山东省德州市2021届新高考数学一模考试卷含解析

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2021年高考真题及答案解析《数学》(新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷,共2套)

机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i + D.42i+3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A .65-B.25-C.25D.657.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a <B.e a b <C.0e ba << D.0e ab <<8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A.12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅D.123OA OP OP OP ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学（答案解析）(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i +=-+=+故选：C.3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a < B.e a b <C.0e b a << D.0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A .12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP、1AP uuu r ，2AP uuu r的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=---cos cos 2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选：AC11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++ ，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1,0,12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()10μμ-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,,22AP y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p ∴+=-uu u r 因为PQ OP ⊥，所以260032p p p p ⨯-=>∴=∴Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ⨯，562dm dm ⨯，53dm dm ⨯，3102dm dm ⨯，3204dm dm ⨯，共5种；（2）由题意可得12120S =⨯，2360S =⨯，3430S =⨯，4515S =⨯，，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+⨯⨯⨯=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+⨯⨯=++++ ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022nn n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学(适用地区：海南、辽宁、重庆)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A.1B.2C. D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A .26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+B.C.563D.36.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A.c b a<< B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<8.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A. B.C. D.11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+ D.()21n nω-=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．15.已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．。

山东省德州市2021届高三数学第一次(4月)模拟考试试题(含解析).doc

山东省德州市2021届高三数学第一次（4月）模拟考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项：选择题每小题选岀答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{|12xA x =≤≤，{}|ln 0B x x =≤，则A B =（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】计算102A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，再计算交集得到答案【详解】{1|1202xA x x x ⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}{}|ln 001B x x x x =≤=<≤，故10,2AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：C .【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.2.已知复数z 满足()1243z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（）象限. A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A 【解析】【分析】化简得到2z i =-，故2z i =+，得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3.设命题:p 任意常数数列都是等比数列.则p ⌝是（） A. 所有常数数列都不是等比数列 B. 有的常数数列不是等比数列 C. 有的等比数列不是常数数列 D. 不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B 【解析】【分析】直接根据命题的否定的定义得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则p ⌝：有的常数数列不是等比数列. 故选：B .【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11C D 的中点，且1AP AD xAB yAA =++，则实数x y +的值为（） A. 32-B. 12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】化简得到112AP AD AA AB =++，得到12x =，1y =，得到答案. 【详解】111112AP AD DD D P AD AA AB AD xAB y AA =++=++=++，故12x =，1y =，32x y +=.故选：D .【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.函数()sin ln 22x xxf x -=-在区间[)(]3,00,3-上大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数为奇函数排除AD ，计算()30f >排除B ，得到答案. 【详解】()sin ln 22x x x f x -=-，()()sin ln 22x xxf x f x ---==--，故函数为奇函数，排除AD ； ()33sin 330ln 22f -=>-，排除B . 故选：C .【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（）A. 甲得分的极差是11B. 乙得分的中位数是18.5C. 甲运动员得分有一半在区间[]20,30上D. 甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高【答案】D 【解析】【分析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 甲得分的极差是28919-=，A 错误； B. 乙得分的中位数是161716.52+=，B 错误； C. 甲运动员得分在区间[]20,30上有3个，C 错误；D. 甲运动员得分的平均值为：912131315202628178+++++++=，乙运动员得分的平均值为：914151617181920168+++++++=，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA =，1AB =，2AC =，3BAC π∠=，则球O 的体积为（）A.3C.D.3【答案】B 【解析】【分析】计算BC =，根据正弦定理得到1r =，22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】根据余弦定理：2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠=，故BC =，根据正弦定理：22sin BCr BAC==∠，故1r =，r 为三角形ABC 外接圆半径，设R 为三棱锥S ABC -外接球的半径22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故R =，故3433V R π==.故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.已知函数()()()201ln 0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=有且只有两个不同实数根，则m 的取值范围是（） A. 1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,0,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. ()()1,11,0,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. ()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】确定0x >函数的单调区间，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=，得到()1f x =-和()f x m =，根据函数图像得到答案. 【详解】当0x >时，()ln x f x x =，则()21ln 'x f x x -=，()1f e e =，函数在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示：()()()210f x m f x m +--=，即()()()()10f x m f x -+=，当()1f x =-时，根据图像知有1个解，故()f x m =有1个解，根据图像知()()1,11,0,2m e ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=是解题的关键.