2020年高考考前大冲刺卷理科数学(五)解析

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2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(五)(全国版含答案解析)

x cos 2x x2 1
的图象大致为(
)
A．
B．
4
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性排除 C，D，再根据函数值的正负即可判断．
【详解】
由
f
(x)
为奇函数，得
f
(x)
的图象关于原点对称，排除
C，D；又当 0
1
【详解】
ðR
A

x
|
3

x

3 ，
B

x

|

1 2

x

4
，所以
ðR
A

B

x
|
3

x

4
.
故选： C
【点睛】
本题考查了集合的运算，属于简单题.
3．“ a b 2c ”的一个充分条件是（） A． a c 或 b c B． a c 且 b c C． a c 且 b c
故θ＝60°．
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题
3
7．已知 cos( ) 4 ， cos( ) 3 ，则 tan tan （）
5
5
1
A．
7
B． 7 5
1
C．
10
D．-7
【答案】D
【解析】
【分析】
D． a c 或 b c
【答案】C
【解析】
对于 A, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 A 不对；对于 B, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 B 不对；对于 C, a c 且 b c ，由同向不等式相加的性质知，可以推出 a b 2c ，故 C 正确；对于 D, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 D 不对，故选 C.

2020年山西省运城市高考数学冲刺试卷(理科)(5月份)(有答案解析)

2020年山西省运城市高考数学冲刺试卷（理科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x＞}，B={x|1-log2x＞0}．则A∩B=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|x＞-1}C. {x|0＜x＜2}D. {x|-l＜x＜l}2.已知复数与互为共扼复数,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）A. B. C. D.4.在△ABC中，点O满足3=+，则△OBC与△ABC的面积比为（）A. B. C. D.5.已知函数（x）=x（e x+e-x），则下列结论正确的是（）A. 是奇函数,在单调递增B. 是奇函数,在单调递减C. 是偶函数,在单调递增D. 是偶函数,在单调递减6.已知（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是（）A. -40B. -20C. 20D. 407.如图，是一块木料的三视图，将它经过切削、打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点（1，2）是双曲线（a＞b＞0）上一点，则其离心率的取值范围是（）A. （1，）B. （1，）C.D.9.已知函数f（x）=|ln（x-1）|，满足f（a）＞f（4-a），则实数a的取值范围是（）A. （1，2）B. （2，3）C. （1，3）D. （2，4）10.如图，点E为矩形ABCD一边BC的中点，抛物线过A，D，E三点．随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜的最小正周期为π，且f（x）是（，）上的单调函数，则φ的取值范围是（）A. B. C. D.12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D、E分别是边BC和AC上一点，DE⊥AC，将△CDE沿DE折起使点C到点P的位置，则该四棱锥P-ABDE体积的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan（α+）=，则2cosα=______．14.已知x，y满足|x-1|+1≤y≤（x+7），则z=（x-1）2+（y-9）2的最小值为______15.已知直线l是抛物线y2=2px（p＞0）的准线，半径为5的圆过抛物线顶点O和焦点F，若l被该圆所截得的弦长为8，则抛物线的方程为______．16.在△ABC中，∠BAC=，已知BC边上的中线AD=3，则△ABC面积的最大值为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=na n+1+n（n+1）．等比数列{b n}中，b1=a2，b2=a5，b3=a6．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18.已知四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC且PA=PB=AB=BC=2CD，E为PA的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．19.已知P是圆A：（x-）2+y2=16上任意一点，B的坐标为（-，0），线段BP的垂直平分线和半径AP交于点Q．当点P在圆A上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l不经过点T（0，1）与曲线C交于M，N两点，且直线TM，TN的斜率之和为2，求证：直线l过定点．20.某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品．每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用．若进货不足，食品厂以每件250元补货；若销售有剩余食品厂以每件150回收．现需决策每日购进食品数量，为此A B50频数20402020销售件数891011以这些数据的频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记x表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．（Ⅰ）求x的分布列；（Ⅱ）以销售食品利润的期银为决策依据在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？21.已知函数f（x）=ln x+ax-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）图象过点（1，0），求证：e-x+xf（x）≥0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换ϕ：后所得曲线记为C．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox．（Ⅰ）求曲线C'的极坐标方程；（Ⅱ）已知A，B是曲线C'上任意两点，且OA⊥OB，求证：O到直线AB的距离为常数23.已知函数f（x）=|x-1|-2|x-a|+1，a＞1．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若（x）的图象与x轴围成图形的面积大于6，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x＞}={x|x＞-1}，B={x|1-log2x＞0}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选C．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简z1，再由复数相等的条件列式求得a，b值得答案．【解答】解：∵z1==，，且z1与z2互为共扼复数，∴，解得a=-2，b=5．∴z=a+bi在复平面内对应的点的坐标为（-2，5），位于第二象限．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查概率的求法及古典概型，考查计算能力，是基础题．利用列举法求出抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有8种，其中出现两正一反的共有3种，由此能求出出现两枚正面一枚反面的概率．【解答】解：抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故出现两枚正面一枚反面的概率为：．故选：C．4.答案：B解析：【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式．可画出图形，根据题意可知，延长AO会交于BC边的中点，设中点为D，从而可得出，从而可得出，从而可得出△OBC与△ABC的面积比．【解答】解：如图，根据题意，延长AO交BC的中点D；∵，且；∴；∴；∴；∴△OBC与△ABC的面积比为．故选：B．5.答案：A解析：解：f（-x）=-x（e-x+e x）=-f（x）；∴f（x）为奇函数；设，e x=t；∵t=e x在（0，+∞）上为增函数，在（1，+∞）上为增函数；∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，且y=x为增函数；∴f（x）在（0，+∞）单调递增．故选：A．容易求出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数，可以判断复合函数在（0，+∞）上单调递增，从而得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．考查复合函数的单调性判断，指数函数的单调性，以及的单调性，奇函数的定义．6.答案：D解析：【分析】由题意先求得a=-1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，可得（x+1）（2x+a）5的展开式含x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．【解答】解：令x=1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5=2，∴a=-1．二项式（x+1）（2x+a）5 =（x+1）（2x-1）5=（x+1）（32x5-80x4+80x3-40x2+10x-1），故展开式中含x3项的系数是-40+80=40，故选：D．7.答案：B解析：【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r．然后判断球的个数．本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r，则4-r+3-r=5，∴r=1．取得直径为2，两个球的直径和为4，棱柱的高为5，所以则该木料最多加工出球的个数为2．故选：B．8.答案：C解析：【分析】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．把（1，2）代入双曲线方程得出a，b的关系，再根据a，b，c的关系得出a，c的关系，从而可得离心率的范围．【解答】解：把（1，2）代入双曲线方程得：-=1，∴=b2+4，∴e==＞，故选：C．9.答案：B解析：解：根据题意，f（x）=|ln（x-1）|=，则f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，由题意知，即1＜a＜3；再分3种情况讨论：①，当1＜a＜2时，a-4＞2，若f（a）＞f（4-a），则-ln（a-1）＞ln（3-a），变形可得：（a-1）（a-3）＞1，解可得：a＜2-或a＞2+，又由1＜a＜2，此时无解；②，当a=2时，4-a=2，f（a）=f（4-a），不符合题意；③，当2＜a＜3时，0＜4-a＜2，若f（a）＞f（4-a），则ln（a-1）＞-ln（3-a），变形可得：（a-1）（a-3）＜1，解得2-＜a＜2+，∴a的取值范围是（2，3）．故选：B．根据题意化简函数f（x），得出f（x）在其定义域上的单调性；在定义域内讨论不等式f（a）＞f（4-a）成立时，a的取值范围是什么．本题考查了分段函数的单调性应用问题，关键是得到关于a的不等式，是中档题．10.答案：A解析：解：设矩形的长为2，宽为a，建立如图所示的直角坐标系，则抛物线方程为y=ax2，由定积分的意义可得：S阴=2a=2a（）=a，所以该点落在阴影部分的概率为：==，故选：A．由几何概型中的面积型及定积分的运算得：设矩形的长为2，宽为a，由定积分的意义可得：S阴=2a=2a（）=a，所以该点落在阴影部分的概率为：==，得解．本题考查了几何概型中的面积型及定积分的运算，属中档题．11.答案：C解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．∵f（x）是（，）上的单调函数，∴+φ≥，且+φ≤，求得-≤φ≤-，故选：C．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再根据单调性求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．12.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥的体积计算，函数最值的计算，属于中档题．设CE=h，用h表示出四棱锥的体积的最大值，利用导数求出最大值即可．解：依题意，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，所以AC==2，BC==，三角形ABC的面积S ABC==．设CE=h，当点E的位置确定时，点C到平面ABDE的距离越大，则该四棱锥P-ABDE体积就越大，而点C到平面ABDE的最大距离为CE，则DE=CE×tan30°=，所以三角形CDE的面积S1==，所以四边形ABDE的面积S=S ABC-S1=，所以该四棱锥P-ABDE体积V==（）•h=，V'=（1-h2），令V'=0得，h=±1，因为0，所以当0＜h＜1时，V'＞0，当1＜h＜时，V'＜0，所以V（h）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，故当h=1时，V有最大值V max==．故选：A．13.答案：解析：解：∵tan（α+）=⇒=；∴tanα=-⇒α∈（；∴sinα=-cosα，又∵sin2α+cos2α=1∴cos2α=⇒cosα=±∴2cosα=．故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求出tanα的值，进而可转化出，再加上sin2α+cos2α=1即可求出答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．解析：解：不等式|x-1|+1≤y≤（x+7）化为，画出该不等式组表示的平面区域，如图所示；则z=（x-1）2+（y-9）2表示阴影内的点到定点P（1，9）距离的平方，且点P到直线y=（x+7），即x-2y+7=0的距离为d==2，所以z的最小值为=20．故答案为：20．不等式化为，画出不等式组表示的平面区域，再根据z=（x-1）2+（y-9）2的几何意义求出z的最小值．本题主要考查了绝对值不等式的应用问题，也考查了点到直线的距离公式应用问题，也考查了转化与运算求解能力．15.答案：y2=8x解析：解：∵F（，0），r=5，∴设圆的方程为：（x-）2+（y-b）2=25，∵l被该圆所截得的弦长为8，∴25=（+）2+42，解得p=4．故答案为：y2=8x．根据半径为5的圆过抛物线顶点O和焦点F得圆心横坐标为，根据l被该圆所截得的弦长为8以及勾股定理可得p=4．本题考查了抛物线的性质，属中档题．16.答案：99解析：【分析】本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．由题意利用平面向量的加减法几何意义，可得=（+），两边平方再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC的面积S的最大值．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=，BC边上的中线AD长为3，=（+），设AB=c，AC=b，平方可得：9=（c2+b2+2）=（c2+b2+2cb•sin），化简可得，c2+b2+bc=36≥2bc+bc，可得：bc≤=18（2-），故△ABC的面积S=bc•sin≤×18（2-）×=99．故答案为：99．17.答案：解：（Ⅰ）S n=na n+1+n（n+1），当n≥2时，S n-1=（n-1）a n+n（n-1），两式相减可得S n-S n-1=na n+1-（n-1）a n+n（n+1）-n（n-1）可得a n=na n+1-（n-1）a n+2n，即为na n+1-na n=-2n，即为a n+1-a n=-2，当n=1时，a1=S1=a2+2，也满足上式，则数列{a n}为公差为-2的等差数列，等比数列{b n}中，b1=a2，b2=a5，b3=a6．可得b22=b1b3，即a52=a2a6，即有（a1-8）2=（a1-2）（a1-10），解得a1=11，则a n=11-2（n-1）=13-2n；由b1=a2=9，b2=a5=3，b3=a6=1，可得公比q=，即b n=（）n-3；（Ⅱ）c n=a n b n=（13-2n）•（）n-3，可得前n项和T n=11•（）-2+9•（）-1+…+（13-2n）•（）n-3，T n=11•（）-1+9•（）+…+（13-2n）•（）n-2，相减可得T n=11•（）-2+（-2）[（）-1+…+（）n-3]-（13-2n）•（）n-2=99-2•-（13-2n）•（）n-2，化简可得T n=135+（n-5）•（）n-3．解析：（Ⅰ）将n换为n-1，相减，由数列的递推式和等差数列的定义，以及等比数列的中项性质和通项公式，计算可得所求通项公式；（Ⅱ）求得c n=a n b n=（13-2n）•（）n-3，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）取PB的中点F，连结EF，CF，由已知得E为PA的中点，∴EF∥AB，EF=AB，又AB∥CD，CD=AB，∴EF∥CD，EF=CD，∴四边形EFCD为平行四边形，∴DE∥CF，又CF⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC．解：（Ⅱ）取AB的中点O，连结OP，OD，∵PA=PB，∴PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OD，由已知得OD⊥OB，以OD，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CD=1，则D（2，0，0），B（0，1，0），A（0，-1，0），P（0，0，），∴E（0，-），设平面EBD的法向量=（x，y，z），则，又=（2，-1，0），=（0，-），∴，取x=1，得=（1，2，2），又平面BDC的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==，由图得二面角E-BD-C为钝角，∴二面角E-BD-C的余弦值为-．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）取PB的中点F，连结EF，CF，推导出四边形EFCD为平行四边形，从而DE∥CF，由此能证明DE∥平面PBC；（Ⅱ）取AB的中点O，连结OP，OD，以OD，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法可求出二面角E-BD-C的余弦值．19.答案：解：（Ⅰ）由已知|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|AP|=4>2,∴点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a=4，a=2，c=,∴b2=a2-c2=1，∴曲线C的方程.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为l：x=-1，此时M（-1，），N（-1，-），k TM+k TN=2满足条件，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（m≠1），代入可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，则△=16（1+4k2-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵k TM+k TN==，===2，由已知可得2k-即k=m+1，由△＞0可得，m或m＞-1时，满足条件,此时直线方程y=（m+1）（x+1）-1，故直线过定点（-1，-1），综上可得l过定点（-1，-1）.解析：本题主要考查了椭圆定义在求解椭圆方程中的应用及直线与椭圆位置关系的应用，属于较难题．（Ⅰ）由已知|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|AP|=4，结合椭圆定义即可求解，（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（m≠1），联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线TM，TN的斜率之和为2可得k=m+1，进而表示l的方程，可证．20.答案：解：（1）由已知两家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为：，，，，X取值为16，17，18，19，20，21，22；P（X=16）=×=，P（X=17）=××2=，P（X=18）=×+××2=，P（X=19）=××2+××2=2=，P（X=20）=×+××2=，P（X=21）=××2=，P（X=22）=×=，所以X的分布列为：x 1617181920 2122p（Ⅱ）当n=19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为：Y1 14501600175019001950 20002050pE（Y1）=1450×+1600×+1750×+1900×+1950×+2000×+2050×=1822；当n=20时，记YY2 14001550170018502000 20502100pE（Y2）=1400×+1550×+1700×+1850×+2000×+2050×+2100×=1804；因为E（Y1）＞E（Y2），故应选n=19．解析：（Ⅰ）求出随机变量x取值的概率可得x的分布列；（Ⅱ）以销售食品利润的期银为决策依据在n=19与n=20之中选其一，利用x分布列计算E（Y1）＞E（Y2），故应选n=19．本题考查离散型随机变量的概率，期望，分布列，利用期望判断最优方案，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f'（x）=0，得．若，f'（x）＞0，f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，f（x）单调递减综合上述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）证明：函数f（x）图象过点（1，0），∴ln1+a-1=0，解得a=1．e-x+xf（x）≥0．即+ln x+x-1≥0．（x＞0）,令g（x）=+ln x+x-1≥0．（x＞0）,g′（x）=-e-x+=．令h（x）=xe x-1，h′（x）=（x+1）e x，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0∈（0，+∞），使得x0=1，可得=，x0=-ln x0．∴g（x）≥g（x0）=1-x0+x0-1=0．∴e-x+xf（x）≥0成立．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．对a分类讨论即可得出单调性．（Ⅱ）函数f（x）图象过点（1，0），可得ln1+a-1=0，解得a=1．e-x+xf（x）≥0．即+ln x+x-1≥0．（x ＞0）．令g（x）=+ln x+x-1≥0．（x＞0）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．22.答案：（Ⅰ）解：由已知ϕ：，得，代入曲线C：x2+y2=4，得（x′）2+（2y′）2=4，即曲线C'的直角坐标方程为x2+4y2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C'的极坐标方程为ρ2（cos2θ+4sin2θ）=4，化简得：ρ2（1+3sin2θ）=4；（Ⅱ）证明：由已知OA⊥OB，不妨设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），，由（Ⅰ）知，，故，，O到直线AB的距离d=．=．∴d==．故O到直线AB的距离为常数．解析：（Ⅰ）由已知ϕ：，得，代入曲线C：x2+y2=4，即可得到曲线C'的直角坐标方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C'的极坐标方程；（Ⅱ）由已知OA⊥OB，不妨设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），，由（Ⅰ）知，，O到直线AB的距离d=，代入即可证明O到直线AB的距离为常数．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查极径的用法，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=，所以原不等式等价于，或，或，所以x∈∅，或2＜x≤3，或3＜x＜6，所以不等式的解集为：{x|2＜x＜6}；（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=，由函数的单调性可知，当x=a时，f（a）=a＞1，设M（a，a），当x＞a时，由f（x）=0，得x=2a，f（x）的图象与x轴的一个交点为A（2a，0），当x≤a时，又f（1）=3-2a，设点N（1，3-2a），①若a∈，f（1）=3-2a＞0，由f（x）=0，得x=2a-2，设点B（2a-2，0），此时f（x）的图象与x轴另一个交点为B（2a-2，0），f（x）的图象与x轴围成图形为凹四边形AMNB，其面积为：S=，因为a∈，所以S＜，不满足条件；②若a∈，f（1）=3-2a≤0，由f（x）=0，得，设C（，0），f（x）的图象与x轴围成图形为三角形AMC，其面积为：，由已知得，又a＞1，所以a＞3，综上，实数a的取值范围为（3，+）．解析：本题考查了绝对值三角不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．（Ⅰ）去绝对值，然后得到f（x）＞0⇔，或，或，解不等式组即可；（Ⅱ）a＞1时，f（x）=，然后分a∈和a∈，两种情况求出围成图形的面积即可．。

