第三章 静电场的边值问题

u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度

1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理

V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0

场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图
f 2 (s) n S
(
) f 3 ( s) n S
边值问题研究方法框图
解析法
积分法
分离变量法
镜像法、电轴法 微分方程法 计算法
保角变换法

有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
证明唯一性定理用图
uu dS uu dS (u ) 2 dV
s S V
uu dS u
s S
u dS (u ) 2 dV V n
(1)
若导体边界为第一类边 界条件 , 即u 1 - 2 0,则式(1)右边也为零 , 即
已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件， 必须要求比值
r 为常数。与前同理，可令 r
r a ，由此得 d r f a
a2 d f
（4）点电荷与无限大的介质平面。
q
q et en
En
r0
E'
E t Et
q"
1 2
=
1 1
q'
r0
En

+
2 2
r0
第二章
复
习
本章主要内容是，讨论了真空中和介质中的静电场特性。根据 亥姆霍兹定理导出了静电场方程的微分形式，介质在静电场的作 用下发生的极化现象，静电场的边界条件，电容的计算，以及静 电场的能量和力的计算。 主要概念是，静电场，电场线和等位面，静电场的保守性，介 质极化，自由电荷和束缚电荷，介质的均匀与非均匀、线性与非线 性、各向同性与各向异性、以及静止与运动等特性，静电屏蔽，虚 位移法和广义力。
q q 4π a 4π f
（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -l r
l
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根
镜像电荷 l 。已知无限长线电荷产生的电场强度为
E
l er 2π r
因此，离线电荷r 处，以 r0为参考点的电位为

E1t E1t E2t
D1n D1n D2n
已知各个点电荷产生的电场强度分别为
q E1 e 2 r 4π1r
E1
q e ) 2 r 4π1 (r
E2
q e ) 2 r 4π 2 (r
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
1 2 1 1 2 2
n n
自然 边界条件
参考点电位 lim r 有限值
r
第一类 边界条件
第二类 边界条件
第三类 边界条件
一、二类边界 条件的线性组 合，即
为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分
n f 2 (s)
S
已知场域边界 上各点电位值
边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q 以产生 一定的电位。 q 的位置和量值应该如何? 心。
q q" q'
为了保证球面边界是一个等 位面，镜像电荷 q 必须位于球
为了满足电荷守恒原理，第 二个镜像电荷q 必须为
q q
以保证导体球表面上总电荷量为零值。 导体球的电位?
2 2 2 0 （阴影区域） 2 2 x y


缆心为正方形的同轴电缆横截面
( x b ,0 y b及y b ,0 x b )
U0
( x 2 y 2 a 2 , x 0 , y 0 )
0
x y
( x 0 , b y a )
2 2
体电荷分布的球形域电场
1 d 2 d 2 (r )0 2 r dr dr
(a r )
积分之，得通解
r 2 1 1( r ) C1 C2 6 0 r
边界条件
2( r )
C3 C4 r
1 r a 2
0
1 r
r a
r a
r r0
Edr
l r0 ln 2π r
若令镜像线电荷 l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 l 及 l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为
P
l r0 l r0 ln ln 2π r 2π r r l ln 2π r
介质
导体
r
介质 介质
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间 变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4 π r 4 π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
为简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷， 而这种方法称为镜像法。 依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。 关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可 能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P r q r q h h q P
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。

对于无源区，上式变为 2 0，式称为拉普拉斯方程。
——拉普拉斯算子
E t
E"
E
E n
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚 电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。
对于下半空间，可用位于原点电荷处的q" 等效原来的点电
荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数 为2 的均匀空间。
但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向 分量保持连续，电通密度的法向分量应该相等，即
0ra ar
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系 数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
部分完全相同。
z

电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
P r q r
P
介质
导体
q h
h q
r
介质 介质
*
根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表
面上感应电荷的总电荷量。
*
上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半
空间中，源及边界条件未变。
2
2 2 2 2 2 2 x y z
2
利用格林函数，可以求出泊松方程在自由空间或有限空间
的通解。
泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀介质。 例 列出求解区域的微分方程
2 1 0 2 2 0
2 3
3 3
三个不同媒质区域的静电场
（2）点电荷与导体球。
P a O d r q f r q
若导体球接地，导体球的电 位为零。为了等效导体球边界的 影响，令镜像点电荷q' 位于球心 与点电荷 q 的连线上。那么，球 面上任一点电位为

q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值
球面上任一点均具有同一数值。
r 对于 r
若 △OPq ~ △ OqP ，则
P a O d r q q
r a 常数 r f