运筹学_网络图
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
xht运筹学课件——第6讲 双代号网络图
• 结点表示一个事项，又称为事件，代表工序的开始或 者结束。
• 在双代号网络图中，每道工序首尾都必须采用结点来 表示，连接工序箭尾的结点称为该工序的紧前事项， 连接工序箭头的结点称为该工序的紧后事项。
• 网络图的开始结点称为总开工事项，而最后工序的结 束结点称为完工事项。
• 在双代号网络图中，结点采用圆圈表示，圈内标注上 该结点的序号。
1 A1 2 A2 3 A3 5 B1 4 B2 6 B3 7
1 A 2 B 3E 5 D4C
平行工序的绘制：错误图
A
7
B 10
C
平行工序的绘制：正确图
8 A
E
B
7
10
C
F
9
交叉工序的绘制
a1
a2
a3
b1
b2
b3
网络图绘制 例 1
工序名称 A
B
C
D
紧前工序 — — A
B
2
C
A
4 1
B
3D
网络图绘制 例 2 正确吗？
• 工序最早结束时间tEF(i,j)： tEF(i,j)= tE(i)+ t(i,j)
• 工序最迟结束时间tLF(i,j)： tLF(i,j)= tL(j)
• 工序最迟开始时间tLS(i,j)： tLS(i,j)= tLF(i)- t(i,j)
工序的时差
• 工序总时差TF（i,j）:指在不影响整个工期的前提下， 工序最早开始（或结束）的时间可以推迟的时间。工 序总时差=最迟开工时间-最早开工时间 =最迟完工时间-最早完工时间
能结束时间。 • 箭头事项的最早时间等于箭尾事项最早时间加上作
业时间t(i,j) ，当同时有两个以上箭线指向箭
• 在双代号网络图中，每道工序首尾都必须采用结点来 表示，连接工序箭尾的结点称为该工序的紧前事项， 连接工序箭头的结点称为该工序的紧后事项。
• 网络图的开始结点称为总开工事项，而最后工序的结 束结点称为完工事项。
• 在双代号网络图中，结点采用圆圈表示，圈内标注上 该结点的序号。
1 A1 2 A2 3 A3 5 B1 4 B2 6 B3 7
1 A 2 B 3E 5 D4C
平行工序的绘制：错误图
A
7
B 10
C
平行工序的绘制：正确图
8 A
E
B
7
10
C
F
9
交叉工序的绘制
a1
a2
a3
b1
b2
b3
网络图绘制 例 1
工序名称 A
B
C
D
紧前工序 — — A
B
2
C
A
4 1
B
3D
网络图绘制 例 2 正确吗？
• 工序最早结束时间tEF(i,j)： tEF(i,j)= tE(i)+ t(i,j)
• 工序最迟结束时间tLF(i,j)： tLF(i,j)= tL(j)
• 工序最迟开始时间tLS(i,j)： tLS(i,j)= tLF(i)- t(i,j)
工序的时差
• 工序总时差TF（i,j）:指在不影响整个工期的前提下， 工序最早开始（或结束）的时间可以推迟的时间。工 序总时差=最迟开工时间-最早开工时间 =最迟完工时间-最早完工时间
能结束时间。 • 箭头事项的最早时间等于箭尾事项最早时间加上作
业时间t(i,j) ，当同时有两个以上箭线指向箭
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学—网络计划
TLS (i, j ) min{TLS ( j, ) t (i, j )}
i j
min{TLS ( j, )} t (i, j )
i j
(4) 工序(i,j)的最迟必须结束时间(Latest finish time for an activity) TLF(i,j)。计算公式为
7.2 网络参数 Network Parameter
7.2.1时间参数公式及其含义 （1）工序(i,j)的最早开始时间（Earliest start time for an activity）TES(i,j)。是指紧前工序的最早可能完工时间的最大值， 计算公式为
TES (i, j ) max {TES ( , i ) t ( , i )}
8
l,25
7.1 绘制网络图 Draw network plot 工序
a b
紧前工序
－ －
工序时间(天)
6 9
工序
g h
紧前工序
a,b e,f
工序时间(天)
10 12
c
d3
5 16 12 c 13 f 12 g 10 d 5 e 16
i
j k l
d,h
i d,h,g g i 8 h 12
需要时间和资源。
事件 标志工序的开始或结束，本身不消耗时间或资源，或相对
作业讲，消耗量可以小得忽略不计。某个事件的实现，标志着在
它前面各顶作业（紧前工序）的结束，又标志着在它之后的各项 作业（紧后工序）的开始。如机械造业中，只有完成铸锻件毛坯 后才能开始机加工；各种零部件都完成后，才能进行总装等。
7.1 绘制网络图 Draw network plot
i 17.33 1.78
第7章：网络计划《运筹学》
min
i jk
LS j,k
t
i,
j
TLi
式中k是工序(i,j)的紧后工序的箭头节点。
⑷工序最迟必须完工时间(LF)
工序最迟必须完工时间是指为保证工程按期完工的最迟必须 完成的时间。工序最迟必须完成时间就等于该工序的箭头事件 的最迟必须发生时间，用公式表示即为：