2020年高考数学金榜冲刺卷(山东专用)(五)试题及答案

2020年高考金榜冲刺卷（五）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（） A ．0B ．1C ．2D ．42．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（）A ．35B ．35-C ．45-D ．454．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ，则=)321(log 4f （）A ．1B ．-1C ．21D ．12-5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A ．20B ．15C ．10D ．5 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（）A ．B ．4C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =10．下列结论正确的是（） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB =D ．AB 的最小值为412．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增；D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 . 14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v，13CE AB AC μ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+= .15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L2020年高考金榜冲刺卷（五）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B【解析】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+，则1355z i =-.故选：B. 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】A【解析】因为tan 3k θ==，所以θ为锐角，cos 10θ==，sin 10θ=，所以3sin22sin cos 5θθθ==．故选：A 4．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ，则=)321(log 4f （） A ．1 B ．-1 C ．21D ．12-【答案】B【解析】)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以1)14()21()25()25()4log 321log ()321(log 21224-=--=-=-=-==f f f f f ，故选B. 5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】C【解析】此题相当于在正五边形ABCDE 中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A 放第一个位置，第二步只能C 或D ，依次ACEBD 或ADBEC 两种；同理分别让B 、C 、D 、E 放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C. 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 【答案】C【解析】因为())4f x x πω=-，所以由())4f x x πω=-=42x k ππωπ-=+，其对称轴方程13()()4x k k Z ππω=+∈，由题设13()2()4k k Z πππω+≤∈且13()3()4k k Z πππω+≥∈，即13()2()4k k Z ω+≤∈且13()3()4k k Z ω+≥∈，也即3()28k k Z ω≥+∈且1()34k k Z ω≤+∈，解之得37711[,][,]812812ω∈U ，故选C.7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，△()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】D【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，△在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，△,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q△+△得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++，即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||OM ==max ||PQ =.故答案为：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =【答案】BD【解析】设()123,,n X x x x x =⋅⋅⋅，数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，即()()217,214E X D X +=+=，由离散型随机变量均值公式可得()()21217,E X E X +=+=所以()3E X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为()()323233211a E X E X =+=+=⨯+=；由离散型随机变量的方差公式可得()()2144,D X D X +==所以()1D X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的方差为()()3299b D X D X =+==，故选：BD.10．下列结论正确的是（） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 【答案】BCD【解析】对于A ，若22a b >，则a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，则44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确；对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，则lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，则()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确；故选：BCD.11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--，所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确.故选：BCD . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .【答案】70【解析】设8⎛⎫的展开式中含22x y 的项为第1r +项，则由通项知()8118822221881rr r rr r r r r r T C xy x y C x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令822r r -+-=，解得4r =，△8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为()448170C -=．14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+= .【答案】13-【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为E 是AD 的中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故答案为13-. 15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）【答案】43π 25π 【解析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<,则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<,所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1,设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π. 故答案为:43π；25π. 16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 【答案】4 【解析】由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m +，其中[m a ∈-，0]，由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得12(2,),(2,)PF a m PF a m =--=-u u u r u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[m a ∈-，0]，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值，此时Py =，当0m =时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最大值，此时P y =，则214S S ==，故答案为4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（1）证明：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．因为121n n a a n +=+-，所以()()112n n a n a n +++=+，所以12n n b b +=．又12b =，所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．（2）由（1）可得2nn n a b n n =-=-，所以()1232222nn S =++++L ()123n -++++L ()()2121122n n n -+=+-21222n n n++=--． 18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.【解析】（1）函数变形1cos 21())sin 2sin(2)223x f x x x π-=+=-，即()sin(2)3f x x π=-，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()sin(2)3f A A π=-=，0,2A π<<22333A πππ-<-<所以233A ππ-= ，解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中，22222()()344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈．19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【解析】（1）证明：△90BAF ∠=︒，△AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，△AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，△()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r ，由题知，AB ⊥平面ADF ，△()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，△()0,2,1AP λλ=-u u u v，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，△()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，△cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），△PF =20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1F F c -=,(3,0)H Q 在椭圆上，122426a HF HF ∴=+=+=,3,a b ∴==椭圆的方程是22198x y +=；（2）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===，△103x <<，△1233x PF =-，在圆中，M 是切点，△113PM x====，△211113333PF PM x x+=-+=，同理23QF QM+=，△22336F P F Q PQ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为(0,0),y kx m k m=+<>1122(,),(,),P x y Q x y由22{,198y kx mx y=++=得222(89)189720k x kmx m+++-=,则212122218972,8989km mx x x xk k--+==++,12PQ x∴=-===PQ∵与圆228x y+=相切,=即m=∴2689kmPQk=-+,△2PF===，△103x<<，△1233xPF=-，同理2221(9)333xQF x=-=-，△12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQk k k+++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910xC x x x=-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【解析】（1）由题意得()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=，解得6a =；（2）当产品品质为优时频率为()10.0446 2.50.5p =⨯++=，此时价格为34x -+；当产品品质为中时频率为()20.04230.2p =⨯+=，此时价格为3255x -+；当产品品质为差时频率为()30.04 4.530.3p =⨯+=，此时价格为3205x -+；以频率作为概率，可得随机变量ξ的分布列为：（3）设公司年利润为()f x ，则()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭整理得()323123092x f x x x =-++-，()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-，显然当[]5,12x ∈时，()0f x '≥，[]12,15x ∈时，()0f x '≤， △当年产量12x =时，()f x 取得最大值.()12138f =.估计当年产量12x =时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【解析】（1）由已知得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()1'32f x ax x=+-， △函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =，则()'1320f x a =+-=，△2a =.由()()()4111'340x x f x x x x+-=+-=-=，得1x =，或14x =-（舍去）， △当()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减. 故函数()f x 的单调增区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞.（2）由（1）知()f x 有最大值()11f =，因此()1f x ≤，△()1,x ∈+∞时，()2ln 321f x x x x =+-<恒成立，即()()2ln 231211x x x x x <-+--=， △ln 211x x x <--，令11x n =+，则1ln 1211n nn⎛⎫+ ⎪⎝⎭<+，即12ln 11n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭. △()111ln 112ln 13ln 1ln 123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22221111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112123n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.而11111231n +++⋅⋅⋅+<++L1<+++L)()2122121321n n =+++⋅⋅⋅+----)121221=+++⋅⋅⋅+=.因此，)21112122623n n n ⎛⎫+++++<+=- ⎪⎝⎭L . 即对任意的*n N ∈，())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ..。

2020年金太阳高考数学(理科)模拟冲刺卷(五)

2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（五）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集I =R ，2{|4}M x x =>，2{|1}1N x x =≥-，则I N M I ð等于（）A ．}2|{<x xB ．}12|{<<-x xC ．}22|{≤≤-x xD ．}21|{≤<x x2．若i 为虚数单位，则复数2π2πsin i cos33z =-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数πsin(2)6y x =+的图象（） A ．向左平移π4个长度单位 B ．向左平移π2个长度单位 C ．向右平移π4个长度单位D ．向右平移π2个长度单位4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，L ，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．50505．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m α∥，αβ∥，则m β∥或m β⊂B ．若m n ∥，m α∥，n α⊄，则n α∥C ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n α∥6．*(1)(21)(31)(1)()x x x nx n +++⋅⋅⋅+∈N 展开式中x 的一次项系数为（） A ．21Cn + B ．2CnC ．1Cn n -D ．211C 2n +7．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，z ，y 成等比数列，则x yz +=（）A ．52-B ．2-C ．2D ．728．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（）种． A ．576B ．72C ．48D ．249．在ABC △中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r （0λ>，0μ>），则λμ+的最小值为（）A ．54B ．2C ．3D ．7210．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD．π311．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（）A ．(,)2e-∞ B ．(,)e -∞C ．(0,)2eD ．(0,)e12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是．15．设双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =u u u r u u u r，则C 的离心率为． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin a C A b c +=+．（1）求A ；（2）若a =3b c +=，求b ，c ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，PC =E 为线段AD 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若F 为线段PC 上一点，当二面角P DB F --的余弦值为时，求三棱锥B PDF -的体积．20．（12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，己知ab =，00(,)P x y 是椭圆上任一点，O 是坐标原点，2PO OM =u u u r u u u u r，过M 作直线交椭圆于A ，B 两点，且AM BM=，当P 在短轴端点时，AB =（1）求a ，b 的值，并证明直线AB 的方程为00210x x y y ++=；（2）探索PAB △的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．21．（12分）已知函数()ln xf x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x ≥时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知点(1cos,sin)Pαα+，参数[0,π]α∈，点Q在曲线9:π)4Cρθ=+上．（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|1|f x x=-，()|2|g x x=-．（1）解不等式()()2f xg x+<；（2）对于实数x，y，若()1f x≤，()1g y≤，求证：|21|5x y-+≤．2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】，，则． 2．【答案】B【解析】由题意得，因为，，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B ． 3．【答案】C【解析】把中的换成，则可得，即向右平移个长度单位．4．【答案】C【解析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，又阶幻方有行（或列），因此，，，故选C ． 5．【答案】D【解析】选项A ：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A 正确；选项B ：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B 正确；选项C ：若，，，若，所成的二面角为，则，故C 正确；选项D ，若，，有可能，故D 不正确，故选D ． 6．【答案】A【解析】一次项的系数为． 7．【答案】A 【解析】由，，成等差数列，所以，又，，成等比数列，所以，消去，得，所以，解得或，因为，，是不相等的非零实数，所以，此时，所以，故选A ． 8．【答案】D【解析】有四种情况：3辆车放在123位置、567位置、127位置、167位置，则不同的停放方法有种．9．【答案】B【解析】因为点为中点，所以，又因为，，所以，因为，，三点共线，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选B ． 10．【答案】A【解析】由，，可知平面，将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，{|22}M x x x =><-或{|13}N x x =<≤{|13}{|22}{|12}I N M x x x x x x =<≤-≤≤=<≤I I ð2π2πsin i cos 33z =--2πsin032-=-<2π1cos032-=>z πsin(2)6y x =+x π4x -πsin(2)3y x =-π4n ()f m n n n 2123()n f n n++++=L 12399100(10)50510f +++++==L m α∥αβ∥m β∥m β⊂m n ∥m α∥n α⊄n α∥m n ⊥m α⊥n β⊥αβ90︒αβ⊥m n ⊥m α⊥n α⊂21(1)123C 2n n n n +++++⋅⋅⋅+==x y z 2x z y +=x z y 2z xy =y 2220x xz z +-=2()20x x zz +-=1xz=2x z =-x y z 2x z =-2zy =-15222x y z +=--=-334A 24=P BC 1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u rAM AB λ=u u u u r u u u r AN AC μ=u u u r u u u r 1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u ur u u u r M P N 11122λμ+=111111()()()12222222λμλμλμλμμλ+=++=+++≥+⨯=11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1λμ==λμ+2AB BC ⊥PB BC ⊥BC ⊥PAB P ABC-O记的外心为，由为等边三角形，可得．又，故在中，，此即为外接球半径，从而外接球表面积为，故选A ． 11．【答案】D【解析】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时，取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件，故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则，所以①正确．由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，，所以．则直线与直线的斜率乘积为，所以②正确．将代入抛物线的方程可得，从而．根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．由上，有，，则．所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．于是，，代入，，得，所以，所以③正确．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，是以，，，为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，此时取得最大值．ABP △E ABD △1BE =12BCOE ==OBE Rt△OB =8π()xf x e =M N y x =ln y x =()2g x ax =-ln y x =2ln ax x -=2ln xa x+=2ln ()x h x x +=21ln ()xh x x --'=10x e <<()0h x '>1x e>()0h x '<1x e =()h x 1()h e e=0x →()h x →-∞x →+∞()0h x →0a e <<F C BE M MBE B E 1d 2d M e R M d B E F12222BF EFBE d d d R ++==>=DE 2x my =+C 2480y my --=B E 11(,)x y 22(,)x y 124y y m +=128y y =-212121212(2)(2)2()44x x my my m y y m y y =++=+++=OB OE 12122y y x x =-2x ty =-C 18A y y =2A y y =-A E x A B E N x 124y y m +=21244x x m +=+2224212121212()4()4164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++BE x N 224m +224a m =+222222421212()(24)()4128222BE x x y y r MN m m m ++=+=+-++++21244x x m +=+124y y m +=24241612r m m =++222242(24)(41612)4a r m m m -=+-++=7(2,3)A (1,0)B -(1,0)C 2z x y =+2y x z =-+(2,3)2237z =⨯+=7故答案为． 14．【答案】【解析】根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，又成绩在分的频率是，则成绩在区间的学生人数是，故答案为． 15．【答案】【解析】由题意，直线的方程为，与，联立得，，由，得，从而，即，从而离心率16．【答案】【解析】令，则是上的偶函数，，则在上递减，于是在上递增，由，得，即，于是，则，解得，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）有的把握认为；（2）分布列见解析，（元）．【解析】（1）由题得，所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．（2）由题意可知的可能取值为，，，．，，，．则的分布列为所以，（元）． 18．【答案】（1）；（2），或，．【解析】（1）由及正弦定理得．因为，所以，代入上式并化简得．由于，所以，又，故．（2）因为，，由余弦定理得，即，所以，而，所以，为一元二次方程的两根．所以，或，． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以，7300.040100.4⨯=802000.4=80100:(0.0100.005)100.15+⨯=[80,100]2000.1530⨯=30AB x y c =-b y x a=±A bc y a b =+B bcy b a=-3FB FA =u u u r u u u r 3B A y y =3bc bcb a b a=-+2b a =ce a==1(1,)3-2()()g x f x x =-()g x R ()()20g x f x x ''=-<()g x (0,)+∞(,0)-∞2(2)(1)321f x f x x x -->+-22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---(2)(1)g x g x >-(2)(1)g x g x >-21x x <-113x -<<1(1,)3-97.5%67EX =22200(40408040)505.556 5.02412080801209K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯97.5%X 4060809011(40)60%35P X ==⨯=13(60)60%210P X ==⨯=12(80)30%60%65P X ==+⨯=1(90)10%10P X ===X 13214060809067510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=π3A =1b =2c =2b =1c =cos sin a C A b c =+sin cos sin sin sin A C C A B C +=+πB A C =--sin sin cos cos sin B A C A C =+sin cos sin sin C A A C C =+sin 0C ≠π1sin()62A -=0πA <<π3A =a =3b c +=π3A =2222cos a b c bc A =+-23()293b c bc bc bc =+--=-2bc =3b c +=b c 2320x x -+=1b =2c =2b =1c =59PAD △E AD PE AD ⊥因为是菱形，所以．因为，所以是正三角形，所以，所以平面，又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，，而，所以，．又，所以平面．以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，．于是，，．设面的一个法向量，由，得．令，即．设，易得，．设面的一个法向量，由，得，令，，即．依题意，令，则，即，即，所以． 20．【答案】（1），，证明见解析；（2）的面积为定值，定值为．【解析】（1）在短轴端点时，，由，可得，所以，，则椭圆方程为．由，则，，由点差法得，所以．直线方程为，即，因为，则，即．（2），得，设、，得，，则，到的距离，所以所以的面积为定值． ABCD AD AB =60BAD ∠=︒ABD △BE AD ⊥AD ⊥PBE AD BC ∥BC ⊥PBE BC ⊂PBC PBC ⊥PBE BC ⊥PBE BC PB⊥PB ==PE BE ==222PB PE BE =+PE EB ⊥PE AD ⊥PE ⊥ABCD E E xyz -B P (C -(1,0,0)D -DP =u u u r DB =u u u rDBP (,,)x y z =m 00DB DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m 0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x =1y z ==-1,1)=--m (01)PF PC λλ=≤≤u u u r u u u r (2,3)F λλ-(12)DF λ=-u u u rDFB (,,)x y z =n 00DB DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 0(12))0x x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩x =1y =-131z λλ-=-131,)1λλ-=--n cos ,=m n =311t λλ-=-32t =-31312λλ-=--59λ=55159939B PDF P BDC F BDC P BDC V V V V ----=-==⨯=a =1b =PAB △P 2Mb y =222214x b a b+=x a =AB ==a =1b =2212x y +=2PO OM =u u u r u u u u r00(,)22x yM --00OM y k x =0012OM AB AB y k k k x ⋅=⋅=-002AB x k y =-AB 0000()222y x x y x y +=-+2200000224x x y y x y y +=--220022x y +=000224x y x y y =--00210x x y y ++=22012210x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩220022140x x x y ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 120x x x +=-2012142y x x -=120x x y -==120AB x y =-==00(,)P x y 00210x x y y ++=d ==1122PABS AB d =⋅⋅==△PAB △421．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意，令，则，知为的增函数，因为，，所以，存在，使得，即．所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，故当时，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，证毕．（2）由（1）知，的最小值为， ①当，即时，在的增函数，所以022min 000000000000111()()ln [1()]x f x f x e x x x a x x a x x x x x x ==-+=++≥++-+ 0011x x =+-，由（1）中，得，即，故满足题意． ②当，即时，有两个不同的零点，，且，即，若时，，为减函数，（*）若时，，为增函数，所以的最小值为．注意到时，，且此时．（i ）当时，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ii ）当时，，所以，所以由（*）知时，为减函数，所以，不满足时，恒成立，故舍去，故满足条件．综上所述：的取值范围是．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，因为，则，得点的轨迹方程，又由，得，∴，∴曲线的直角坐标方程为．（2）半圆的圆心为，[1,)e -+∞()ln 1xf x e x a '=-+-()ln 1xg x e x a =-+-1()xg x e x'=-()g x '(0,)+∞(1)10g e '=->1()202g e '=-<0112t <<0()0g t '=0010t e t -=0(0,)x t ∈0()()0g x g t ''<=()g x 0(,)x t ∈+∞0()()0g x g t ''>=()g x 0x t =()g x ()f x '00x t =0010x e x -=001x e x =00ln 0x x +=()ln 1xf x e x a '=-+-0011x a x ++-00110x a x ++-≥0011()a x x ≥-+()f x 0[,)x +∞0112x <<001()11x x +->()1f x >0011()a x x ≥-+00110x a x ++-<0011()a x x <-+()f x '1x 2x 102x x x <<22222()ln 10ln 1xxf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+02(,)x x x ∈2()()0f x f x ''<=()f x 2(,)x x ∈+∞2()()0f x f x ''>=()f x ()f x 2()f x (1)1f e a =+=1a e =-(1)10f e a '=+-=1a e ≥-2(1)10()f e a f x ''=+-≥=201x <≤210x -≥22222222222222()ln ln (ln 1)(1)xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+22(1)(1)1x x e =--+210x e ->22(1)(1)11xx e --+>2()1f x >0112x <<001()x e x +<00111()e x x -<-+1a e <-2(1)10()f e a f x ''=+-<=201x x >>2(1,)x x ∈()f x ()(1)1f x f e a <=+<0x x ≥()1f x ≥00111()e a x x -≤--+a [1,)e -+∞22:(1)1(0)P x y y -+=≥:9C x y +=min 421PQ =-1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)cos sin 1x y αα-+=+=[0,π]α∈sin [0,1]y α=∈P 22(1)1(0)x y y -+=≥9π2sin()4ρθ=+9sin cos ρθθ=+sin cos 9ρθρθ+=C 9x y +=22(1)1(0)x y y -+=≥(1,0)第21页共10页第22页共10页它到直线的距离为，所以． 23．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）令，则，作出函数的图象，它与直线的交点为和，所以的解集为．（2）因为，所以．9x y +=42min 421PQ =-15(,)22|1||2|y x x =-+-32,(1)1,(12)23,(2)x x y x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩|1||2|y x x =-+-2y =1(,2)25(,2)2()()2f x g x +<15(,)22|21||(1)2(1)||1|2|(2)1|x y x y x y -+=---≤-+-+|1|2(|2|1)()2()25x y f x g y ≤-+-+=++≤|21|5x y -+≤。

