人教版B数学选修1-2：第二章章末综合检测

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高二数学选修1-2全册第2章综合素质检测

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 [答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1 D.22n －1 [答案] B[解析] 考查归纳推理．a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1∴a 2＝13a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13∴a 3＝16a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16∴a 4＝110由此猜想a n ＝2n (n ＋1)3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×14291项，从第92项开始为14，故第100项为14.4．如果x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么( )A ．F ＝0，D ≠0，E ≠0B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0D ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 [答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，∴圆过原点，F ＝0，又圆心在y 轴上，∴D ＝0，E ≠0.5．已知a 0,4－b >4，∴a <4－b .6．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] D[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20等于( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D.32[答案] B[解析] a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为20＝3×6＋2，所以a 20＝－ 3.8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c[答案] A[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14. 9．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能 [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a ，b ，c 都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，通过计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值，由此猜想f (n )＝( )A.n ＋22(n ＋1) B.n ＋24n C.2n －1(n ＋1)2 D.n ＋1n (n ＋1) [答案] A12．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．对于“求证函数f (x )＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f (x )，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)<0，则函数f (x )在D 上是减函数”，小前提是“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________”，结论是“f (x )＝－x 3在 R 上是减函数”．[答案] 对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－(x 2－x 1)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21<0 14．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为________，猜想a n ＝________.[答案] 37，38，39，310，3n ＋5. 16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件： ①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是______．[答案] ②[解析] 易知函数f (x )是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，故能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件只有②x 21>x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13[解析] 证明：由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13. 18．(本题满分12分)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，若c n ＝a n ＋b n ，请证明数列{c n }不是等比数列．[证明] 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是等比数列，设公比分别为p ，q ，则有a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1.②整理①式，并将②代入得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1.所以2a n b n ＝a n p ·b n q ＋a n p ·b n q ，即2＝p q ＋q p. 因为p ≠q ，所以p q ＋q p≠2，得出矛盾，所以假设不成立．故数列{c n }不是等比数列．19．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3.又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2， 2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2， ……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 2 2cos π8＝21＋cos π42 ＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cos π82 ＝21＋122＋22 ＝2＋2＋ 2 …2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得(a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)已知函数f (x )对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数．(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.[解析] (1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 2>x 1，则有x 2－x 1>0，利用已知条件“当x >0时，f (x )>1”得f (x 2－x 1)>1，而f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，即f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数．(2)由于f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.由f (3m 2－m －2)<3得f (3m 2－m －2)<f (2)．由f (x )是R 上的增函数，得3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.。

高中数学人教B版选修1-2 第2章单元综合检测2 Word版含解析

第二章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③某次考试张军成绩是分，由此推出全班同学成绩都是分；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°.．仅①②．①③④．①②④．仅②④解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选.答案：．下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，是自然数，所以是整数”的说法正确的是( )．推理正确．推理形式错误．大前提错误．小前提错误解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．答案：．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选.答案：．已知命题为真命题，命题为假命题，则在命题：∨，：∧，：(¬)∨和：∧(¬)中，真命题是( )．，．，．，．，解析：由复合命题的真值表知，：∨为真，：∧为假，：(¬)∨为假，：∧(¬)为真，故真命题是，，故选.答案：．用反证法证明：若≥>，则＋－≤＋－的假设为( )．＋－<＋－．＋－≥＋－．＋－>＋－．＋－≤＋－解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选.答案：．已知数列{}满足＋＝，＝，则可归纳出{}的一个通项公式为( )．＝．＝．＝．＝解析：由＋＝和＝得＝＝，＝＝＝，＝＝，＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：＝.答案：．如下图所示，个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐号座位，如果第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔所坐的座位号为( )．．．．解析：由题意得第次互换座位后，个小动物又回到了原座位，即每经过次互换座位后，小动物回到原座位，而＝×＋，所以第次互换座位后的结果与第次互换座位后的结果相同，故小兔坐在号座位上，应选.答案：．已知>，不等式＋≥，＋≥，＋≥，…，可推广为＋≥＋，则的值为( )．．．．－解析：由＋≥，＋＝＋≥，＋＝＋≥，…，可推广为＋≥＋，故＝.答案：．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )．．。