LFi, j LS i, j t i, j
t(θ,i)的时间。
⑵工序最早完工时间(EF） 工序最早完工时间等于该工序的最早开始时间与工序所需时 间之和，用公式表示为：
EFi, j ESi, j t i, j
⑶工序最迟必须开始时间(LS)
工序最迟必须开始时间是指为保证不影响紧后工序按期开工， 本工序最迟必须开始的时间。用公式表示为：
LSi, j
1
2 12 3
4
（市场调研）
如增加人力分为三组同时进行,可画为许多图：
3
4
1
24
5
6
注意：
4 4
虚工序问题
——仅用于表明平行工序间的逻辑关系；
——虚工序越少越好。
两件或两件以上的工作交叉进行，称为交叉工作。如工作A 与工作B 分别为挖沟和埋管子,那么它们的关系可以是挖一段埋
一段，不必等沟全部挖好再埋。可用下图表示。
f
a
m
bt
t a 4m b 6
2 b a 2
6
2. 总网络图与多级网络图
⑴总网络图。总网络图画的比较概括、综合，反映任务的主 要组成部分之间的组织联系。
⑵分级网络图。分级网络图可细分为一级网络图、二级网络 图等，分别供不同的管理层次使用。
第二节 网络图的时间参数计算
计算网络图有关的时间参数，主要目的是找出关键线路（由于 网络图中每道工序上表示的都是工时数，所以关键线路是指网络 图中需时最长的线路—总起点事项到总终点事项），为网络计划 的优化、调整和执行提供明确的时间概念。
网络优化图及网络运筹学
24
(13,v3)
(18,v5)
(22,v6)
(0,s) (10,v1)
(14,v3)
(16,v5)
实际中我们还可以从各点的标号找到v1到各点的距离， 以及从v1到各点最短路径．例如，从v4的标号(18，v5) 可知v1到v4的距离为18，并可找到v1到v4的最短路径为
25
例11：求节点1-6之间的最短路。
32
应用举例
例12 设备更新问题。某企业使用一台设备，在每年年初都要 决定是购置新设备还是继续使用旧的。购置新设备要支付一定 的购置费，使用旧设备则要支付维修费。制定一个五年内的设 备更新计划，使得总支付费用最少。
已知该设备在各年年初的价格为：
第一年 11
第二年 11
第三年 12
第四年 12
第五年 13
原问题图画为：
43
基本思路：
(1)找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每一条弧的可用容 量都大于零。如果不存在这样的路，则已求得最大流。 (2)找出这条路上各条弧的最小的可用容量Pf，通过这条路增加网络 的流量Pf 。 (3)在这条路上，减少每一条弧的可用容量Pf ，同时增加这些弧的 流量Pf ，返回步骤(1)。 当然由于在步骤(1)中所选择的路不一样，计算过程也不一样，但 最终所求得的最大流量应该是一样的，为了使算法更快捷有效。 我们一般在步骤(1)中尽量选择包含弧数最少的路。
边,这样一个电话线网就可以用
一个图来表示。显然,这个图必
v4
须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如左图所示。
3
例3 某工厂的组织机构如下图所示
行
生产计划科
政 办
技术科
设计组 工艺组
公
供销科
(13,v3)
(18,v5)
(22,v6)
(0,s) (10,v1)
(14,v3)
(16,v5)
实际中我们还可以从各点的标号找到v1到各点的距离， 以及从v1到各点最短路径．例如，从v4的标号(18，v5) 可知v1到v4的距离为18，并可找到v1到v4的最短路径为
25
例11：求节点1-6之间的最短路。
32
应用举例
例12 设备更新问题。某企业使用一台设备，在每年年初都要 决定是购置新设备还是继续使用旧的。购置新设备要支付一定 的购置费，使用旧设备则要支付维修费。制定一个五年内的设 备更新计划，使得总支付费用最少。
已知该设备在各年年初的价格为：
第一年 11
第二年 11
第三年 12
第四年 12
第五年 13
原问题图画为：
43
基本思路：
(1)找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每一条弧的可用容 量都大于零。如果不存在这样的路，则已求得最大流。 (2)找出这条路上各条弧的最小的可用容量Pf，通过这条路增加网络 的流量Pf 。 (3)在这条路上，减少每一条弧的可用容量Pf ，同时增加这些弧的 流量Pf ，返回步骤(1)。 当然由于在步骤(1)中所选择的路不一样，计算过程也不一样，但 最终所求得的最大流量应该是一样的，为了使算法更快捷有效。 我们一般在步骤(1)中尽量选择包含弧数最少的路。
边,这样一个电话线网就可以用
一个图来表示。显然,这个图必
v4
须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如左图所示。
3
例3 某工厂的组织机构如下图所示
行
生产计划科
政 办
技术科
设计组 工艺组
公
供销科
第九章-网络图分析
一个可行流是最大流的充分必要条件是在流 网络中没有可增路。
