第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用

【教学目标与要求】

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，

了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

【教学重点】

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

【教学难点】

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。

【教学课时分配】 (18学时)

第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3

第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6

第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.

[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.

[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§9. 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n 维空间

1．区域

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面.

坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作

E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.

例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是

C ={(x , y )| x 2+y 2

如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成

C ={P | |OP |

邻域:

设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U .

邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即

}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .

注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U .

点与点集之间的关系:

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;

(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;

(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .

聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U

内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点

.

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .

例如, 设平面点集

E ={(x , y )|1

满足1

开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.

闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.

开集的例子: E ={(x , y )|1

闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.

集合{(x , y )|1

连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.

区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1

闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}. 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得

E ⊂U (O , r ),

其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.

无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.

例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域;

集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.

2. n 维空间

设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即

R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.

R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.

二. 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系

V =πr 2h .

这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系

V

RT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之