专题58:古典概型基本事件个数的四种求解方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题58:古典概型基本事件个数的四种求解方法
(1) 枚举法
例1 (2012江苏卷,T6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率 .
例2.(2010山东卷T19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n ,求的概率.
(2) 列表法
当实验是两步实验,而且每一步的结果较少时也可以用枚举法,但当每一步的实验结果较多时,列表法就比较有优势
例3 :同桌两人玩游戏掷骰子游戏,每人掷一次骰子并计算两次点数之和的奇偶性来决定胜负,甲选定奇数,乙选定偶数,这个游戏规则对双方是否公平?
例4:从含有三件正品和两件次品的五件产品中,先后任取两件,根据下列条件,求恰有一件正品的概率:
(1)第一次抽取是无放回的;
(2)第一次抽取是有放回的;
解析:设三件正品分别为A 、B 、C ;两件次品分别为:M 、N ;
2n m <+
(1)第一次抽取是无放回的基本事件如下:
显然,基本事件的总数为,其中,同时含A、B、C中一个,再含M、N中一个的基本事件个数为
于是,此时恰有一件正品的概率为
(2)第一次抽取是有放回的基本事件如下:
显然,基本事件的总数为,其中,同时含A、B、C中一个,再含M、N中一个的基本事件个数为
于是,此时恰有一件正品的概率为
点评:本题的基本事件借助于矩形列举法,通过上述的矩形,很容易揭示基本事件的构成规律,抓住这个规律,很快写出了所有的基本事件。
演练:同时抛两个骰子,求向上的点数之和为的概率。
解:把两个骰子着色红与蓝,用表示红骰子出现的点数,用表示蓝骰子出现的点数,再用数对来表示出现的可能结果,其基本事件如下:
共个结果;将向上的点数之和为的结果记为事件;由于,出现向上的点数之和为的结果分别为、、、、、共六种情况;
那么
(3) 树形图法
当实验是三步实验,甚至是更多步实验时,枚举和列表法就不是太好用了,此时树形图可以让基本事件清晰地展示出来.
例5 若同时抛三枚硬币,则出现“一正两反”的概率为.
例6 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计算第二个人摸到白球的概率.
例7:用1,2,3,4组成的各位数字不重复的四位数,求该四位数中大于3242的概率;
解析:用树形图列举所有满足条件的四位数如下
结合树形图,可知所有的四位数分别为:1342,1324,1432,1423,1234,1243,2413,2431,2143,2134,2314,2341,2143,2134,2314,2341,3142,3124,3214,3242,3412,3421, 4132,4123,4312,4321,4231,4213;
由此可得四位数的个数为24个,其中大于3242的有8个,那么,大于3242的概率为。
演练从长度分别为3、4、5、7、9的5条线段中任取3条,能构成三角形的概率为()
(A)(B)(C)(D)
解:用树形图列举所有可能的三条线段如下:
结合树形图,可知基本事件为“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”共10个,其中,有四个“”“”“”“”不能构成三角形;故能构成三角形的概率为,选B;
(四)三角形列举法
例3、一个盒子里装有标号为1,2,…,9的9个标签,随机的抽取两个
(1)2号签被抽出的概率是多少?
(2)2号签或3号签被抽出的概率是多少?
解析:基本事件如下:
显然,基本事件的总数为
(1)2号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行及第一行中的第一个,共8个。那么,2号签被抽出的概率是
(2)2号签或3号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行、第三行及第一行中的前两个,共15个。那么,2号签或3号签被抽出的概率是
点评:本题在列举基本事件中,结合三角形,使基本事件的规律看的非常清楚,因此,写起来也变得轻松、方便。
例4、现从A,B,C,D,E,F六人中选取三人参加一个重要会议,六人被选中的机会相等,求:
(1)A 被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率;
解析:基本事件如下:
显然,基本事件的总数为
(1)“A 被选中”所包含的基本事件是第一个三角形中的所有事件,其个数为。那么,A 被选中的概率为
(2)“A和B同时被选中”所包含的基本事件是第一个三角形中第一行的所有事件,其个数为。那么,A和B同时被选中的概率为
(3)“A或B被选中”包含的基本事件是第一个三角形与第个三角形中的所有事件,其个数为。那么,A或B被选中的概率为