地震定位基本原理

1、Hypo2000定位方法的基本原理

1.1基本原理

Hypoinverse 算法是在Geiger 法的思想上发展起来的一种单事件绝对定位方法。设n 个台站的观测到时为t 1,t 2,…,t n 求震源位置 x o ，y o ，z o 及发震时刻t o ，使得目标函数最小。

∅ t 0,x 0,y 0,z 0 = r i 2n i=1 1

其中r i 为到时残差

r i =t i −t o −T i x o ，y o ，z o （2）

T i 为震源到第i 个台站的计算走时。

使目标函数取极小值，即

∇θ∅ θ =0 3

其中θ= t o ,x o ,y o ,z o T ,∇θ= ∂

∂t o ,∂∂x o ,∂∂y o ,∂∂z o T

。 g θ =∇θ∅ θ 4

在真解θ附近任意试探解θ∗及其校正矢量δθ满足

g θ∗ + ∇θg θ∗ T T δθ=0 5

即 ∇θg θ∗ T T δθ=− g θ∗ 6

由∅的定义可得公式（6）的具体表达式

∂r i ∂θj ∂r i ∂θk +r i ∂2r i

∂θj ∂θk

θ∗δθj =− r i ∂r i ∂θk θ∗n i=1n i=1 7 若θ∗偏离真解θ不大，则r i θ∗ 和 ∂2T i ∂θ

j ∂θk θ∗较小。可忽略二阶导数项，上式被简化为线性最小二乘解：

∂r i ∂θj ∂r i

∂θk n i=1δθj =− r i ∂r i ∂θk θ∗

n i=1 8 以矩阵形式表示，上式为

A T A δθ=A T r

其中

A = 1∂T 1∂x 0 ∂T 1∂y 0 ⋮⋮⋮1∂T n ∂x 0 ∂T n ∂y 0 ∂T

1∂z 0⋮∂T n ∂z 0 θ∗

,r = r 1

⋮r n 9 若二阶导数项不可忽略。则式（7）给出的非线性最小二乘解

A T −A ∇θA T r δθ=A T r 10

通常各站台的到时数据具有不同的精度，若果不加以区别，则具有较低精度的数据将影响结果的精度，这一问题可以通过引入加权目标函数来解决。设各台站到时残差r i 的方差为σi 2，引入加权目标函数 ∅r θ = r i 2n i=1 θ 1

σi 2 11

按照上述同样的步骤，得到如下加权线性最小二乘解

A T C r −1A δθ=A T C r −1r 12 其中C r 为加权方差矩阵：C r =diag σ12,…,σn 2 。

求得δθ后，以θ=θ∗+δθ作为新的尝试点，再求解相应方程。如此反复迭代，直到∅或∅r 足够小，此时即得估计解θ

。[4]