变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)
变质量动量定理
N m0 mf
（c）
称N为质量比（有些资料取 N mf /m0 为质量比） 令
f r ln N
（b）
称 f 为火箭的特征速度
它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度
由式（d）可得 N m0 ef /r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式
它表明在 r已知时
t Fdt
0
t 0 Fadt
t Fdt
0
m m0
1dm（6－14）
式如（果并6－入1或4）放称出为质变量质的量绝质对点速动度量定1 理0的积分形式
则式（6－13）成为
d
(m)
F
dt
此式与不变质量质点的动量定理形式相同
但其m=m( t )是变量 将其积分有
显然
可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配
例如二级火箭（n=2）m1 : m2 12 :1 三级火箭（n=3） m1 : m2 : m3 13.7 : 3.7 :1
如图所示
横坐标n代表火箭级数
纵坐标 m / m p代表火箭总质量 mmin与载荷质量m p 之比
欲将人造地球卫星送入轨道
火箭的最终速度应达到n 7.8km/s
（d）
如果取m p / m 1/100 则 m2 / m 1/10 ， m1 / m 9 /10
如果仍用 0.8 、r / g 300s
则由式（d）可得 2max 7500 m/s 这显然比 m1 m2时的 2 6000 m/s 要大得多
下面讨论多级火箭
设各级火箭的质量分别为 m1，m2 ， ，mn
将其对m2求导 并令 d2 / dm2 0
2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
由(1)(2)两式可得
mv mv mu F (t t )t
(3) (4) (5)
做泰勒展开
dF (t ) F (t t ) F (t ) t ... dt
(4)代入(3)，只保留一阶无穷小，可得
mv mv mu F (t )t
向运动方向(在无外力的情况下，火箭做直 线运动)投影可得
dv dm m vr 0 dt dt
dm dv v r m
做定积分
dm v0dv vr m0 m
v m
m0 1 v vr ln v0 vr ln v0 m f (t )
7
2.7 变质量物体的运动
8
2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
变质量的含义 这里的变质量是指：物体吸收外界质量， 或者释放自身质量。 另外，这里只考虑物体质量连续改变的情 况，即m(t)是对时间可微的函数。
2
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
v
A, m
u
B, △m>0
v+△v
t
A, m+△m
t+△t时刻
t时刻
解：设火箭的速度为v, 燃料以绝对速度u喷出， 则火箭的运动微分方程为
d ( mv ) dm u0 dt dt
(1)
(2)
u=v+vr 其中 (2)代入(1)可得
dv dm m 变质量物体的运动 dv dm m vr 0 dt dt
例题
(3)
上式两边同时除以△t, 并取 t 0 可得
d dm ( mv ) u F (t ) dt dt
变质量物体运动微分方程应用探讨
变质量物体运动微分方程应用探讨
26
株 洲 工 学 院 学 报 2006 年
该题如用牛顿第二定律或机械能守恒定律解答是 很容易的 。 取 x 轴沿斜面向下 , x 轴原点在斜面顶点 O , 链条总质量为 M , 时刻 t 时斜面上链条长度为 x , 由牛 顿第二定律 , 可写出如下方程 :
M
dv M = xg sinα, 解得 : v = x dt l
g sinα 。 l
但本文旨在讨论用变质量运动微分方程解题 , 故 采用如下解法 : 首先取斜面上的那段链条 ( m = ρ x ) 为研究对象 , 作用在这段链条上的外力有重力 mg , 法向反力 N , 及 O 处 ( 斜面与平面的交点处) 链条之间的拉力 T , 由于 连成一体 , 并入的链条 d m 与链条 m 速率相等 , 但应注 意 u 是代表微质量 d m 与 m 合并前的瞬时速度 , 此处微 质量 ( d m = ρ d x ) 在并入前速度方向为水平方向 , 分解 到沿斜面方向为 vcosα, 重力沿斜面方向的分力为 mg sinα, 应用式 ( 2) 写出沿斜面方向的分量方程如下 : dv dm m = mg sinα - T + ×( vcosα - v) 。 dt dt dv 2 化为 :ρ x =ρ gx sinα - T + ρ v ×( cosα - 1) 。 ( 3) dt 再取平台上那段链条为研究对象 , 其质量为 m′= ρ( l - x ) , 取 x 轴沿水平向右 , 注意 u 代表微质量从主 体分出后的瞬时速度 , 不断放 出 的 微 质 量 ( d m′ = - ρ d x ) 在分出去后的瞬时速度沿斜面方向 , 分解到水 平方向为 v量方程为 : dv d m′ m′ = T′ + ×( vcosα - v) , dt dt dv 2 ( 4) 化为 :ρ( l - x ) = T′ - ρ v ( cosα - 1) 。 dt 不计摩擦 , 在拐角 O 处两段链条之间拉力为相互 作用力 , 大小相等 , T = T′ , 式 ( 3) 和式 ( 4) 相加 , 得 : dv ρ ( 5) l =ρ gx sinα; dt v x g sinα g sinα ( 6) vd v = xd x , v = x 。
