1.4乘法公式与全概率公式

解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
法一:
P(B | A) k n
C
1 2
C
1 92 9.法二A：发生P后(的B缩| A减) P(AB) 样本空间所含样 P(A)
本点总数
在间本A缩中点332 /减个B/1所A0样数120含本样空92
;
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例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
打破的1,概 若率 第为 一次,落 第下 二未 次打 落 2
打破的 7,若 概前 率两 是,第 次三 未次 打落 破 破的概9率 1 ,试 0是 求透镜落破 下的 三概 .次率 未
10
解 设 A i 透i次 镜落 第 ,i 1 ,下 2 ,3 , 打
B透镜落下三,则 次B未 A 1A 打 2A 3破 .
§1.4 条件概率与三个概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
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一、条件概率
对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言 的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出 附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另 一事件A发生的概率。
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
2020/5/24
练习 1.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=____0____
2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6, P(AB)0.5
则P(B| A)
解 :由 P (A B )P (B )P (A)B
P (A) B P (B ) P (A B ) 0 .1
P B P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 |A 1 P A 3 |A 1 A 2
11 211701190
3 200
.
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例4 设 某 光 学 仪 器 厂 制 造 的 透 镜 , 第 一 次 落 下 时
打破的1,概 若率 第为 一次,落 第下 二未 次打 落 2
AAA (B 1 B 2 B n)
A1B A2B AnB
显 然 A 1 ,A 2 B , ,A B n 也 两 B 两 不 相 容 ，
B3
B1
A
B6
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B4 B2
B5
B7 B8
设 B 1,B 2,,B n为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A ， 有
AAA (B 1 B 2 B n)
打破的 7,若 概前 率两 是,第 次三 未次 打落 破 破的概9率 1 ,试 0是 求透镜落破 下的 三概 .次率 未
10
解 B1第一次落下,未B2打 第 破二次落下,未
B3 第三次落下未 , 打破
P B P B 1B 2B 3P B 1P B 2P B 3
11 211701190
3 200
.
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加权平均
例6 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问 第二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P (B ) P (A ) P (B |A ) P (A ) P (B |A )
a a1 b a a . a b ab1 a b ab1 ab
P (A ) P (A 1 ) B P (A 2 ) B P (A 3 )B
P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) P ( B 3 ) P ( A | B 3 )
0 . 3 0 . 0 0 . 3 2 0 . 0 0 . 3 5 0 . 0 0 . 1 0 . 2
解 记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯， Bi :箱中有i件次品(i =0,1,2)，
由题设知，P ( B 0 ) 0 . 8 ， P ( B 1 ) P ( B 2 ) 0 . 1 ，
P(A|B0)1, P(A| B1)C C12449054, P(A|B2)C C1244801192, 由全概率公式知
可 以 想 见 ， 第 三 次 、 第 四 次 … 摸 出 白 球 的 概 率 仍 为
a， 这 体 现 了 抽 签 好 坏 与 先 后 次 序 无 关 的 公 平 性 . ab
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例7 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2 只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一 箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4 只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回. 试求顾客 买下此箱玻璃杯的概率.
的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。 AB
若记B为至少有一男孩，则上述概率为
P(A| B) 2 2 4 P ( A ) P ( AB ) . 3 3 4 P (B ) P(B)
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条件概率的计算公式规定如下：
P(A| B) P(AB) (P(B)0) P(B)
例1 设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率。
现 在 有 了 新 的 信 息 已 知 (A发 生 ),我 们 对 B1,B2,,Bn发 生 的 可 能 性 大 小 P(B1|A)P ,(B2|A) , ,P(Bn|A)有 了
新 的 估 价 ， 称 为 "后 验 概 率 ".
全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式 的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经 发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为 P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B| A)P(AB) P(B) 0.40.5 P(A) P(A) 0.8
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不难验证条件概率具有以下三个基本性质：
(1) 非负性 P(A|B)0；
(2) 规范性 P(|B)1；
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全概率公式
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi) i1
利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的 计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分 别求概率然后求和．
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例5 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％,且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、1％， 试求：（1）市场上该品牌产品的次品率. 解 设A:买到一件次品；B1、B2 、B3分别表示买到 一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
(3) 可加性 设 A1 , , An 是 两 两 不 相 容 的 事 件 ， 则
n
n
P(UAi |B)P(Ai |B)
i1
i1
并由此推出条件概率的其它性质：
(4) P(Φ|B)0；
(5 ) P (A |B ) 1 P (A |B );
( 6 ) P ( A 1 A 2 | B ) P ( A 1 | B ) P ( A 2 | B ) P ( A 1 A 2 | B )
若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为2/3.
2020/5/24
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为2/3. 我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生
2
1412448
P (A )i 0P (B i)P (A |B i) 0 .8 1(5 0 1) 947 . 5
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四、贝叶斯公式
在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂生 产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式 .
在全概率公式的假定下，有
P(Bk
|
A)
P(ABk) P(A)
P(Bk )P(A| Bk )
这一故结贝果叶？斯公式也称为“逆概公式”。
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例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整 得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生 某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器 开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某
天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良 好的概率是多少？
乘法 公式
推广到三个事件：
P ( A) B P ( A ) C P ( B |A ) P ( C |A ) ， B
一般, P (A1A2…An )
=P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
与次序无关。
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例3 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一 等品,求一等品率.
从P 而 (B|A)P(AB )1 P(A) 7
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注：概率 P(A|B)与P(AB)的区别与 联系
联系：事件A，B都发生了 区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异， B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本 空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S 。
因而有 P(AB)P(AB)
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作业
P:19 习题1-4 1
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二、乘法公式
由条件概率的公式： P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 P(AB).
即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B) 若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A)