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得3分，错选得0分）9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中B 层人数最多C. 样本中E 层次男生人数为6人D. 样本中D 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC 【解析】【分析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确；样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=；样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=；样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确；样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：ABC .【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（）A. 卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11.已知函数()sin cos f x x x =+，下列命题正确的为（） A. 该函数为偶函数 B. 该函数最小正周期为2πC. 该函数图象关于2x π=对称D. 该函数值域为⎡-⎣【答案】BCD 【解析】【分析】化简函数，得到函数图像，计算()()2f x f x π+=，()()fx f x π-=，讨论,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，计算得到答案.【详解】当cos 0x ≥时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当cos 0x <时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，A 错误；()()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，该函数最小正周期为2π，B 正确；()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，故该函数图象关于2x π=对称，C 正确；根据周期性，不妨取,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()4f x x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()4f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，故值域为⎡-⎣. 故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.12.如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N 为边BC 上的一列点，连接nAF交BD 于n G ，点()*n G n ∈N满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A. 313a =B. 数列{}3n a +是等比数列C. 43n a n =-D. 122n n S n +=--【答案】AB 【解析】【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案.【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+，故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB .【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上） 13.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a 的值. 【答案】30a = 【解析】【分析】根据三个小组抽取的总人数为30人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出a 的值.【详解】因为抽样比为：304515301020a +++++，所以结合题意可得：3012451530102045+15a =+++++，解得30a =.【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例. 14.如图，在棱长为1的正方体1AC 中，点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的最小值为__________.【答案】2 【解析】【分析】如图所示：连接1A D ，1AD ，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接1A D ，1AD ，易知1//EF AD ，11A D AD ⊥，故1EF A D ⊥，1A P EF ⊥，故EF ⊥平面1A DP ，故EF DP ⊥，1CC PD ⊥，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，故线段1A P 长度的最小值为12A D . 2.【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F .（1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =，则双曲线C 的离心率为__________. 【答案】3【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；122FQ QF =，则122PF PF =，故14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =故答案为：3.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在50,18π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一极值点，且在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围为__________. 【答案】6453ω<≤ 【解析】【分析】5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，根据周期得到625ω<≤，故362πππω+≤，解得答案. 【详解】50,18x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，解得62455ω<≤， 222T πππ≥-=，故T π≥，2ω≤，即625ω<≤，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,6266x ππππωωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故237,26306ππππω⎛⎤+∈⎥⎝⎦，则362πππω+≤，解得43ω≤；综上所述：6453ω<≤. 故答案为：6453ω<≤. 【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：（解答应写出文字说眀，证明过程或演算步骤.本大题共6小题，共70分） 17.在条件①()2cos cos cos A b C c B a +=，②sinsin 2B Cc a C +=，③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a =2b c -=，__________.求BC 边上的高【答案】14【解析】【分析】依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到3A π=，3b =，再利用等面积法计算得到答案.【详解】若选①因为()2cos cos cos A b C c B a +=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=，即()2cos sin sin A B C A +=，1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=. 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以2272b c bc b c ⎧+-=⎨-=⎩，化简得：2230c +c -=，所以3c =-（舍去）或者1c =，从而3b =.设BC 边上的高是h ，所以11sin 22bc A ah =，所以h = 若选②由题设及正弦定理，sin sin sin sin 2B CC A C +=，因为sin 0C ≠，所以sinsin 2B CA +=，由180ABC ++=︒，可得sin cos 22B C A+=，故cos 2sin cos 222A A A =，因为cos 02A ≠，故1sin 22A =，因此3A π=，下同选①；若选③由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0A π<<，所以3A π=，下同选①. 故答案：14. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++，数列{}n b 满足2log n n b a =，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-. 【答案】（1）12n na ；1nb n =-（2）22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）21n n S =-，112n n n n a S S --=-=，代入计算得到1n b n =-，得到答案.（2）讨论2n k =和21n k =-两种情况，计算得到答案.【详解】（1）012121n n n n n n n S C C C C -=++++=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =也满足12n n a ，所以12n na ，又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-. （2）当2n k =，*k N ∈时，()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-()122k b b b =-+++()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦22k k =-+；当21n k =-，*k N ∈时，()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦2231k k =-+.所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==，E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，PA CD ⊥.（1）证明：平面//MCE 平面PAB ；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）证明EC AB ∥，EMAP 得到答案.