高二数学(人教B版)选修2-1单元第2章综合素质检测

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．双曲线x 2m －y2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38 C.163D.83[答案] A[解析] 依题意，e ＝m ＋n m＝2，c ＝1，即：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，1m ＝2，解得m ＝14，n ＝34，mn ＝316，选A.2．与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(116，0) C ．(－1,0)D ．(0，－116) [答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0)．3．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |> 3C ．|k |≤ 3D ．|k |<1[答案] B[解析] 如图所示，l 1平行于y ＝3x ，l 2平行于y ＝－3x ，由图可看出，当过C 由l 1位置逆时针方向转到l 2位置之间的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支都有两个交点，此时k >3或k <－ 3.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 的椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[答案] A[解析] 由条件可得F 1(－3,0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 点坐标(3，y 0)．又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32.∴M 在坐标⎝⎛⎭⎫0，±34，故选A. 5．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动；O 为原点，若OP →＝13OA →＋23OB →，则点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1[答案] A[解析] 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由题知(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，∴x 0＝32，y 0＝3y ，又∵|AB →|＝3，∴x 20＋y 20＝9， ∴x 24＋y 2＝1即为点P 的轨迹方程． 6．如图，在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程：x 21a 2＋y 21b 21，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b 1a >0，所以由椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，则D 选项正确．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图形关于x 轴对称；排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴上，故选D.7．(2010·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236 1D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题易知ba ＝3①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则由a 2＋b 2＝36②由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y227＝1，故选B.8．F 1，F 2是椭圆的两个焦点，A 是椭圆上任一点，过任何一焦点向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 如图所示：∠BAF 1为外角，AP 为外角角平分线l 所在直线设长轴长为2a (a >0)，∠BAF 1＝∠CAF 2， ∴AP 平分∠CAF 2，延长F 2P 交F 1A 于C ， ∴C 、F 2关于P 对称，∴AC ＝AF 2. 设F 2为(c,0)，F 1为(－c,0)，P 为(x ，y )， ∴c 为(2x －c,2y )∵AC ＝AF 2，AF 2＋AF 1＝2a ， ∴F 1C ＝2a ，即4x 2＋4y 2＝4a 2， ∴轨迹为圆，选A.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝42x[答案] B[解析] 如图，∵AF →＝FB →，|FD →|＝p ，∴|AC |＝2p ，∴|AF |＝|FB |＝2p ，又BA →·BC →＝48， ∴|BC |2＝48，∴在Rt △ABC 中，(4p )2－(2p )2＝48， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b 2＋c )2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(55，35)B ．(25，55) C ．(25，35)D ．(0，55) [答案] A[解析] 要保证椭圆与圆的4个交点，只要保证圆的半径b <b2＋c <a 即可．⎩⎨⎧b b ， ①2(a －c )>b . ②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2,5c 2>a 2，c 2a 2>15，e 2>15，e >55，由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，得3a 2－8ac ＋5c 2>0，两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，(e －1)(5e －3)>0，e >1(舍去)或e <35则55<e <35. 11．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于点P 1，P 2，线段P 1P 2的中点设为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12[答案] D[解析] 设直线l 的方程y ＝k 1(x ＋2)将y ＝k 1(x ＋2)代入x 2＋2y 2＝2中得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x＋8k 21－2＝0.设P (x 0，y 0)则x 0＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21∴k 2＝y 0－0x 0－0＝－12k 1∴k 1k 2＝－12k 1·k 1＝－12.故选D.12．B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元[答案] B[解析] 设总费用为y 万元，则y ＝a ·(MB ＋MC )∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ， ∴曲线PG 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2.由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2， ∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．以直线AB 为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y ≥(27－2)a (万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为3π4的直线，与抛物线交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．[答案] 2 2[解析] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝2 2.14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________． [答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.15．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程是________．[答案] (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)[解析] 设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，由|CD |＝3和两点间距离公式求得方程，同时结合图形，除去A ，C ，D 三点共线的情况．16．下列四个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定点C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．[答案] ③④三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，解得：a 2＝14，b 2＝34. ∴所求双曲线方程为 4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知定点A (a,0)，其中0<a <3，它到椭圆x 29＋y 24＝1上点的距离的最小值为1，求a 的值．[解析] 设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋19(36－4x 2)＝59(x －95a )2＋4－45a 2，当0<a ≤53时，有0<95a ≤3.∴当x ＝95a 时，|P A |2min ＝4－45a 2＝1，得a ＝152>53(舍)，当53<a <3时，有3<95a <275，当且仅当x ＝3时，|P A |2min ＝a 2－6a ＋9＝1，故a ＝2或a ＝4(舍)，综上得a ＝2.19．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y225＝1有公共焦点F 1、F 2，它们的离心率之和为245，(1)求双曲线的标准方程；(2)设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． [解析] (1)在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，∴c ＝a 2－b 2＝4，焦点在y 轴上，离心率为e ＝45.由题意得：所求双曲线的半焦距c ＝4，离心率e ′＝245－45＝2，又∵e ′＝c a ′＝4a ′＝2， ∴双曲线的实半轴为a ′＝2，则b ′2＝c 2－a ′2＝16－4＝12， ∴所求双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P 在哪一个象限，cos ∠F 1PF 2的值是相同的，设点P 是双曲线与椭圆在第一象限的交点，其中|PF 1|>|PF 2|由定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10① |PF 1|－|PF 2|＝4②由①、②得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3.又∵|F 1F 2|＝8，在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝72＋32－822×7×3＝－17，∴cos ∠F 1PF 2的值为－17.20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] 本题考查圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系，第(1)问较基础，第(2)问中计算是关键之处．解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为 y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝2 3 ∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b23a ＋b2 ①y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2 ②∵AF →＝2F 2B →∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y25＝121．(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A 1A 2|＝6，焦距|F 1F 2|＝42，过椭圆的左焦点F 1作直线交椭圆于M 、N 两点，设∠F 2F 1M ＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN |等于椭圆的短轴的长．[解析] 如图所示，a ＝3，c ＝22，b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.设过F 1的直线方程为y ＝k (x ＋22)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋22)， ①x 29＋y 2＝1. ②①代入②，整理得(1＋9k 2)x 2＋362k 2x ＋72k 2－9＝0，∴x 1＋x 2＝－362k21＋9k 2，x 1·x 2＝72k 2－91＋9k2.代入|MN |＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)，整理得|MN |＝6(k 2＋1)1＋9k 2.∵6(k 2＋1)1＋9k 22，∴k ＝±33. 即tan α＝±33，∴α＝π6或α＝5π6.22．(本小题满分14分)如右图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且OP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．[解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简整理，得y 2＝4x . 即动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x 化简整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， ∴λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 22－2m ·4m －4＝0. 即λ1＋λ2的值为0.。

高中数学人教B版选修1-2学业分层测评章末综合测评2 Word版含答案

章末综合测评(二) 推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).数列，，，，，，…中的等于( )－＝，故＝＋×＝.【解析】观察知数列{}满足：＝，＋【答案】.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( ).方程＋＋＝没有实根.方程＋＋＝至多有一个实根.方程＋＋＝至多有两个实根.方程＋＋＝恰好有两个实根【解析】方程＋＋＝至少有一个实根的反面是方程＋＋＝没有实根，故应选.【答案】.下列推理过程是类比推理的是( ).人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼.通过检测溶液的值得出溶液的酸碱性.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】为归纳推理，，均为演绎推理，为类比推理.【答案】.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③由()＝，满足(－)＝－()，∈，推出()＝是奇函数；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°..①③④.①②.②④.①②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】.设＝＋，＝，则，的大小关系是( )>＝>(＋)<【解析】因为＝＋>＝>，故>.【答案】.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④·＝；⑤由·＝·(≠)，可得＝.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( )个个个个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】.证明命题：“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为()＝＋，所以′()＝－.因为>，所以>，<<.所以－>，即′()>.所以()在(，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )【导学号：】.综合法.分析法.反证法.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.。

人教版B数学选修1-2：第二章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，sin A sin C>cos A cos C，则△ABC一定是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选D.由sin A sin C>cos A cos C，可得cos(A＋C)<0，即cos B>0,所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.2。

如果两个数的和为正数，则这两个数（)A．一个是正数,一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：选C。

两个数的和为正数，则有三种情况：(1）一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；（2)一个是正数，一个是零；（3）两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．3.用反证法证明命题:“a，b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析:选B.“至少有一个"的否定是“一个也没有",即“a，b都不能被5整除"．4.“所有是9的倍数的数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（）A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误,因为大前提错误解析:选A。