最大流问题的目标是使得从源到收点 的总流量最大。这个流量的大小可以 用两种等价的方法来衡量，分别叫作 从源点出发的流量和进入收点的流量。
最大流问题标号法
基本思想：从任一初始可行流出发， 寻找这个可行流的一条可增路，利用 这条可增路使原可行流增加一个尽可 能大的流量，一直这样下去直到再也 找不到新的可增路为止。
最短路问题的Dijkstra标号法
步骤3：某临时标号点的所有可能标 号的最小值即是其最终标号，此时 将该临时标号点标记为已标号点， 并记录其前一节点
P(vl ) min {P(vi ) d (vi , vl )}
i
vl为零时标号点，vi是已标号点
最短路问题的Dijkstra标号法 步骤4：重复步骤2和3直至找到最 短路线，此时得到的最终标号即 为其最短路线的长度
摩登公司决定铺设最先进的光纤网络 系统以便在其主要中心之间提供高速 通信，包括数据、声音和视频等。
为了充分利用光纤技术在中心之间高 速通信的优势，不需要在每两个中心 之间都用一条光缆把它们直接连接起 来。可供选择的铺设光纤的线路如图。
应该铺设哪些光纤以 便在每两个中心之间 提供高速通信？
图的基本概念介绍
最小支撑树问题
练习
B
6 2 3 1 1
E
6 4 3
2 6
H
3
A
C
2
G
10
D
F
2
4
I
最小支撑树问题-破圈法
破圈法：任取一个圈，从圈 中去掉权最大的边(如果有两 条或两条以上的边都是权最 大的边，则任意去掉其中一 条)。在余下的图中，重复这 个步骤，一直到图中不含圈 为止。去边的同时必须保证 图的连通性
最大流问题的目标是使得从源到收点 的总流量最大。这个流量的大小可以 用两种等价的方法来衡量，分别叫作 从源点出发的流量和进入收点的流量。
最大流问题标号法
基本思想：从任一初始可行流出发， 寻找这个可行流的一条可增路，利用 这条可增路使原可行流增加一个尽可 能大的流量，一直这样下去直到再也 找不到新的可增路为止。
最短路问题的Dijkstra标号法
步骤3：某临时标号点的所有可能标 号的最小值即是其最终标号，此时 将该临时标号点标记为已标号点， 并记录其前一节点
P(vl ) min {P(vi ) d (vi , vl )}
i
vl为零时标号点，vi是已标号点
最短路问题的Dijkstra标号法 步骤4：重复步骤2和3直至找到最 短路线，此时得到的最终标号即 为其最短路线的长度
摩登公司决定铺设最先进的光纤网络 系统以便在其主要中心之间提供高速 通信，包括数据、声音和视频等。
为了充分利用光纤技术在中心之间高 速通信的优势，不需要在每两个中心 之间都用一条光缆把它们直接连接起 来。可供选择的铺设光纤的线路如图。
应该铺设哪些光纤以 便在每两个中心之间 提供高速通信？
图的基本概念介绍
最小支撑树问题
练习
B
6 2 3 1 1
E
6 4 3
2 6
H
3
A
C
2
G
10
D
F
2
4
I
最小支撑树问题-破圈法
破圈法：任取一个圈，从圈 中去掉权最大的边(如果有两 条或两条以上的边都是权最 大的边，则任意去掉其中一 条)。在余下的图中，重复这 个步骤，一直到图中不含圈 为止。去边的同时必须保证 图的连通性
运筹学基础-网络计划(2012修正)
2 1 3 1 3 正确的画法
不正确的画法
可引入虚作业。
虚作业
虚作业是为了表达相邻作业之间的逻辑关系而虚设的作业。 它不消耗时间、费用和资源，一般用虚箭线表示。 虚作业的引进原因(1) 两个事件之间的工作过程只能代表一项作业，当两个或两 个以上的作业具有同一个始点和终点时，需要引入虚作业，予 以区别。
分解任务的原则
工作的性质不同或由不同单位执行的工作应分开； 如产品设计与工装设计，铸造、锻、机械加工、装配要分开
同一单位进行的工作，时间先后不衔接的要分开； 如技术设计与工作图设计，材料采购与外协件采购要分开
占用时间不消耗资源，但影响工程完工日期的工作应作为分任务；
如油漆后的干燥，热处理后的冷却，方案的审批等
网络图中只能有一个始点和一个终点，使得自网络图的始点 经由任何路径都可以到达终点。
编号的规定
编号应从始事件开始，按照时序依次从小到大对事件编号，直到终 事件。 编号时不允许箭头编号小于箭尾编号。 事件的编号原则 箭尾事件(i)小于箭头事件(j)；一般采用非连续编号，即可空留 出几个号，跳着编，将来有变化时，不致打乱全局。
分解任务的要求
编制计划要熟悉业务，了解工程项目的各个组成部分，深入调查。
例：下表是某一工程的作业明细表
任务经过分解以后，可以列出作业明细表。
某一工程的作业时细表 作业 紧接的前项作业 作业时间(周) A 2 无 B 3 无 C A，B 4 D B 1 E A 5 F C 3 G E，F 2 H D，F 7 I G，H 6 J I 5
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C 无
D A
E B
F B、C
A
1
不正确的画法
可引入虚作业。
虚作业
虚作业是为了表达相邻作业之间的逻辑关系而虚设的作业。 它不消耗时间、费用和资源，一般用虚箭线表示。 虚作业的引进原因(1) 两个事件之间的工作过程只能代表一项作业，当两个或两 个以上的作业具有同一个始点和终点时，需要引入虚作业，予 以区别。