（2）以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，面PCD 的法向量记为20,1,m h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，面ACD 的法向量为()0,0,1，根据夹角得到2h =，平面PCE 的法向量()2,2,1n =，计算得到答案.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，12BC AD =，AD BC ∥，所以四边形ABCE 为平行四边形，即EC AB ∥. 因为E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，EMAP .EM EC E =，所以平面MCE平面PAB .（2）如图所示因为PA AB ⊥，PA CD ⊥，AB 与CD 为相交直线，所以AP ⊥平面ABCD ，不妨设2AD =，则112BC CD AD ===. 以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AP h =，()0,0,0A ，()0,2,0D，()1,2,0C -，()0,0,P h ，从而()0,2,PD h =-，()1,0,0CD =，面PCD 的法向量记为()111,,m x y z =，则00m PD m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111200y hz x -=⎧⎨=⎩，令11y =，则12z h =，20,1,m h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又面ACD 的法向量为()0,0,1，二面角P CD A --的大小为45°.22241h h =+2h =，所以()002P ,,，()0,1,0E ，()1,2,0C -，所以()1,1,0EC =-，()0,1,2PE =-，()0,0,2AP =，设平面PCE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n PE n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得：2222200y z x y -=⎧⎨-+=⎩.令22y =，则22x =，21z =.所以()2,2,1n =.设直线PA 与平面PCE 所成角为θ，则1sin cos ,39AP n AP n AP nθ⋅====. 【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，圆M 的方程为：220x y py +-=，若直线4x =与x 轴交于点R ，与抛物线交于点Q ，且54QF RQ =. （1）求出抛物线E 和圆M 的方程.（2）过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，与圆M 交于C 、D 两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：AC DB ⋅是定值.【答案】（1）抛物线2:4E x y =，圆22:20M x y y +-=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()04,Q y ，则02y p =，代入方程计算得到答案.（2）设直线l 的方程是：1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得到124x x k +=，124x x ⋅=-，11AF y =+，21BF y =+，计算得到答案.【详解】（1）设()04,Q y ，由54QF RQ =得00524p y y +=，所以02y p =，将点()4,2p 代入抛物线方程得2p =，所以抛物线2:4E x y =，圆22:20M x y y +-=.（2）抛物线2:4E x y =的焦点()0,1F ，设直线l 的方程是：1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩有2440x kx --=，则()21610k ∆=+>，且124x x k +=，124x x ⋅=-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1M ，半径为1，圆心就是焦点，由抛物线的定义有11AF y =+，21BF y =+，则11AC AF y =-=，21BD BF y =-=，()1211AC BD y y kx ⋅==+()()22221212114411kx k x x k x x k k +=+++=-++=.即AC BD ⋅为定值，定值为1.【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.医院为筛查某种疾病，需要血检，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取()2k k ≥个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.现取其中k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1X ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2X .①运用概率统计的知识，若12EX EX =，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； ②若151p e -=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln11 2.3978≈，ln12 2.4849≈，ln13 2.5649≈. 【答案】（1）215（2）①()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N ②k 的最大值为12.【解析】【分析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，计算概率得到答案. （2）①计算1EX k =，()211kEX k k p =+--，根据12EX EX =，计算得到答案.②521k EX k ke-=+-，所以51k k kek-+-<，设()ln 5xf x x =-，求导得到单调区间，计算得到最值.【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则()11224236215C C A P A A ==. （2）①1X 的取值为k ，()11P X k ==，所以1EX k =，2X 的取值为1，1k +，计算()()211k P X p ==-，()()2111k P X k p =+=--，所以()()()()2111111k k kEX p k p k k p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由12EX EX =，得()11kk k k p =+--，所以()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N .②151p e-=-，521k EX k ke-=+-，所以51k k kek-+-<，即ln 05kk ->. 设()ln 5x f x x =-，()11555x f x x x-'=-=，0x >，当()0,5x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,5上单调递增；当()5,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()5,+∞上单调递减. 且()12ln12 2.40f =->，()13ln13 2.60f =-<，所以k 的最大值为12.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.【答案】（1）20ex y e --=（2）当0a ≤时，()f x 无极值点；当0a >时，()f x 有一个极值点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+，()1f e =，()12f e '=，得到切线方程.（2）求导得到()()()1'x x xe a f x x+-=，讨论0a ≤和0a >两种情况， 0a >时必存在00x >，使()00h x =，计算单调区间得到极值点个数.（3）()00f x '=，即00x x ea =，代入得到001ln 0x x -->，设()1ln g x x x =--，确定函数单调递减得到()00,1x ∈，令()1ln g x x x =--，确定单调性得到答案.【详解】（1）当0a =时，()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，所以()1f e =，()12f e '=.从而()f x 在1x =处的切线方程为()21y e e x -=-，即20ex y e --=.（2）()()111xf x x e a x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭()()()11x xx xe a a x e x x +-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上是增函数，不存在极值点； ②当0a >时，令()xh x xe a =-，()()10xh x x e '=+>，显然函数()h x 在[)0,+∞是增函数，又因为()00h a =-<，()()10ah a a e =->，必存在00x >，使()00h x =，()00,x x ∈，()0h x <，()0f x '<，()f x 为减函数， ()0,x x ∈+∞，()0h x >，()0f x '>，()f x 增函数，所以，0x x =是()f x 的极小值点，综上：当0a ≤时，()f x 无极值点，当0a >时，()f x 有一个极值点. （3）由（2）得：()00f x '=，即00x x ea =，()()()000000000ln 1ln x x f x x e a x x x e x x =-+=--，因为()00f x >，所以001ln 0x x -->，优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 令()1ln g x x x =--，()110g x x'=--<，()g x 在()0,∞+上是减函数，且()10g =，由()()1g x g >得1x <，所以()00,1x ∈.设()ln 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，()111x x x xϕ-'=-=， ()0,1x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ为增函数，()()10x ϕϕ<=即()0x ϕ<，即ln 1x x <-，所以ln 1x x ->-，所以()ln 1x x +<，所以10x e x >+>，因为()00,1x ∈，所以0010x ex >+>，00001ln 110x x x x -->-+->，相乘得()()()000001ln 122x e x x x x -->+-，所以()()()()000000001ln 211x f x x ex x x x x =-->+-()()230000212x x x x =-=-，结论成立. 【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2021年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案