2020届河北省高考考前大冲刺模拟卷(五)理科数学解析

绝密★启用前2020届河北省高考考前大冲刺模拟卷理科数学（五）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|(1)(3)0}M x x x =--≥，{|20}N x x =-≥，则M N =（）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|1x x ≤或2}x ≥D ．{|3}x x ≥2．复数21(1)i z a a =-+-为纯虚数，则||z =（） A ．0B ．4C ．2D ．2-3．已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为4的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A ．4B ．C ．2D ．24．已知函数2()2cos sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（）A 1B 1C ．1D ．15．已知圆22:2C x y +=，直线:0l x y m -+=，则“l 与C 相交”是“2m <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆C 的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于率为（） A ．1πB ．34C ．14D ．127．若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得的弦长为3，则E 的离心率为（）AB C ．2D8．设实数12 11da x x-=-⎰，则621(2)axx-展开式中的常数项为（）A．35π2-B．320π-C．415π16D．415π9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9π182+B．9π362+C．18π18+D．18π36+10．已知函数||()ln(1)x x xf x e e e-=++-，则（）A．351(5)(3)(log)4f f f->>B．351(3)(5)(log)4f f f->>C．351(log)(3)(5)4f f f>->D．351(5)(log)(3)4f f f>->11．抛物线22(0)y px p=>焦点为F，点P满足OP OFλ=（O为坐标原点），若过点O作互相垂直的两弦,OA OB，则当弦AB过点P时，λ的所有可能取值的集合为（）A．{4}B．{3}C．1{,4,3}4D．1{,3,4}312．设函数12()logf x x=，若常数A满足：对20201[2,2]x∀∈，∃唯一的20202[2,2]x∈，使得1()f x，A，2()f x成等差数列，则A=（）A．1010.5-B．1011-C．2019.5-D．2020第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)=a，(,2)x=-c，2(4,3)+=a b，若⊥b c，则x的值为．14．设x，y满足约束条件20240240x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b=+>>的最大值为12，则a b+的最小值为．15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(cos 3sin )c A A b -=，3b =，13c =，则ABC △的面积为．16．已知倾斜角为60︒的直线过曲线2:2C y x =的焦点F ，且与C 相交于不同的两点A ，B （A 在第一象限），则||AF = ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为(1)(21)6n n n n S ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n n T n >+． 18．（12分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售12月份的产品销售量做了一次调查，得到如下的频数分布表：（1）若将12月份的销售量不低于30件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”，请根据频数分布表补全以下22⨯列联表：并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“销售达人”中抽取4名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及其公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，ABE △和BCF △均为等腰直角三角形，且BAE ∠90BCF DAE =∠=∠=︒，EA FC ∥．（1）求证：ED ∥平面BCF ；（2）设BCABλ=，问是否存在λ，使得二面角B EF D --的余弦值为33？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c 2，且经过点6)，点M 为椭圆上的动点．（1）求M 到点(1,0)D 的最短与最长距离；（2）设直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，则是否存在点2,)P m ，使得ABP △的内切圆恰好为221x y +=？并说明理由．21．（12分）已知函数()(ln )1f x x x a =-+的最小值为0，()a ∈R ．（1）求a 的值；（2）设21ln (1)n x n=+，求证：1224n nx x x n +++>+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C的极坐标方程为πsin()4x ρ+=，曲线2C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，求AOB △的面积． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）求不等式|()|2f x <的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，设,,0a b c >，且23a b c m ++=，求证：111323a b c++≥．答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解：计算得集合{|13}M x x =≤≤，{|2}N x x =≥，{|1}M N x x =≥，故选B ．2．答案：C解：复数z 为纯虚数，故21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，所以1a =-，2i z =-，||2z ==．3．答案：C解：该正方体的正视图是一个矩形，但根据正方体视角不同，则面积不同，面积的范围是[4,． 4．答案：A解：化简函数得π()1cos sin )14f x x x x =++=++，所以函数()f x 1． 5．答案：A解：圆C 与直线l 相交，d =<||2m <，解得22m -<<，因为{|22}m m -<<是的{|2}m m <子集，所以选A ． 6．答案：C解：过点M 的所有弦的长度都大于M 落在以点C 为圆心，半径为1的圆内，则所求概率为22π11π24P ⨯==⨯． 7．答案：C解：设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=，则圆心(3,0)-到该直线的距离3b d c==，由题意得3=，化简得2234b c =，即22222314c a a c c -=-=，所以2214a c =，即2ce a==．8．答案：D解：由定积分的几何意义可知，21ππ122a =⨯⨯=，所以621(2)ax x-展开式中的常数项为2424621C (π)()15πx x -=．9．答案：A解：由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为219π(π31166)1822V =⨯⨯+⨯⨯=+． 10．答案：B解：因为函数()()f x f x -=，因此函数()f x 是定义域上的偶函数，又因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而51||log |4>>，所以51((log )4f f f >>． 11．答案：A 解：由题意得，(,0)2pF ， ∵OP OF λ=，(,)P P OP x y =，(,)(,0)2F F pOF x y ==， ∴P F x x λ=，P F y y λ=，∴(,0)2pP λ，当弦AB 过点P 时，设直线AB 的方程为2px my λ=+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程222p x my y px λ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y pmy p λ--=，∴122y y pm +=，212y y p λ=-，2212121212()()()()2222pppmpx x my my m y y y y λλλλ=++=+++，整理得22124p x x λ=，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，11(,)OA x y =，22(,)OB x y =， ∴12120x x y y +=，即22204p p λλ-=，又0p >，∴2104λλ-=，解得4λ=，0λ=（不合题意，舍去）， ∴λ的可能取值的集合为{4}． 12．答案：A 解：∵对20201[2,2]x ∀∈，∃唯一的20202[2,2]x ∈，使得1()f x ，A ，2()f x 成等差数列， ∴122()()A f x f x =+，∵2()log f x x =，2020[2,2]x ∈，是单调增函数，∴202011221(log 2log 2)1010.52A =+=-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：1解：2(4,3)+=a b ，(1,1)=a ，(2,1)=b ，故⊥b c ，1x =． 14．答案：解：直线0:l y abx =-平移到点(4,4)时目标函数取最大值，即4412ab +=，所以2ab =，满足题意，由a b +≥=a b ==a b +的最小值为15．答案：2解：由正弦定理得sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+，所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A =+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，tan 3C =-，5π6C =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以13sin 2S ab C ==． 16．答案：23+ 解：由曲线2:2C y x =，即212x y =，得122p =，14p =，过A 作AH 垂直y 轴于点H ，AA '垂直准线于A '点，Q 为准线与y 轴的交点，则1||||||||||||sin 604AF AA QH QF FH AF '===+=+⋅︒，所以1234||1sin 602AF +==-︒．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1）2n a n =；（2）证明见解析．解：（1）当2n ≥时，1(1)(21)6n n n n S ---=，21(1)(21)(1)(21)66n n n n n n n n n a S S n -++--=-=-=，当1n =时，111a S ==满足上式，所以2n a n =．（2）由（1）知，211111(1)1n n b a n n n n n ==>=-++，所以12311111111223111n n n T b b b b n n n n =++++>-+-++-=-=+++． 18．答案：（1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为；（2）分布列见解析，8()3E X =．解：（1）频数分布表补全以下22⨯列联表：所以，22120(1200600)3.429 2.70670506060K⨯-=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关．（2）由（1）知，抽取的6名“销售达人”中，有4名男销售员，有2名女销售，所以X的可能取值为2，3，4．224246C C6(2)C15P X===，314246C C8(3)C15P X===，4446C1(4)C15P X===，所以X的分布列为所以数学期望6818()2341515153E X=⨯+⨯+⨯=．19．答案：（1）证明见解析；（2）不存在，详见解析．解：（1）因为AD BC∥，所以AD∥平面BCF，因为EA FC∥，所以EA∥平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF，故ED∥平面BCF．（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，如图．因为90BAE DAE∠=∠=︒，所以EA⊥平面ABCD，又因为EA FC∥，所以FC⊥平面ABCD，设AB a=，BC b=，则(0,0,0)D，(0,,)F a b，(,0,)E b a，(,,0)B b a，则(,0,)DE b a=，(0,,)DF a b=，设平面DEF的法向量为(,,)x y z=n，则由DEDF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，∴bx azay bz+=⎧⎨+=⎩，取1x=，因为BC bAB aλ==，则2(1,,)λλ=-n；设平面BEF的法向量为(,,)x y z'''=m，∵(0,,)BE a a=-，(,0,)BF b b=-，则由00BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，∴00ay az bx bz ''-+=⎧⎨''-+=⎩，∴x y z '''==，取(1,1,1)=m ，因为二面角B EF D --，所以2||||3⋅==m n m n ，即210λλ-+=，由于30Δ=-<，所以不存在正实数λ，使得二面角B EF D --． 20．答案：（1）M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3；（2）不存在，详见解析．解：（1）依题意得2222213122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以2a c b =⎧⎪⎨==⎪⎩ 所以椭圆的方程为22142x y +=，设00(,)M x y 到点D 的距离为d ，则222200001(1)232d x y x x =-+=-+，因为二次函数的对称轴为直线2x =，所以，该函数在[2,2]-上单调递减，所以当02x =时取得最小值，02x =-时取得最大值．所以M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3．（2）假设存在点)P m ，使得ABP △的内切圆恰好为221x y +=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为直线AB 与圆221x y +=1=，∴n =∴当n =:AB y x =联立得22142y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，∴230x +=，∴10x =，23x =-，∴A，(,)33B --，因为AO 为BAP ∠的角平分线，所以1AP AB k k =-=-，其中1AP k =-，∴0m =，即P ，所以直线BP 的方程为70x y -=，因为圆心到直线BP115=≠，所以此时BP 不是圆的切线；同理，当n =BP 也不是圆的切线，综上所述：P 不存在．21．答案：（1）1a =；（2）证明见解析．解：（1）()(ln )1(0)f x x x a x =-+>，()ln 1f x x a '=+-，令()0f x '>，解得1(,)a x e -∈+∞；令()0f x '<，解得1(0,)a x e -∈，所以，()f x 在1(0,)a x e -∈单调递减，在1(,)a x e -∈+∞上单调递增，所以11min ()()10a a f x f e e --==-=，解得1a =．（2）令数列{}n a 的前n 项和24n n S n =+，则1(1)(2)n a n n =++，由（1）得()(ln 1)10f x x x =-+≥，变形可得1ln x x x ->，令111n x n n +=+=，则11ln(1)1n n +>+，因此2211111ln (1)(1)12(1)(2)n n x a n n n n n n =+>>-==+++++，所以1224n n x x x n +++>+．22．答案：（1）1:20C x y +-=，22:8C x y =；（2）解：（1）1C 的极坐标方程可化为sin cos 22ρθρθ+= 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故1C 的直角坐标方程为20x y +-=，消参可得2C 的普通方程为28x y =．（2）2C 的焦点坐标为(0,2)，1C 为过(0,2)的直线，。