分解任务的原则
工作的性质不同或由不同单位执行的工作应分开； 如产品设计与工装设计，铸造、锻、机械加工、装配要分开
同一单位进行的工作，时间先后不衔接的要分开； 如技术设计与工作图设计，材料采购与外协件采购要分开
占用时间不消耗资源，但影响工程完工日期的工作应作为分任务；
如油漆后的干燥，热处理后的冷却，方案的审批等
网络图中只能有一个始点和一个终点，使得自网络图的始点 经由任何路径都可以到达终点。
编号的规定
编号应从始事件开始，按照时序依次从小到大对事件编号，直到终 事件。 编号时不允许箭头编号小于箭尾编号。 事件的编号原则 箭尾事件(i)小于箭头事件(j)；一般采用非连续编号，即可空留 出几个号，跳着编，将来有变化时，不致打乱全局。
分解任务的要求
编制计划要熟悉业务，了解工程项目的各个组成部分，深入调查。
例：下表是某一工程的作业明细表
任务经过分解以后，可以列出作业明细表。
某一工程的作业时细表 作业 紧接的前项作业 作业时间(周) A 2 无 B 3 无 C A，B 4 D B 1 E A 5 F C 3 G E，F 2 H D，F 7 I G，H 6 J I 5
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C 无
D A
E B
F B、C
A
1
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第7章图与网络优化
*
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
运筹学—网络模型
W w 1 2 ,w 1 3 ,w 1 4 , ,w 5 6
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
PERT网络图运筹学
2018/9/3 --2--
--第7章 PERT网络图--
二、相关概念
（1）紧前作业：在某项作业之 前完成的各项作业。 （2）紧后作业：在某项作业之 后完成的各项作业。
2 1 1 5 3 3 3 2 4 4 5 3 6 11
（3）虚作业：用来表示相邻工序 之间的衔接关系， 实际上并不存在 的虚设工序。以虚箭线 i j 表示。 （4）起点事件：某项作业的开始点。
a b
a
c
c 在 a、b 结束后开始
a b
c d
a b
c d
c、d 在 a、b 结束后开始
2018/9/3
c 在 a 结束后开始， d在 a、b 结束后开始
--7--
--第7章 PERT网络图--
7.2 PERT 网络图时间的计算
一、有关时间的概念及表示
① 作业时间tij：完成某项作业（i，j）所需要的时间。 ▲ ② 作业最早开始时间tES：某项作业最早可能开始的时间。它 受其紧前作业（最早）结束时间的限制。 ③ 作业最早结束时间tEF ：某项作业最早可能结束的时间。 tEF (i,j)= tES(i,j)+ tij ▲ ④ 作业最迟结束时间 tLF ：在不延误整个工期情况下，某项作 业被允许最迟结束的时间。
计算时应注意：
（1）先计算tES ，从最初事件向后推算，有共同紧前作业的tES相同； （2）再计算tLF ，由最终事件向前推算，有共同紧后作业的tLF相同； （3） Rij、Fij在图上标注（通常在箭线的下方）： Rij=tLF-tES-tij=tLF-tEF=tLS-tES Fij=tES(j,k)-tEF(i,j)=tES(j,k)-tES(i,j)-tij （4）其他参数，通过列表算出。
--第7章 PERT网络图--
二、相关概念
（1）紧前作业：在某项作业之 前完成的各项作业。 （2）紧后作业：在某项作业之 后完成的各项作业。
2 1 1 5 3 3 3 2 4 4 5 3 6 11
（3）虚作业：用来表示相邻工序 之间的衔接关系， 实际上并不存在 的虚设工序。以虚箭线 i j 表示。 （4）起点事件：某项作业的开始点。
a b
a
c
c 在 a、b 结束后开始
a b
c d
a b
c d
c、d 在 a、b 结束后开始
2018/9/3
c 在 a 结束后开始， d在 a、b 结束后开始
--7--
--第7章 PERT网络图--
7.2 PERT 网络图时间的计算
一、有关时间的概念及表示
① 作业时间tij：完成某项作业（i，j）所需要的时间。 ▲ ② 作业最早开始时间tES：某项作业最早可能开始的时间。它 受其紧前作业（最早）结束时间的限制。 ③ 作业最早结束时间tEF ：某项作业最早可能结束的时间。 tEF (i,j)= tES(i,j)+ tij ▲ ④ 作业最迟结束时间 tLF ：在不延误整个工期情况下，某项作 业被允许最迟结束的时间。
计算时应注意：
（1）先计算tES ，从最初事件向后推算，有共同紧前作业的tES相同； （2）再计算tLF ，由最终事件向前推算，有共同紧后作业的tLF相同； （3） Rij、Fij在图上标注（通常在箭线的下方）： Rij=tLF-tES-tij=tLF-tEF=tLS-tES Fij=tES(j,k)-tEF(i,j)=tES(j,k)-tES(i,j)-tij （4）其他参数，通过列表算出。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
