：（1）是

由d d l U

E l

=-可知，当电势处处相等时，d 0U =，E l =0

实际例子：静电平衡的导体内。 （2）否

电势为零处电势梯度d d U

l

不一定为零，所以E l 也不一定为零。

实际例子：电偶极子连线中点处。 （3）否

如果E l 等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。 实际例子：两个相同电荷连线中点处。

4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一电介质板摩擦插入电容器C 2的两板间，试定性地描述C 1、C 2上的电量、电容、电压、及电场强度的变化。

答：插入电介质板后，C 2的增大，致使整个电路电容1/C=1/C 1+1/C 2增大，而总电压U 又没变，所以每个电容器所储存的电量q 1 = q 2增加。由于无

摩擦，这种增加的电量全部由电源提供。

C 1=ε0S/d 不变，而储存的电量增加时，U 1= q 1/C 增大，故U 2减小。由U = Ed 可知E 2减小。U 1增大而两极板距离d 不变，故E 1增大。

4-6 一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化？

答：电容器灌入煤油后，电容量增大，但极板上的电量没有改变，由C q W e 22=可知电容器的能量W e 会减少。减少的那部分能量，由煤油分子在静电场极化过程中转化成煤油的内能。

如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式22CU W e =可知，C 增大而U 不变时，电容器的能量W e 增大。这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。

图4-1