百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(五)理数全国I卷(PDF含答案解析)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷五理

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ．2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（） A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+，()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得23a =-．故选A ． 3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（）A ．()22x x f x -=-B ．()21f x x =-C ．()12log f x x = D ．()sin f x x x =【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆy x =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：x1 2 3 4 y0.1m3.14则m =（） A ．0.8 B ．1.8C ．0.6D ．1.6【答案】B【解析】由题意， 2.5x =，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-，可得 2.25y =， 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ．5．若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是（）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则1143a a a +=（） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =，()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠，1d a ∴=，1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+，选C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．24223+B ．22243+C ．263+D ．842+【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为222222324223ABC PBC PAC PAB S S S S S =+++=+++=++△△△△，故选A ．9．已知函数()[](]2sin ,π,01,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1πf x dx -=⎰（）A ．2π+B ．π2C ．π22-+D ．π24-【答案】D 【解析】()112ππsin 1f x dx xdx x dx --=+-⎰⎰⎰，00ππsin cos |2xdx x --=-=-⎰，1201x dx -⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故12011π4x dx -=⎰，()1ππ24f x dx -∴=-⎰，故选D ． 10．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．()2,-+∞【答案】B【解析】设(),2a A a ，(),2b B b ，则112222ab -=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基本不等式有2222a b a b++>，故221a b+<，所以2a b +<-，选B ．11．在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，2DB DC ==，3AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．πB ．4πC ．7πD ．9π【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，由1AB AC ==，2DB DC ==，3AD BC ==，可得AB AD ⊥，AC AD ⊥，易证AD ⊥平面ABC ．在ABC △中，由余弦定理可得2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅，即120BAC ∠=︒，以AC 为x 轴，以AD 为z 轴建立如图所示的坐标系，则()000A ，，，1302B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()100C ，，，(003D ，，设三棱锥A BCD -的外接球球心为(),,M x y z ，则()(222222222222131322x y z x y z x y z x y z ⎛⎛⎫++=++-+=-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：12x =，3y =3z =，∴外接球的半径为2227r x y z =++=，∴外接球的表面积为24π7πS r ==，故选C ．12．在等腰梯形ABCD 中//AB CD ，且2AB =，1AD =，2CD x =，其中()0,1x ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈都有不等式()2128e e t +<恒成立，则t 的最大值为（）A ．74B ．38C ．58 D ．54【答案】C【解析】如图，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则1AE x =-，1EB x =+，所以22DE x x =-14DB x =+，所以12141e x =+-，2141141x e x +-==++，所以1221412141x e e x +-+=++-，令1412x t +-=，则121e e t t +=+，因510,2t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故125e e +>，所以58t ≤，选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=_________．【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】138【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>，138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________．【答案】136【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=，则2122CO CA CA ⋅==，21122CO CB CB ⋅==，综上有：4212x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，求解方程组可得：5643x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故136x y +=．16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax =-有两个不同零点，则a 的范围为__________．【答案】ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当[)2,4x ∈时，[)1,22x ∈；()ln ln ln 222x x f x f x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下，过点()4,ln 2时，ln 224a =，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=；故ln ln 21x x x-=2e >4x =，故实数a 的取值范围是ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =．（1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足2cos n n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值．【答案】（1）π6A =，π3B =，π2C =；（2）4n =或5n =．【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =．又由2c a =，所以2222π42cos33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+，所以ABC △为直角三角形，π2C =，πππ236A =-=．（2）0,π2cos 2cos22,n nn n n n a nC n ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数．所以()22224221241224020202143kk kn k k S S S ++--===++++⋅⋅⋅++==-，*k ∈N ，由2224203k n S +-==，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望．【答案】（1）0.008m =，121.8x =；（2）见解析．【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，950.004101050.012101150.024101250.0410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．（2）成绩在[)130,140的同学人数为6，成绩在[)140,150人数为4，()0346310C C 10C 6P ξ===，()1246310C C 11C 2P ξ===，()2146310C C 32C 10P ξ===，()3046310C C 13C 30P ξ===；所以ξ的分布列为：()1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，//EF CD ，12EF CD =，DE ⊥平面ABCD 且DE DA =，M N 、分别为棱AE BF 、的中点．（1）求证：平面DMN ⊥平面ABFE ；（2）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（210．【解析】（1）∵//EF CD ，ABCD 是正方形，∴//EF AB ，∵M N 、分别为棱AE BF 、的中点，∴//MN AB ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AB ⊥，∵AB AD ⊥，AD DE D =，∴AB ⊥平面ADE ，∴AB AE ⊥，从而MN AE ⊥， ∵DE DA =，M 是AE 中点，∴DM AE ⊥， ∵MNDM M =，∴AE ⊥平面DMN ，又AE ⊂平面ABFE ，∴平面DMN ⊥平面ABFE ．（2）由已知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2F ， ∴()2,0,0CB =，()0,1,2CF =-，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z ，由00n CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z =⎧⎨-+=⎩，令2y =，则()0,2,1n =，由（1）可知AE ⊥平面DMN ，∴平面DMN 的一个法向量为()2,0,2AE =-，设平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角为θ，则10cos cos<>10n AE θ=⋅=，所以，平面DMN 和平面BCF 10．20．已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为63，焦距为42，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．【答案】（1）221124x y +=，28x y =；（2183．【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c ，依题意有242c =，6c a =，解得23a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=．又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-，()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，y 整理得，()()2223163120**k x kmx m +++-=．依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，122631km x x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+，将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=，解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得212k =．经检验，212k =，1m =-符合要求．21．已知函数()2ln f x x x =-．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）在函数()2ln f x x x =-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y x =；（2()1,1．【解析】（1）∵()11f =，∴()1211f '=-=，故所求切线方程为()111y x -=⨯-即y x =．（2）设所求两点为()11,x y ，()22,x y ，1x 12x x <，由题意：121211221x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又12x x <，∴()()12f x f x ''<，∴ 解得：112x =，（11x =-舍），21x =，（212x =-舍）()1,1即为所求．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1lt 为参数），直线2l 的参数m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ．（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠；（2）d的最小值为【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；(1:l y k x =，①)21:3l y x k =，②①×②消k 可得：213y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠．（2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=．由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1Ca 为参数，πa k ≠，k ∈Z ），所以曲线1C80x y +-=的距离为：d的最小值为 23（1）当2a= （2M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当23x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤． ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（211,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即11a x a -+≤≤，所以a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

2020年全国高考冲刺压轴卷数学试卷及其详细解(理)

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2020年全国高考冲刺压轴卷
数学(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|2x>6}，B ＝{x|2x <32}，则A∩B ＝
A.(3，4)
B.(4，5)
C.(3，＋∞)
D.(3，5)
2.复数2
i i i
--(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.“2a >8”是“a 2>9”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于
A.4
B.5
C.6
D.7
5.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6
π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.12
6.已知a 10a ·b ＝
5102，且(b －a )·(b ＋a )＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.
12 B.22 5 10。

2020年高考数学(理科)终极冲刺卷全国卷I(模拟五)(详解)

2020年高考数学(理科)终极冲刺卷全国卷I （模拟五）1.已知复数z 满足 (12i)1z +=-，则z =( ) A.12i 55-+B.12i 55--C.12i 55+ D.12i 55-2.已知集合{}2|230A x x x =∈--Z ，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则AB =( ) A.(03]， B.[03]， C.{123}，，D.{0123}，，， 3.若实数a b ，满足00a b >>，，则“a b >”是“ln a b a +>+b ln ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为( )A ．2213218x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=5.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A.12B.13C.14D.166.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．1112B ．6C ．112D ．2237.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于(0d d <，那么下列结论中一定正确的是( ) A.6m ≠B.5m ≠C.4m ≠D.3m ≠8.函数()cos tan f x x x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.9.已知a b ，均为单位向量，若23a b -=，则向量a 与b 的夹角为( ) A.6πB.3π C.23π D.56π 10.已知函数32120()2log (2)0a x x a x f x x a x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，，的最小值为2，则a 的值为 ( ) A.18B.0C.2D.-211.已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线：22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为( ) A ．1B ．2C ．-1D ．812.若函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．()0-∞，B ．()1-∞，C ．(0)+∞，D ．(1)+∞，13.在()51x -的展开式中，2x 的系数为___________.14.已知直线2y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_________.15.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos 3sin cos 0C B B C +=，则角A 的取值范围为_________.16.的最大值为___________.17.已知n S 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和.18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，58AB AC ==，，点E F ，分别在AD CD ，上，53AE CF ==，EF 交BD 于点H . 将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置，D O '=（1）证明：D H '⊥平面ABCD ；（2）求二面角A BD O '--的余弦值.19.2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019-nCoV.冠状病毒是一个大型病毒家族，它可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.从这次的新型冠状病毒确诊病例来看，这次新型冠状病毒感染人后的潜伏期在7天左右，一般不超过14天，受感染者在没有明显症状的潜伏期也有传染性.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下22⨯列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取5人，从这5人中抽取2人完成访谈问卷，求这2人中恰有1人潜伏期超过6天的概率. 附：22()(n ad bc K -=，其中n a b c d =+++.2.07220.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈. （1）若()f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设1a e m n e<+，，分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围.21.已知对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点分别为120()0)F F ，，点1M ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线(:0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q ，两点，且直线OP PQ OQ ，，的斜率依次成等比数列，则当OPQ △时，求直线PQ 的方程.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的方程为1x y +=.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程. （2）已知射线OM 的极坐标方程是π3θ=，且与曲线C 和直线l 在第一象限的交点分别为P Q ，，求PQ 的长.23.已知函数1()(0)f x x m x m m=-++> （1）若1m =，求不等式()5f x <的解集；（2）当函数()f x 的最小值取得最小值时，求m 的值.参考答案及解析1.答案：B解析：因为 (12i)1z +=-，所以11(12i)12i 12i 12i (12i)(12i)555z --⨯--+====-+++-，所以12i 55z =--.故选B.2.答案：D解析：因为{}{}2230{|13}1,0,1,2,3A x x x x x =∈--=∈-=-Z |Z ，{|{|0}B x y x x ===，所以{0,1,2,3}A B =.故选D.3.答案：C解析：设()ln f x x x =+，显然()f x 在(0,)+∞上单调递增. ∵a b >，∴()()f a f b >，即ln ln a a b b +>+，故充分性成立. ∵ln ln a a b b +>+，∴()()f a f b >，∴a b >，故必要性成立. 故“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的充要条件，故选C. 4.答案：D 解析：焦距为10，5c =，∴曲线的焦点坐标为()50±，，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34，223,254b a b a ==+∴，解得4,3a b ==，所求的双曲线方程为：221169x y -= 5.答案：B解析：4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==，故选B. 6.答案：D解析：执行程序框图，可得02S n ==，，满足条件，12S =，4n =，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n =，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=，故选D ．7.答案：B解析：如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d ，所以本题答案为选项B.8.答案：B解析：显然sin ,tan 0()cos tan sin ,tan 0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，其定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .结合选项可知选B. 9.答案：B解析：由23a b -=，得2(2)3a b -=，即22443a b a b +-⋅=，设单位向量a 与b 的夹角为θ，则有144cos 3θ+-=，解得1cos 2θ=. 又[]0,θ∈π，所以3θπ=. 10.答案：A解析：由题意可知，0a >且1a ≠，若01a <<，则0x ≤时，2()2log (2)a f x x a =+单调递增，()(,log (2)]a f x a ∈-∞，易知此时()f x 在定义域内没有最小值，所以1a >，当0x >时，3()12f x x x a =-+，2'()312f x x =-令'()0f x =得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x < 当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在2x =处取得极小值，也是最小值，为3(2)212216f a a =-⨯+=-，当0x ≤时，2()2log (2)a f x x a =+在(,0]-∞单调递减所以2()2log (2)a f x x a =+在0x =处取得最小值，为(0)2log (2)a f a =，若162log (2)a a a ->则2log (2)2a a =，则2a a =，得0a =与1a >矛盾；若162log (2)2a a a -==，易知无解；若162log (2)a a a -<，则162a -=，得18a =，综上18a = 11.答案：A解析：因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0所以，可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =，由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()1,2A ，抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，即有1BM AB BF AB AF -=-≤=，当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间)三点共线，可得最大值1. 12.答案：B解析：函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+有且只有一个实根．显然0x ≠，∴方程211a x x x =-+有且只有一个实根．设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x +-=+-=．设32()2,()310h x x x h x x '=+-=+＞，()h x 为增函数，又()10h =．∴当0x <时，()0g x '>，()g x 为增函数；当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数；∴()g x 在1x =时取极小值1．当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷大；当x 趋向于负无穷大时，()g x 趋向于负无穷大；又当x 趋向于正无穷大时， ()g x 趋向于正无穷大．∴()g x 图象大致如图所示：∴方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞，故选B ． 13.答案：10 解析：()51x -展开式通项为()15r r r T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10． 14.答案：3解析：依题意得1y x a '=+，因此曲线()ln y x a =+在切点处的切线的斜率等于1x a+， ∴11x a=+，∴1x a =-. 此时，0y = ，即切点坐标为()1,0a - 相应的切线方程是()11y x a =⨯-+，即直线2y x =+，∴12a -=，3a = 15.答案：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦解析：sin cos 3sin cos 0C B B C +=可以化为2222223022a c b a b c c b ac ab +-+-⋅+⋅=，整理得2222c a b =+，所以22222323cos 24b c a b c bc A bc bc+-+===c =时取等号，故π0,6A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.16.解析：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O '，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上.正四面体棱长为31,,122BM O M BO ''∴===，AO '∴，的设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<.由三角形相似得12r =h =，圆柱的体积22π(12)V r h r r ==-，32121(12)327r r r r r ++-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-，即13r =时取等号， ∴.17.答案：（1）当1n =时，2111124343a a S a +=+=+，因为0n a >，所以13a =.当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=. 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由（1）知，()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以数列{}n b 前n 项和为： 12111111111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18.答案：（1）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥ 由5AB =，8, 4AC AO ==，得3DO BO =. 由//EF AC 得13OH AE DO AD ==.所以1OH =，'2D H DH ==. 于是22222'215'D H OH D O +=+==，故'D H OH ⊥. 又'D H EF ⊥，而OHEF H =，所以'D H ⊥平面ABCD .（2）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()4,1,0A --， ()0,4,0B -，()4,1,0C -，()'0,0,2D ，(4,3,0)BA =-，()'0,4,2BD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则0'0m BA m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111430420x y y z -+=⎧⎨+=⎩，所以可以取()3,4,8m =-因菱形ABCD 中有BO OC ⊥，又由（1）知',D H OC ⊥'OC BD O ∴⊥平面所以()4,0,0n OC ==是平面'BOD 的法向量， - 设二面角'A BD O --为θ，由于θ为锐角，于是cos θ=cos ,||||89m n m n m n ⋅<>===.因此二面角'A BD O --19.答案：（1）1(18532055310725091000x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1301115135) 5.4+⨯+⨯=. （2）根据题意可得潜伏期不超过6天的应抽取的人数为852053102001201000++⨯=，潜伏期超过6天的应抽取的人数为250130155200801000+++⨯=，补充完整的列联表如下：22200(65455535)25 2.083 3.8411208010010012K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关. （3）由题可知这5人中潜伏期不超过6天的人数为85205310531000++⨯=，潜伏期超过6天的人数为250130155521000+++⨯=.记这5人中潜伏期不超过6天的人为123,,B B B ，潜伏期超过6天的人为12,G G ，则样本空间()()()(){12131112,,,,,,,B B B B B G B G Ω=，()()()()()()}232122313212,,,,,,,,,,,B B B G B G B G B G G G ，共包含10个样本点.记“2人中恰有1人潜伏期超过6天”为事件A ，则()()()()(){1112212231,,,,,,,,,A B G B G B G B G B G =，()}32,B G ，事件A 共包含6个样本点，所以63()105P A ==. 20.答案：（1）由已知1'()(0,R)f x x a x a x=+->∈， ①若()f x 在定义域上单调递增，则'()0f x ≥，即1a x x≤+在(0,)+∞上恒成立，而1[2,)x x+∈+∞，所以2a ≤；②若()f x 在定义域上单调递减，则'()0f x ≤，即1+a x x≥在(0,)+∞上恒成立，而1+[2,)x x∈+∞，所以a ∈∅.因为()f x 在定义域上不单调，所以2a >，即(2,)a ∈+∞.（2）由（1）知，欲使()f x 在(0,)+∞有极大值和极小值，必须2a >. 又1e e a <+，所以12e ea <<+. 令211'()0x ax f x x a x x -+=+-==的两根分别为12,x x ，即210x ax -+=的两根分别为12,x x ，于是12121x x ax x +=⎧⎨=⎩. 不妨设1201x x <<<，则()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12[,]x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以12(),()m f x n f x ==，所以221211122211()()(ln )(ln )22S m x f x f x x ax x x ax x =-=-=++-++221212121()()ln(ln )2x x a x x x x =---+- 22221121121122122212111()ln ln ()ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x -=--+=-⨯+=-⨯-+令12(0,1)x t x =∈，于是11()ln 2S t t t=--+. 2222212121221212()2112(2,e )ex x x x x x t a t x x x x ++-+===-∈+，由2211e +e t t +<，得211et <<.因为2211111'(1+)+(1)022S t t t =-=--<，所以11()ln 2S t t t =--+在21(,1)e上为减函数.所以422e 4e 1(0,)2e S --∈. 21.答案：(1)设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>.由题意可得2223c c a b ===-①.又由点M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，得221314a b +=②.结合①②解得221,4b a ==，因此椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设1122(),,,()P x y Q x y ，得()222148440k x kmx m +++-=，()()222264414440k m k m ∴∆=-+->，化简得2241m k <+③，2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++. 直线OP PQ OQ ,,的斜率依次成等比数列，21212y y k x x ∴=⋅. ()()21212kx m kx m k x x ∴++=，化简得()2120mk x x m ++=，22228014k m m k-∴+=+，241k ∴=. 又0k >，12k =.由③知22m <，PQ ∴()()22241214k m k+-+=.又原点O 到直线PQ的距离d =，12OPQS PQ d ∴=⋅△==解得12m =或m =. ∴直线PQ 的方程为1122y x =+或12y x =22.答案：(1)曲线2214x y +=，化为极坐标方程为：22413sin ρθ=+，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=.(2)设点()11,P ρθ，则有21211413sin π3ρθθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，解得11π3ρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即π3P ⎫⎪⎪⎝⎭. 设点()22,Q ρθ，则有()2222sin cos 1π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得221π3ρθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即π1,3Q ⎫⎪⎭.所以121PQ ρρ=-=+. 23.答案：(1)当1m =时，不等式()5f x <即为115x x -++<.当1x <-时，原不等式即为25x -<，解得512x -<<-；当11x -≤≤时，原不等式即为25<(恒成立)，故11x -≤≤；当1x >时，原不等式即为25x <，解得52x <，故512x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集55|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.(2)因为0m >，所以112,11(),12,x m x m m f x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，易得min 1()(0)f x m m m=+>，因为0m >，所以12m m +≥=，当且仅当1m m =，即1m =时等号成立.。

