概率论第三章习题详解

解:1、
2、
3、４、显然可得
令,则由卷积公式
当时
当ｘ,z不在该区域时,
即,于就是不服从指数分布、
二、填空题
1、设相互独立得两个随机变量X与Y具有同一分布,且X得分布律为,则得分布律就是
解:由题意有,且
2、设Ｘ与Y独立同分布,密度函数为,分布函数为,则得密度函数为。
解:
于就是
三、选择题
１、设随机变量X与Y相互独立,,则(B)
Ａ、Ｂ、
1、判断X与Ｙ就是否相互独立;2、判断与就是否相互独立。
解:１、由
当时,
当时,
即
由
当时,
当时,
即
于就是,即X与Y相互独立.
2、因为与均为连续函数,则由Ｐ116结论可知它们相互独立。
四、设随机变量Ｘ与Y相互独立,X在(0,１)上服从均匀分布,Y得概率密度为
1、求X与Y得联合密度函数;
2、设含有a得二次方程,试求a有实根得概率。
当时,
当时,
即
于就是
２、设二维连续型随机变量服从区域Ｄ上均匀分布,其中
,则(Ｃ)
A、落入第一象限得概率为０、5B、都不服从一维均匀分布
C、相互独立Ｄ、不相互独立
解:D表示得区域如图所示,即
则由题意有
１)对Ａ选项,
故Ａ错
２)对B选项,由Ｐ1０1例2可知Ｂ错
３)
于就是故C对
三、已知二维随机变量得密度函数为
C、Ｄ、
解:令,于就是
Y\Ｘ
－2—10
—1
3
0
０
四、若二维随机变量得概率分布律为
求下列随机变量得概率分布:
1、;;
2、.
解:１、
其中
２、
其中
五、1、已知二维随机变量得密度函数为
求概率密度函数;
解:
如图,当时,
当时,
即
于就是
2、已知二维随机变量得密度函数为
求概率密度函数;
解:
如图１,当时,
如图2,当时,
解:显然当时,由于,则
３、若随机变量得概率密度为
则.
解:1、由,有
2、
3、如图:
4、
三、将三个球随机放入三个盒子中,用与分别表示放入第一个与第二个盒子中得球得
个数,求得联合分布律。
解:每个球有三种放法(放入三个盒子中得任意一个),则三个球共有种放法,于就是
;
;
;
;
;
;
即
Y
0
１
2
３
0
1
２
３
四、设二维连续型随机变量得分布函数为
则,
而表示两周得需求量,由卷积公式
而只有在即得区域内不为零,
于就是如图
当时,,
则
当时,
即
第三章复习题
一、填空题
1、设随机变量Ｘ与Ｙ同分布,X得分布律,且,则0、
解:由题意有
X
Y
-1
0
1
-1
0
1
由
而
于就是
且而
所以
2、设平面区域D由曲线及直线围成,二维随机变量在区域D上服从均匀分布,则关于X得边缘密度在处得值为
2、边缘分布就是正态分布得随机变量,其联合分布一定就是二维正态分布。(否)
解:边缘分布不能确Hale Waihona Puke Baidu联合分布(Ｐ１0３)
二、填空题
Y\X
123
1
2
a0。２０、1
0.２0.10。3
１、已知随机变量得联合分布律为
则a＝0。1,Ｘ得概率分布律为,Y得概率分布律为
Y
１2
P
０.40。6
X
1２3
P
0、３0。3０、４
解:１、
当时,
即
于就是
六、设随机变量X与Y相互独立,其概率密度函数分别为
求随机变量概率密度。
解:由卷积公式
而由题可知只有在即得区域内,不为零
于就是如图所示
当时,,则
当时,
当时,
即:
七、设某种商品一周得需求量就是一随机变量,其密度函数为
如果各周得需求量就是相互独立得,试求:两周得需求量得概率密度;
解:设分别表示某两周得需求量
,求。
解:由
于就是如图,D为边长等于得正方形,则由题意有
, 于就是对
当时
当时
其它
即:
五、设随机变量得密度函数为,求
与。
解:1),由题意有
当时,
当时,
即
2)如图有
当时,
当时,
当时,
即
3)
六、设＝=求、
解:1)由已知得
令,则D为如图所示
2)于就是对,如图有
当时
当时
即
3)
习题十随机变量得独立性
一、填空题
Ｙ\X
解:因为与均为连续函数,由Ｐ116结论可得、
二、选择题
1、如下二维随机变量得分布律或密度函数给出,则Ｘ与Y不相互独立得就是(Ｄ)
Y\X
—102
1
2
A、Ｂ、
Y＼X
123
1
2
3
0。01０、03 0、0６
0、02 0、0６0。１2
0.07０、210、42
C、联合密度
D、联合密度
解:对Ｄ选项有
当时,
当时,
即
解:１、由题意 而X与Y相互独立
则
2、
如图所示
其中
习题十一 两个随机变量得函数得分布
一、判断题
１、若X与Ｙ都就是标准正态随机变量,则、(否)
解:P125定理2——X与Ｙ需要相互独立,结论才成立.
2、若,且Ｘ与Y相互独立,则。(就是)
解:P1２5定理３
3、若X与Ｙ相互独立且都服从指数分布,则。(否)
解:由题意有
解:如图
于就是
当时
即
3、设二维随机变量得密度函数为其中G就是区域,则系数A=,
条件密度=,=
解:1、
2、如图
当时,
当时,
即
于就是
３、如上图
当时,
当时,
即ﻩ
于就是
4、已知,,,X与Y独立,则a=,
b=,联合分布为
Ｘ
Y
1
２
3
-1
－２
—3
(可将a,b代入算出具体值)
概率分布为
-2
－1
0
１
2
p
。(可将ａ,ｂ代入算出具体值)
第三章多维随机变量及其分布
习题八二维随机变量
一、判断题
1、设就是二维随机变量,事件表示事件与得
积事件。(就是)
解:由P86定义2可得。
2、就是某个二维随机变量得分布函数。(否)
解:
二、填空题
Y\X
1 ２ 3
1
2
1、若二维随机变量得概率分布律为
则常数=
解:显然,即
于就是
2、若二维随机变量恒取一定值(ａ,b),则其分布函数为
1、求常数得值;2、求得概率密度函数、
解:１、由＊
;
联立三式可解得
而带回*式得
即
2、
五、设随机变量得密度函数为
1、求常数得值;2、求得联合分布函数;
3、求与。
解:１、
2、
当时
于就是
３、①
②
③
习题九边缘分布、条件分布
一、判断题
1、二维均匀分布得边缘分布不一定就是均匀分布.(就是)
解:详见P10１例题2
2、
3、
２、设随机变量,则得概率分布为,得概率
分布为
解:Ｐ１0３面例题4得结论:
若
3、设二维随机变量得联合密度函数为
则常数得边缘密度为,得边缘密度
为
解:1、由
2、
3、
三、已知随机变量得密度函数为
1、求与得边缘密度函数;2、求条件密度函数与;
3、求、
解:由
1、
即
即
２、
3、
四、设二维连续型随机变量在区域D上服从均匀分布,其中
123
1
2
ｂc
1、设随机变量Ｘ与Y相互独立,其联合分布律为
则a=,ｂ=,c=
解:由独立性有
２、设随机变量与相互独立,其概率分布分别为
X
０１
p
Ｙ
01
p
则
解:由独立性有
3、设随机变量,则Ｘ与Ｙ相互独立得充要条件就是
解:Ｐ１１5定理2
4、设随机变量与相互独立,则它们得函数与就是(用“就是”或“不就是”
填空)相互独立得随机变量。