第九讲 变质量物体的运动
第九讲 变质量物体的运动教学时间：2学时教学目的要求：使学生熟练掌握变质量物体的运动微分方程——密舍尔斯基方程并能解决实际问题。
重点：密舍尔斯基方程的应用。
难点：如何判断对具体问题使用哪种密舍尔斯基方程。
教学方法：数学推导结合典型实例分析。
讲授要点及内容：日常生活和生产实践中，我们经常见到物体在运动过程中其质量不断发生变化，例如： 喷气飞机、火箭、洒水车、下落的雨点等等。
定义：若物体在运动过程中，其质量随时间不断变化，则物体的这种运动称为变质量物体 的运动。
说明：1）本节只研究物体运动时，其质量按一定规律变化的情况。
2）本节所研究的变质量物体可视为质点。
3）本节研究物体的质量随时间变化，与相对论中物体的质量随速度变化就有本质 的不同。
（一）对变质量物体运动的初步分析1、基本概念主体——质量随时间不断变化的运动物体（如飞机、雨滴）。
并体（分体）——在dt 时间内合并到主体上或从主体上分出的微质量物体。
2、问题的实质——将主体和并体（或分体）均视为质点并且由于合并（分开）瞬时它们之 间存在相互作用力，因此问题的实质应为质点组动力学问题。
3、研究问题的着眼点——质量不断发生变化的主体的运动规律应是研究问题的着眼点，因 此这类问题又可视为主体的质点动力学问题。
4、研究问题的方法——从质点的动力学基本定理出发，最后归结为主体的运动微分方程。
（二）变质量物体的运动微分方程（以质量不断增加为例）设：1）t 时刻，主体质量为m ，相对于某惯性系的绝对速度是v r ，并体质量为dm ，相对于同一惯性系的绝对速度为u r 。
2）在dt 时间内主体与并体完成合并。
3）在t dt + 时刻，主体的质量变为m dm + ，相对于同一惯性系的速度为v dv + r r。
4）在dt 时间内，作用在和的外力主矢量为F u r 。
根据质点组动量定理( )( ) ( )m dm v dv mv udm Fdt ++-+= r r r r u r ， 将该式展开并略去二阶无穷小量dmdv r，得 ( ) d dm mv u F dt dt -= r r u r （1）， ( ) dv dm m F v u dt dt =+- r u r r r （2） 可进一步将方程整理成两种形式（1）（2）两式均称为密舍尔斯基方程，使解决变质量物体运动的重要动力学方程。
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
§2.7 变质量物体的运动
1 ( Mt t 2 ) g ds (2Mt t 2 ) g (2Mt 2t 2 ) g 2 v dt M t 2( M t ) 2 ( M t ) (2Mt 2t 2 ) g M 2 g M 2 g ( M t )tg Mg ( M t ) M 2 g 2 ( M t ) 2 ( M t ) 1 1M M 2 / 2 gt g g 2 2 M t
将Δm ,m ，视为一质点组，外力矢量和为F，
则由动量定理得：(m m)(v v ) mv mu Ft mv mv mu mv Ft
dv dm m (u v ) F dt dt d (mv ) dm ——米歇尔斯基方程 uF dt dt 3.特例： 1)若u=0，即并入前或放出后的Δm绝对静止，则
§2.7 变质量物体的运动 一、变质量物体的运动方程 1.当物体m（主体物）在运动中，随时间t增长不断地有 质量放出或并入， 称为变质量物体的运动。 一般有m=m(t), 如：喷气式飞机， 火箭，下落的雨滴. 2.运动方程 t时刻,主体物m，v（绝对速度）,放出或并入微元质 量为Δm，u
t+Δt时刻,Δm与m合并，Δm +m的速度为v+Δv
d (mv ) F dt dv F 2)若u=v，则 m dt dv dm m 3)对火箭： F (u v ) F Fr dt dt
t 0, mv 0
dm dm dm Fr 源自 (u v ) vr vr | |i dt dt dt
dm 解: dt
积分得, m(t ) M t
u 0, F mg (M t ) g
变质量动力学
变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少,譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小,因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究.一般情况下,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究.关键词;变质量运动学动量定理动量距定理1。