2020年高三理科数学考前大题强化五附答案详析

t1 .即证 e t .
2
设函数
t
t1 e t,t
1,
.
2
9
故 't 故t
t1
e
0 ,故
2
t1 et 1
2
t1 t e t ,t 1,
2
为增函数 .
1
t1
e
0 ,即 e t .
2
2
故 f x1 f x2
f x1 x2 成立 . 2
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在极坐标系中，曲线 C :
2 cos ，直角坐标系中，直线
GN EF ,易求得 DN
EN 2 ED 2
5 ,所以 GN 2 ND 2 4 5 9 GD 2 , 于是 GN DN ；
而 EF DN N ,所以 GN 平面 CDEF ,又因为 GN / / AE ,所以 AE ⊥ 平面 CDEF ；
(2) 因为 AE ⊥ 平面 CDEF ,且 DEF 90 ,故以 E 为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系
②小明拟到这两家公司中的一家应聘 “骑手 ”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由 .
6
100 n 45, n N * 【解】（ I） y {
*
6n 170( n 45, n N )
（II ）
X
100
106
118
130
P
0.2
0.3
0.4
0.1
E X 100 0.2 106 0.3 118 0.4 130 0.1 112 （元） ?美团外卖 “骑手 ”日平均送餐单数为： 42 0.2 44 0.4 46 0.2 48 0.1 50 0.1 45 所以美团外卖 “骑手 ”日平均工资为： 70 45 1 115 （元）

2020届浙江省高三新高考考前原创冲刺(五)数学试题(解析版)

