北京交通大学-学年概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc

北 京 交 通 大 学

2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案

一．（本题满分8分）

某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：

设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分

()()40951.010

91155

=-=-=A P A P ．…………….6分

二．（本题满分8分）

设随机事件A ，B ，C 满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16

1

==BC P AC P ．求随机事件A ，B ，C 都不发生的概率． 解：

由于AB ABC ⊂，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有

()0=ABC P ．…………….2分

所求概率为()C B A P ．注意到C B A C B A ⋃⋃=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ⋃⋃-=1…………….2分

()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8

3

016116104141411=-+++---

=．…………….2分 三．（本题满分8分）

某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p ，()10<

{}次命中目标次射击时恰好第第26P

{}次射击时命中目标次目标，第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ⋅=…………….2分

()()4

24

1

15151p p p p p C -=⋅-=．…………….4分

四．（本题满分8分）

某种型号的电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的密度函数：

()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000

10001000

2

x x x x p ．

⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）． 解：

⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ，则

(){}()32

10001000150015001500

21500=-===>=+∞

+∞

+∞

⎰⎰x dx x dx x p X P A P ．…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ，则所求概率为()A B P ． ()()(){}(){}()

A P X P A P X X P A P A

B P A B P 20002000,1500>=>>==

．…………….2分

而 {}()21

10001000200020002000

22000=-===>+∞

+∞

+∞

⎰⎰x dx x dx x p X P ， 所以， (){}()

43

3

221

2000==>=A P X P A B P ．…………….2分

五．（本题满分8分）

设随机变量X 服从区间[]2,

1-上的均匀分布，而随机变量

⎩⎨

⎧≤->=0

101

X X Y ． 求数学期望()Y E ． 解：

(){

}(){}1111-=⨯-+=⨯=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤⨯-+>⨯=X P X P …………….2分

()()⎰⎰⎰⎰-∞

-+∞-=-=0

1

200031

31dx dx dx x p dx x p X X

3

1

3132=-=

．…………….4分 六．（本题满分8分）

设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：

()t X 的分布列为(){}()t

k e k t k t X P λλ-==!

，()Λ,2,1,

0=k ．…………….2分

因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-=

=e k k X P k

!

1，()Λ,2,1,0=k ．

由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．…………….3分

因此，(){}(){}()25

24

25111!

0521021125ln 220

=

-

=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ

．…………….3分 七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,

的联合密度函数为

()⎩⎨

⎧<<<<=其它

020,101,

x

y x y x f 求：⑴ 随机变量Y 边缘密度函数()y f Y （4分）；⑵ 方差()Y D （4分）． 解：

⑴ ()()⎰+∞

∞

-=

dx y x f y f Y ,

．

因此，当0≤y 或者2≥y 时，()0=y f Y ．…………….1分 当20<