反比例函数及应用

《反比例函数》回顾与思考

【教学目标】①体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y ＝k x

(k≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化)。 【知识梳理、基础训练】

考点一 反比例函数的定义

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．其自变量x 的取值范围是 . 反比例函数的解析式还可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积总等于已知常数k .

考点二 反比例函数的图象和性质

1．反比例函数y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的图象是 ．因为x ≠0，k ≠0，相应地y 值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x 轴和y 轴，但永不与x 轴、y 轴 ．

某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）

A B C D

2．反比例函数的图象和性质

反比例函数y ＝k x

(k 是常数，k ≠0)的图象总是关于 对称的，它的位置和性质受k 的符号的影响.

①当k ＞0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 ；

②当k ＜0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 .

反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，其对称轴是直线y ＝x 和直线y ＝-x ；又是中心对称图形. 对称中心是原点.

1.在下列反比例函数中，图象在一、三的是 ，图象在二、四的是 ，图象在每一象限内，y 随x 增大而减小的是 ，y 随x 增大而减小的是 .

x y 3)1(-= x y 2)2(= x y 23)3(= x y 3)4(-= 2.已知直线y=5x 与双曲线y ＝5x

的一个交点为（1，5），则一个交点坐标为为 3．当x >0时，函数y ＝－5x

的图象在第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四

4．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是( ) A ．y ＝－12x B ．y ＝－2x C ．y ＝2x D ．y ＝1x

5．对于反比例函数y ＝2x

，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点(1，－2) B ．图象在第二、四象限

C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大

D ．图象关于原点成中心对称

6．对于函数y ＝m －4x ，当x <0时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是( )

A ．m >4

B ．m <4

C ．m >－4

D ．m <－4

7．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝5x

的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则对应的函数值y 1，y 2的关系是( )

A y 1＜y 2＜0

B y 2＜0＜y 1

C 0＜y 1＜y 2

D y 1＜0＜y 2

考点三 反比例函数表达式的确定

1．由于反比例函数y ＝k x 的解析式中只有一个待定系数k ，因此只需已知一组对应值就可以求出k .

2．待定系数法求解析式的步骤

(1)设出含有待定系数的函数解析式；

(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；

(3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式．

1．已知点(12)-，在反比例函数k y x

=的图象上，则k = ． 2.已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．

考点四 反比例函数系数k 的几何意义

反比例函数y ＝k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x

(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积

为 .

如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x

=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 【例题精讲】

例1.反比例函数y ＝m ＋1x

在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )

A ．m ＜0

B ．m ＞0

C ．m ＞－1

D ．m ＜－1

例2.若点P 1(－1，m )，P 2(－2，n )在反比例函数y ＝k x

(k >0)的图象上，则m n (填“>”“<”或“＝”)． 例3.下列图形中阴影部分的面积相等的是(

)

A ．②③

B ．③④

C ．①②

D ．①④

例4 .将油箱注满k 升油后，轿车可行驶的总路程s (单位：千米)与平均耗油量a (单位：升/千米)

之间是

反比例函数关系s ＝k a (k 是常数，k ≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．

(1)求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数解析式(关系式)．

(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？

例5．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A (1，3)．

(1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．

【上交作业】

1.反比例函数x

k y =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2 的大小

关系为（ ）

A S 1＞ S 2

B S 1= S 2

C S 1 ＜S 2

D ． 无法确定

2.函数x

a y = (a ≠0)与y=)1(-x a (a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）

3.如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别

是6和4，反比例函数)0( x x

k y =的图象经过点C ，则k 的值为_________．