2021年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）（2021•威海一模）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虚部为．故选：A．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2021•威海一模）已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩∁R B=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解析】：解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴∁R B=（﹣∞，0]∪（2，+∞），则A∩∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），故选：B．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）（2021•威海一模）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1【考点】：充要条件．【分析】：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．【解析】：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B【点评】：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．4．（5分）（2021•威海一模）如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．【解析】：解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）（2021•威海一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）（2021•威海一模）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．π C．D．π【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin （x+m﹣），由m﹣=kπ+，k∈Z，即可求m的最小值．【解析】：解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．7．（5分）（2021•威海一模）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．【解析】：解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．8．（5分）（2021•威海一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．5【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为×=；∴该组合体的体积为V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．故选：D．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9．（5分）（2021•威海一模）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by 在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解析】：解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≤b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．【点评】：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10．（5分）（2021•威海一模）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：综合题；不等式的解法及应用．【分析】：先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1．再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．【解析】：解：∵•=2，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=++的最小值为36，故选：C．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）（2021•威海一模）已知α∈（π，2π），cosα=﹣，tan2α=﹣．【考点】：二倍角的正切．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解析】：解：∵α∈（π，2π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，tanα==2，∴tan2α===﹣，故答案为：．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．12．（5分）（2021•威海一模）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=12n﹣9，由496≤12n﹣9≤600，求得正整数n的个数，即为所求．【解析】：解：∵600÷50=12，∴由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=3+12（n﹣1）=12n﹣9．落人区间[496，600]的人做问卷C，由496≤12n﹣9≤600，即505≤12n≤609解得42≤n≤50．再由n为正整数可得43≤n≤50，∴做问卷C的人数为50﹣43+1=8，故答案为：8【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．13．（5分）（2021•威海一模）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9．【考点】：等差数列的通项公式；数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．【解析】：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．14．（5分）（2021•威海一模）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．【考点】：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．【解析】：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，可得当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．（5分）（2021•威海一模）抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．【解析】：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM的外接圆的半径为4，∴则△FPM的外接圆的方程为．故答案为：．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2021•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．【考点】：正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；（Ⅱ）通过S△ABC=3+，以及正弦定理即可求a，c．【解析】：解：（Ⅰ）∵，∴，∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，即sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）．即2C=A+B，得，∴，∵，则，或（舍去）∴．（Ⅱ）∵又∵，即，∴．【点评】：本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．17．（12分）（2021•威海一模）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m的最大值．【考点】：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）法一：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅰ）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）求出，利用错位相减法求出，转化T n≥m恒成立，为（T n）min≥m，通过{T n}为递增数列，求解m的最大值即可．【解析】：解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．【点评】：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力．18．（12分）（2021•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．【解析】：解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X 2 3 4 5PE（X）=2×+3×+4×+5×=．【点评】：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．19．（12分）（2021•威海一模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA ⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．【解析】：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），∴，由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为，∴，∴，令y=1，则x=1，z=3，∴，∴，由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．【点评】：本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．20．（13分）（2021•威海一模）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．21．（14分）（2021•威海一模）在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得，即可得出；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围．【解析】：解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，∴G，∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．∵|MC|=|MB|，∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，化为2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四边形OPRQ为平行四边形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∴R．∵点R在椭圆上，∴=6，化为2m2=k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范围是∪．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