变质量指点的运动微分方程1.变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时的质量为,速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时，它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为。
质点在瞬时的动量为：质点系在瞬时的动量为：根据动量定理得将上式展开得略去高阶微量，并以除各项，得或上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令则可以得到上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中是变量，是代数量.变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中常称为反推力。
2.两种常用的质量变化规律1。
质量按线性规律变化。
设变化规律为,式中, 皆为常数,该式代表质量随时间变化呈线性关系.由知,其反推力为由上式可知,当为常量时,反推力也为常量,且与方向相反。
3.质量按指数规律变化。
设变化规律为式中，全为常数。
由知，其反推力为令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度则当为常量时，也是常量,即由反推力而引起的加速度为常量。
2。
变质量质点的动力学普遍定理1。
变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量,其中是时间的函数，将动量对时间求导得得出记并入（或放出）质量的绝对速度为，即则有记称为由于并入（或放出)质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：=+上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和.将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得=+=+上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
变质量动力学方程
变质量动力学方程引言质量是物理学中一个非常重要的概念，它是描述物体的一个基本属性。
而动力学则是研究物体运动的学问。
相关公式和方程也是研究物理学的基础。
如今，科技日新月异，我们对于物理学的理解也在不断拓展。
本文将探讨变质量动力学方程，以此来扩展我们对于动力学的认知。
什么是变质量动力学方程？变质量动力学方程是描述质量不随时间恒定的运动的方程。
通常情况下，物体的质量是不变的，然而在某些情况下，随着时间的变化，物体的质量会发生改变。
若忽略这一情况，将会导致对于物体运动的描述产生误差。
变质量动力学方程使我们能更加精准地描述物体的运动状态。
通过加入质量随时间变化的参数，我们能更加准确地计算物体的速度和加速度变化。
变质量动力学方程的分类变质量动力学方程可分为两大类：单质点和多体系统。
单质点方程单质点方程适用于研究只有一个物体的运动。
下面是单质点方程的公式：$$\frac{d(mv)}{dt} = F$$其中，m是物体的质量，v是物体的速度，F则是物体所受到的力。
我们可以对d(mv)/dt进行简单的变形，得到以下形式：$$ma + v\frac{dm}{dt} = F$$这个方程是另一种形式的变质量动力学方程。
它不仅可以应用在单质点运动的情况中，也可以用于多体系统的运动中。
多体系统方程多体系统方程适用于两个以上的物体运动的情况。
下面是多体系统方程的公式：$$\frac{d(m_1v_1)}{dt} = F_{1,2} + F_{1,3} + ... + F_{1,n}$$$$\frac{d(m_2v_2)}{dt} = F_{2,1} + F_{2,3} + ... + F_{2,n}$$ $$......$$$$\frac{d(m_nv_n)}{dt} = F_{n,1} + F_{n,2} + ... + F_{n,n-1}$$其中，$m_1$到$m_n$是物体的质量，$v_1$到$v_n$是物体的速度，$F_{1,2}$到$F_{n,n-1}$则是物体之间的力。
理论力学_第六章_变质量动力学
dm F v r －－反推力 dt dv m F (e) F dt
－－变质量质点的运动微分方程
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
dm m0 知 由 dt
m m0 (1 t ) ， t 1
其反推力为
dm F vr m0 vr dt
1 2 v2 由于 mv dv d( mv ) dm 2 2
mv dv dmv v F dr dmv1 v
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr (v1 v )dm 2 2
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr Fa dr 2 2 －－变质量质点的动能定理 变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其 牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的 元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作 的元功之和。 1 2 1 2 2 d( mv ) v dm F dr vr vdm v1 v v vr v 2 2 F dr F dr