大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5.观察式子：1＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!，…，则可归纳出一般式子为（）A．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!（n≥2)B．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2)C．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!(n≥2）D．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2）解析：选C。

高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修1-2(2021年最新整理)

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高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修1—2（高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是( ）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2．(2014广东佛山质量检测）用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)有有理实数根,那么a，b,c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是（) A．假设a，b，c至多有一个是偶数B．假设a，b,c至多有两个偶数C．假设a，b，c都是偶数D．假设a，b,c都不是偶数3．(2014北京高考)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日）如下:则最短交货期为__________个工作日．4．(2014山东日照一中开学考试）下列推理是归纳推理的是( )A．A,B为定点,动点P满足｜PA｜＋|PB｜＝2a＞｜AB｜，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5．（2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人6．(2014北京顺义一模)设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1,2,3,…，n－1}；②若a∈M，则n－a∈M（n≥2，n∈N＋），则下列结论正确的是( )A．若n为偶数，则集合M的个数为2错误!B．若n为偶数，则集合M的个数为2错误!－1C．若n为奇数，则集合M的个数为2错误!D．若n为奇数，则集合M的个数为2n＋1 27．（2014广东佛山质检一)将n2个正整数1,2，3，…，n2(n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a,b（a＞b)的比值错误!，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n＝2时,数表的所有可能的“特征值"的最大值为( ）A．3 B。

人教版数学选修1-2第二章推理与证明章末综合检测(二)

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形，上述推理中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②解析：选B.①是大前提，②是小前提，③是结论．2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C.①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②④为合情推理．3．在△ABC中，sin A sin C＞cos A cos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选D.由sin A sin C＞cos A cos C，可得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0，所以B为锐角，但并不能判断A，C的度数，故选D.4．设p，q均为实数，则“q＜0”是“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为q＜0，所以Δ＝p2－4q＞0，所以“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立；因为“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立，则有x1x2＝q＜0.5．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.6．已知数列{a n}满足a n＋1＝a n－a n－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设S n＝a1＋a2＋…＋a n，则下列结论正确的是()A．a2 020＝－a，S2 020＝2b－aB．a2 020＝－b，S2 020＝2b－aC．a2 020＝－b，S2 020＝b－aD．a2 020＝－a，S2 020＝b－a解析：选A.因为a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b，a7＝a，a8＝b，…，可得数列具有周期性，每连续6项为一个周期且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0.所以a2 020＝a4＝－a，S2 020＝S4＝2b－a.7．要证明“sin 4θ－cos 4θ＝2sin 2θ－1”，过程为：“sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ－(1－sin 2θ)＝2sin 2θ－1”，用的证明方法是( )A ．分析法B ．反证法C ．综合法D ．间接证明法解析：选C.因为证明是由已知逐步推导得出结论的，所以运用的是综合法，故选C. 8．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B.用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos (90°－∠A 2)，所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°，即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在(0，π)内无解．故选D.10．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0解析：选D.因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，又因为a 2＋b 2＋c 2≥0，所以2(ab ＋bc ＋ac )≤0.故选D.11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.1140B.1105C.160D.142解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.故选A.12．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论( )A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22解析：选 B.画出y ＝x 2的图象，由已知得AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)的图象可得A ，B 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．解析：m 3的分解中最小数是3，5，7，9，…中的第m （m －1）2个，所以73＝2·m （m －1）2＋1.所以m (m －1)＝72，又m >0，所以m ＝9. 答案：914．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66，所以T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，即⎝⎛⎭⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列，同理，可验证T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 815．观察下图： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0172.解析：观察知，图中的第n 行的各数构成一个首项为n ，公差为1，共(2n －1)项的等差数列，其各项和为：S n ＝(2n －1)n ＋（2n －1）（2n －2）2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2. 令(2n －1)2＝2 0172，得2n －1＝2 017，所以n ＝1 009. 答案：1 009 16．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________．解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)．所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)，求证ac ＋bd ≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）. 证明：法一：(分析法)欲证ac ＋bd ≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2），只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2，即证2abcd ≤a 2d 2＋b 2c 2，即证0≤(bc －ad )2，而a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)，0≤(bc －ad )2显然成立，故原不等式成立．法二：(综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2≥a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ＝(ac ＋bd )2，所以（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥ac ＋bd .18．(本小题满分12分)请你把“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论．解：推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：因为a 1，a 2，…，a n 都是正实数，所以a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；…a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 19．(本小题满分12分)已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos （2α＋120°）2＋1－cos （2α＋240°）2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12⎝⎛cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋⎭⎫32sin 2α＝32＝右边． ⎝⎛将一般形式写成sin 2（α－60°）＋sin 2α＋sin 2（α＋60°）＝32，⎭⎫sin 2（α－240°）＋sin 2（α－120°）＋sin 2α＝32等均正确20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 、E 分别为C 1C与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ；(2)求证：CE ∥平面AB 1D .证明：(1)连接A 1D ，BD ，DG .如图．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，所以四边形A 1ABB 1为正方形，所以A 1B ⊥AB 1.因为D 是C 1C 的中点，所以△A 1C 1D ≌△BCD ，所以A 1D ＝BD .因为G 是A 1B 的中点，所以A 1B ⊥DG ，又因为DG ∩AB 1＝G ，所以A 1B ⊥平面AB 1D ，又因为AD ⊂平面AB 1D ，所以A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，易知EG ∥A 1A ，所以GE ⊥平面ABC . 因为DC ⊥平面ABC ，所以GE ∥DC .因为GE ＝DC ＝12a ，所以四边形GECD 为平行四边形，所以EC ∥GD .又因为EC ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ，所以CE ∥平面AB 1D .21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小；(3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，所以1a ≥c .又因为1a ≠c ，所以1a>c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，所以b ＝－1－ac .又a >0，c >0，所以b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<1a ＋1a 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a >0，所以b >－2，所以－2<b <－1.22．(本小题满分12分)若a 1＞0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1，2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．解：(1)证明：(采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n 1＋a n ＝a n，解得a n ＝0，1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 1＝0，1，与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾，所以假设错误．故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)因为a n ＋1＋p a n ＋1＝（2＋p ）a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n ·q ，所以(2＋p －2q )a n ＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式．故可解得q ＝12，p ＝－1.。

