专题58：古典概型基本事件个数的四种求解方法

专题58：古典概型基本事件个数的四种求解方法

（1） 枚举法

例1 (2012江苏卷,T6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率 .

例2.（2010山东卷Ｔ19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求的概率.

(2) 列表法

当实验是两步实验,而且每一步的结果较少时也可以用枚举法,但当每一步的实验结果较多时,列表法就比较有优势

例3 ：同桌两人玩游戏掷骰子游戏，每人掷一次骰子并计算两次点数之和的奇偶性来决定胜负，甲选定奇数，乙选定偶数，这个游戏规则对双方是否公平？

例4：从含有三件正品和两件次品的五件产品中，先后任取两件，根据下列条件，求恰有一件正品的概率：

（1）第一次抽取是无放回的；

（2）第一次抽取是有放回的；

解析：设三件正品分别为A 、B 、C ；两件次品分别为：M 、N ；

2n m <+

（1）第一次抽取是无放回的基本事件如下：

显然，基本事件的总数为，其中，同时含A、B、C中一个，再含M、N中一个的基本事件个数为

于是，此时恰有一件正品的概率为

（2）第一次抽取是有放回的基本事件如下：

显然，基本事件的总数为，其中，同时含A、B、C中一个，再含M、N中一个的基本事件个数为

于是，此时恰有一件正品的概率为

点评：本题的基本事件借助于矩形列举法，通过上述的矩形，很容易揭示基本事件的构成规律，抓住这个规律，很快写出了所有的基本事件。

演练：同时抛两个骰子，求向上的点数之和为的概率。

解：把两个骰子着色红与蓝，用表示红骰子出现的点数，用表示蓝骰子出现的点数，再用数对来表示出现的可能结果，其基本事件如下：

共个结果；将向上的点数之和为的结果记为事件；由于，出现向上的点数之和为的结果分别为、、、、、共六种情况；

那么

(3) 树形图法

当实验是三步实验,甚至是更多步实验时,枚举和列表法就不是太好用了,此时树形图可以让基本事件清晰地展示出来.

例5 若同时抛三枚硬币，则出现“一正两反”的概率为．

例6 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.

例7：用1，2，3，4组成的各位数字不重复的四位数，求该四位数中大于3242的概率；

解析：用树形图列举所有满足条件的四位数如下

结合树形图，可知所有的四位数分别为：1342，1324，1432，1423，1234，1243，2413，2431，2143，2134，2314，2341，2143，2134，2314，2341，3142，3124，3214，3242，3412，3421， 4132，4123，4312，4321，4231，4213；

由此可得四位数的个数为24个，其中大于3242的有8个，那么，大于3242的概率为。

演练从长度分别为3、4、5、7、9的5条线段中任取3条，能构成三角形的概率为（）

（A）（B）（C）（D）

解：用树形图列举所有可能的三条线段如下：

结合树形图，可知基本事件为“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”共10个，其中，有四个“”“”“”“”不能构成三角形；故能构成三角形的概率为，选B；

（四）三角形列举法

例3、一个盒子里装有标号为1，2，…，9的9个标签，随机的抽取两个

（1）2号签被抽出的概率是多少？

（2）2号签或3号签被抽出的概率是多少？

解析：基本事件如下：

显然，基本事件的总数为

（1）2号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行及第一行中的第一个，共8个。那么，2号签被抽出的概率是

（2）2号签或3号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行、第三行及第一行中的前两个，共15个。那么，2号签或3号签被抽出的概率是

点评：本题在列举基本事件中，结合三角形，使基本事件的规律看的非常清楚，因此，写起来也变得轻松、方便。

例4、现从A，B，C，D，E，F六人中选取三人参加一个重要会议，六人被选中的机会相等，求：

（1）A 被选中的概率；

（2）A和B同时被选中的概率；

（3）A或B被选中的概率；

解析：基本事件如下：

显然，基本事件的总数为

（1）“A 被选中”所包含的基本事件是第一个三角形中的所有事件，其个数为。那么，A 被选中的概率为

（2）“A和B同时被选中”所包含的基本事件是第一个三角形中第一行的所有事件，其个数为。那么，A和B同时被选中的概率为

（3）“A或B被选中”包含的基本事件是第一个三角形与第个三角形中的所有事件，其个数为。那么，A或B被选中的概率为