或
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连 运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力 所作的元功之和。
例 6－2 已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v1 流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜 面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。 求：若使砂子在斜面上的速度 v 为常数，倾角应为多少？
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
论文：一般变质量问题的动力学方程与解题方法
一般变质量问题的动力学方程与解题方法摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。
关键词：变质量，动力学方程， 合外力在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。
1.变质量物体的动力学方程在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。
设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v →（v <<c ），同时有一微小质量△m 以速度u →运动，并在t +△t 时间间隔内与m 相合并，合并以后的共同速度是v →+△v →。
如果作用在主体m 及微小质量△m 上的合外力为F →，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得（m +△m ）（v →+△v →）-（m v →+△m u →）=F →△t （1） m v →+△m v →+m △v →+△m △v →-m v →-△m u →=F →△t （2） △m （v →-u →）+m △v →+△m △v →=F →△t （3） 由于△m 是一微小质量，△v →是一微小速度，则△m △v →是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成△m （v →-u →）+m △v →=F →△t （4）对（4）式两边同时除以△t ，可得t△△m（v →-u →）+m △t △v →=F → （5）在（5）式中，使△t →0，对其求极限可得△t△mlim△t →（v →-u →）+ △t△lim△t v →→m=F →（6）dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F → （7）由于dt)d(m v →=mdtd v →+v→dtdm（8） 则m dtd v →=dt)d(m v →-v→dtdm（9） 即（7）式可以写成v→dtdm- u→dtdm + dt )d(m v →-v→dtdm =F →（10） 化简整理（10）式可得dt)d(m v →-u→dtdm =F →（11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式：形式一： dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F →形式二：dt)d(m v →-u→dtdm =F →2.变质量物体运动方程的应用在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。
变质量物体的运动
dm (m v) u F , ( m m (t ) ) dt dt d
F
m
t 时刻
但此时：
t t 时刻
m m ( t );
讨论: （1）
（2）
v u
dm dt
时 ：m
dv dt
F,
可正，可负，合‘ + ’，离‘ - ’ .
例：P.137. 由题意：
m0 m
m ms
)
m’ 更有效于v 的增加, 故采用多级火箭发射（3~ 4级）.
vr(
影响燃烧室的温度和压力, 故不能太大) 比增大
2. 喷射行程
m0 ① m 为直线率： m m 0 m 0 t vr t s s0 v 0t ln ( 1 t ) d ( 1 t )
d
dm d dm (m v) u F, m v F (u v) dt d力： Fr
m 0 v r ( 常量 ) Fr v r
m ② 指数率： m 0 e
t
, 则 :s s0 v 0 t
0
s s0 v 0 t v r
t
ln
m
dt
0
( ln xdx x ln x x c )
s s0 v 0t
vr
[( 1 t ) ln ( 1 t ) t ]
* m 为直线率说明反冲力是常量. dm m m 0 m 0 t , 则， m 0 ( 常量 ) dt
1 2
v rt
2
* m 为指数率说明反冲力引起的附加加速度是常量.