高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、2章末

选修1-2 2章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)[答案] B[解析] 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)． 5．(2009·山东)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.二、填空题6．已知点A (0,1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是________．[答案] (±433，－13) [解析] ∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则|AP |＝4cos 2θ＋(sin θ－1)2＝－3(sin θ＋13)2＋163.当sin θ＝－13时，|AP |最大，此时点P 的坐标为(±433，－13)． 7．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程． [解析] 椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.所以所求双曲线的方程为y 29－x 24＝1.9．如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．[解析] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×27×7225 2＝722514.。

2019-2020学年人教B版数学选修1-2 全册综合测评章末综合测评2

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27[解析]观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.[答案] B2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[解析]方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.[答案] A3．下列推理过程是类比推理的是()A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数[解析]A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理．[答案] B4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④[解析]合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．[答案] C5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是()A．a>b B．a＝bC．a2(b＋1)[解析]因为a＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a>b.[答案] A6．将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b ＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是() A．2个B．3个C．4个D．5个[解析]①③正确；②④⑤错误．[答案] A7．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝ex－1e x.因为x>0，所以ex>1,0<1e x<1.所以ex－1e x>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是() A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是[解析]从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．[答案] A8．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定[解析] 要比较a 与b 的大小，由于c >1，所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c＝c ＋1＋c ，1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1，显然1a >1b ，从而必有a 2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12 B ．f (n 2)≥n ＋22 C ．f (2n)≥n ＋22D ．以上都不对[解析] f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.由此可推知f (2n)≥n ＋22.故选C.[答案] C10．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图中的(1)(2)(3)(4)，则图中a ，b 对应的运算是( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.[答案] B11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[解析]从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.[答案] C12．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8[解析]在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x ，y 均不大于1”(或x ≤1且y ≤1)．[答案] x ，y 均不大于1(或x ≤1且y ≤1)14．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．[解析] 设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . [答案] n 2＋n15．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[解析] 因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，所以(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，所以lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． [答案] ≤16．对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有___________________.[解析] 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0.[答案] V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 成等差数列，求证：ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列．[证明] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(ab ＋ac )＋(ac ＋bc )＝b (a ＋c )＋2ac ＝2(b 2＋ac )．所以ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列．18．(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则(1)a 2＋b 2＝c 2； (2)cos 2A ＋cos 2B ＝1.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．[解] 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.19．(本小题满分12分)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，且a >b ，求证：ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.[证明] 依题意a >0，b >0，所以1＋ab >0,1＋a ＋b >0. 所以要证ab 1＋ab<a ＋b 1＋a ＋b ，只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )，只需证ab <a ＋b ，因为a >b ，所以ab <2ab <a ＋b ，所以ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.20．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N ＋，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．[解] 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．此猜想正确．证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43. [证明] (1)假设f (m )<0，f (n )<0，即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0，∴0<m <1,0<n <1，∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零． (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )， ∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0，解得a ＋b <43.22．(本小题满分12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，且a ≠1)． (1)5＝2＋3，请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． [解] (1)f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52， ∴g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． (2)由(1)知g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (3＋2)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：∵f (x )＝a x ＋a －x2， g (x )＝a x －a －x2， g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a x＋y－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．。

人教版高中数学选修1-2 练习：模块综合测试2

选修1-2模块综合测试（二）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A. －2iB. 2iC. －4iD. 4i解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C.答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一样D. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A. b与r的符号相同B. a与r的符号相同C. b与r的符号相反D. a与r的符号相反解析：正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0，选A.答案：A4．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有()A. p＋q＋r＝dB. p2＋q2＋r2＝d2C. p3＋q3＋r3＝d3D. p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d2解析：类比即可．答案：B5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A. f(x)B. －f(x)C. g(x)D. －g(x)解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选D.答案：D6．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B.15C．－15D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，m＝15.答案：B7．[2014·贵州六校联考]如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，得x1＝6，x2＝9，p＝9.5时，x3等于()A. 10B. 9C. 8D. 7解析：x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3，|x3－6|<|x3－9|不成立，取x1＝x3⇒x3＋9＝9.5×2⇒x3＝10.答案：A8．[2013·安徽高考]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z＝()A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i ＋2＝2＋(a 2＋b 2)i ，故2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1.即z ＝1＋i.答案：A9．[2014·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A. 109B. 169C. 95D. 2011解析：在程序执行过程中p ，S ，k 的值依次为p ＝0，S ＝0，k ＝1；p ＝1，S ＝1，k ＝2；p ＝3，S ＝43，k ＝3；p ＝6，S ＝32，k ＝4；p ＝10，S ＝85，k ＝5；…；p ＝36，S ＝169，k ＝9；p＝45，S ＝95，k ＝10.又N ＝10，k ＝N ，故程序结束，输出的S ＝95.答案：C10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A.92B.322 C.32D.94 解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A. (－12，32)B. (－32，－12)C. (12，32) D. (－32，12)解析：因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，所以f (x )＝x 无实根．由x 2＋2ax ＋1＝x 得x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a －1)2－4<0，解得－12<a <32.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为________．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^ ＋a ^＝17，8b ^ ＋a ^ ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^ ＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.答案：y ^＝x ＋1414．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．解析：①A ＝－5<0，②A ＝－5＋2＝－3<0，③A ＝－3＋2＝－1<0，④A ＝－1＋2＝1>0，⑤A ＝2×1＝2.答案：216．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y 2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾； ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}， A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离．所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2 x ＝，2＋x x ，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．(12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：生活规律有关系？解：根据公式得K 2的观测值 k ＝－280×460×220×320≈9.638>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．22．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y＝b ^x .)解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7.∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．。

高中数学模块综合测评2 新人教B版选修1-2(2021年整理)

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模块综合测评(二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

有下列关系:①人的年龄与他（她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系,其中有相关关系的是( )A。

①②③B。

①② C.②③D。

①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确。

其余均为相关关系。

【答案】D2。

若z＝1＋2i，则错误!＝（）A。

1 B。

－1 C.i D.－i【解析】因为z＝1＋2i，则z＝1－2i,所以zz＝(1＋2i）(1－2i)＝5，则4izz－1＝4i4＝i。

故选C。

【答案】C3。

有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a。

这个结论显然是错误的，这是因为( ) A。

大前提错误B。

小前提错误C。

推理形式错误 D.非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线.【答案】A4.如图1所示的知识结构图为________结构。