运筹学概论 第7章 网络计划
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制
例如某工作a可以表为： 5
① a② 圆圈和里面的数字代表各事项，写在箭杆中间的数字5为
完本钱工作所需时间，即工作a：(1，2)，事项：1，2。
虚工作用虚箭线
表示。它表示工时为零，
不消耗任何资源的虚构工作。其作用只是为了正确表示工
作的前行后继关系。
0
①
②
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制 画网络图的规那么 ：
ttE ESS((1i,,
j) j)
0
mkaxtES(k,i)
t(k,i)
(3)
tEF(i, j) tES(i, j)t(i, j)
这组公式也是递推公式。即所有从总开工事项出发的工作(1， j)，其最早可能开工时间为零；任一工作(i，j)的最早开工时间 要由它的所有紧前工作(k，i)的最早开工时间决定；工作(i, j) 的最早完工时间显然等于其最早开工时间与工时之和。
例1 利用下表资料，绘制网络图，然后予节点以正确编 号并计算最早、最迟节点时刻。
工序 紧前工序 工序时间 工序 紧前工序 工序时间
A
—
3
G D,B
6
B
—
C
—
D
A
E
B
F
C
2
H
E
2
6
I
G,H
4
4
J
E,F
5
7
K E,F
2
8
L
I,J
6
A 2
D
5
G
8I
1B
3 E6 H
J
9 L 10
C4 F
7
K
节点 最早节点时刻 最迟节点时刻
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中， 找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终 点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
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v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
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5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
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v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
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• 事项最迟时间
TE (1) = 0
TL (i ) =
min [T
i
L
( j ) − Tij ]
TL ( n ) = TE ( n )
图上计算法
矩阵法计算事项时间
TL TE 0 4 11 14 14 26 31 35
1 2 3 4 5 6 7 8 1
0 [0]
4 14 14 14 26 31 35
2 2 i 2
• 按期完成的概率
− 1 TDσ TK − z 2 / 2 P(T ≤ TD ) = ∫−∞ e dz 2π TD − TK = Φ( )
σ
图4-44 工期概率分析的例子
1 A (1,2,3) 2 B (3,4,1) 4 C (5,6,13) 5 D (2,6,8) 6
三种时间估计 期望值 标准差 方差 m b T σ σ2 作业 a (1,2) 1/9 1 2 3 2 1/3 (2,4) 1 7/9 3 4 11 5 1 1/3 (4,5) 1 7/9 5 6 13 7 1 1/3 (5,6) 1 2 6 8 6 1 总和 20 4 2/3
单时差
时差之间的关系
TES = TE (i )
TEF
TE ( j ) TLF = TL ( j )
rij
Tij
Rij
Rij
TE (i )
TLS
TE ( j ) TLF = TL ( j )
表4-3 作业时间参数计算
最早时间 最迟时间 作业 作业时间 代号 T(i,j) 紧前作业 开始 结束 开始 结束 总时差 A 40 4 0 4 0 B 7A 4 11 7 14 3 C 10 A 4 14 4 14 0 D 8B 11 19 18 26 7 E 12 B,C 14 26 14 26 0 F 7C 14 21 19 26 5 G 5 D,E,F 26 31 26 31 0 H 4G 31 35 31 35 0
A
B
D
流程图过渡绘制法：加事项
流程图过渡绘制法：去方框
流程图过渡绘制法：修改
三、网络图时间参数计算
• • • • • 作业时间的确定 事项时间参数的计算 作业时间参数的计算 关键路线的寻找方法 按期完成计划的概率