Fr v r dm dt m 0 v r e
非惯性系中变质量质点的运动微分方程与应用
变质量质点的运动微分方程
v3 vr ln K1K2K3 2.5ln 33 km/s 8.24 km/s
显然v3 已超过第一宇宙速度。
例9-8
有一链条长 l ，每单位长度的质量为 ，堆放在地面上，如图9-11
通常称 为火箭的反推力，并写成
dm dt
vr
例9-7
如图9-10所示为一火箭垂直于地面向上发射时的情况。已知其初速
度为 v0 ，初始时质量为 m0 。经过时间 T 后，燃料烧完，火箭质量
为 m1 ，求这时火箭所具有的速度。（设火箭向后喷射燃料的相对
速度 vr 为一常量。）
解
取火箭为研究对象，将其视为一个变质量质点。
分方程和投影形式，可得
m dv F mg v dm
dt
dt
已知 v 常数 ，所以 dv 0 ，dm v ，则有 F mg v2 0
dt
dt
得
F(t) vgt v2
再以整个链条为研究对象，其受力如图9-11所示，链长所具
有的动量为
p mv (vt)v v2t
应用动量定理在 y 轴上的投影式得
dt
dt
记 vr u v ，即 vr 在时刻t时，质点 dm 对于质点m的相对速
度，则上式可改写成mBiblioteka dv dtF (e)
dm dt
vr
（9-23）
令 则式（9-23）改写成
dm dt vr
m dv F (e)
dt
（9-24）
式（9-24）就是变质量质点的运动微分方程。式中的 具有力的
单位，当 dm/dt 0 时， 与vr 同向；当dm/dt 0 时， 与 vr 反向。
§2.7 变质量物体的运动
则由动量定理得：(m m)(v v ) mv mu Ft mv mv mu mv Ft
dv dm m (u v ) F dt dt d (mv ) dm ——米歇尔斯基方程 uF dt dt 3.特例： 1)若u=0，即并入前或放出后的Δm绝对静止，则
d (mv ) F dt dv F 2)若u=v，则 m dt dv dm m 3)对火箭： F (u v ) F Fr dt dt
t 0, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱmv 0
dm dm dm Fr (u v ) vr vr | |i dt dt dt
1 2 1M M 2g s gt gt ln(M t ) C 2 4 2 2
M g t 0, s 0 C ln M 2 2 2 1 1 2 M M t s g[ t t 2 ln(1 ) 2 2 M
2
1 ( Mt t 2 ) g ds (2Mt t 2 ) g (2Mt 2t 2 ) g 2 v dt M t 2( M t ) 2 ( M t ) (2Mt 2t 2 ) g M 2 g M 2 g ( M t )tg Mg ( M t ) M 2 g 2 ( M t ) 2 ( M t ) 1 1M M 2 / 2 gt g g 2 2 M t
—反推力，与运动方向相同
4.注意: 1) 2) 变质量是指主体物m=m(t)，质点组总质量不 变. 并入dm>0，分出dm<0
3) u是Δm并入前或分出后的瞬时速度，F为作用 于m,Δm上的外力矢量和。
变质量系统力学浅谈
变质量系统力学浅谈姓名：傅航 学号：000663 班级：精仪01课本中给出了一个变质量质点的运动微分方程：设变质量质点P 在惯性系Oxyz 中运动，用1u 和2u 分别表示在时刻t 从质点P 分离出去和并入的微粒的绝对速度，用1m ∆和2m ∆分别表示分离质量和并入质量，质点P 的绝对速度为v ，令1122,r r u u v u u v =-=-，则：1212r rdm dm dvmF u u dt dt dt =-+（1） 当只有分离质量或只有并入质量时，上式可化简为：rdv dmmF u dt dt=+（2） 当分离或并入质量的绝对速度为零时有：()d mv F dt=，形式上常质量质点动量定理的微分形式相同；当分离或并入的相对速度为零时有：dvm F dt=，形式上与常质量质点运动基本方程相同。
令111rdm u dt Φ=-，222r dm u dtΦ=，12Φ=Φ+Φ，其中Φ称为反推力，则（1）式可变为：dv m F dt=+Φ（3） 此即密歇尔斯基方程。
由于21dm dm dm dt dt dt=-，令1212rrr dm dm u u dt dt u dm dt -+=，ru v u =+，则 rdv dmm F u dt dt =+ ()d mv dmF udt dt=+（4） 此即变换了的密歇尔斯基基本方程。
下面介绍变质量质点动力学普遍定理 一、动量定理设变质量质点任一瞬时的质量为m ，绝对速度为v ，则其动量为p mv = 故可将（4）式变为dp dm F u dt dt=+（5） 因为r u v u =+，所以dp dmF vdt dt=+Φ+（6） 这是变质量质点动量定理的另一种形式。