2020届浙江省高三新高考考前原创冲刺卷（五）数学试题一、单选题1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】根据渐近线公式直接得到答案. 【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 2．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，复数1a bii+-与12i -+在复平面内对应的点关于虚轴对称，则ab =（） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】D【解析】解法一：利用复数除法运算求得1a bii+-对应点坐标，由与12i -+对应点关于虚轴对称可构造方程组求得,a b ，进而得到结果；解法二：根据两点关于虚轴对称可得121a bii i+=+-，由复数乘法运算和复数相等可求得,a b ，进而得到结果. 【详解】解法一：Q 复数()()()()111122a bi i a bi a b a bi i i i +++-+==+--+在复平面内对应的点为,22a b a b A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，复数12i -+在复平面内对应的点为()1,2B -，且,A B 关于虚轴对称，1222a b a b -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，3ab ∴=.故选：D .解法二：由题意知：121a bii i+=+-，则()()1123a bi i i i +=-+=+， 31a b =⎧∴⎨=⎩，3ab ∴=，故选：D . 【点睛】本题考查复数的乘除法运算、复数相等和复数对应点的坐标等知识，属于基础题. 3．函数()()2sin 1x xf x x x ππ=-≤≤+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数奇偶性排除,A D ，由02f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭排除C ，由此得到结果. 【详解】()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+Q ， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,A D ；22sin22202414f ππππππ⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭+，可排除C . 故选：B . 【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.4．设函数()222cos 1f x x x =-+，则函数()f x 的图象可由（）A ．函数2sin 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到 B ．函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到C ．函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到 D ．函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度得到【答案】A【解析】利用二倍角和辅助角公式化简得()2sin 212f x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数的平移变换原则可得到结果. 【详解】()2cos 22sin 22sin 2612f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由2sin 2y x =向右平移12π个单位长度即可得到()f x .故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的平移变换问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数的问题.5．若实数x ，y 满足约束条件1026x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．32B ．3C ．103D ．18【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，将问题转化为1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解，由数形结合可知过()6,6B 时最大，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将目标函数2z x y =+化为1122y x z =-+，当z 最大时，1122y x z =-+在y 轴截距最大，作出直线12y x =-并平移，由图象可知，当直线经过点B 时，在y 轴截距最大，由260x y x y -=-⎧⎨-=⎩得：()6,6B ，max 62618z =+⨯=∴.故选：D . 【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是能够明确所求目标函数所表示的几何意义，利用数形结合的方式来进行求解. 6．“ln ln x y ≤”是x y <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据函数定义域和单调性可知ln ln x y ≤等价于0x y <≤x y <等价于0x y ≤<，通过反例可知充分性与必要性均不成立，由此得到结果.【详解】ln ln x y ≤等价于0x y <≤，若x y =x y <不成立，即充分性不成立；x y <等价于0x y ≤<，若0x =，则ln x 无意义，即必要性不成立；∴“ln ln x y ≤x y ”的既不充分也不必要条件.故选：D . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的辨析，关键是熟练应用函数定义域和单调性的知识，将所给不等式进行等价转化.7．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c Ca的取值范围为（）A．16⎛ ⎝⎭B．12⎫⎪⎪⎝⎭C．12⎤⎥⎣⎦ D．16⎡⎢⎣⎦【答案】B 【解析】利用正弦定理可得sin 1tan 2c C C a =，根据锐角三角形角的大小可确定C 的范围，从而得到tan C 值域，由此得到结果. 【详解】由正弦定理得：22sin sin sin sin 1tan sin sin 22cos 2c C C C C C a A C C ====.ABC QV 为锐角三角形，020202A C B πππ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02202032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得：64C ππ<<，tan 3C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11tan ,262C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin c Ca的取值范围为1,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用三角函数值域求解三角形中的取值范围的问题，涉及到正弦定理边化角的应用；解题关键是能够利用正弦定理边化角将问题转化为正切函数值域的求解问题. 8．设102p <<，随机变量ξ的分布列如下，则随机变量ξ的方差()D ξ的取值范围为（）A ．()0,4B ．()0,5C ．()1,4D ．()1,5【答案】C【解析】根据方差的计算公式计算可得()()2415D p ξ=--+，根据二次函数性质可求得结果. 【详解】Q 随机变量ξ的数学期望()()111132222E p p p ξ⎛⎫=-⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭，()()()()2221112212232222D p p p p p ξ⎛⎫∴=---⨯+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭()22481415p p p =-++=--+.则()D ξ在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()D ξ∴的取值范围为()1,4.故选：C . 【点睛】本题考查根据分布列计算方差的问题，涉及到二次函数的性质的应用；关键是熟练掌握应用分布列计算数学期望和方差的方法.9．已知正实数m ，n 满足2m n +=，且对任意的x ∈R 都有222x mx n x ax b +-≥++，则4b aab-的最小值为（） A ．4 B ．9C ．16D ．24【答案】B【解析】令()22f x x mx n =+-，()2g x x ax b =++，根据()0f x =有两个不等式实根且与()0g x =有相同的实根可得到2m a =，2n b =-，由此得到1a b -=且0a >，0b <；将所求式子转化为()414b a a b ab a b -⎛⎫∴=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】设()22f x x mx n =+-，()2g x x ax b =++，对于()f x ，280m n ∆=+>Q ，∴方程()0f x =有两个不相等的实根12,x x . 当()0f x =时，由()()f x g x ≥得：()0g x =，∴方程()0f x =与方程()0g x =有相同的实根，12a b m n ∴==-，即2m a =，2n b =-，又,m n 为正实数，2m n +=，0a ∴>，0b <，1a b -=，()4141444555249b a b a b aa b ab a b a b a b a b---⎛⎫∴=-=++-=++≥+⋅=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，（当且仅当4b aa b =，即13a =，23b =-时取等号），即4b aab-的最小值为9. 故选：B . 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够利用所给不等式转化为两一元二次方程有相同实根的问题，进而得到系数之间的关系，通过基本不等式中“1”的妙用，配凑出符合基本不等式的形式.10．如图，在正四面体ABCD 中，,,P Q R 分别为,,AB AC AD 上的点，2APPB=，3CQ ARQA RD==，记二面角B PQ R --，C QR P --，D PR Q --的平面角分别为α，β，γ，则（）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【答案】C【解析】将问题转化为二面角A PQ R --的平面角、二面角A QR P --的平面角和二面角A PR Q --的平面角的大小关系的比较，根据图形中的线段比例关系，可确定三个平面角的大小关系，从而得到结果. 【详解】由图形可知：二面角B PQ R --的平面角的补角是二面角A PQ R --的平面角，二面角C QR P --的平面角的补角是二面角A QR P --的平面角，二面角D PR Q --的平面角的补角是二面角A PR Q --的平面角，由2APPB=，3CQ AR QA RD ==可通过空间中的位置关系得到：二面角A PQ R --的平面角>二面角A QR P --的平面角>二面角A PR Q --的平面角，αβγ∴<<.故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中二面角大小的比较问题，解题关键是能够将问题转化为所求二面角平面角的补角的大小关系的比较上，通过图形关系可观察得到结果，对于学生的转化能力和空间想象能力有较高要求，属于较难题.二、双空题11．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,5U B =ð，则集合B =________，A B =I ________.【答案】{}1,3,4 {}1,3【解析】由补集和交集定义可直接求得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,3,4B =，{}1,3A B ∴=I . 故答案为：{}1,3,4；{}1,3. 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.12．明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸）【答案】4.5 571.5【解析】女子每天的织布数量成等比数列，由等比数列求和公式可构造方程求得第一天的织布量，再次利用等比数列求和公式可求得7天织布总量. 【详解】由题意知：该女子每天的织布数量成等比数列，且公比2q =，设第一天的织布量为1a （尺），则前四天共织布()()4411411121567.5112a q a S a q--====--（尺），解得：1 4.5a =，一周（7天）织布的数量()()77171 4.512571.5112a q S q-⨯-===--（尺）.故答案为：4.5；571.5. 【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及到等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.13．若2nx⎛ ⎝的展开式中所有项的系数和为729，则n =________，展开式中的常数项是________. 【答案】6 60【解析】令1x =，则可得到所有项系数和所构造的方程，求得n ；根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于0，可求得r ，进而得到常数项. 【详解】令1x =，则展开式中所有项的系数和为3729n =，解得：6n =，则62x⎛+ ⎝的展开式的通项为36662166(2)2rr r r r r r T C x C x---+==，令3602r -=，解得：4r =，∴展开式中的常数项为46460C =. 故答案为：6；60. 【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的应用、求解二项展开式指定项的问题；求解二项展开式各项系数和的问题采用赋值法的方式来进行快速求解.14．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________，表面积为________.【答案】643248582++ 【解析】由三视图还原几何体可知为四棱锥P ABCD -，其中平面PAB ⊥平面ABCD ；根据长度关系可求得各个面的面积，根据棱锥体积公式和表面积公式可求得结果. 【详解】由三视图知：该几何体的直观图是如图所示的四棱锥P ABCD -，其中平面PAB ⊥平面ABCD .由三视图中长度关系可知： 16ABCD S =正方形，8PAB S =△，45PBC S =△，45PAD S =△，82PCD S =△∴该几何体的体积11644164333ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯=正方形，该几何体的表面积168454582248582S =++=+故答案为：643；24582+. 【点睛】本题考查棱锥体积和表面积的求解问题，解题关键是由三视图准确还原几何体，并得到几何体中的长度和垂直关系.三、填空题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:2C x y +=，圆()()2221717:8x C y -+-=，若过第四象限的直线l 是两圆的公切线，且两圆在公切线的同一侧，则直线l 的方程为________. 【答案】352170x y --=【解析】根据圆的方程可确定圆心和半径，设直线:l y kx b =+，作1//C D AB 交2BC 于D ，根据()12tan 45k DC C =-∠o，可利用两角和差正切公式求得k ；利用直线与圆相切可构造方程求得b ，结合直线过第四象限可确定b 的值，进而得到结果. 【详解】由圆的方程可知：圆1C 圆心为()10,0C ，半径12r =；圆2C 圆心为()217,17C ，半径222r =，则121C C k =，1234C C =由题意知：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx b =+，直线l 与圆12,C C 的切点分别为,A B ，连接1212,,C C AC BC ，过1C 作1//C D AB 交2BC 于D ，l Q 为圆2C 的切线，2BC AB ∴⊥，又1//C D AB ，12C D C D ∴⊥，()212212221tan 434222C DDC C C D∴∠===--，()121134tan 451514k DC C -∴=-∠==+o ， ∴直线l 的方程为35y x b =+，即3550x y b -+=.又直线=5b =±，又直线l 过第四象限，5b ∴=-，∴直线l 的方程为35y x =350x y --=.故答案为：350x y --=. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到直线与圆相切的位置关系的应用、直线斜率的求解等知识；解题关键是明确当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径. 16．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法. 【答案】18【解析】先确定盒子球数分配方法，再进行排列. 【详解】由题意得三个盒子球数为（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4）这三种，所以共有33318A =种不同的放法. 【点睛】本题考查排列应用题，考查基本分析与求解能力，属中档题.17．在ABC V 中，AB =AC =45BAC ∠=o ，P 是ABC V 所在平面内任意一点，则PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值是________. 【答案】4-【解析】利用余弦定理和勾股定理可知90ABC ∠=o ，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，设(),P x y ，利用平面向量的坐标运算可将所求式子化为224+--，由此可确定最小值.【详解】由余弦定理得：2222cos 6126BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-=，222AB BC AC ∴+=，即90ABC ∠=o .以B 为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：则(6A ，()0,0B ，)06,C，设(),P x y ，()6PA x y →∴=-，(),PB x y →=--，)6,PC x y →=-，()))()226666PA PB PB PC PC PA x y y x x y x x y y→→→→→→∴⋅+⋅+⋅=--+--22223632632324x x y x =-+-=+--，2320x ≥Q ，2320y ≥，4PA PB PB PC PC PA →→→→→→∴⋅+⋅+⋅≥-，即PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值为4-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的求解问题，解决此类问题通常可以采用建立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解.四、解答题18．已知角α，角β的顶点都与原点重合，它们的始边都与x 轴的非负半轴重合，角α的终边过点525,55A ⎛ ⎝⎭，角β的正切线为17-. （1）求cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2αβ-的值.【答案】（1）25；（2）4π- 【解析】（1）根据终边所过点可求得sin α，cos α；利用诱导公式可求得结果；（2）利用二倍角正切公式可求得tan2α，同时确定2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到2,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭；根据正切线定义可知1tan 7β=-，利用两角和差正切公式求得()tan 2αβ-后，结合角的范围可确定角的大小. 【详解】（1）Q 角α的终边过点A ⎝⎭，sin α∴=，cos α=根据诱导公式得：cos sin 25παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭. （2）sin 5α=Q，cos 5α=，sin tan 2cos ααα∴==. 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，()20,απ∴∈，又22tan 4tan 21tan 3ααα==--，2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭.Q 角β的正切线为17-，∴1tan 7β=-， ()41tan 2tan 37tan 21411tan 2tan 137αβαβαβ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭∴-===-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，24παβ∴-=-.【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数线、两角和差正切公式和二倍角的正切公式的应用；重点考查了根据三角函数值求解角的问题，易错点是忽略角所处的范围.19．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，P ，D ，E 分别为棱1AA ，AC ，BC 上的点，且11A P AD CD ===，2PA =，AB BC =，E 为BC 的中点.（1）求证：1//A E 平面PBD ；（2）当2BC =时，求直线PB 与平面11AC E 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）26【解析】（1）连接AE 交BD 于G ，连接PG ，易知G 为ABC V 的重心，由重心性质可知123AP AG AA AE ==，得到1//PG A E ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得线面角的正弦值. 【详解】（1）连接AE 交BD 于G ，连接PG ，1AD CD ==Q ，D ∴为AC 的中点，又E 为BC 的中点，G ∴为ABC V 的重心，23AG AE ∴=，在1AA E △中，123AP AG AA AE ==，1//PG A E ∴， PG ⊂Q 平面PBD ，1A E ⊄平面PBD ，1//A E ∴平面PBD .（2）AB BC =Q ，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，则以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，其中1//AA z 轴，则()1,0,2P ，()3,0B ，()11,0,3A ，()11,0,3C -，132E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2PB →∴=--，()112,0,0A C →=-，13332A E →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AC E 的法向量(),,n x y z →=，则1112033302A C n x A E n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u u r ru u u r r ，令3y =则0x =，1z =，()0,23,1n →∴=， 26cos ,2213PB nPB n PB n→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅ ∴直线PB 与平面11AC E 所成的角的正弦值为2613. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()312nnx +-=，()221log n n y a +=，求数列{}n n x y ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）22310,2383,2n n nn T n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）利用n a 与n S 关系可证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果；（2）当n 为偶数时，采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式可求得n T ；当n 为奇数时，利用1n n n n T T x y -=+可求得n T ；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1n =时，()1111a a a =-，0n a >Q ，12a ∴=；当2n ≥时，由()()111111n n n n S a a S a a --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：()()1112n n n n n a a a a a a --=-=-，()122n n a a n -∴=≥，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，1222n n n a -∴=⨯=.（2）()311,22,nn n x n +-⎧==⎨⎩Q 为奇数为偶数，()221log 22n n y a n +==+， ∴当n 为偶数时，1122334411n n n n n T x y x y x y x y x y x y --=++++⋅⋅⋅++12341222n n y y y y y y -=++++⋅⋅⋅++ ()()13124222n n nn y y y y y y -=++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅+144424443144424443个个()()4226222222n nn n ⨯+⨯⨯++=+23102n n+=；当3n ≥且n 为奇数时，则1n -为偶数，1n n n n T T x y -=+1n n T y -=+()()231101222n n n -+-=++23832n n +-=，验证可知：当1n =时，114x y =，满足23832n n n T +-=，∴当n 为奇数时，23832n n n T +-=；综上所述：22310,2383,2n n nn T n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 关系求解通项公式、分类讨论求解数列的前n 项和的问题，涉及到等比数列通项公式、等差数列求和公式的应用以及分组求和法的应用；解题关键是能够利用n a 与n S 关系证得数列为等比数列.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与椭圆C 相交于,M N 两点，4OB OA →→⋅=-（O 为坐标原点），F 为抛物线的焦点，求MNF V 面积的最大值. 【答案】（1）22198x y +=；（2）3【解析】（1）利用焦距、椭圆上的点D 和椭圆,,a b c 的关系可构造方程组求得22,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:l x ty m =+，与抛物线方程联立得到12y y ，利用4OB OA →→⋅=-构造方程求得m ，可知l 恒过定点()2,0G ，则3412MNF S FG y y =⨯⨯-△；将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理整理得到289MNF S t =+△，利用换元法，结合函数的单调性可求得所求最值. 【详解】（1）Q 椭圆C过点,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，229412a b ∴+=…①，又椭圆C 焦距为2，则1c =，221a b ∴-=…②，由①②可解得：29a =，28b =，∴椭圆C 的标准方程为22198x y +=.（2）由题意可设直线l 的方程为x ty m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=，则124y y m =-. ()21221212124416y y OA OB x x y y y y m m →→⋅=+=+=-=-Q ，2m ∴=，∴直线l 的方程为2x ty =+，恒过定点()2,0G ，由222198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()228932400t y ty ++-=.设()33,M x y ，()44,N x y ，则3423289t y y t -+=+，3424089y y t -=+. 34341122MNF S FG y y y y ∴=⨯⨯-=-△289t ===+，令()2899t λλ+=≥，则()S λ==令1μλ=，则109μ<≤，令()L μ=，则()L μ=()L μ∴在10,9⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴当19μ=时，MNFV ，此时0t =，直线l 的方程为2x =.MNF ∴△面积的最大值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆、抛物线的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与抛物线中的向量数量积问题、椭圆中三角形面积的最值问题；求解三角形面积最值的关键是能够通过一个变量表示出所求的三角形面积，将问题转化为函数最值的求解问题，进而根据函数的单调性来进行求解.22．已知函数()()ln 2f x x x x a a R =-+∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()2f xg x x=，若函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）0,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定所求的单调区间；（2）求导后可知()g x '的正负由()2ln 4x x x x a ϕ=--决定，利用导数可求得()x ϕ单调性和最值，根据()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有极值，可知()()24040e e a e a ϕϕ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎩，解不等式求得04e a <<；分别在124e a <<和102a <≤两种情况下，根据()g x 单调性确定21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值，结合导数确定极值的正负，从而得到结果. 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，其定义域为{}0x x >.()ln f x x '=，令()0f x '<得：01x <<，令()0f x '>得：1x >，()f x ∴的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）()()222ln 2ln 12f x x x x a x ag x x x x x x-+===-+， ()22331ln 142ln 4x a x x x a g x x x x x---'∴=+-=，令()2ln 4x x x x a ϕ=--，21,x e ⎡⎤∈⎣⎦，则()()21ln 1ln x x x ϕ'=-+=-.令()0x ϕ'<得：2e x e <≤，令()0x ϕ'>得：1x e ≤<，∴函数()x ϕ在区间[)1,e 上单调递增，在区间(2,e e ⎤⎦上单调递减，又()124a ϕ=-，()4e e a ϕ=-，()24ea ϕ=-，显然()()21e ϕϕ>.若函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，则()()24040e e a e a ϕϕ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎩，解得：04e a <<. ①当()()124040a e e a ϕϕ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，即124e a <<时，一定存在212,1,x x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()120x x ϕϕ==，第 21 页共 21 页不妨设12x x <，则此时2121x e x e <<<<，()x ϕ∴在区间()11,x 上为负，在区间()12,x x 上为正，在区间()22,x e 上为负，()g x '∴在区间()11,x 上为负，在区间()12,x x 上为正，在区间()22,x e 上为负， ()g x ∴在区间()11,x 上单调递减，在区间()12,x x 上单调递增，在区间()22,x e 上单调递减，()()1x g x g ∴=极小值，()()2x g x g =极大值.∴当124ea <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在两个极值()1g x ，()2g x ，且()()12g x g x <. ()111121ln 2x x x a g x x -+=，令()ln 2h x x x x a =-+，其中124ea <<. ()ln 0h x x '=>Q ，()h x ∴在区间()1,e 上单调递增，即当1x e <<时，()()1210h x h a >=->，()10g x ∴>，∴当124e a <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值满足()()120g x g x <<，即函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值.②当()()2124040a e a ϕϕ⎧=-≥⎪⎨=-<⎪⎩，即102a <≤时，一定存在231,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()30x ϕ=，使得函数()g x 在区间()31,x 上单调递增，在区间()23,x e上单调递减.则函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的极大值是()3g x ，且()()223420a eg x g e e +>=>，∴当102a <≤时，函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值.综上所述：当04ea <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调性、根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题；解题关键是能够利用导数的知识求得导函数的单调性，进而通过函数有极值确定导函数的最值所处的范围，从而构造不等式求得参数范围.。

2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)( 五)(解析版)