作业时间的确定
• 对具有标准的作业，采用单一时间估计法 • 对一般性作业，采用三点时间估计法
2 A 1 D 4 C B
3
使用暗桥
网络图的绘制步骤
• 确定目标，做好准备工作 • 任务分解和分析 • 绘制网络图
表4-1 调查项目的任务分解和分析
作业代号 A B C D E F G H 作业说明 周期(天) 紧前作业 系统地提出问题 4研究选点问题 7A 准备调研方案 10 A 收集资料，安排工作 8B 挑选和训练调研人员 12 B、C 准备有关表格 7C 实地调查 5 D、E、F 分析调查数据，写调查报告 4G
计算概率下完工的工期
• 由于
z= TD − TK
σ
TD = TK + zσ • 所以 • 可根据要求的概率，查表得到z，在用上式计算TD 例如，要求完工概率为0.9的工期：由 得 z=1.28，所以 Φ ( z ) = 0 .9
TD = TK + zσ = 20 + 1.28 × 2.16 = 22.8(天)
2 3 4 5 6 7 8
4 [0]
7 10 [3] [0] 0 0 8 7 5 [0] 4 [0]
[0] 12 [0]
作业时间参数的计算
• • • • 作业开始最早时间 作业结束最早时间 作业开始最迟时间 作业结束最迟时间 • 总时差 • 单时差
作业最早时间
TES (i, j ) = TE (i ) TEF (i, j ) = TES (i, j ) + T (i, j )
第四章第九节
前 言 第一节 网络图
一 、画网络图的规则 二、实例 三、网络图的分类
网络计划
作 业 五 -1
4.9 网络计划技术
• • • • 网络计划技术的基本概念 网络图的绘制 网络图的时间参数计算 网络优化
一、网络计划技术的基本概念
• 工程计划与甘特图
– – – – 不易表现工程全貌 不便于对各项工作的安排进行筹划和推敲 不能识别影响进度的关键工作 不能反映一项工作不能按进度完成时对工程进 度的影响
C
总费用 间接费用 直接费用
* K
T
T
直接成本的处理
• 按线性处理，作业的费用率为
CC
CC − C N P= TN − TC
CN
TC
TN
图4-52 一个例子
i
2 1 (0,2,1) 4
(TC , TN , P)
j
3
解题思路
• 以正常时间进行网络分析，求得关键路 线 • 在关键路线上，寻找最小费率的工作， 缩短其时间，使工期最多到次长路线的 长度。 • 缩短工期必须对所有关键路线进行，此 时应选择费率总和最小的组合方案。
作业最迟时间
TLF (i, j ) = TL ( j ) TLS (i, j ) = TLF (i, j ) − T (i, j )
时差
总时差
Rij = TLS (i, j ) − TES (i, j ) = TLF (i, j ) − TLS (i, j ) rij = TE ( j ) − TEF (i, j ) = TES ( j , k ) − TEF (i, j )
1 7
8
6 3
1 人数
(10)
2
4
(8)
5
(8)
6 日
10 1 2 3
(7)
4
5
6日
第二次调整
3 E(6) C(3) A(4) B(2) 2 D(5) 5 G(1) H(8) 4 F(7)
1
8
6
7 人数 10 1
(10)
2
3
(9)
4
5
(7)
6 日
1
2
3
4
5
6 日
工期缩短，总费用最少
• 一般情况下，若采取措施缩短工期，则间接费用 将减少，直接费用将增加，总费用由一个最低点。
• 计划评审技术(PERT)与关键路线法(CPM)
– 系统性和协调性 – 动态性和可控性 – 科学性
甘特图
时间 活动 A B C D E 一月 二月 三月四月 五月 六月 七月 八月 九月
前甘特图的网络图
二、网络图的绘制
• 网络图的构成 • 作业（工作、工序、活动），箭头表示， 箭头之上表示工作名称，之下表示工作 时间。可有虚工作。 • 事项，节点表示，表示某个工作的结束 和另一工作的开始。
第一步求关键路线
3 0 0 1 (0,2 2,1)
1,3 (
(2 ,4,
3 2 (2, 5,1 ) 4
(1 ,3) ,6
, 3)
11 11
1)
3 5 5
工期=11天
作业 (1,2) (2-3) (3-4) 费率 3 1 3
第二步选择(2,3)缩短工期
2 1 3 4
工期=10天 增加费用1
I 可选方案 缩短的作业 (1,2),(1,3) 3+1=4 总费用率 II (2,3),(1,3) 1+1=2 III (3,4) 3
作 业 五 -2
阅读 P273 - p278
P302
2,
工期=4天 增加费用6+16=22
调整(1,2)与(2,3)，并缩短(3,4)
2 1 (0,1,1) 4
3
工期=3天 增加费用22+5=27
总合算费用，绘制直接费用图
工期 增加直接费用 11 0 10 1 9 3 8 6 7 10 4 22 3 27
直 接 费 用 C
TK
总费用最小的优化
• 一般应考虑间接费用，工期缩短，总的间 接费用减少 • 例如，上例中，间接费用率为：4.5/天， 则因为最后一部直接费率5/天>4.5/天，因 此最后一步的工期不能缩短，工期应为4 天，此时可节省费用3.5+1.5+4*0.5=7。