二、量矩定理设变质量质点的运动用由定参考坐标系原点引出的矢径r 来描述，则该质点的动量对坐标原点的动量矩为L r mv =⨯()()()()dL d dr d d dr mv mv r mv v mv r mv r mv dt dt dt dt dt dt=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯ 把（4）式代入得：dL dmr F r u dt dt=⨯+⨯（7） 三、动能定理2222dT d mv dm v dvmv dt dt dt dt⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 把（4）式代入得22dT dm v F v v dt dt =++Φ（8） 又因drv dt=，所以上式可以改写成 2222mv v d dm F dr dr ⎛⎫=++Φ ⎪⎝⎭（9） 变质量刚体动力学普遍定理一、概念变质量质点系是有限个或无限个变质量质点的集合，各质点之间有着各种形式的联系，这些质点的运动都由变换了的密歇尔斯基方程来描述，即()()(1,2,3,...,)e i iii i dv m F F i n dt=++Φ= 式中i m ——点i 在瞬时t 的质量； i v ——点i 相对定参考系的速度 ()e i F ——作用于点i 的所有外力的合力()i i F ——作用于点i 的所有内力的合力 i Φ——作用于点i 的反推力，其值为()1r i i dm v dtΦ=其中12i i i dm dm dm dt dt dt=-()()1212()r r i i i i r i i dm dm v v dtdt v dm dt-=相加得：1niii dv m R dt==+Φ∑（10） 因为()1ne iic i dv m ma dt==∑，()()()e r k c c c c a a a a =++ 所以()()r k c c c ma R ma ma =+Φ++（11）此即变质量体的质心运动的第二个定理。
变质量问题研究
变质量问题研究摘要:早在16世纪，著名的物理学家伽利略就对动力学进行了系统的研究。
伽利略开创科学实验方法，以此来探究力和运动的一般规律，继而总结出可以描述质点的加速运动的数学理论。
再后来，著名的物理学家牛顿分析、总结并推广了伽利略的动力学原理，他在前人研究的成果基础上建立了著名的牛顿运动定律,为后人的研究提供了简便的方法。
后又于1687年，在他自己的著作《自然哲学的数学原理》中，总结并阐述了当时所了解到的力学规律，从而奠定了经典力学理论体系的基础。
在牛顿之后，人们大约历经半个多世纪的探索与争论，又相继建立了三大守恒定律。
当今时代，由于火箭、航天技术的发展，变质量力学问题研究越来越显得重要。
而变质量系统力学所应用的范围，不再局限用于研究火箭的运动，也应用在自然界和许多工程技术中，也可以举出许多变质量物体的例子。
要研究与解决有关这些变质量物体的动力学问题，都需要运用变质量力学的基础理论。
所以对于变质量问题的研究和解决显得尤为重要，本文将结合实例对变质量问题进行具体问题具体分析和解决，使其在人类的实际生产生活中具有更重要的意义。
关键词:变质量系统;物理模型;动量守恒定律;动能定理1.变质量系统的概念质量是经典物理学中最基本的物理概念，在理论力学的教学中，除了研究运动过程中质量保持不变的物体外，还需研究一些在运动过程中质量发持续不断变化的物体，即所说的变质量物体。
这类物体在工程技术及自然生活中不乏实例，所以对他们的研究显得尤为重要。
经典变质量这类问题是在理论力学中质点组力学方面的一个重要应用内容。
关于变质量问题，一般的教材是这样进行描述的：“在经典力学的范围内，物体（质点）的质量m 通常被视为是常数，但是我们经常会遇到质量为变数的情况。
”如火箭在飞行中质量不断减少 , 星体在太空运动中俘获物质使质量不断增加。
又如 , 空间飞船问题、落链问题等等。
这些问题的共同特点是物体( 质点 ) 在运动中持续的减少质量或有质量加入其中 , 而使物体质量持续变化。
变质量动量定理
d dm m mg r dt dt 设初始时刻t=0时 0 m m0 且 r为常量
将式（f）积分得
（f）
m0 0 gt r ln m
（g）
例 6－2 二级火箭及多级火箭 单级火箭具有重大的缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大 任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠 当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷
m0 N mf
m0 N ef / r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式 它表明在 r 已知时 欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用 运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
（6－5）
（2）质量按指数规律变化 设变化规律为
dm t m e m ， 由 知 式中 0 皆为常数 0 dt 其反推力为
变质量物体的运动微分方程研讨
变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 1: 瑞锋变质量物体的运动微分方程及火箭运动瑞锋(物理与电气工程系09级物理学专业,1)摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。
但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。
那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量)(m 2t 和进入质点系的质量)(1t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t在t=0时刻为m 0，则它随着时间的变化规律为)()()(21t t t m m m m +-=，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。
设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。
在瞬时t ，质点的质量为m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。
关于变质量物体运动的讨论
关于变质量物体运动的讨论
李进梅
【期刊名称】《安徽科技学院学报》
【年(卷),期】2004(018)005
【摘要】研究物体运动与物体质量变化之间的关系,阐述牛顿运动定律的局限性和动量守恒定律的普适性,指出具体问题具体分析.
【总页数】3页(P52-54)
【作者】李进梅
【作者单位】滁州职业技术学院,安徽,滁州,239001
【正文语种】中文
【中图分类】D313.6
【相关文献】
1.关于变质量物体运动速度推导的讨论 [J], 王英
2.关于变质量物体运动方程的讨论 [J], 廖春雨
3.关于变质量物体运动方程的讨论 [J], 王建国
4.“变质量”物体运动问题的讨论 [J], 徐滔滔;孙向阳
5.对变质量物体运动问题的讨论 [J], 柯卫华
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)
变质量物体的运动微分方程及火箭运动
专业：物理学
学号: 0840********
姓名: 秦瑞锋
变质量物体的运动微分方程及火箭运动
秦瑞锋
(物理与电气工程系09级物理学专
业,0840********)
摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.
关键字: 变质量系统运动微分方程火箭动能定理动量定理
一、变质量物体的基本运动微分方程
在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。
但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和
度为u 。
在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。
于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为
v +d v 。
对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt
dm 为负。
m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为mv +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为
(m +d m )(v +d v )。
在d t 时间内，动量的增加t F p
d ∆⋅=
为：
p
d
＝(m ＋d m ))(v d v +－(m v ＋u
d m )。
将上式展开并略去二阶微量，再根据牛顿第二定律，就得到变质量质点的基本运动微分方程：
dt
dm F dt v d m r
v
+=，(1)
式中v u v
r
-=是微粒相对于变质量质点的速度。
若
