极限与连续导数与微分习题课

解 当 x 0时 , g '( x ) x f '( x ) f ( x ) x
2
20
当 x 0时 , g '( 0 ) lim g ( x ) g (0) x
x 0
lim
f (x) x
2
x 0
lim
f '( x ) 2x
x 0

1 2
lim
f '( x ) f '( 0 ) x 0
11
7.参 数 方 程 求 导 法 若 x (t ) y (t ) 则 dy dx
'( t ) (t )
8. 高 阶 导 数 求 导 法
注 : 可 导 必 连 续 ,但 连 续 未 必 可 导 .
12
2 3 x , x 1 例1 设f (x)3 , 求 f '( x ). x2, x 1
b
n
a.
6
a1 x a 2 x a n x 例 4 求 lim x n
1 1 1

nx
, ( 其 中 a 1 , a 2 , , a n 0 ).
a1 x a 2 x a n x 解 令 y( x ) n
1 1 1

nx
1 1 1 a1 x a 2 x a n x ln y ( x ) n x ln n
1 1 1


ln ( a 1 x a 2 x a n x ) ln n 1 nx
8
lim ln y ( x ) lim
19
因 而 f ( x )单 调 增 加 . 又 f ( 0 ) 0 , 所 以 当 x 0时 , f ( x ) f ( 0 ) 0 , 即
e
x
1 (1 x ) ln (1 x ).
例 2 设 f ( x ) 在 ( , )内 具 有 二 阶 导 数 , 且 f ( 0 ) f '( 0 ) 0 , f (x) , x 0 求 g( x) x 的导数. 0, x 0
解 当 x 0时 , f'( x ) = ( e
2 x ln x
2 x ln x
)' e
2 x ln x
( 2 ln x 2 )
2e
(ln x 1)
1 e .
1 e 1
e
令 f '( x ) 0 , 得 驻 点 x
当 0 x 1 e
所 以 f ( x )在 x 1 e
解 因 lim
x 0, x 0,
( x ) - ( 0 )
x-0
x 0
= '( 0 ) = 0
即
lim
( x )
x
x 0
0
(因 ( 0 ) 0 )
于 是 f '( 0 ) lim
lim
f(x )-f(0) x -0
1 x 0
( x ) c o s
lim
10

1 dx dy
难点:复合、分解 的掌握,易掉项. 要掌握复合函数的 结构
5. 隐 函 数 求 导 法 方 程 F x ， y） 0 两 边 同 时 对 x 求 导 （ d dx 再 从 中 解 出 隐 函 数 y f ( x )的 导 数 f '( x ), 即 dy dx . F ( x ， y ( x )) 0
x 0
1 x
-0
x 0
x
( x )
x
x 0
co s
无穷小量与有界变量 的乘积是无穷小量 14
例 3 设 y (arcsin x ) , 证 明 : (1 x ) y ''' 3 xy '' y ' 0.
2 2
证 y ' 2 a rcsin x
两 边 对 x求 导 ,得 x 1 x
x0

1 2
f ''( 0 )
x f '( x ) f ( x ) , 2 x 故 g '( x ) 1 f ''( 0 ), 2
x 0 x 0
21
x2x , 例3 设f (x) x 2,
x 0 x 0
, 求 f ( x )的 极 值 .
x
1 n
x 0
)
n
e
6 . 利 用 复 合 函 数 求 极 限 (如 用 变 量 替 换 )
3
7. 利 用 罗 必 达 法 则 求 极 限
8. 利 用 夹 逼 准 则 求 极 限
9. 利 用 单 调 有 界 准 则 证 明 极 限 存 在
用极限来描述函数的连续与间断
用极限来描述无穷大与无穷小，无穷小的比较， 等价无穷小及其应用
f (0) 0 (0) 0
f '( 0 ) lim f ( x ) f (0) x 0
x0
lim
x ( x ) x
x 0
lim ( x ) ( 0 )
x0
所 以 d f ( x ) | x 0 ( 0 )d x .
16
中值定理及导数的应用
时 , f '( x ) 0; 当 x
处 取 得 极 小 值 f(
时 , f '( x ) 0 .
) e
2 e
.
22
当 x 0时 , f '( x ) 1 0 , f ( x )单 调 增 加 ,
所 以 当 x 0时 , f ( x ) f ( 0 ) = 2 ,
x
ln (1 x ) 1

x
x
1 1 x
易确定,可进一 步考察 f ''( x )
当 x 0时 , e
1,
1 1 x
1, 于 是 f ''( x ) 0
所 以 f '( x )单 调 增 加 , 又 f '( 0 ) 0 ,
于 是 当 x 0时 , f '( x ) f '( 0 ) 0 ,
2
1 1 x
2