T (i, j ) =
aij + 4mij + bij
按期完成计划的概率
• 当作业数足够多时，工期近似服从正态 分布 T ~ N (TK , σ 2 )
TK
按期完成计划的概率
• 其中
ai + 4mi + bi TK = ∑ 6 i∈PK bi − ai σ = ∑σ = ∑ 6 i∈PK i∈PK
例４续
v1 (1,4) vs (3,5) (1,1) v2
(3,3) (2,1)
v3 (2,5) (1,3) (4,2) v4 vt
(4,2)
例４续 vs
v1 (1,1)
(3,3)
v3 (1,3) v4 vt
(4,2) v2
作业 时间 紧前作业 作业 时间 紧前作业 F 5 D,E A 2 G 3 F,C B 1 C D E 3 4 4 A A B H I 6 0 D,E G,H
– 最乐观时间：a 最乐观时间： – 最可能时间：m 最可能时间： – 最悲观时间：b 最悲观时间：
• 计算时间期望值和方差
作业时间计算方法
a + 4m + b Te = 6 σ = (b − a) / 6
β 分布
事项参数的计算
• 事项最早时间 i j
T ij
i
TE ( j ) = max [TE (i ) + Tij ]
1
B 5
3
E 64Biblioteka G 56• 当某些工作的时间调整后，可能引起关键路线的变 化和工期的变化。例如将工作E的时间缩短为4天， 则工期缩短为13天，关键路线将变为
TE (1) = 0
TL (i ) =
min [T
i
L
( j ) − Tij ]
TL ( n ) = TE ( n )
图上计算法
矩阵法计算事项时间
TL TE 0 4 11 14 14 26 31 35
1 2 3 4 5 6 7 8 1
0 [0]
4 14 14 14 26 31 35
2 2 i 2
• 按期完成的概率
− 1 TDσ TK − z 2 / 2 P(T ≤ TD ) = ∫−∞ e dz 2π TD − TK = Φ( )
σ
图4-44 工期概率分析的例子
1 A (1,2,3) 2 B (3,4,1) 4 C (5,6,13) 5 D (2,6,8) 6
三种时间估计 期望值 标准差 方差 m b T σ σ2 作业 a (1,2) 1/9 1 2 3 2 1/3 (2,4) 1 7/9 3 4 11 5 1 1/3 (4,5) 1 7/9 5 6 13 7 1 1/3 (5,6) 1 2 6 8 6 1 总和 20 4 2/3
单时差
时差之间的关系
TES = TE (i )
TEF
TE ( j ) TLF = TL ( j )
rij
Tij
Rij
Rij
TE (i )
TLS
TE ( j ) TLF = TL ( j )
表4-3 作业时间参数计算
最早时间 最迟时间 作业 作业时间 代号 T(i,j) 紧前作业 开始 结束 开始 结束 总时差 A 40 4 0 4 0 B 7A 4 11 7 14 3 C 10 A 4 14 4 14 0 D 8B 11 19 18 26 7 E 12 B,C 14 26 14 26 0 F 7C 14 21 19 26 5 G 5 D,E,F 26 31 26 31 0 H 4G 31 35 31 35 0
A
B
D
流程图过渡绘制法：加事项
流程图过渡绘制法：去方框
流程图过渡绘制法：修改
三、网络图时间参数计算
• • • • • 作业时间的确定 事项时间参数的计算 作业时间参数的计算 关键路线的寻找方法 按期完成计划的概率
作业时间的确定
• 对具有标准的作业，采用单一时间估计法 • 对一般性作业，采用三点时间估计法
2 A 1 D 4 C B
3
使用暗桥
网络图的绘制步骤
• 确定目标，做好准备工作 • 任务分解和分析 • 绘制网络图
表4-1 调查项目的任务分解和分析
作业代号 A B C D E F G H 作业说明 周期(天) 紧前作业 系统地提出问题 4研究选点问题 7A 准备调研方案 10 A 收集资料，安排工作 8B 挑选和训练调研人员 12 B、C 准备有关表格 7C 实地调查 5 D、E、F 分析调查数据，写调查报告 4G
计算概率下完工的工期
• 由于
z= TD − TK
σ
TD = TK + zσ • 所以 • 可根据要求的概率，查表得到z，在用上式计算TD 例如，要求完工概率为0.9的工期：由 得 z=1.28，所以 Φ ( z ) = 0 .9
TD = TK + zσ = 20 + 1.28 × 2.16 = 22.8(天)
2 3 4 5 6 7 8
4 [0]
7 10 [3] [0] 0 0 8 7 5 [0] 4 [0]
[0] 12 [0]
作业时间参数的计算
• • • • 作业开始最早时间 作业结束最早时间 作业开始最迟时间 作业结束最迟时间 • 总时差 • 单时差
作业最早时间
TES (i, j ) = TE (i ) TEF (i, j ) = TES (i, j ) + T (i, j )
第四章第九节
前 言 第一节 网络图