山东省德州市2021届高考数学模拟试卷(一模)(含答案解析)

山东省德州市2021届高考数学模拟试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集为R，集合A={x|x<1}，B={x|y=1√−x}，则()A. A∩B=BB. A∪B={x|x>1}C. A⊆∁R BD. B⊆∁R A2.已知(i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设函数f(x)与g(x)都不是常值函数，定义域都是R.则条件“f(x)与g(x)同是奇函数或同是偶函数”是“f(x)与g(x)的积是偶函数”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B. C. D.5.设0<α<β<π4，cosα+sinα=a，cosβ+sinβ=b，则()A. a<bB. a>bC. ab<1D. ab>26.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，若(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−2b⃗ |=()A. √2B. √3C. 2D. √57.已知函数y=f(x+2)是偶函数，且当x≠2时，其导函数f′(x)满足(x−2)f′(x)>0，若2<a<3，则下列不等式成立的是()A. f(2a)<f(3)<f(log2a)B. f(3)<f(log2a)<f(2a)C. f(log2a)<f(3)<f(2a)D. f(log2a)<f(2a)<f(3)8.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)⋅f(y)=f(x+y)若a1=12，a n=f(n)(n∈N+)，则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是()A. (1,2)B. [12,1) C. [23,1) D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列结论正确的有()A. 若随机变量ξ～N(1,σ2)，P(ξ≤4)=0.77，则P(ξ≤−2)=0.23B. 若随机变量X～B(10,13)，则D(3X−1)=19C. 已知回归直线方程为y=b̂x+10.8，且x−=4，y−=50，则b̂=9.8D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2210.给出下列各命题，其中正确的是()A. 存在实数α，使sinα+cosα=1B. 要得到y=3sin(x−π5)的图象，只需把y=3sin(x+π5)向右平移2π5个单位C. x=π8是函数y=sin(2x+5π4)图象的一条对称轴D. 函数y=log a(x+3)−1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(−2,−1)11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，且双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+2√5=0上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()A. 双曲线C的方程为x24−y2=1 B. 双曲线C的渐近线方程为y=±2xC. F点到双曲线C的渐近线距离为2D. k1⋅k2为定值1412.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是()A. AD1//PQB. A1D⊥PQC. 直线B1Q与AD1所成角的余弦值为3√1010D. Q到平面AB1P的距离为√62三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(1−3x)7展开式的第4项为280，则limn→∞(x+x2+⋯+x n)=______ ．14.已知点P为抛物线为y2=9x上一动点，定点A(4,2)，F为抛物线的焦点，则当|PF|+|PA|最小时动点P的坐标为______ ．15.四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是边长为2√3的正三角形，二面角A−BD−C大小为120°，则四面体ABCD外接球的体积为______．16.已知函数在处有极大值，则实数．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，相距海里为正常数的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A、B都能立即出发，其中A、B两船的航速分别是海里/小时、海里/小时．(1)求在同时收到求救信息后，A、B两船能同时到达的点的轨迹C所围成的区域的面积；(2)若在A地北偏东方向，距A地海里处的点有一艘遇险船正以海里/小时的速度向正北方向漂移．①应派哪艘船前往救援？②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？18. 在①已知数列{a n}满足：a n+1−2a n=0，a3=8，②等比数列{a n}中，公比q=2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=n，数列{b n}的前n项和为T n，若2T n>m−2022对n∈N∗恒成立，求正整数m的最大值．a n19. 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：月收入[25,35)[35,45)频数510151055赞成人数488521将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”。

2021届山东省德州市名校高三上学期第一次联考数学试题

德州市名校高三年级第一学期第一次模块检测数学试题一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知角α的终边过点()2,8P m -，且3cos 5α=，则tan α的值为（） A ．34B ．43C ．43-D ．43±2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 4．已知1x >，则41x x +-的最小值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH6．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（） A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+7．函数()sin(2)3)f x x x ϕϕ=+++是偶函数的充要条件是（） A ．,6k k Z πϕπ=+∈ B ．2,6k k Z πϕπ=+∈C ．,3k k Z πϕπ=+∈D ．2,3k k Z πϕπ=+∈8．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．m ≤0B ．0≤m <57 C ．m <0或0<m <57 D ．m <57二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.) 9．若x y ≥，则下列不等式中正确的是（） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥10．在△ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（） A. 若A B <，则sin sin A B < B. 若sin sin A B <则A B < C. 若A B >，则11sin 2sin 2A B> D. 若A B <则22cos cos A B >11.下列说法错误的是（）A ．若()()a a cb bc ⋅=⋅ B ．若a b b c ⋅=⋅，且0b ≠，则a c = C ．在ABC 中，若BA BC AC +=，则ABC 是直角三角形D ．已知()1,2a =，()2,b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()1,-+∞ 12．函数()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示,则( )A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数的对称中心为ππ,0,3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π,44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32,纵坐标不变,可得到该函数图象三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若(,1),(1,3),(5,11)A x B C -三点共线，则实数x 的值等于_____．14．已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为15．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 16．设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（10分）已知(2,0)a =，||1b =．（1）若a 与b 同向，求b ；（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +．18. （12分）在①3cos ,cos 5A C ==，②sin sin sin ,60c C A b B B =+=，③12,cos 8c A ==，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答。