( )图1A.树形B.环形 C。

对称性 D.左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构。

人教B版高中数学高二选修1-2模块综合测评1

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数z＝－1＋2i，则z的虚部为()A.1B.－1C.2D.－2【解析】∵z＝－1＋2i，∴z＝－1－2i，∴z的虚部为－2.【答案】 D2.根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A.工序流程图B.程序流程图C.知识结构图D.组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图.【答案】 B3.利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量χ2的值()A.越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B.越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C.越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D.与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由χ2的意义可知，χ2越大，说明X与Y有关系的可能性越大.【答案】 A4.(2015·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”.则假设的内容是()【导学号：37820061】A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a，b有1个不能被5整除【解析】“至少有1个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”.【答案】 B5.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断.此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6.(2015·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A.直接求出回归直线方程B.直接求出回归方程C.根据经验选定回归方程的类型D.估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型.【答案】 C7.(2015·南阳高二检测)已知i为虚数单位，则复平面内表示复数z＝i3＋i的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为i3＋i＝i（3－i）（3＋i）（3－i）＝1＋3i10＝110＋310i，所以复平面内表示复数i3＋i 的点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫110，310，该点位于第一象限，选A.【答案】 A8.给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”.其中结论正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④也是错误的，②③正确，故选B.【答案】 B9.如果执行如图1所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i等于()图1A.2B.3C.4D.5【解析】依次执行为x ＝4.5，i ＝1；x ＝3.5，i ＝2；x ＝2.5，i ＝3；x ＝1.5；i ＝4；x ＝0.5<1，此时退出循环，故选C.【答案】 C10.已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝( ) A.3 B.－3 C.6D.－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…，观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11.(2015·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A.f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B.因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C.α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD.A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数一般不比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形.【答案】 C12.有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A.34.6万元B.35.6万元C.36.6万元D.37.6万元【解析】 x －＝－2－3－5－64＝－4，y －＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4，25). 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：37820062】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0，∴m＝0或1.【答案】0或114.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“是”或“否”).【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.【答案】是15.(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216.(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论________.【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i，求|z|.【解】z＝1＋i－4i＋4＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i，∴|z|＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18.(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部.请画出学生会的组织结构图.【解】学生会的组织结构图如图.19.(本小题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工中患桑毛虫皮炎发情况结果如下表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数57883合计2390认为两者有关系会犯错误的概率是多少？【解】n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，所以n1＋＝n11＋n12＝30，n2＋＝n21＋n22＝83，n＋1＝n11＋n21＝23，n＋2＝n12＋n22＝90，n＝113.所以χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝113×（18×78－5×12）230×83×23×90＝39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是1%.20.(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不能构成等差数列.【导学号：37820063】【证明】假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ，因此b (a ＋c )＝2ac . 而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾. 故假设不成立，即1a ，1b ，1c 不能构成等差数列.21.(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明).【证明】综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2，2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2). 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立，只要证1－(ax ＋by )≥0，只要证2－2ax －2by ≥0，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立.22.(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科成绩A B C D E 数学成绩(x ) 88 76 73 66 63 物理成绩(y )7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：【解】 (1)散点图如图，(2) x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054. ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b ^＝＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是 y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分.。

人教版B数学选修2-1：模块综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x <5，则x <2C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0解析：选D.A 中，若x 取负数，x ≥0不成立，故A 错；B 中，若取x ＝4<5，x <2不成立，故B 错；C 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 错；D 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故x 2＋1≠0成立．2.“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的对称轴为直线x ＝a ，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．3.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.因为当x ∈(－∞，0)时，2x >3x，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以¬p 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．4.以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 解析：选D.双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D.渐近线方程为：y ＝±12x ，∴b a ＝12，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴e ＝52.故选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：选A.∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 7.下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④解析：选C.①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．8.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 是准线l 上的点，且|MF |＝4(如图)，则线段MF 与抛物线的交点的横坐标为( )A ．3 B.13C.12D.14解析：选B.易得∠MFO ＝60°，那么直线MF 的方程为y ＝－3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，则x ＝13，或x ＝3(由题图舍去)．9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值是( )A ．－15 B.15C.265D.25解析：选B.取DD 1的中点H ，连接AH ，设正方体的棱长为2，则在△AEH 中，AH ＝AE ＝5，HE ＝22，所以cos ∠EAH ＝5＋5－82×5＝15.10.已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F (0，1)，准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义，得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.11.在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.33C.21060D.21030解析：选D.∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 设AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0. 设OP ＝h ，则P (0，0，h )，∵PA ＝2a ，∴h ＝72a ＝142a .∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－24a ，0，144a .可以求得平面PBC 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，77，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.12.设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析：选C.双曲线方程化为x 24a －y2a＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ，②又∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.条件甲：“k <－66或k >66”；条件乙：“kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．解析：当k ＝0时，kx 2－2x ＋6k ＝－2x ，不满足题意，当k ≠0时，若kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 所以命题甲的条件中需删除的一部分是k >66. 答案：k >6614.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．解析：由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，b 2a 2＝2·ca，即c 2a 2－2ca－1＝0.∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 215.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为________．解析：根据题意知A 点为直线y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2与抛物线y 2＝2px 的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x 1＝16p ，x 2＝32p ，故点A 坐标为⎝⎛⎭⎫32p ，3p ，则|OA →|＝94p 2＋3p 2＝212p . 答案：212p16.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M (1，12，1)，N (1，1，12)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25答案：25三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知p ：方程x 2k －4＋y 2k －6＝1表示双曲线，q ：过点M (2，1)的直线与椭圆x 25＋y 2k＝1恒有公共点，若p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．解：由p 得：(k －4)·(k －6)<0，∴4<k <6，由q 得：⎩⎪⎨⎪⎧225＋12k ≤1，k ≠5，∴k >5.又p ∧q 为真命题，则5<k <6，所以k 的取值范围是(5，6)．18.已知p ：x 2－6x －27≤0，q ：|x －1|≤m (m >0)，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由p 得－3≤x ≤9，由q 得－m ＋1≤x ≤m ＋1， ∵q 是p 的必要而不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－31＋m ≥9得m ≥8. 又因为m ＝8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8. 19.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥平面AB 1C ；(2)求EF 与CG 所成的角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，G (2，2，1)．(1)证明：EF →＝(1，1，－1)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)， ∵EF →·AC →＝0，∴EF ⊥AC ， ∵EF →·AB 1→＝0，∴EF ⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，∴EF ⊥平面AB 1C .(2)∵CG →＝(2，0，1)，∴cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1515，所以EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.20.已知抛物线C ：y 2＝ax 的焦点与双曲线x 22－y 221的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点A (2，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线C 交于M 、N 两点，判断∠MON 是否为直角．若∠MON 为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．解：(1)∵双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故a4＝2，∴a ＝8.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线的斜率为tan π4＝1，∴直线方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝x －2，消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则可知x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4. 又OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－12， ∴OM →·ON →≠0，∴OM ⊥ON 不成立，即∠MON 不是直角．21.如图，正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； (3)求锐二面角A -BE -C 的大小．解：依题可知，CA ，CB ，CD 两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz ，设正方形边长为1，则AC ＝BC ＝1.C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，0，1)，E (1，0，1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12.(1)证明：AM →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12， CB →＝(0，1，0)，CE →＝(1，0，1)， ∴AM →·CB →＝0，AM →·CE →＝0，∴AM →⊥CB →，AM →⊥CE →， ∴AM ⊥CB ，AM ⊥CE 且CB ∩CE ＝C ， ∴AM ⊥平面EBC .(2)由(1)知AM →为平面EBC 的一个法向量，AB →＝(－1，1，0)，设所求角大小为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝12，∴直线AB 与平面EBC 所成的角的大小为30°.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面AEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0m ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，z ＝0.取m ＝(1，1，0)，则|cos 〈AM →，m 〉|＝12，所以锐二面角A -BE -C 的大小为60°.22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，解得c ＝ 2.由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32，可得m 2＝34(k 2＋1)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，(*)∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6 ＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.经检验，k ＝±33满足(*)式．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上可知|AB |max ＝2，∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取最大值S ＝12×2×32＝32.。

