24两个重要极限精品PPT课件
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极限存在准则和两个重要极限.ppt
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（ ）
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
Байду номын сангаас
lim
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
极限存在准则
1.夹逼准则(两边夹定理）
定理Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
单 调
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
数 列
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
数轴几何解释
❖第一个重要极限 lim sin x ?
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
2.4函数极限的性质及两个重要极限.ppt
而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x ) 不存在。
n
x x
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
且对 x ( x0 , ) ，有 g( x ) u0 ．
x x0 u u0
则
x x0
lim f ( g ( x )) 令u g( x )
u u0
lim f ( u) A ．
Note: 可推广到有限个函数复合的情况．
例 11 求
x
lim
6
cos x
2
x0
；
sin ( mx ) (3) lim ( m 0) ； x 0 x
arc sin x (4) lim ； x 0 x
1 (6) lim x sin 2 ． x x
(5)
1 lim x sin ； x x
例 5
x x x lim cos cos 2 cos n n 2 2 2
A B ．
Thm 1 （夹逼定理）
若在 ( x0 , ) 内，有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ) ； (2) lim g( x ) lim h( x ) A ．
x x0 x x0
则必有
x x0
lim f ( x ) A ．
Thm 2（海涅定理，Heine 定理）
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
x x
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
且对 x ( x0 , ) ，有 g( x ) u0 ．
x x0 u u0
则
x x0
lim f ( g ( x )) 令u g( x )
u u0
lim f ( u) A ．
Note: 可推广到有限个函数复合的情况．
例 11 求
x
lim
6
cos x
2
x0
；
sin ( mx ) (3) lim ( m 0) ； x 0 x
arc sin x (4) lim ； x 0 x
1 (6) lim x sin 2 ． x x
(5)
1 lim x sin ； x x
例 5
x x x lim cos cos 2 cos n n 2 2 2
A B ．
Thm 1 （夹逼定理）
若在 ( x0 , ) 内，有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ) ； (2) lim g( x ) lim h( x ) A ．
x x0 x x0
则必有
x x0
lim f ( x ) A ．
Thm 2（海涅定理，Heine 定理）
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
第六节极限存在准则两个重要极限PPT课件
第9页/共11页
例5
解
令t=-x 则x 时 t 于是
第10页/共11页
例6 解:
练习
1. 2.
1
lim(1 sin 2x) x
x0
1
1 sin 2 x
lim(1 sin 2x) x lim[(1 sin 2x)sin2x ] x
x0
x0
e2.
lim( x 2)x e2.
x x
lim(
x
x
3x3 x 2x2 1
sin
1 x
lim
x
x(3x2 1) 2x2 1
sin
1 x
lim
x
(3x2 2x2
1) 1
(sin
1 x
/
1 x
)
3 2
第7页/共11页
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限
准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向 移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而 对有界数列只可能后者情况发生
一、准则I及第一个重要极限
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2) lim y a lim z a
n n
n n
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
即
时， 圆扇形AOB的面积
两个重要极限PPT幻灯片课件
lim(1 1 ) x e
x
x
17
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
x0 3x x0 5x 3
33
10
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型
0
(2)推广形式:
lim sin 1 某过程
（ lim 0 ） 某过程
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
7
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
x
16
❖第二个重要极限 lim(1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
(1
1
x
)
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lim
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
例3.
求
1 cos x
lim
x0
x2
(0) 0
2 sin2 x
解: 原式 lim x0
2 x2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim x0
sin x
x 2
2
1 12 2
1. 2
2
例4.求 lim arcsin x . (0)
x0
x
0
解:令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t lim 1 t0 sin t t0 sin t
1
t
例5. 求 lim x sin 2
x
x
0 () 0
sin 2
sin 2
解: 原式 lim x
x 1
lim x
2x 2
2
x
x
例6 : 求
sin( x 2 4) lim
x2
x2
(0) 0
解 : lim sin( x 2 4)
x2
x2
lim
x2
sin( x
x2 2
4
4)
(
x
2)
sin( x2 4)
lim x2
x2 4
lim ( x 2) x2
14 4 .
二、
lim(1 1 )x e 1
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
一般式：lim 1
1
u( x)
e
u( x) u( x)
u (lxi)m1
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
x
x
解: 原式 lim(1 1 )( x)(1) / lim(1 1 )2
x
x
x
x
e 1
例10： lim 2x
3x
1
x 2x 1
解: 原式 lim(1
2
2 x11
)2 2
x 2x 1
e
练习：
lim 2x
3x
x 2x 1
内容小结
两个重要极限：
(1)
sin ( x)
第四节
第二章
两个重要极限
一、lim sin x 1 ( 0)
x x0
0
y
1•
sin x
y
x
o
x
注： 1. 一般式：lim sin u( x) 1 u( x )0 u( x)
2. lim x 1 x0 sin x
sin x lim 0 x x
例1. 求
sin 5x
lim
.
0 ()
x0 2x
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
例3.
求
1 cos x
lim
x0
x2
(0) 0
2 sin2 x
解: 原式 lim x0
2 x2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim x0
sin x
x 2
2
1 12 2
1. 2
2
例4.求 lim arcsin x . (0)
x0
x
0
解:令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t lim 1 t0 sin t t0 sin t
1
t
例5. 求 lim x sin 2
x
x
0 () 0
sin 2
sin 2
解: 原式 lim x
x 1
lim x
2x 2
2
x
x
例6 : 求
sin( x 2 4) lim
x2
x2
(0) 0
解 : lim sin( x 2 4)
x2
x2
lim
x2
sin( x
x2 2
4
4)
(
x
2)
sin( x2 4)
lim x2
x2 4
lim ( x 2) x2
14 4 .
二、
lim(1 1 )x e 1
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
一般式：lim 1
1
u( x)
e
u( x) u( x)
u (lxi)m1
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
x
x
解: 原式 lim(1 1 )( x)(1) / lim(1 1 )2
x
x
x
x
e 1
例10： lim 2x
3x
1
x 2x 1
解: 原式 lim(1
2
2 x11
)2 2
x 2x 1
e
练习：
lim 2x
3x
x 2x 1
内容小结
两个重要极限：
(1)
sin ( x)
第四节
第二章
两个重要极限
一、lim sin x 1 ( 0)
x x0
0
y
1•
sin x
y
x
o
x
注： 1. 一般式：lim sin u( x) 1 u( x )0 u( x)
2. lim x 1 x0 sin x
sin x lim 0 x x
例1. 求
sin 5x
lim
.
0 ()
x0 2x