矩阵的秩及初等变换
矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt
行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
h
20
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、I (i, j(k))。
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0 1 0 0 r2r4 ———
这是因为
I(i, j)I(i, j)I， I(i(k1))I(i(k))I ，
I(i,j(k))I(i, j(k) )I 。
h
24
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五、初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次 初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
0010
0010
0001
0001
h
23
下页
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
初等矩阵的可逆性： 容易验证：
（1） |I(i, j) |-1， （2）|I(i(k)) | k， （3）| I (i, j(k)) | 1，
因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。
I(i, j)1I(i, j)，I(i(k))1I(i(k1))，I(i,j(k))1I(i ,j (k)) 。
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
h
5
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一.矩阵的初等变换
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
矩阵的秩和初等变换.
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）； （2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）； （3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵： （1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方； （2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .
矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩，记作 R( A) 或r( A). 规定：零矩阵的秩等于零，即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论； 1、 R( AT ) R( A).
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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当A ri rj B或 A ri B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri rj B时，分三种情况讨论：
7 上一页 下一页 返 回
二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i, j 两行,记作ri rj）；
2以数 0 乘以某一行
（第 i 行乘 ,记作 ri）
3 把某一行各元素乘 后加到另一行对应
的元素上去（第 j 行乘 加到第 i 行上去， 记作ri rj）.
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕
1.2矩阵的初等变换与矩阵的秩
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2
r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj
r; i
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2
3 1
1 2 0
1 2 4
矩阵的秩与初等变换
第1节 矩阵的秩与初等变换
定义 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩不变。
因此只需证初等行变换可化矩阵为行阶梯形即可。
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二
(所用记号是把 “r” 换成 “c” )。 行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
)；
(所用记号是把 “r” 换成 “c” )。
例：求矩阵
又注意(到ii)B
A亦以和可经数B 由的一秩k次，≠初0等乘行变某换变一为 A，
例：化矩阵 B 为标准形，
比该如形第 式(二称ii个为i)矩A把阵的即标某为准行形一最。简行形矩所阵。有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称
矩阵 A与 B 行等价，记作
；
如果矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A
与 B 列等价，记作
；
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.
(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1
矩阵的初等变换与秩
11.6矩阵的初等变换与秩11.6.1初等变换与初等矩阵这一节介绍矩阵的初等变换，以及初等变换在化矩阵为标准型和求逆矩阵等方面的应用。
另外我们通过矩阵与行列式的联系，引进矩阵的秩的概念，并讨论矩阵的初等变换求秩法。
定义11.21 对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵的初等变换。
（1）互换变换：交换矩阵的两行（列）；（2）倍法变换：以一个非零数k 乘矩阵的某一行（列）；（3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的l 倍加于另一行（列）上。
2．初等变换求逆法定理11.15 n 阶方阵A 为可逆的充分必要条件是它可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
证：必要性。
由定理11.14的推论知，若A 可逆，则存在初等矩阵1P ，2P ，…，s P ；1Q ，2Q ，…，s Q 使得I Q AQ P P t s = 11于是，111111111111--------⋅==Q Q P P Q IQ P P A t s t s由于初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，故A 可表示为初等矩阵的乘积。
反之，由初等矩阵是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，可知充分性成立。
下面介绍一种用初等变换求逆矩阵的方法。
如果A 可逆，则其逆矩阵1-A 也可逆，由定理2.5，存在初等矩阵1P ，2P ，…，s P ，使得 I P P P P P P A s s 21211==-两端由乘以A ，得A P P P A A I s 211==-即 ⎩⎨⎧==-I P P P A A P P P I s s 21121 （11.35） 式（11.35）表明，若对A 的行施以若干次初等变换使之化为单位矩阵I ，则对单位矩阵I 的行施以同样的初等变换可使I 化为1-A 。
据此，我们有如下求逆矩阵的方法：作一个n n 2⨯的矩阵()I A ，然后对此矩阵施以行的初等变换，使子阵A 化为I ，则子阵I 就化为1-A 。
例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=303331132A的逆矩阵。
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
第三节矩阵的秩和初等变换
根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质： a) 反身性：A～A； b) 对称性：若A～B，则B～A； c)传递性：若A～B，而B～C，则A～C。
定理1 如果A～B，则R(A)=R(B)。 即初等变换不改变矩阵的秩。
证明思想：只需证明任何一种初等
变换对行列 式是否为0没有影响即可。
如果我们经过初等变换将矩阵A变成 阶梯型矩阵B，得到矩阵B的秩，则由定 理1知，矩阵A的秩就等于矩阵B的秩。
例: 求R(A),其中
解:
⎡1 0 −1 2⎤ A = ⎢⎢1 −1 2 3⎥⎥
⎢⎣2 −2 4 6⎥⎦
⎡1 A= ⎢⎢1
0 −1
−1 2
2⎤ 3⎥⎥
⎯r⎯r32−−2r1⎯r1→⎡⎢⎢10
解：
可以验证，A中有一个二阶子式不为0，而 其所有的3阶子式全为0，故R(A)＝2。
对于B，显然R(B)＝3。
上例中的B这种类型的矩阵称为行阶梯型矩 阵。其特点为：
1.元素全为零的行（如果有的话），位于矩阵的 最下面；
2.自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的 个数，随着行数的增加而增加。
以后，我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化
为这种行阶梯型矩阵，再求秩。
矩阵的初等变换(Elementary operation)
定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i). 对调两行（对调i、j行，记作ri↔rj） (ii). 以非0数乘以某一行的所有元素；
（第i行乘k，记作kri） (iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上
0 −1
−1 3
2⎤ 1⎥⎥
⎢⎣2 −2 4 6⎥⎦
矩阵初等行变换矩阵秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
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1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
行阶梯形矩阵中非零行 的行数. 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
三、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改
子式的最高阶数.
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
r2 4 r3 r3 0 2r1 B 2 6 r 3r1 4 3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
1 2 1
1 r3 r4 0 B3 r4 2r3 0 0
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 0, 1 3 , 1 3 0, 00 , 2 3 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
R A 2.
1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
1 0 例如， B 5 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 4 4 0 0 1 0 3 3 F 0 00 33 0 0 0 0 0
其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
1 例3 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B ( A b) 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
r3 2
1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
富，难度较大.
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
其中c为任意常数.
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点： （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个 台阶 只有一行，
1 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台，即非零行的第一个非 零元．
第六节、矩阵的初等变换和秩
一、消元法解线性方程组的过程．
二、矩阵的初等变换 三、矩阵的秩 四、矩阵的秩的求法
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方
法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次
线性方程组有解的充分必要条件，并介绍
用初等变换解线性方程组的方法．内容丰
（ 2）
其中c为任意常数.
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元 法． 2 ．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
r2 r3
4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
x1 x3 4 B5 对应的方程组为 x2 x3 3 x 3 4
或令x3 c, 方程组的解可记作
x1 c 4 1 4 x2 c 3 1 3 x c 1 0 x3 c 3 0 3 x 4
r1 r2
11 10 00 00 1 0 0 0
12 11 00 00
12 11 20 10
14 4 r3 r4 10 0 B4 16 3 r4 2r3 0 0 3
0 1 0
1 2
3
4
2
(1)
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i i
j
( A);
k ( A); k
j