一 、画网络图的规则 二、实例 三、网络图的分类
网络计划
作 业 五 -1
4.9 网络计划技术
• • • • 网络计划技术的基本概念 网络图的绘制 网络图的时间参数计算 网络优化
一、网络计划技术的基本概念
• 工程计划与甘特图
– – – – 不易表现工程全貌 不便于对各项工作的安排进行筹划和推敲 不能识别影响进度的关键工作 不能反映一项工作不能按进度完成时对工程进 度的影响
C
总费用 间接费用 直接费用
* K
T
T
直接成本的处理
• 按线性处理，作业的费用率为
CC
CC − C N P= TN − TC
CN
TC
TN
图4-52 一个例子
i
2 1 (0,2,1) 4
(TC , TN , P)
j
3
解题思路
• 以正常时间进行网络分析，求得关键路 线 • 在关键路线上，寻找最小费率的工作， 缩短其时间，使工期最多到次长路线的 长度。 • 缩短工期必须对所有关键路线进行，此 时应选择费率总和最小的组合方案。
作业最迟时间
TLF (i, j ) = TL ( j ) TLS (i, j ) = TLF (i, j ) − T (i, j )
时差
总时差
Rij = TLS (i, j ) − TES (i, j ) = TLF (i, j ) − TLS (i, j ) rij = TE ( j ) − TEF (i, j ) = TES ( j , k ) − TEF (i, j )
1 7
8
6 3
1 人数
(10)
2
4
(8)
5
(8)
6 日
10 1 2 3
(7)
4
5
6日
第二次调整
3 E(6) C(3) A(4) B(2) 2 D(5) 5 G(1) H(8) 4 F(7)
1
8
6
7 人数 10 1
(10)
2
3
(9)
4
5
(7)
6 日
1
2
3
4
5
6 日
工期缩短，总费用最少
• 一般情况下，若采取措施缩短工期，则间接费用 将减少，直接费用将增加，总费用由一个最低点。
• 计划评审技术(PERT)与关键路线法(CPM)
– 系统性和协调性 – 动态性和可控性 – 科学性
甘特图
时间 活动 A B C D E 一月 二月 三月四月 五月 六月 七月 八月 九月
前甘特图的网络图
二、网络图的绘制
• 网络图的构成 • 作业（工作、工序、活动），箭头表示， 箭头之上表示工作名称，之下表示工作 时间。可有虚工作。 • 事项，节点表示，表示某个工作的结束 和另一工作的开始。
第一步求关键路线
3 0 0 1 (0,2 2,1)
1,3 (
(2 ,4,
3 2 (2, 5,1 ) 4
(1 ,3) ,6
, 3)
11 11
1)
3 5 5
工期=11天
作业 (1,2) (2-3) (3-4) 费率 3 1 3
第二步选择(2,3)缩短工期
2 1 3 4
工期=10天 增加费用1
I 可选方案 缩短的作业 (1,2),(1,3) 3+1=4 总费用率 II (2,3),(1,3) 1+1=2 III (3,4) 3
作 业 五 -2
阅读 P273 - p278
P302
2,
工期=4天 增加费用6+16=22
调整(1,2)与(2,3)，并缩短(3,4)
2 1 (0,1,1) 4
3
工期=3天 增加费用22+5=27
总合算费用，绘制直接费用图
工期 增加直接费用 11 0 10 1 9 3 8 6 7 10 4 22 3 27
直 接 费 用 C
TK
总费用最小的优化
• 一般应考虑间接费用，工期缩短，总的间 接费用减少 • 例如，上例中，间接费用率为：4.5/天， 则因为最后一部直接费率5/天>4.5/天，因 此最后一步的工期不能缩短，工期应为4 天，此时可节省费用3.5+1.5+4*0.5=7。
T (i, j ) =
aij + 4mij + bij
按期完成计划的概率
• 当作业数足够多时，工期近似服从正态 分布 T ~ N (TK , σ 2 )
TK
按期完成计划的概率
• 其中
ai + 4mi + bi TK = ∑ 6 i∈PK bi − ai σ = ∑σ = ∑ 6 i∈PK i∈PK
例４续
v1 (1,4) vs (3,5) (1,1) v2
(3,3) (2,1)
v3 (2,5) (1,3) (4,2) v4 vt
(4,2)
例４续 vs
v1 (1,1)
(3,3)
v3 (1,3) v4 vt
(4,2) v2
作业 时间 紧前作业 作业 时间 紧前作业 F 5 D,E A 2 G 3 F,C B 1 C D E 3 4 4 A A B H I 6 0 D,E G,H
– 最乐观时间：a 最乐观时间： – 最可能时间：m 最可能时间： – 最悲观时间：b 最悲观时间：
• 计算时间期望值和方差
作业时间计算方法
a + 4m + b Te = 6 σ = (b − a) / 6
β 分布
事项参数的计算
• 事项最早时间 i j
T ij
i
TE ( j ) = max [TE (i ) + Tij ]
1
B 5
3
E 64Biblioteka G 56• 当某些工作的时间调整后，可能引起关键路线的变 化和工期的变化。例如将工作E的时间缩短为4天， 则工期缩短为13天，关键路线将变为