把上式右端第二项记为F r
，就得：
F r F v d
+=dt
m (2)
这是变质量质点的基本运动微分方程的另一种
形式，式中F
为外力。
F r
具有力的量纲，称为反
作用力。
三、下面将根据变质量系统的微分方程来研究火箭的运动
火箭的速度就是靠发动机向外喷气的方式来增
加，火箭的运动也就是变质量物体的运动。
F r
就
是放出物质对火箭的推力T ，即dt
dm T v
F r
==r
，式中v u v
r
-=是放出物质相对于火箭的速度，由于
0<dt
dm ，推力 T 与相对速度为反向，故火箭在直线
运动中的运动微分方程可写作：
T F dt
v d
+=m ， （3）
式中F
包括诸如重力和空气阻力等外力。
这方程表明，火箭由于发动机喷出微粒而受到推力T。
（1）火箭在真空中的运动
设变质量质点P 在重力场外的真空中运动，如果将火箭看做质点并忽略皆知的阻力、引力等，这样的变质量质点可以作为在宇宙空间中运动的
火箭的模型，那么外力为0，由方程（3）可得火箭运动的方程：
v r
dt dm
=dt v d m ，
（4）
其中v r
是燃料相对于火箭的速度。
v
r
的大小是常数并且与火箭的速度v
相反。
火箭沿着v
r
的方向作直线运动将方程（4）向Ox 轴投影可得，
v r
dt dm
-=dt dv m
，(5)
其中v r
是相对速度v
r
的大小。
假设t=0时刻火箭的质量为m 0
，速度为v 0
，对（5）式积分可得
V(t)= v 0+])
(1ln[0
v t m
m r
+。
(6) 从（6）式可以看出，火箭在某时刻的速度由两个因素决定：初速度 ；相对速度；火箭初始质量与当前质量之比。
假设燃料的初始质量为m f
，
火箭在燃料燃烧完成时质量为m s
，自然有
m m m s
f
+=0
，所以燃料燃烧完成时火箭的速度为
)1ln(0m
m v v v s
f r w +
+=， （7）
由（7）可知，火箭最终的速度不依赖于质量变化规律与燃料消耗的快慢无关，而是依赖于燃料的初始质量，火箭自身的质量，以及燃料产生气体的相对速度。
（2）火箭在均匀重力场的竖直运动
假设火箭在均匀重力场中运动，不考虑阻力。
将火箭看做质点，初始速度为0，初始质量为m 0。
燃料分离时的相对速度为v
r
，大小为常数，方向竖直向下。
假设火箭质量随时间的变化规律为
e
t
α-=m 0m 。
火箭受到的外力为重力，方向竖直向下，根据（3）式有，
v r
dt dm
dt dv --=mg m
， （8）
将（8）式积分，可得火箭的速度，
gt
t m m
-=)
(ln
v 0
r v ， （9）
设t=0时h=0,对（9）式进行积分可得，上升高度h 随时间的变化公式为
t
m
g dt t m t
o 20
r 21)
(ln
h v -
=⎰， （10）
因为，t
e t m α=)
(m 0
，再对 （9）（10）进行计算可得， t
g v r )(v -=α （11） 2)(2
1
t g h v r -=
α (12)
从（11）、(12)可以看出，反作用力产生的加速度大于重力加速度，火箭才会上升。
下面分析一下燃料燃烧完事火箭的高度，设燃质量为m f
，火箭质量在燃烧结束时为m s
，t
s e m α-=0
m ，
m m m f
s +=0可解得)1(ln t
m
m s
f w
+=α，带入（11）、(12)
可以得到在燃料燃烧完成时，火箭的速度和高度。
α
α
t v )(w
r w g
v -=， （13） 2
2
)(2h α
αt v w r w a
g
-=
，（14）
在燃料燃烧完后，火箭还会上升一段距离，它的质量不再变化，上升的距离g
v w
22
1
h =。
上升的总距离
)
1
(2)]
1[ln(2
1α
-
+
=
+g
v
v m m h h r
r
s
f
w ， （15）
从（15）可知，随着α的增加，火箭上升的总高度也会增加，当∞=α时总距离取得最大值
g
2)]
1[ln(22
1
max
h v m m h
h r
s
f
w
+
=
+= （16）
火箭在主动加速段取得上升高度最大值，α需满足怎样的条件？ 从（14）可得
3
2
22)
(h a g v t
r
w w αα
α
-=∂∂， （17）
由（16）可知当v
r
g 2=α时，主动加速段上升的距离
取得最大值
g
8)]1[ln(22
v m m h
r
s
f
w
+
=
（18）
此时火箭上升的高度为
g4)]
1
[ln( h
2
2v m
m
r
s
f
+
=，
为h
max
的一半。
参考文献：1、《理论力学》，刘延柱，杨海兴著，1991年6月第一版，高等教育出版社；
2、《理论力学》，马尔契夫著，李俊峰译，2006年一月第一版，高等教育出版社；
3、《理论力学》，周衍柏著，1979年四月第一版，高等教育出版社。