二次函数与三角形

二次函数与三角形

抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段；

（2）抛物线上的点能否构成特殊的角；

（3）抛物线上的点能否构成特殊三角形；

（4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形；

这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。

1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t

为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接

BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；

（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

3、已知函数2

3 2

2

y kx x

=-+（k是常数）

⑴若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；

⑵若点()1,M k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数2322

y kx x =-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； ⑶设抛物线2322

y kx x =-+与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点，且12x x <，22121x x +=，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

4、如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

5.如图，直线

3

3

y x b

=+经过点B(3

-，2)，且与x轴交于点A．将抛物线2

1

3

y x

=沿x轴作左右平移，

记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式；

（3）在抛物线213

y x =平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．

6．已知：如图，抛物线22

-+=bx ax y 交x 轴于B A ，两点，交y 轴于点C ，OA OC =，△ABC 的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点、E 点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当

备用图

点P 运动到点O 时，直线DE 与点P 都停止运动．联结DP ，设点P 的运动时间为t 秒．

①当t 为何值时，OP ED 11+的值最小，并求出最小值； ②是否存在t 的值，使以D B P ,,为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线

244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC ，抛物线的顶点为D ．

(1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB=∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和

此时△QAA 的面积．

参考答案

1、解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得，