2020年高考数学金榜冲刺卷（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}11B x x =-≤，则A B =I （） A ．{}0,2 B ．{}2,3C ．{}1,0,2-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】{}{}[]11|1110,2B x x x x =-≤=-≤-≤=，所以{}0,2A B =I .故选：A.2．已知复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则1z =（） ABC ．2D【答案】D【解析】因为复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，则122(2)(12)22(4)12(12)(12)5z ai ai i a a i z i i i +++-++===--+ 因为12z z 为纯虚数，所以2201a a -=∴=此时112z i z =+∴== 故选D3．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（）A ．4B ．2C ．D【答案】C【解析】圆222150x y x +--=的标准方程为：()22116x y -+=，圆心到直线3413x y +=的距离为：1025d ==，所以被圆222150x y x +--=截的弦长为l === 故选：C4．己知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12120f x f x x x -<-，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37b f log =，()30.8c f =-，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】由题意:Q 对任意1x ,()20,x ∈+∞,()()12120f x f x x x -<-()f x ∴在()0,∞+上为减函数；Q 函数()f x 是偶函数()f x ∴关于y 轴对称；()()330.80.8c f f =-=,(3233333322a f f log f log f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33370.82log log >>>Q ,b a c ∴<< 故选:C.5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A ．23B ．12C ．13D ．1【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别记为123,,a a a ,田忌的三匹马分别记为123,,b b b ，齐王与田忌赛马，其情况有：()()()()()()()()()111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中则齐王获胜的概率为：3162p ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（）A ．18π+16B ．20π+16C ．22π+16D ．24π+16 【答案】A【解析】几何体为34个圆柱，底面半径为r ，高为2r ，所以体积为34πr 2⋅2r =12π,r =2, 因此表面积是34×2πr ×2r +34×2×πr 2+2×2r ⋅r =18π+16. 选A . 7．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f （x ）的图象大致是下面图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意得()1,0123,1244515,2422x x xf x x x x ⎧<<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩，分段函数图像分段如下：故选：A8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（） A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 图象关于直线4πx =-对称 C ．其当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数【答案】C【解析】因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到()2sin 2()2cos 266x g x x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，所以函数()g x 是偶函数；函数()g x 图象关于点(,0)4π-对称；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[12]-，；函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，不是增函数，故选C9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当“{}n a 为常数列”时，数列1n a a =，前n 项和1n n S na na ==.当“*n ∀∈N ，n n S na =”时，当1n =时，11111a S a a ==⨯=，当2n ≥时，由n n S na =得()111n n S n a --=-，两式相减得()11n n n a na n a -=--，化简得()()111n n n a n a --=-，由于11n -≥，所以1n n a a -=（2n ≥），所以数列{}n a 为常数列.综上所述，“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的充分必要条件故选：C10．若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上（）A ．()f x 与()g x 都是递增函数B ．()f x 与()g x 都是递减函数C ．()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D ．()f x 是递减函数，()g x 是递增函数【答案】A【解析】根据题意，f （x ）+g （x ）＝2x ，则f （-x ）+g （-x ）＝2x -又由y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则-f （x ）+g （x ）＝2x -可得：f （x ）=()2222,22x x x xg x ---+=易知f （x ）=222x x--为增函数，又任取120,x x >> 则()()()12121212122122222x x x x x x g x g x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为120,x x >>则121222,221x x x x>>，故()()12g x g x >，即()g x 是递增函数二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．双曲线2222123y x -=的渐近线方程为______，两顶点间的距离等于______.【答案】230x y ±= 4【解析】Q 双曲线2222123y x-=,∴ 2,3a b ==根据渐近线方程为ay x b=±∴ 渐近线方程为23y x =±,即230x y ±=根据有两顶点间的距离为2a∴两顶点间的距离等于4故答案为:230x y ±=,4.12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．【答案】2-【解析】等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则32134a a a =+，由等比数列通项公式可知111234a a q q a =+，所以2340q q --=，解得4q =或1q =-（舍），所以由对数式运算性质可得234245()()log a a log a a +-+34245a a log a a +=+23113412121q a a q q q lo q g log a a +==+ 2124log ==-，故答案为：2-.13．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =被抛物线截得的弦的中点坐标为_________. 【答案】(6,6)--【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，所以联立方程212y xx y=⎧⎨=-⎩，变形可得2120x x += ，解得0x =或12x =-，所以两个交点坐标分别为00x y =⎧⎨=⎩和1212x y =-⎧⎨=-⎩，故由中点坐标公式可知弦的中点坐标为(6,6)--. 故答案为: (6,6)--14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款元．【答案】520【解析】设商品价格为x ，实际付款为y ；则⎪⎩⎪⎨⎧>-+⨯≤<≤<=500),500(7.09.0500500200,9.02000,x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<=500,7.010*******,9.02000,x x x x x x ； 1001802009.0>=⨯Θ，A ∴商品的价格为100；4505009.0=⨯Θ，B ∴商品的价格为500；令600500100=+=x 时，5206007.0100=⨯+=y ，即若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款520元.15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =r，(,)b p q =r，令a b mq np *=-rr ，给出以下四个命题：①若a →与b →共线，则0a b *=r r ；②a b b a *=*r r r r ；③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ*=*r r r r ；④()()2222a ba ba b *+⋅=⋅rr r r r r （注：这里a b →→⋅指a →与b →的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】因为若a r与b r共线，则mq np =，故①正确；因为*a b mq np =-r r ，*b a pn qm =-r r，故②错误；因为()()**a b mq np a b λλλλ=-=r rr r ，故③正确；因为*a b mq np =-r r ，a b mp nq ⋅=+rr ，则()()2222*a ba ba b +⋅=⋅r r r r r r 化简为：()()()()222222mq np mp nq m n pq -++=++，等式左右两边相等，故④正综上，正确的序号为：①③④；三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长；（2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2AB =（2）cos 614C π⎛⎫-=⎪⎝⎭【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos 14B =，所以02B π<<，所以sin 14B ==，又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin sin cos cos sin 333C A B A B B B B ππππ⎛⎫=-+=+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，由正弦定理，sin sin AB ACC B =，所以sin 2sin AC AB C B=•=. （2）因为A B C π++=，所以()()cos cos cos cos 3C A B A B B ππ⎛⎫=-+=-+=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin sincos cos337B B ππ=-=，所以cos cos cos sin sin 66614C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 17．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB DC P ，AB BC ⊥，PAB ∆和PBC ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点.（1）证明：OE P 平面PCD .（2）在线段DP 上是否存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当13DQ DP =时，直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3. 【解析】（1）证明：设F 为DC 的中点，连接AF ，PF ，则CF AB =.∵AB BC ⊥，AB BC =，AB DC P ， ∴四边形ABCF 为正方形.∵O 为AC 的中点，∴O 为BF ，AC 的交点， ∴O 为BF 的中点，即OE 为三角形BPF 的中位线 ∴OE PF P .∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴OE P 平面PDC .（2）∵PA PC 2==，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥.∵AC ==，∴1AO AC 2==∴PO ==1BO AC 2== 在ΔPBO 中，222PO BO PB 4+==，∴PO BO ⊥. 又∵AC BO O ⋂=，∴PO ⊥平面ABCD .又因为AB BC ⊥，所以过O 分别作AB ，BC 的平行线，分别以它们作为x,y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()B 1,1,0-，()C 1,1,0，()D 3,1,0-，(P .假设线段DP 上存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3.设()DQ λDP 0λ1=≤≤u u u v u u u v，则BQ BD DQ BD λDP =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即()()()BQ 4,2,03λ,λ3λ4,2λ=-+-=--u u u v.设平面PCD 的一个法向量为()n x,y,z =v ，则n CD 0n CP 0⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即400x x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩. 取z 1=，得平面PCD的一个法向量为()n =v.设直线BQ 与平面PCD 所成角为θ，令sin θ3=，=，化简并整理得23λ7λ20-+=，解得λ2=（舍去），或1λ3=. 所以，当1DQ DP 3=时，直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3. 18．（本小题14分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：1人、3人、6人（2）37（3）分布列见解析，Eξ=45【解析】（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50500=110、150500=310、300500=610．2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：1 10×10=1人、310×10=3人、610×10=6人; 4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为C 62⋅C 42C 104=37; 6分（3），的可能取值为． 7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为， 8分所以，随机变量服从二项分布，即～． 9分，，，，．即的分布列为：11分的数学期望为：Eξ=np =4×15=45． 12分考点：分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布，考生读取图表、数据处理的能力．19．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >> ）的左、右焦点分别为1F ，2F，短轴端点与焦点构成四边形的面积为. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(10)-，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，当14OA OB k k ⋅=时，试求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）210x y ++= 或210x y -+= .【解析】（1）依题意，bc =又c e a ==，∴c = ，∴222214b a c a =-= ，∴12b a = ，∴2a = ，1b =故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）当直线l的斜率不存在时，1A ⎛- ⎝⎭，1B ⎛- ⎝⎭，，14OA OB k k ⋅≠ ；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =+ ，联立方程组()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得：()2222148440k x k x k +++-= 设()12A x y ，，()22B x y ，，则2122814k x x k +=-+ ，21224414k x x k-=+()21212121OA OBk x x x x k k x x +++⋅=2222222844114144414k k k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭=-+ ()222228441444k k k k k -+-++=-22344k k -=- ∴2231444k k -=- ，即214k = ，∴12k =± ∴直线方程为()112y x =±+ ，即210x y ++= 或210x y -+= .20．（本小题14分）已知函数()()2xf x x e =-，()()21g x a x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.【答案】（1）20x y -+=（2）当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点. 【解析】（1）()()()'21xxxf x e x e x e =-+-=-，且()'01f =，()02f =，所以切线方程为：2y x =+，即20x y -+=.（2）令()()()F x g x f x =-，()()()'12xF x x e a =-+，①当0a =，则()()2xF x x e =-，()F x 只有一个零点；②当0a <，由()'0F x =得1x =或()ln 2x a =-.若2ea ≥-，则()ln 21a -≤ 故当()1,x ∈+∞时，()'0F x >，因此()F x 在()1,+∞上单调递增.当x →+∞时，()0f x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点.若2ea <-，则()ln 21a ->，故当()()1,ln 2x a ∈-时，()F'0x <；当()()ln 2,x a ∈-+∞时，()'0F x >.因此()F x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.当x →+∞时，()0F x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点. ③当0a >，则当(),1x ∈-∞时，()F'0x <；当()1,x ∈+∞时，()'0F x >，所以()F x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 又()1F e =-，()2F a =，取b 满足0b <且ln2a b <，则()()()22321022a F b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，故()F x 存在两个零点.综上：当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点.21．（本小题14分）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，1211112nn na a a a a a a ---+++=+++L L . 【答案】(1) 数集{1,3,4}不具有性质P ,数集{1,2,3,6}具有性质P .(2)见解析.【解析】（1）由于34⨯与43均不属于数集{1,3,4}，所以数集{1,3,4}不具有性质P . 由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66，都属于数集{1,2,3,6}，所以数集{1,2,3,6}具有性质P .（2）因为{}12,,n A a a a =⋅L 具有性质P ，所以n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ，由于121n a a a ≤<<<L ，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉。

2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷五(含答案)

2
数，则让它变成 3n 1.如此循环，最终都会变成 1.若数字 5，6，7，8，9 按照以上猜想进行
变换，则变换次数为奇数的概率为( )
1
2
3
4
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
32π 6、已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为则 h ( )
3
A. 13
B. 2 6
C. 2 3
D. 3
7、新定义运算
求 a 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答
时，用 2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.
x t
22、在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程
y 2t 2
x m
为
y
m2
(
m
为参数)，在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与
C.35 种
D.84 种
x2 y2
10、已知 P 是双曲线 a2
b2
1a＞0,b＞0 上一点，且在 x 轴上方， F1，F2 分别是双曲线的
左、右焦点， F1F2 12 ，直线 PF2 的斜率为 4 3 ，△PF1F2 的面积为 24 3 ，则双曲线的离
心率为( )
A.3
B.2
C. 3
D. 2
2020 届全国高考模拟冲刺卷五
数学(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两卷.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(五)(解析版)

2020年高考金榜冲刺卷（五）数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B【解析】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+，则1355z i =-.故选：B. 3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(2)P m -，到焦点的距离为4，则m 的值为（）A ．4B ．－2C ．12或－2D ．4或－4【答案】D【解析】抛物线上的点(2)P m -，到焦点的距离与到抛物线的准线2p y =的距离相等，所以242p+=，解得4p =，所以抛物线方程为28x y =-，将(2)P m -，代入方程28x y =-得4m =±.4．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为( ) A ．152B ．154C ．154ln 24- D ．158ln 22- 【答案】D【解析】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或4x =，所以曲线4y x =与直线5y x =-围成的平面图形的面积为()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.故选D.5．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为( )A．40 B．43 C．46 D．47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面ABCD⊥平面ABEF，2,6,4CD AB EF===，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形ABCD的高为4 ,等腰梯形FEDC的高为5=，三个梯形的面积之和为26462443546222+++⨯+⨯+⨯=,故选C.6．函数ln xyx=的图象大致是( )A． B．C． D．【答案】D【解析】函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（），∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故排除A,C ，故选D ．7．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是( ) A ．5a B ．6aC ．7aD ．8a【答案】A【解析】由已知得112325n na a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.5 5.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项.故选A.8．设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆C ：222(1)(0)x y r r ++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( )A．)+∞B．()⋃+∞C．(D．【答案】B 【解析】作出不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，得到如图的MNP ∆及其内部，其中()11M ，，()22N ，，()13P ，Q 圆C ：222(1)(0)x y r r ++=>表示以()10C -，为圆心，半径为r 的圆， ∴由图可得，当半径满足r CM <或r CP >时，圆C 不经过区域D 上的点，CM ==QCP ==∴当0r<<r >时，圆C 不经过区域D 上的点，故选B. 9．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则( ) A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B【解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1）（2）（3）10．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，∴()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.11．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是( ) A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由t π=，可得2=2ππωω=⇒ ,因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,所以sin 23x πϕ⎛⎫+-⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈,又因为()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+⎪⎝⎭,所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=,所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭,所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦,解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选D. 12．已知SAB ∆是边长为2的等边三角形，45ACB ︒∠=，当三棱锥S ABC -体积最大时，其外接球的表面积为( )A ．143π B ．283πC ．103πD ．203π【答案】B【解析】取AB 的中点D ，连接CD ，设ABC ∆的外接圆的圆心为E ，SAB ∆的外接圆的圆心为F ，因为SAB ∆是边长为2的等边三角形，所以SAB ∆面积确定，要使三棱锥S ABC -体积最大，即要使点C 到平面SAB 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面SAB 时，体积最大，即点C 到边AB 的距离最大，三棱锥的体积最大，因为45ACB ︒∠=，且2AB =，ABC ∆外接圆E 的半径CE 为122sin 45⨯=︒所以点C 在ABC ∆外接圆上运动，如图所示当点C 满足CA CB =时，点C 到边AB 的距离最大，三棱锥的体积最大. 此时三棱锥的高即为CD 的长，此时ABC ∆外接圆E 的圆心E 在CD 上，根据球的性质可知，OE CE ⊥，OF DF ⊥，//OF ED故四边形EODF为矩形，故123OE DF ===在Rt CEO ∆中，球的半径平方为22217233COCE OE =+=+=，所以球的表面积为27284433Rπ=π=πg .故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70【解析】设8⎛⎫的展开式中含22x y 的项为第1r +项，则由通项知()8118822221881rrrr r r r r r r T C xyx y C x y-----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令822r r -+-=，解得4r =，∴8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为()448170C -=．14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v，13CE AB AC μ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+= .【答案】13-【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故答案为13-. 15．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是 . 【答案】①③④【解析】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=，则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑.故所有正确结论的编号是①③④.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 【答案】4 【解析】由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[m a ∈-，0]，由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得12(2,),(2,)PF a m PF a m =--=-u u u r u u u u r ，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[m a ∈-，0]，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值，此时P y =，当0m =时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最大值，此时Py =，则214S S ==，故答案为4．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =. （1）求sin B 的值；（2）若1AD =，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故sin 5B =. （2）由90BAC ∠=︒，得B是锐角，于是cos B =，所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BDA AB ADB ∠==，于是tan AC AB B ==，所以11922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 【解析】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v ，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =.19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表：（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪=≤⎨⎪≤⎩，，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为11111163612126，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.【解析】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）36320157C C ==，则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为71233857114+=；（2）（i ）()()201001001005P X P x ==≤≤==，()()70722010025010010P X P x ==<≤==，()()101148025030010010P X P x ==<≤==，X 的分布列如下：（ii ）由（i ）可得：E （X ）＝05⨯+22010⨯+148010⨯=302（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ），即30E （X ）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，可得：()1110632P Y ==+=，()1111220612123P Y ==++=，()114806P Y ==， E （Y ）＝016⨯+22013⨯+148016⨯=320（元），所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1F F c -=,(3,0)H Q 在椭圆上，122426a HF HF ∴=+=+=,3,a b ∴==椭圆的方程是22198x y +=；（2）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===，∵103x <<，∴1233x PF =-，在圆中，M 是切点，∴113PM x ====，∴211113333PF PM x x +=-+=，同理23QF QM +=， ∴22336F P F Q PQ ++=+=，因此△2PF Q 的周长是定值6．方法2：设PQ 的方程为(0,0),y kx m k m =+<>1122(,),(,),P x y Q x y由22{,198y kx mx y =++=得222(89)189720k x kmx m +++-=,则212122218972,8989km m x x x x k k --+==++, 12PQ x ∴=-===PQ ∵与圆228x y +=相切,=即m =∴2689km PQ k =-+,∵2PF ===，∵103x <<，∴1233x PF =-，同理2221(9)333x QF x =-=-，∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++，因此△2PF Q 的周长是定值6．21．（12分）已知函数()xf x e x =-，()()()lng x x k x k x =++-．（1）若1k =，()()f t g t ''=，求实数t 的值．（2）若,a b R +∈，()()()()00f a g b f g ab +≥++，求正实数k 的取值范围．【解析】（1）由题意，得()1xf x e '=-，()()lng x x k ='+，由1k =，()()f t g t '='…①，得()ln 110te t -+-=，令()()ln 11tt e t ϕ=-+-，则()11tt e t ϕ='-+，因为()()2101tt e t ϕ=++'>'，所以()t ϕ'在()1,-+∞单调递增，又()00ϕ'=，所以当10x -<<时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增；当0x >时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；所以()()00t ϕϕ≤=，当且仅当0t =时等号成立．故方程①有且仅有唯一解0t =，实数t 的值为0．（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--（0x >），则()()1xh x e b ='-+，所以当()ln 1x b >+时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当()0ln 1x b <<+时，()0h x '<，()h x 单调递减;故()()()ln 1h x h b ≥+ ()()()()()()ln 100ln 1f b g b f g b b =++---+()()()()ln 1ln 1ln b k b k b b k k =++-++-．令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >），则()()()ln ln 1t x x k x =+-+'．（i ）若1k >时，()0t x '>，()t x 在()0,+∞单调递增，所以()()00t x t >=，满足题意．（ii ）若1k =时，()0t x =，满足题意．（iii ）若01k <<时，()0t x '<，()t x 在()0,+∞单调递减，所以()()00t x t <=．不满足题意．综上述：1k ≥．解法二：先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤…（*）．令()1xx e x ϕ=--，则当0x ≥时，()10xx e ϕ='-≥，()x ϕ单调递增，当0x ≤时，()10xx e ϕ='-≤，()x ϕ单调递减，所以()()00x ϕϕ≥=，即()10xe x x R --≥∈．变形得，1x e x ≥+，所以1x >-时，()ln 1x x ≥+，所以当0x >时，1ln x x -≥. 又由上式得，当0x >时，111ln x x-≥，1ln x x x -≥-，ln 10x x x --≤. 因此不等式（*）均成立．令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >），则()()ln h x x k a '=+-，（i ）若ln a k >时，当a x e k >-时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0a x e k <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减;故()()ah x h e k ≥- ()()()()()00aag e k a e k f a f g =---+--()11ln k a k k k =-+--．（ii ）若0ln a k <≤时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞单调递增，所以()()()()00h x h f a f >=- 1a e a =--．因此，①当01k <≤时，此时ln 0k <，ln a k >，()()11ln 0h x k a k k k ≥-+--≥，则需10,10,k k klnk -≥⎧⎨--≥⎩由（*）知，ln 10k k k --≤，（当且仅当1k =时等号成立），所以1k =． ②当1k >时，此时ln 0k >，0a >，则当ln a k >时，()()11ln h x k a k k k ≥-+-- ()1ln 1ln k k k k k >-+-- ln 10k k =-+->（由（*）知）；当0ln a k <≤时，()10ah x e a >-->（由（*）知）．故对于任意0a >，()0h x >．综上述：1k ≥．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