山东省德州市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

山东省德州市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（）A ．4510 B ．4510- C ．32- D ．3210-【答案】D【解析】【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+， ∴lg 1210LI =-，当160L =时，1160lg 121261010LI =-=-=-，∴6110I -=，当275L =时，2275lg 1212 4.51010LI =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴361.5124.5210101010I I ----===，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.2．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2x N x =≤ ，则 M N ⋃=（） A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}2x x ≤- D ．R【答案】D【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D 考点：集合的运算3．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+，又B P N ，，三点共线， 2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈)4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（） A ．6 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】画出函数21,0 ()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x=看作()(),3t f x f t==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t=∴=有两解()()120,1,1,+t t∈∈∞，则()()12,t f x f x t==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x=的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．5．若实数,x y满足不等式组2,36,0,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最小值等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.7．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（）A ．2B ．5C ．1D ．3【答案】B【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得. 【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B .【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项，则（） A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D【解析】【分析】由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围．【详解】解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项， 29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项，又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<⋯<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项，同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>，根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =， 94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．9．已知复数12i z i -=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案.【详解】解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．10．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（） A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．2【答案】D【解析】【分析】推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果.【详解】()()()221cos 138f x x m x m m =+-+++-，则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-， ()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-， ()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()24cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象如下图所示：此时，函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意； ②当2m =时，()cos 11x +≤，()()()212cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点.综上所述，2m =.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】A【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.12．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省德州市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

山东省德州市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可.【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故 ()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x x m m x x+≥≤且对[]1,3x ∈恒成立令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,x g x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e= 令()()26ln 5ln ,'0x x h x h x x x +--==<,在[]1,3上递减所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.2．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案.【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.3．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（）A ．45B ．45-C ．45±D ．35【答案】B【解析】【分析】根据题意可得：tan 2α，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+ 故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．4．在边长为ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A【解析】【分析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积；【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =，28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC ∠==⋅⋅， 33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠7R =28S π=. 故选：A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.5．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M且与抛物线的准线相切的圆的个数有（） A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B【解析】【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上，又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种．故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[0,1] C ．[1,)+∞ D ．[0,2]【答案】D【解析】【分析】由()0f x ax a -+恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨->⎩由()(1)f x a x -恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a 的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '==-=，故02a .故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ． 9．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C【解析】【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

2021年山东省高考数学试卷(新高考)含答案

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，则A ∩B =(B )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}【解析】解：∵A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，∴A ∩B ={x |-2<x <4}∩{2，3，4，5}={2，3}．故选：B ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2.(5分)已知z =2-i ，则z (z+i )=(C )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i【解析】解：∵z =2-i ，∴z (z+i )=(2-i )(2+i +i )=(2-i )(2+2i )=4+4i -2i -2i 2=6+2i ．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.(5分)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(B )A.2B.22C.4D.42【解析】解：由题意，设母线长为l ，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π⋅2=π⋅l ，解得l =22，所以该圆锥的母线长为22．故选：B ．【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.(5分)下列区间中，函数f (x )=7sin x -π6单调递增的区间是(A )A.0,π2B.π2，π C.π,3π2D.3π2，2π【解析】解：令-π2+2k π≤x -π6≤π2+2k π，k ∈Z ．则-π3+2k π≤x ≤2π3+2k π，k ∈Z ．当k =0时，x ∈-π3，2π3，0,π2 ⊆-π3，2π3，故选：A ．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．5.(5分)已知F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为(C )A.13B.12C.9D.6【解析】解：F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|=6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|22=9，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，取等号，所以|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为9．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．6.(5分)若tan θ=-2，则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=(C )A.-65B.-25C.25D.65【解析】解：由题意可得：sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ)sin θ+cos θ=sin θsin θ+cos θ⋅sin 2θ+cos 2θ+2sin θ⋅cos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan θ+1⋅tan θ2+2tan θ+1tan 2θ+1=25．故选：C ．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin 2A +cos 2A =1是解题的关键，属于中等题．7.(5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则(D )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【解析】解：法一：函数y =e x 是增函数，y ′=e x >0恒成立，函数的图象如图，y >0，即切点坐标在x 轴上方，如果(a ,b )在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(a ,b )在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(a ,b )在曲线上，只有一条切线；(a ,b )在曲线上侧，没有切线；由图象可知(a ,b )在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0<b <e a ．故选：D ．法二：设过点(a ,b )的切线横坐标为t ，则切线方程为y =e t (x -t )+e t ，可得b =e t (a +1-t )，设f (t )=(a +1-t )，可得f ′(t )=e t (a -t )，t ∈(-∞,a )，f ′(t )>0，f (t )是增函数，t ∈(a ,+∞)，f ′(t )<0，f (t )是减函数，因此当且仅当0<b <e a 时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D ．【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.(5分)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，P (甲)=16，P (乙)=16，P (丙)=56×6=536，P (丁)=66×6=16，A :P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙)，B :P (甲丁)=136=P (甲)P (丁)，C :P (乙丙)=136≠P (乙)P (丙)，D :P (丙丁)=0≠P (丙)P (丁)，故选：B ．【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省德州市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