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-2-第二章章末综

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】 B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】 B4.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A.①②B.①③④C.①②④D.②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】 C5.设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是()A.a>bB.a＝bC.a<bD.a>2(b＋1)【解析】因为a＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a>b.【答案】 A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b ＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】 A7.证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝ex－1e x.因为x>0，所以ex>1，0<1e x<1.所以ex－1e x>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()【导学号：37820030】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.【答案】 A8.已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A.a >b B.a <bC.a ＝bD.a ，b 大小不定【解析】要比较a 与b 的大小，由于c >1，所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c＝c ＋1＋c ，1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1，显然1a >1b ，从而必有a 2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A.f (2n )>2n ＋12B.f (n 2)≥n ＋22 C.f (2n )≥n ＋22D.以上都不对【解析】 f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.由此可推知f (2n )≥n ＋22.故选C. 【答案】 C10.定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a ，b 对应的运算是( )图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D 对应椭圆.由此可知选B.【答案】 B11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4＋b8>b5＋b7B.b4＋b8<b5＋b7C.b4＋b7>b5＋b8D.b4＋b7<b5＋b8【解析】在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1).因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________.【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y 均不大于1”(或x≤1且y≤1).【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14.如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点.【导学号：37820031】图2【解析】设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，a n＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，a n－2＝n2＋n.【答案】n2＋n15.设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].【解析】因为(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab ＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0，所以(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，所以lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].【答案】≤16.对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有_____________________________________________.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0.【答案】 V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 成等差数列，求证：ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.【证明】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(ab ＋ac )＋(ac ＋bc )＝b (a ＋c )＋2ac ＝2(b 2＋ac ).所以ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则(1)a 2＋b 2＝c 2； (2)cos 2A ＋cos 2B ＝1把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，且a >b ，求证：ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.【证明】依题意a >0，b >0，所以1＋ab >0，1＋a ＋b >0. 所以要证ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b，只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )，只需证ab <a ＋b ，因为a >b ，所以ab <2ab <a ＋b ，所以ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.20.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N +，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明.【解】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).此猜想正确. 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43. 【证明】 (1)假设f (m )<0，f (n )<0，即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0， ∴0<m <1，0<n <1， ∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零. (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )， ∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0，解得a ＋b <43.22.(本小题满分12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，且a ≠1). (1)5＝2＋3，请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 【解】 (1)f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52， ∴g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2).(2)由(1)知g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y).证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，g(x＋y)＝a x＋y－a－（x＋y）2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a x＋y－a－（x＋y）2＝g(x＋y).。

人教新课标版数学高二-数学选修1-2模块综合检测(B)