1 x y ' 2 a rcsin x
2
y '
2
1 x y ''
2
2 1 x
2
即 x y ' (1 x ) y '' 2
上 式 两 边 再 对 x求 导, 得 y' x y'' 2 x y'' (1 x ) y''' 0
2
求极限的基本方法
1. 利 用 极 限 定 义
2 . 利 用 函 数 连 续 求 极 限 ( lim f ( x ) f ( x 0 ))
x x0
3. 利 用 极 限 的 四 则 运 算 求 极 限
1
4. 利 用 无 穷 小 的 性 质 求 极 限 (如 等 价 无 穷 小 替 换 法 )
5. 利 用 两 个 重 要 极 限 lim sin x x 1, lim (1
利 用 导 数 求 极 限 (洛 必 达 法 则 )
18
例 1 证 明 : 当 x 0时 , e
x
1 (1 x ) ln (1 x ).
证 令 f (x )=e
x
1 (1 x ) ln (1 x )
f '( x ) 的符号不
f '( x ) e
f ''( x ) e
2 2
1 2 x sin , x 0; f (x) 在 x 0的 连 续 性 和 可 导 性 。 x x 3 , x 0.
24
x1
因 而 f ( x ) 在 x 1 处 不 可 导 .故
2x2 , f '( x ) 2 x , 不存在, x 1; x 1; x 1.
13
1 ( x ) co s , 例2 设 f (x) x 0, 且 ( 0 ) '( 0 ) 0 , 求 f '( 0 ).
所 以 ,原 式 e
ln ( a 1 a 2 a n )
a1 a 2 a n .
9
求导数(微分)基本方法
1. 定 义 求 导 法 （ 特 别 是 分 段 函 数 的 分 段 点 处 ）
2. 四 则 运 算 求 导 法
3. 反 函 数 求 导 法 dy dx
4. 复 合 函 数 求 导 法 dy dx dy du du dx
x
ln ( a 1 x a 2 x a n x ) ln n 1 nx
1 1 1
1
1
1
x
1 lim a1 x a 2 x a n x
1 1 1
( a 1 x ln a a 2 x ln a 2 a n x ln a n )( 1 nx
又 因 lim f ( x ) lim x
x 0 x 0 2x
lim e
x 0
2 x ln x
e
而当0 x 1 e
所以当0 x 1 e
x 0
lim 2 x ln x
1,
时 , f ( x )单 调 减 少 ,
时 , f ( x ) 1 2,
6 . 对 数 求 导 法 (主 要 解 决 幂 指 函 数 的 导 数 ) y u( x ) 先取对数
v( x)
ln y v ( x ) ln u ( x ), 再 用 隐 函 数 求 导 法
v ( x ) ln u( x )
求 出 y '.或 写 成 y e
, 再 用 复 合 函 数 求 导 法.
2
1 x
2
)
x

1 1
lim
n ( a 1 x ln a 1 a 2 x ln a 2 a n x ln a n ) a1 x a 2 x a n x
1 1 1
1
x
ln a 1 ln a 2 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )
解 当 x 1时 , f '( x ) 2 x ; 当 x 1时 , f '( x ) 2 x .
2
f (1 0 ) lim
2 3
x 1 0
x
3

2 3
,
f (1 0 ) lim x
x 1 0
2
1
所 以 lim f ( x )不 存 在 , 于 是 f ( x ) 在 x 1处 不 连 续 ,
即 (1 x ) y''' 3 x y'' y' 0 .
2
15
例 4 设 ( x ) 在 x 0 处 连 续 ， 求 f ( x ) x ( x )在 x 0 处 的微分.
解 由 题 设 可 知 f ( x ) x ( x )在 x 0 处 连 续 , 且
左极限与右极限、左连续与右连续
4
例2
解
n
求 lim
a
n
n
n
a
n
b , (a b 0)
n
b
n
a 1(
n
b a
)
n
因1
n
1(
b a
)
n

n
Hale Waihona Puke Baidu
2,
而 lim
n
n
2 1
所以
lim
n
n
1( ) a
n
b
n
1
故 lim
n
n
a
n
b
a lim
n
n
1( ) a
中值定理
特例 f(a )=f(b)
罗尔定理
推广
拉格朗日中值定理
特例 F( x ) = x
推广
柯西定理
17
利用导数研究函数的特性
(1) 用 一 阶 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 ( 最 值 )
(2) 用 二 阶 导 数 研 究 函 数 的 凹 凸 性 与 拐 点
利用单调性和凹凸性可证明不等式
故 f ( x )在 x 0 处 取 得 极 大 值 f ( 0 ) 2 .
23
思考题：
1 . 明 ： ( x 1) ln x ( x 1) , x 0 . 证 8 3 2 2 . 明 ： 当 x 0， x 2 x x ln (1 2 x ) 证 2 3 1 1 3. 明 ： 不 等 式 证 ln ( x 1) ln x x1 x 4. 论 讨