山东省德州市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（） A ．3 B ．23C ．3D ．23【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则212AG R =-=．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即23BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯=故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 2．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()RA B ⋂等于（）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}，由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}，则{}|42RA x x =-≤≤， ∴()()0,2RA B =.故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 3．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】A 【解析】【分析】【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=，即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-，因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：4．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a，离心率22224a b e a +=，2e ∴，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．5．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；所以由p 能推出q ；q 不能推出p ；即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.6．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（）A B ．C D 【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以19||4EB =，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.8．若()*3n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则aa-=（） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.9．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（） A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3xk x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点，312ln ()3xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.∴当x =max 1()6eg x =， ∴若直线y k =和2ln ()3x g x x =有两个交点，则10,6e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．11．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（） A 2 B ．1C 3D ．2【答案】D 【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，132⎛-⎝⎭B ，13,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A 3236π+ B ．836πC ．31633π+D ．16833π+【答案】B 【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：12836V V V π=+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国数学新高考1卷解析

1. 设集合 A = {x | −2 < x < 4}, B = {2, 3, 4, 5}, 则 A ∩ B =( ).
A： {2}
B： {2, 3}
答案：B.
解析：由集合的基本定义可知 A ∩ B = {2, 3}, 选 B.
2. 已知 z = 2 − i, 则 z(z¯ + i) =( ).
C： {3, 4}
=
sin2 θ + sin θ cos θ sin2 θ + cos2 θ
=
tan2 θ + tan θ tan2 θ + 1
=
2 ,
5
选 C.
7. 若过点 (a, b) 可以作曲线 y = ex 的两条切线, 则 ( ).
A： eb < a
B： ea < b
C： 0 < a < eb
D： 0 < b < ea
6
,
不满足;
C:
(π,
3 π),
2
当
x
−
π 6
∈
5 ( π,
6
4 π)
3
,
Hale Waihona Puke 不满足;D:3π ( , 2π),
2
当
x−
π 6
∈
4 ( π,
3
11 π)
6
,
不满足.
5. 已知 F1, F2
是椭圆 C
:
x2 9
+
y2 4
=
1 的两个焦点,
点M
在C
上, 则 |M F1| · |M F2| 的最大值为 (
).
P (a1

精品解析：2021年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)

A. 20°B. 40°
C. 50°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. （）
A. 1B. −1
C. iD. −i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A. 120种B. 90种
C. 60种D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

2021年山东省高考数学试卷(含答案)(新高考ⅰ)

2021年山东省高考数学试卷(含答案)(新高考ⅰ)2021年山东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合A = {x|-2<x<4}，B = {2,3,4,5}，则A∩B = （）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.（5分）已知z=2-i，则z(+i) = （）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.（5分）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

2√2 C。

4 D。

4√24.（5分）下列区间中，函数f(x) = 7sin(x+π/6)单调递增的区间是（）A。

(。

) B。

(。

π) C。

(π。

) D。

(。

2π)5.（5分）已知F1，F2是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.（5分）若tanθ=-2，则cosθ = （）A。