模块综合检测(B)(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A.2B.23C ．－23D ．2解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：选B.因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则A ×B 等于( )A ．6EB ．72C ．5FD ．B 0解析：选A.A ×B ＝110＝6×16＋14＝6E .4．设x i ，a i (i ＝1,2,3)均为正实数，甲、乙两位同学由命题：“若x 1＋x 2＝1，则a 1x 1＋a 2x 2≤(a 1＋a 2)2”分别推理得出了新命题：甲：“若x 1＋x 2＝1，则a 21x 1＋a 22x 2≤(a 1＋a 2)2”；乙：“若x 1＋x 2＋x 3＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3≤(a 1＋a 2＋a 3)2”．他们所用的推理方法是( ) A ．甲、乙都用演绎推理 B ．甲、乙都用类比推理 C ．甲用演绎推理，乙用类比推理 D ．甲用归纳推理，乙用类比推理解析：选B.由甲、乙都是特殊到特殊的猜想，故选B.5．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选C.D 处的零件要从A 、C 或B 处移来调整，且次数最少．方案一：从A 处调10个零件到D 处，从B 处调5个零件到C 处，从C 处调1个零件到D 处，共调动16件次．方案二：从B 处调1个零件到A 处，从A 处调1个零件到D 处，从B 处调4个零件到C 处，共调动16件次．6．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 011到2 013的箭头方向依次为( )解析：选B.由图形的变化趋势可知，箭头的变化方向以4为周期，2 011÷4＝502×4＋3,2 012÷4＝502×4＋4，2 013＝502×4＋5，故2 011→2 013的箭头方向同3→5的箭头方向．7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07D ．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班 10 b 乙班 c 30 总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C.由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确．9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.由已知得△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，若△A 2B 2C 2为锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，与三角形的内角和为180°矛盾．又知△A 2B 2C 2不可能为直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.10．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]有 f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④解析：选D.通过构造某些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明③正确，再两次应用定义式证明④正确．令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1＜x ＜3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确；令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ，但f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P ，因为－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确；对于选项③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1，因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)＜1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3，由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)＜1，f (4－x 0)≤1，故上式矛盾．即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故选项③正确．对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42≤12{12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)]}＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，即选项④正确．二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)11．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝75x ＋45；②y ＝2x ＋1；③y ＝85x －25；④y ＝2x .根据最小二乘法的思想，其中拟合程度最好的直线是________．(填正确序号)解析：根据最小二乘法的思想得变量x 与y 间的线性回归直线方程的一个特点是：此直线必过点(x ，y )．∵x ＝3，y ＝5，∴经检验只有直线①过(3,5)，故答案为①. 答案：①12．设z 1，z 2是一对共轭复数，|z 1－z 2|＝23且z 1z 22为实数，则|z 1|＝________.解析：设z 1＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z 2＝a －b i. ∴|z 1－z 2|＝2|b |＝23，∴|b |＝ 3. 又∵z 1z 22是实数，∴z 1z 22＝z 1z 22＝z 2z 21.∴z 31＝z 32.∴(a ＋b i)3＝(a －b i)3. a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3a 2b i ＋3ab 2i 2－b 3i 3， ∴3a 2b ＝b 3，∴a 2＝1， ∴|z 1|＝a 2＋b 2＝2.答案：213．已知x ，y ∈(0，＋∞)，当x 2＋y 2＝________时有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：114．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1] . 解析：由已知得2]答案：n15．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．解析：∵a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.答案：1 830三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．设复平面上两个点Z1和Z2所对应的复数z1＝1，z2＝2＋i，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z3所对应的复数z3.解：如图，作Z2A，Z3B分别垂直于x轴．易知|Z1A|＝1，|AZ2|＝1，|Z1Z2|＝ 2.∵△Z1Z2Z3为正三角形，∴|Z1Z3|＝|Z1Z2|＝2，∠Z3Z1B＝75°.故有|BZ3|＝|Z1Z3|sin 75°＝1＋32，|BZ1|＝|Z1Z3|cos 75°＝3－1 2，|OB|＝|OZ1|－|BZ1|＝3－32，∴Z3＝12(3－3)＋12(1＋3)i.同样可得Z 3′＝12(3＋3)＋12(1－3)i.17．如图是一个物资调运图．A 、B 、C 、D 是产地，E 、F 、G 、M 、N 是销地，产销量(吨)及距离(公里)如图所示，试作一个吨公里总数最小的调运方案．解：欲满足吨公里总数最小，那么从产地运出的货物要优先地并尽可能多地运往最近的销地．A 地只能将30吨货运往E 地，则E 地还可销60－30＝30(吨)货．B 地将全部20吨货运往F 地，则F 地还可销40－20＝20(吨)货．C 地可将其中的20吨货运到G 地，那么C 地还剩50吨货． G 地销量已满．D 地可将其中的30吨货运往N 地，那么D 地还剩90吨货，而N 地销量已满．运往F 地的20吨货物若从C 地运来，则路程大于从D 地运来．那么D 地其中有20吨货运往F 地，因此C 地50吨货全部运往M 地． M 地还可销90－50＝40(吨)货． D 地剩下90－20＝70(吨)货．其中40吨运往M 地，30吨运往E 地．调运方案如图所示：18．下表是几个国家近年来的男性与女性的平均寿命情况：(单位：岁)(1)如果男性与女性的平均寿命近似呈线性关系，求它们之间的回归直线方程； (2)科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁．现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命(精确到0.1岁)．解：(1)列表如下：由上可得∑i ＝16x i y i ＝35 742.08，∑i ＝16x 2i ＝33 306.38，x ≈74.43，y ＝79.85，x 2≈5 539.82. 设所求回归直线的方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈1.23，a ^＝y －b ^x ≈－11.70.∴所求回归直线方程为y ^＝1.23x －11.70. (2)当x ＝87时，y ^＝1.23×87－11.70＝95.31≈95.3(岁)．∴可预测到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁．19．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)f (1)＞0，求证：(1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2＜ba＜－1；(3)设x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|＜23. 证明：(1)若a ＝0，则b ＝－c ，f (0)f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾，所以a ≠0. 方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式为Δ＝4(b 2－3ac )．由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －12c 2＋34c 2＞0，故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)f (1)＞0，得c (3a ＋2b ＋c )＞0，由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得(a ＋b )(2a ＋b )＜0， ∵a 2＞0，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋b a ＜0，故－2＜ba ＜－1. (3)由条件知x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c3a ＝－a ＋b 3a ，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13. ∵－2＜b a ＜－1，∴13≤(x 1－x 2)2＜49，故33≤|x 1－x 2|＜23. 20．设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )＜1n e.解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n ，所以f ′(1)＝－a .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.打印版高中数学 (2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝n n ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝n n ＋1. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，n n ＋1上，f ′(x )＞0，故f (x )单调递增；而在⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，＋∞上，f ′(x )＜0，故f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋1＝n n (n ＋1)n ＋1. (3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t(t ＞0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2(t ＞0)．在(0,1)上φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减；而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，故φ(t )单调递增．故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0，所以φ(t )＞0(t ＞1)，即ln t ＞1－1t(t ＞1)．令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1n ＋1，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞ln e ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞e ，即n n (n ＋1)n ＋1＜1n e. 由(2)知，f (x )≤n n (n ＋1)n ＋1＜1n e，故所证不等式成立．。

