第七章 经典力学的哈密顿理论

式中F为正则变换母函数。
由（7.16）式可得
p F q , P F Q ,
1,2 , , s
（7.17）
H* H
F t
（7.18）
以上二式表明：由 则 P 来确定。 由
P
p , q P , Q
F Q
Байду номын сангаас
时，Q 可任意规定；Q 规定后，
P F q
规定，F由
f ( y , y ' , x ) dx
（7.9）
对上式求变分，令δJ=0：
J

x
x2
1
x2
1
f ( y , y ' , x ) dx
x f ( y , y ' , x ) dx
1
x2
x x
[
f y f y
y y
x2 x1
f y' d
y ) dx
（7.14）
如果变换后，新的哈密顿函数 H * ( P , Q , T ) 仍然满足正则方程
H * Q , P H * P , Q
1,2 , , s
（7.15）
满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是： t) ( p dq P dQ ) ( H * H ) dt dF ( q , Q , （7.16）
L 1
2 2 2 m ( r r ) 2 r
（1）
广义动量
p L pr mr , r r r m p L mr 2 , p 2 mr
（2）
哈密顿函数
H T V 1 2m
d
dt q
代入上式，得
d ( p q L )
1
s
1

s
q dq
1

s
p dq
L t
dt
（7.1）
式中
，
h
1

s
p q L H ( p , q , t )
（7.2）
q ( p , q , t )
（7.10）
（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？ （3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q ( t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，
（7.11）
为哈密顿作用量（或主函数），是 q ( t ) 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出：对于一个保守系 的完整力学体系，其由动力学规律所决定 t 的真实运动轨道可由泛函数 s t L ( q , q , t ) dt 取极值的条件
2 1
s
t
t2
1
L ( q , q , t ) dt 0
L 1 2 m
2
2 1 m ( r ) m ( r ) V 2
（1）
所以
L p m m ( r )
（2）


p m
r
（3）
则哈密顿函数
H p L 1 [ m m ( r )] [ m 2 1 2 m
轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在
t1 ~ t 2
时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q ( t ) ？
哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。 · 定义： 体系的拉格朗日函数在
s
t 1 ~内的积分 t2
t
t2
1
L ( q , q , t ) dt
2 2
1 2 m ( r ) m ( r ) V 2
（4）

1 2
2 m ( r ) V
（3）式代入（4）式，得
H p
2
p ( r ) V
2m
（5）
正则方程为
H p ( r ) P m p H p V r r
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
dL
L L ( q , q ，它的全微分为 ,t)
dq L t dt
1

s
L q
d q
1

s
L q
将广义动量和拉格朗日方程：
p
L
L q
L q 0
是体系的广义能量。由
p
L q
p ( q , q , t )
可以解出 q
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
dH
第七章 经典力学的哈密顿理论
• 内容： · 哈密顿正则方程 • • • · 哈密顿原理 · 正则变换 · 哈密顿—雅可比方程
• 重点： ·哈密顿正则方程 • · 正则变换
• 难点： · 正则变换
在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律 描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂 性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广 义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广 义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐 标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不 同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程， 称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是 等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。 7.1 哈密顿函数和正则方程 （1）哈密顿函数
7.2 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出 一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩 擦地滑下时，以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
对于非保守系，正则方程形式为
H q p p H Q q
1,2 , s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。 [例1] 写出粒子在中心势场
V 中的哈密顿函数和正则方程。 r

解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？ 粒子的拉格朗日函数为
）， 随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t 1 和 t 2 体系位于位形空间的 P 1
q (t1 )
点和
P2
点，相应的广义坐标为
和 q ( t 2 ) （或缩写为 q ( t 1 ) 和 q ( t 2 )
P2
由
P1
点通向和
点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实
f
x2
1
[
dx y '
(
y)

d
dx y ' y ) ydx
(
f
y )] dx
f y'
y

x
x2
1
(
d f dx y ' y
f
(
x1
x2
d f dx y '

f
) ydx 0
因此，
d f dx y ' f y 0
1
（7.6）
)
y 2 y 1 y 1 y 2 y2
2
（7.8）
( y ) ( x 0 )
)
d dx
t2
1
t
ydt
t ydt
（2）变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件： 为普遍起见，将（7.6）式改写
J [ y ( x )]
x
x2
1
1

s
H p
dp
1

s
H q
dq
H t
dt
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
H q p p H q
H t L t
1,2 , s
（7.4）
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
2 2
(Why ?)
2
( r r ) (

r
)
1 2m
(p
2 r
p r
2
2
)

r
于是得正则方程
p H r r pr m 2 m ( r ) 2 r 2 r p H （径向运动方程） pr 2 3 r mr r

2 gy ds dt ( dx ) ( dy )
2 2

1 y' dt
2
dx
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
x
xB
A
dt
x
xB
A
1 y' 2 gy
2
dx
（7.6）
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x) 取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。 J[y(x)]取极值的条件为 δJ = 0 算符δ称为变分记号。 变分运算法则和微分运算法则相似：
（7.12）
给出——哈密顿原理。
对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为
s
t [ T ( q , q , t ) Q q ]dt
1
t2
0
（7.13）
式中
Q
为广义力。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程， 因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起 “几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学 第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等 都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的， 各有优缺点，但都是等价的。 7.3 正则变换 （1） 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程 度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在 正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程 的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术 性的环节。
( y1 y 2 ) y1 y 2 ( y 1 y 2 ) y 1 y 2 y 2 y 1 ( y1 y2 ( xy ) k y ( dy ) d ( y ) ( dy dx
t2
（2）正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中 出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它 们的变换关系为
Q Q (q1 , q 2 , q s , p1 , p 2 , p s ; t ) P P ( q 1 , q 2 , q s , p 1 , p 2 , p s ; t ) d 1,2 , s
（6）
将
p m m r 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程
m r m m r F m
m a F m ( r ) 2 m
（3）
p H 2 p mr H p 0
2 p mr 常数 （角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）