-2/√5 B。

2/√5 C。

-1/√5 D。

1/√57.（5分）若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则a+b = （）A。

2 B。

0 C。

-2 D。

-48.（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。

甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A。

甲与丙相互独立 B。

甲与丁相互独立 C。

乙与丙相互独立 D。

丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分。

9.（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1，2，…，n），c为非零常数，则（）A。

山东省德州市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

⼭东省德州市2021届新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷含解析⼭东省德州市2021届新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1．定义运算()()a a b a b b a b ≤?⊕=?>?，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最⼩值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >?=⊕=?≤?，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.2．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（）A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =?==.故选：D. 【点睛】本题考查利⽤函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能⼒与计算能⼒，属于中等题.为该抛物线上⼀点，以M 为圆⼼的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=?，则抛物线⽅程为（） A ．22y x = B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线⽅程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=?列⽅程，解⽅程求得p 的值. 【详解】不妨设M 在第⼀象限，由于M 在抛物线上，所以1,2M p ??，由于以M 为圆⼼的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ??.由于120AMF ∠=?，所以直线MF 的倾斜⾓α为120，所以tan1203122MF p k p-===--，解得3p =，或13p =（由于10,122pp -<>，故舍去）.所以抛物线的⽅程为26y x =. 故选：C【点睛】本⼩题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想⽅法，属于中档题.4．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的⼦集，则如图所⽰韦恩图中阴影部分所表⽰的集合为（）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】M ，根据⼀元⼆次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表⽰()R NM ，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴?=-≤≤-.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到⼀元⼆次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合. 5．已知⾮零向量a ，b 满⾜()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹⾓为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B 【解析】【分析】由平⾯向量垂直的数量积关系化简，即可由平⾯向量数量积定义求得a 与b 的夹⾓. 【详解】根据平⾯向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a a b -?=-?=，()2220b a b b a b -=-=，所以222ab a b ==?，即a b=，由平⾯向量数量积定义可得2cos ,a a b a b=?，所以2cos ,a b =，⽽[],0,a b π∈，即a 与b 的夹⾓为4π. 故选：B 【点睛】本题考查了平⾯向量数量积的运算，平⾯向量夹⾓的求法，属于基础题.6．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离⼼率是3，则双曲线C 的焦距为（）A ．3B ．C ．6D ．【答案】A 【解析】【分析】根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据222,cb c a e a=-=，可得结果. 【详解】由题可知：双曲线的渐近线⽅程为0bx ay ±= 取右焦点(),0F c ，⼀条渐近线:0l bx ay -=则点F 到l =222b a c +=所以b =222c a -=⼜2222399c c c a a a =?=?=3292c c c -=?=所以焦距为：23c = 故选：A 【点睛】本题考查双曲线渐近线⽅程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常⽤的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题.7．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（）A ．2B ．C ．12D ．12-【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代⼊由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴?=+=-= =+? 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应⽤，涉及三⾓函数求值，属于基础题． 8．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ?=，则A B =（）B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A 【解析】【分析】⽤转化的思想求出B 中不等式的解集，再利⽤并集的定义求解即可．【详解】解：由集合01x B x x ??=，解得{|01}B x x =<<，则{}{}{}[)|10|01|111,1AB x x x x x x =-<<=-<=-故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．9．记()[]f x x x =-其中[]x 表⽰不⼤于x 的最⼤整数,0()1,0kx x g x xx≥??=?--有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65??B ．11,65??C ．11,54??D ．11,54??【答案】D 【解析】【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，⽽函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所⽰，由图可知⽅程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根，则在[0,5]上有4个不同的实数根，当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =，可知当11本题考查⽅程根的个数求参数，利⽤函数零点和⽅程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运⽤数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.10．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（）A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 【答案】B 【解析】【分析】由CD 平分ACB ∠，根据三⾓形内⾓平分线定理可得BD CBDA CA=，再根据平⾯向量的加减法运算即得答案. 【详解】CD 平分ACB ∠，根据三⾓形内⾓平分线定理可得BD CBDA CA=，⼜CB a =，CA b =，2a =，1b =， 2,2BDBD DA DA∴=∴=. ()22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+.故选：B . 【点睛】本题主要考查平⾯向量的线性运算，属于基础题.11．已知等⽐数列{}n a 满⾜21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】【分析】420a a q =?>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等⽐数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学⽣的计算能⼒，是中档题. 12．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道⼠，也是当时欧洲科学界⼀位独特的中⼼⼈物，梅森在欧⼏⾥得、费马等⼈研究的基础上对2p ﹣1作了⼤量的计算、验证⼯作，⼈们为了纪念梅森在数论⽅⾯的这⼀贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】模拟程序的运⾏即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运⾏，可得： p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满⾜条件p≤7，执⾏循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满⾜条件p≤7，执⾏循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满⾜条件p≤7，执⾏循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满⾜条件p≤7，执⾏循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满⾜条件p≤7，退出循环，结束，故若执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。