2020届高考考前大冲刺卷理科数学五 (含解析)

2020年高考考前45天大冲刺卷理科数学（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|(1)(3)0}M x x x =--≥，{|20}N x x =-≥，则M N =U （） A ．{|23}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|1x x ≤或2}x ≥D ．{|3}x x ≥2．复数21(1)i z a a =-+-为纯虚数，则||z =（） A ．0B ．4C ．2D ．2-3．已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为4的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（） A ．4B ．42C ．222-D ．222+4．已知函数2()2cos sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（） A ．21+B ．21-C ．21-+D ．21--5．已知圆22:2C x y +=，直线:0l x y m -+=，则“l 与C 相交”是“2m <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆C 的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于23的概率为（） A ．1πB ．34C ．14D ．127．若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得的弦长为3，则E 的离心率为（） A ．2B ．3C ．2D ．2338．设实数1211d a x x -=-⎰，则621(2)ax x -展开式中的常数项为（） A ．35π2-B ．320π-C ．415π16D ．415π9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9π182+ B ．9π362+ C ．18π18+ D ．18π36+10．已知函数||()ln(1)xxx f x e ee -=++-，则（）A ．351(5)(3)(log )4f f f ->> B ．351(3)(5)(log )4f f f ->> C ．351(log )(3)(5)4f f f >->D ．351(5)(log )(3)4f f f >->11．抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，点P 满足OP OF λ=u u u r u u u r（O 为坐标原点），若过点O 作互相垂直的两弦,OA OB ，则当弦AB 过点P 时，λ的所有可能取值的集合为（）A ．{4}B ．{3}C ．1{,4,3}4D ．1{,3,4}312．设函数12()log f x x =，若常数A 满足：对20201[2,2]x ∀∈，∃唯一的20202[2,2]x ∈，使得1()f x ，A ，2()f x 成等差数列，则A =（）A ．1010.5-B ．1011-C ．2019.5-D ．2020第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)=a ，(,2)x =-c ，2(4,3)+=a b ，若⊥b c ，则x 的值为．14．设x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为12，则a b +的最小值为．15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(cos 3sin )c A A b -=，3b =，13c =，则ABC △的面积为．16．已知倾斜角为60︒的直线过曲线2:2C y x =的焦点F ，且与C 相交于不同的两点A ，B （A 在第一象限），则||AF = ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为(1)(21)6n n n n S ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n nT n >+．18．（12分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售12月份的产品销售量做了一次调查，得到如下的频数分布表：（1）若将12月份的销售量不低于30件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”，请根据频数分布表补全以下22⨯列联表：并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“销售达人”中抽取4名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及其公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，ABE △和BCF △均为等腰直角三角形，且BAE ∠90BCF DAE =∠=∠=︒，EA FC ∥．（1）求证：ED ∥平面BCF ；（2）设BCABλ=，问是否存在λ，使得二面角B EF D --的余弦值为3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，离心率为22，且经过点6(1,2，点M 为椭圆上的动点．（1）求M 到点(1,0)D 的最短与最长距离；（2）设直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，则是否存在点(2,)P m ，使得ABP △的内切圆恰好为221x y +=？并说明理由．21．（12分）已知函数()(ln )1f x x x a =-+的最小值为0，()a ∈R ．（1）求a 的值；（2）设21ln (1)n x n =+，求证：1224n nx x x n +++>+L ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C的极坐标方程为πsin()4x ρ+=，曲线2C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）求不等式|()|2f x <的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，设,,0a b c >，且23a b c m ++=，求证：111323a b c++≥．答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】计算得集合{|13}M x x =≤≤，{|2}N x x =≥，{|1}M N x x =≥U ，故选B ． 2．【答案】C【解析】复数z 为纯虚数，故21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，所以1a =-，2i z =-，||2z ==．3．【答案】C【解析】该正方体的正视图是一个矩形，但根据正方体视角不同，则面积不同，面积的范围是[4,． 4．【答案】A【解析】化简函数得π()1cos sin )14f x x x x =++=++，所以函数()f x 1． 5．【答案】A【解析】圆C 与直线l 相交，d =<||2m <，解得22m -<<，因为{|22}m m -<<是的{|2}m m <子集，所以选A ． 6．【答案】C【解析】过点M 的所有弦的长度都大于M 落在以点C 为圆心，半径为1的圆内，则所求概率为22π11π24P ⨯==⨯． 7．【答案】C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=，则圆心(3,0)-到该直线的距离3bd c==，由题意得3=，化简得2234b c =，即22222314c a a c c -=-=，所以2214a c =，即2ce a==．8．【答案】D【解析】由定积分的几何意义可知，21ππ122a =⨯⨯=，所以621(2)ax x-展开式中的常数项为2424621C (π)()15πx x -=．9．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为219π(π31166)1822V =⨯⨯+⨯⨯=+． 10．【答案】B【解析】因为函数()()f x f x -=，因此函数()f x 是定义域上的偶函数，又因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而51||log |4>>，所以51((log )4f f f >>． 11．【答案】A【解析】由题意得，(,0)2pF ， ∵OP OF λ=u u u r u u u r ，(,)P P OP x y =u u u r ，(,)(,0)2F F pOF x y ==u u u r ，∴P F x x λ=，P F y y λ=，∴(,0)2pP λ，当弦AB 过点P 时，设直线AB 的方程为2px my λ=+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程222p x my y px λ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y pmy p λ--=，∴122y y pm +=，212y y p λ=-，2212121212()()()()2222pppmpx x my my m y y y y λλλλ=++=+++，整理得22124p x x λ=，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，11(,)OA x y =u u u r ，22(,)OB x y =u u u r，∴12120x x y y +=，即22204p p λλ-=，又0p >，∴2104λλ-=，解得4λ=，0λ=（不合题意，舍去）， ∴λ的可能取值的集合为{4}． 12．【答案】A【解析】∵对20201[2,2]x ∀∈，∃唯一的20202[2,2]x ∈，使得1()f x ，A ，2()f x 成等差数列， ∴122()()A f x f x =+， ∵2()log f x x =，2020[2,2]x ∈，是单调增函数，∴202011221(log 2log 2)1010.52A =+=-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】2(4,3)+=a b ，(1,1)=a ，(2,1)=b ，故⊥b c ，1x =． 14．【答案】【解析】直线0:l y abx =-平移到点(4,4)时目标函数取最大值，即4412ab +=，所以2ab =，满足题意，由a b +≥=a b ==a b +的最小值为15．【答案】2【解析】由正弦定理得sin (cos )sin C A A B =，因为sin sin()B A C =+，所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A =+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，tan C =，5π6C =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C == 16．【答案【解析】由曲线2:2C y x =，即212x y =，得122p =，14p =，过A 作AH 垂直y 轴于点H ，AA '垂直准线于A '点，Q 为准线与y 轴的交点，则1||||||||||||sin 604AF AA QH QF FH AF '===+=+⋅︒，所以124||1sin 602AF ==-︒．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】（1）当2n ≥时，1(1)(21)6n n n n S ---=，21(1)(21)(1)(21)66n n n n n n n n n a S S n -++--=-=-=，当1n =时，111a S ==满足上式，所以2n a n =．（2）由（1）知，211111(1)1n n b a n n n n n ==>=-++，所以12311111111223111n n nT b b b b n n n n =++++>-+-++-=-=+++L L ． 18．【答案】（1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为；（2）分布列见解析，8()3E X=．【解析】（1）频数分布表补全以下22⨯列联表：所以，22120(1200600)3.429 2.70670506060K⨯-=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关．（2）由（1）知，抽取的6名“销售达人”中，有4名男销售员，有2名女销售，所以X的可能取值为2，3，4．224246C C6(2)C15P X===，314246C C8(3)C15P X===，4446C1(4)C15P X===，所以X的分布列为所以数学期望6818()2341515153E X=⨯+⨯+⨯=．19．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，详见解析．【解析】（1）因为AD BC∥，所以AD∥平面BCF，因为EA FC∥，所以EA∥平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF，故ED∥平面BCF．（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，如图．因为90BAE DAE∠=∠=︒，所以EA⊥平面ABCD，又因为EA FC∥，所以FC⊥平面ABCD，设AB a=，BC b=，则(0,0,0)D，(0,,)F a b，(,0,)E b a，(,,0)B b a，则(,0,)DE b a=u u u r，(0,,)DF a b=u u u r，设平面DEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由0DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，∴00bx az ay bz +=⎧⎨+=⎩，取1x =，因为BC bAB aλ==，则2(1,,)λλ=-n ；设平面BEF 的法向量为(,,)x y z '''=m ，∵(0,,)BE a a =-u u u r ，(,0,)BF b b =-u u u r，则由00BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，∴00ay az bx bz ''-+=⎧⎨''-+=⎩，∴x y z '''==，取(1,1,1)=m ，因为二面角B EF D --，所以2||||3⋅==m n m n ，即210λλ-+=，由于30Δ=-<，所以不存在正实数λ，使得二面角B EF D --． 20．【答案】（1）M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3；（2）不存在，详见解析．【解析】（1）依题意得222221312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以2a cb =⎧⎪⎨==⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，设00(,)M x y 到点D 的距离为d ，则222200001(1)232d x y x x =-+=-+，因为二次函数的对称轴为直线2x =，所以，该函数在[2,2]-上单调递减，所以当02x =时取得最小值，02x =-时取得最大值．所以M 到点D 的最短与最长距离分别为1，3．（2）假设存在点)P m ，使得ABP △的内切圆恰好为221x y +=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为直线AB 与圆221x y +=1=，∴n =∴当n =:AB y x =+联立得22142y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，∴230x +=，∴10x =，23x =-，∴A，(,33B --，因为AO 为BAP ∠的角平分线，所以1AP AB k k =-=-，其中1AP k =-，∴0m =，即P ，所以直线BP的方程为70x y -=，因为圆心到直线BP115=≠，所以此时BP 不是圆的切线；同理，当n =BP 也不是圆的切线，综上所述：P 不存在．21．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【解析】（1）()(ln )1(0)f x x x a x =-+>，()ln 1f x x a '=+-，令()0f x '>，解得1(,)a x e-∈+∞；令()0f x '<，解得1(0,)a x e -∈，所以，()f x 在1(0,)a x e -∈单调递减，在1(,)a x e -∈+∞上单调递增，所以11min ()()10a a f x f e e --==-=，解得1a =．（2）令数列{}n a 的前n 项和24n n S n =+，则1(1)(2)n a n n =++，由（1）得()(ln 1)10f x x x =-+≥，变形可得1ln x x x ->，令111n x n n +=+=，则11ln(1)1n n +>+，因此2211111ln (1)(1)12(1)(2)n n x a n n n n n n =+>>-==+++++，所以1224n n x x x n +++>+L ．22．【答案】（1）1:20C x y +-=，22:8C x y =；（2）【解析】（1）1C sin cos θθ= 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故1C 的直角坐标方程为20x y +-=，消参可得2C 的普通方程为28x y =．（2）2C 的焦点坐标为(0,2)，1C 为过(0,2)的直线，。

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2020年高考大冲刺卷理科数学（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}ln 0P x x =>，{}12Q x x =-<<，则P Q =I （） A ．()1,2- B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,2答案：D解：{}{}ln 01P x x x x =>=>Q ，{}12Q x x =-<<，{}()121,2P Q x x ∴=<<=I ，故选D ．2．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +答案：C解：把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-⋅-=--，1i z ∴=-+，故选C ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b （） A ．12B ．32-C ．12-D ．32答案：A解：2231()(2)223132+⋅-=-+⋅=-+⨯⨯=a b a b a b a b ，故选A ． 4．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个单位 B ．向右平移5π12个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位答案：B解：因为πsin26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由 4π6πx x ϕ++=-，知ππ5π6412ϕ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移5π12个单位，故选B ． 5．命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是（） A ．存在00x ≤，0011x x +≥ B ．存在00x >，0011x x +< C ．任意0x >，11x x+< D ．任意0x ≤，11x x+≥ 答案：B解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是：存在00x >，0011x x +<，故选B ．6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号sin150.2588≈o ）A ．3.05 B．3.10C ．3.11D ．3.14答案：C解：设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为3601524︒=︒，所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⋅⋅⋅⋅︒=︒，所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ︒=⇒=︒≈，故选C ．7．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2BCD ∠=，若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（）A ．43πB ．23πC ．9πD ．4π答案：C解：因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，HB Q 、HC 、HD ⊂平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥，AHB AHC AHD ∴≅≅Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上，由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =，设球O 的半径为R ，则()2212R R =-+，所以32R =．所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ．8．函数()()ln x xf x e e x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D解：根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项，当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-u u u r u u u r（O 为坐标原点），则C 的离心率为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解：不妨设P 在第二象限，如图所示：设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r，可得(0,2)N h -，由AFM AON △∽△，得2m c a h a -=（1）由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2）由（1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a=，所以离心率3cea==，故选B．10．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m=，则输出的S=（）A．44 B．68 C．100 D．140答案：C解：第1次运行，211,0,0002nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第2次运行，22,2,0222nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第4次运行，24,8,86142nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第5次运行，215,12,1412262nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第6次运行，26,18,2618442nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第7次运行，217,24,2444682nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002nn a S====+=，符合n m≥，推出运行，输出100S=，故选C．11．等腰直角OAB△内接于抛物线，其中O为抛物线()2:20C y px p=>的顶点，OA OB⊥，OAB△的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则OMMF的最大值为（）A．33B．63C．33D．263答案：C解：设等腰直角三角形OAB的顶点()11,A x y，()22,B x y，则2112y px=，2222y px=，由OA OB=，得22221122x y x y+=+，221212220x x px px∴-=-=，即()()1212++20x x x x p-=，1x>Q，2x>，20p>，12x x∴=，即A，B关于x轴对称，∴直线OA的方程为tan45y x x=︒=，与抛物线联立，解得xy=⎧⎨=⎩或22x py p=⎧⎨=⎩，故4AB p=，212442OABS p p p∴=⨯⨯=△，AOBQ△的面积为16，2P∴=，焦点()1,0F，设(),M m n，则24n m=，0m>，设M到准线1x=-的距离等于d，则()2241OM MO m mMF d m+==+令1m t+=，1t>，则211423333OMMF t⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（当且仅当3t=时，等号成立）．故OMMF23，故选C．12．已知()()e e cos 2x xf x x x -+=+∈R ，[]1,4x ∀∈，()()ln 222f mx x f --≤- ()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（）A ．12112,22n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．112,1e 2n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1212,122n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．11ln 2,e 2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解：函数()e e cos 2x xf x x -+=+的定义域为R ，()()()()e e e e cos cos 22x x x xf x x x f x x --++-=+-=+=∈R Q ，()e e cos 2xxf x x -+∴=+为R 上的偶函数，又()e e sin 2x xf x x --'=-，()e e 1cos 2e e cos 1cos 022xxx x f x x x x --+''=-≥⋅⋅=-≥，()e e sin 2x xf x x --'∴=-在R 上单调递增，又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，()e e cos 2x xf x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤，由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，[]1,4x ∴∀∈，141nx nxm x x+≤≤恒成立，令()11nxg x x =，则()121ln x g x x-'=，当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增；当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，()()()1111最大值极大值g x g x g e e∴===，令()24ln x g x x +=，()()22214ln 3ln x xg x x x -++'==-， []1,4x ∈Q ，ln 30x ∴+>，故()223ln 0xg x x+'=-<， ()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴====+，11212n m e ∴≤≤+，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________．答案：132解：因为62()x x-的展开式的通项公式为6216C (2)r r r r T x -+=-，令624r -=，得1r =；令622r -=，得2r =，所以()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为2211662C (2)(1)C (2)132-+--=，故答案为132．14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为________．答案：1-。

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