2012年人教B数学选修1-2：模块综合检测

(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 对应的点在复平面内关于________对称( ) A ．实轴 B ．虚轴C ．第一、三象限的角平分线D ．第二、四象限的角平分线解析：选A.z 1，z 2对应的点分别为(1，3)，(1，－3)，关于实轴对称． 2．若事件A 与B 相互独立，则下列不一定相互独立的事件为( ) A ．B 与B B.A 与B C ．A 与B D.A 与B解析：选A.若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 、A 与B 、A 与B 都是相互独立的，只有B 与B 是对立事件，一般不相互独立．3．若(x 2－1)＋(x ＋1)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．以上都不对解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x ＋1≠0，解得x ＝1.4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝λ(λ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝λ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题成立D ．n ＝4时该命题不成立解析：选D.利用逆否命题求解，若n ＝λ＋1时，该命题不成立，则n ＝λ时该命题也不成立，所以当5＝λ＋1时，n ＝λ＝4.5．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )A ．推理的形式不符合三段论要求B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理的结果错误解析：选B.大前提“由于任何数的平方都是非负数”是错误的，如i 2＝－1＜0.6．图(1)是某县参加2010年高考的学生身高的条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜9解析：选C.身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数为A 4＋A 5＋A 6＋A 7，算法流程图实质是求和，由此得到应填的条件为i ＜8.7．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A.各等式可化为：55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2，77－4＋8－7(8－7)－4＝2， 1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2.故选A. 8．设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数iz 1＋z 25的虚部等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选A.原式＝i2－i ＋1＋3i 5＝i (2＋i )5＋15＋35i ＝i.9．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2012)f (2011)等于( )A ．1005B ．1006C ．2008D ．2010解析：选B.∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1) f (3)＝f (2＋1)＝f (2)·f (1) f (4)＝f (3＋1)＝f (3)·f (1) ……f (2012)＝f (2011＋1)＝f (2011)·f (1) ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2012)f (2011) ＝f (1)＋f (1)＋…＋f (1)＝1006f (1)＝1006，故选B.10．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”时，其假设正确的是( )A ．a ，b 中至少有一个不为0B ．a ，b 中至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：选A.a ，b 全为0的否定是不全为0，也就是a ，b 中至少有一个不为0.11．已知△ABC 三个顶点所表示的复数分别是1＋3i,3＋2i,5＋4i ，则△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选 B.将三个顶点坐标在直角坐标系中表示出来，最好用梯形面积计算省去求夹角与两点距离的繁杂计算，如图所示，过点A ，B ，C 分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点A ′，B ′，C ′，所以S △ABC ＝S 梯形AA ′C ′C －S 梯形AA ′B ′B －S 梯形CC ′B ′B ＝(3＋4)×42－(3＋2)×22－(2＋4)×2214－5－6＝3. 12．某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需( )A ．4小时B ．7小时C ．6小时D ．14小时解析：选C.根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案：如果用方案一注水，可设甲、乙两泵同时开放的时间为x 个小时，由题意得方程(118＋115)x ＋115(10－x )＝1. 解得：x ＝6(小时)．如果用方案二注水，可设甲、乙两泵同时注水的时间为y 个小时．则(118＋115)y ＋118(10－y )＝1，解得：y ＝609＝623(小时)．所以选方案一注水，可得甲、乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选C.二、填空题(本大题共4小题．把正确答案填在题中横线上)13．若z ∈C ，且满足z ·(1＋i)＝－2＋3i ，则z ＝________. 解析：因为z ＝－2＋3i 1＋i ＝(－2＋3i )(1－i )2＝1＋5i2，所以z ＝12－52i.答案：12－5214．(2011年高考陕西卷)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________________________________________________________________________．解析：∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)215．(2010年高考广东卷)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为x 1，x 2，…，x n (单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若n ＝2，且x 1，x 2分别为1,2，则输出的结果s 为________．解析：当i ＝1时，x 1＝1，执行i ≤2后，s 1＝1，s 2＝1，此时s ＝11(1－1)＝0.当i ＝2时，x 2＝2，执行i ≤2后，s 1＝1＋2＝3，s 2＝1＋22＝5，此时s ＝12(5－92)＝14.答案：1416．如图所示，对于函数f (x )＝x 2(x ＞0)上任意两点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，线段AB 必在弧AB 上方．设点C 分AB →的比为λ，则由图象中的点C 在点C ′上方，可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2，请分析函数y ＝ln x (x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是______________．解析：先类比猜想，再检验所猜想的结论是否正确．答案：ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb1＋λ三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17利用2×2有关系会犯错误的概率是多少？解：n 11＝18，n 12＝12，n 21＝5，n 22＝78，所以n 1＋＝30，n 2＋＝83，n ＋1＝23，n ＋2＝90，n ＝113.所以χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6＞6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.18．(2011年高考上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.19．某市公车票价按下列规则规定： ①5公里以内(包括5公里)票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．已知两个相邻的公共汽车站间距约1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)共有16个汽车站，请设计一个算法求出某人坐车x 公里所用的票价，画出程序框图．解：据题意，可得某人坐车x 公里所用票价 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜x ≤5，3，5＜x ≤10，4，10＜x ≤15.程序框图：20．(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝b ^(x －2006)＋a ^＝6.5(x －2006)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．21．已知a >0，b >0，且a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋ab中至少有一个小于2.证明：假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab≥2.因为a >0，b >0，所以1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，两式相加可得1＋1＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ，这与已知a ＋b >2矛盾，故假设不成立，即1＋b a ，1＋a b中至少有一个小于2.22．已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc ； (2)b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3.证明：(1)ab ＋a ＋b ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)， ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝(a ＋c )(b ＋c )． ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋1≥2a ＞0，b ＋1≥2b ＞0， a ＋c ≥2ac ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0， ∴(a ＋1)(b ＋1)≥4ab ，(a ＋c )(b ＋c )≥4abc 2＝4c ab ， ∴(a ＋1)(b ＋1)(a ＋c )(b ＋c )≥16abc . 故当a ，b ，c 为正实数时，有(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． (2)b ＋c －a a ＝b ＋c a －1＝b a ＋c a －1，c ＋a －b b ＝c b ＋a b －1，a ＋b －c c ＝a c ＋bc －1. ∵a ，b ，c 为正实数， ∴b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb ≥2， ∴b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋b c ＋cb ≥6， ∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)≥3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3.。

选修1-2第二章章末小结与测评

答案：n2＋32n＋2
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2．已知数列{an}的通项公式 an＝n＋1 12(n∈N*)，f(n)＝
(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)的值．
解：因为 an＝n＋112，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，
理、定义、公理和运算法则证明结论． (2)分析法是“执果索因”，即从结论出发逆向转化，寻
找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．
[注意] ①分析法是从结论出发，寻找使结论成立的充分条件，但不可将结论当作条件．
②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．
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[证明] (1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有 k1＝k2.代入 k1k2＋2＝0，得 k21＋2＝0，
此与 k1 为实数的事实相矛盾．从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交．
(2)法一：由方程组yy＝＝kk12xx＋－11，，解得交点 P 的坐标(x，y)为xy＝＝kkk222＋－－2 kkk111，，
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因为 y2－y1＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)＝logaaaxx21－－11.
①当 a>1 时，由 0<x1<x2 得 a0<ax1<ax2，即 0<ax1－1<ax2 －1，故有aaxx21－－11>1，logaaaxx21－－11>0，即 y2－y1>0.
所以 f(1)＝1－a1＝1－14＝34，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·(1－19)＝34·89＝23＝46，

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