线性代数模试题试题库

第一套线性代数模拟试题解答

一、填空题(每小题4分，共24分)

1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12

i j =

=。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =

(1)n D

- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D

-。

3、设1101A ⎛⎫=

⎪

⎝⎭

, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。 2

3

111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L 可得

4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1

5n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T

AA E =且=+

由已知条件：2

11,1T T T

AA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0T

T

A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：200

2(32)032023

A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)

7、设033

32

31

232221

13

1211

≠=M a a a a a a

a a a ，则行列式 A 。 A ． B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-

由于 ()()111213

111213111213

3

31

32

3331323321

2223212223

21

22

23

31

32

33

22222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---

8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

A ．n D 中有两行(或列)元素对应成比例

B ．n D 中有一行(或列)元素全为零

C ．n

D 中各列元素之和为零 D ．以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ，下列说法正确的是 C 。 A.111

)

(---=B A AB B.B A B A +=+ C. T T T A B AB =)( D.AB BA =

10、设,A B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是 B 。 A.11

()

A A --= B.11()A A λλ--= C.111()A

B B A ---= D.11()()T T A A --=

由运算法则，就有1

11

()A A λλ

--=

。

11、设A 为n 阶方阵，且0A a =≠，则A *= C 。 A ．a B ．

1a

C ．1n a -

D ．n a 因为

1

1

111n n n A A A A A A A A A A

A

--*-*--=⇒===⋅=。

12、矩阵12103102122a ⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

的秩为2，则a = D 。

A. 2

B. 3

C.4

通过初等变换，由秩为2可得：12101210310207321220500a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

:

三、计算题(每小题7分，共42分)

13、计算行列式：

4111

141111411114

。

解：341117111111111111411

741114110300====

====7

=====7

=73=189

11417141114100301114

7114

1114

0003

⨯各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上

。

14、计算行列式：

4

4

332211

000000a b a b b a b a 。

解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：

4

4

332

21100

000

000a b a b b a b a =22

22

13

3

33141423234

4

1()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。

15、问λ取何值时，齐次线性方程组12312312

3(1)2402(3)0(1)0

x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪

+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解。

解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：

()()23

13

2

1232(1)12

4034(1)0=231=====011+232,0,2,31

1

1111r r r r λλλλ

λλλλλλλλλ

λ

-----------=---⇒===-- 16、设矩阵2011,3125A B -⎛⎫⎛⎫==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，计算2211

()B A B A ---。

解：因为2,7A B ==-，所以都可逆，有

22112212311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=-=-=-==

⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

17、解矩阵方程AX B X +=，求X ，其中A =⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---350211,101111010B 。

解：1

()()AX B X A E X B X A E B -+=⇒-=-⇒=--,