专题：圆周运动的临界问题(公开课)
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动水平面上的临界问题公开课获奖课件
三、弹簧和绳连接物体临界问题
例5
《教材解读与拓展》P54—例3
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三、弹簧和绳连接物体临界问题
例6
《教材解读与拓展》P59—10
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三、弹簧和绳连接物体临界问题
A、如当图ω所取示不，一样水样平值圆时盘，可P和绕Q通所受过静圆摩心擦竖力直均轴指向 圆转心动，盘上放两个小物体P和Q，它们质量 相似，与圆盘最大静摩擦力都是fm，两物
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水平面内圆周运 动临界问题
第1页
本节内容
静摩擦力产生临界状况 圆锥面上临界问题 弹簧和绳连接物体临界问题
Pa第g2e页 2
1、静摩擦力产生临界状况
例1：如图，叠放在水平转台上物体A、B、C都能随转 台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C质量分别为3m、 2m、m，A与B、B与转台间动摩擦因数为μ，C与转台间 动摩擦因数为2μ，A和B、C离转台中心距离分别为r、 1.5r 。设本题中最大静摩擦力等于滑动摩擦力，如下 说法对旳是
心，而Q所受静摩擦力也许指向圆心，也也许背离圆
心
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本节内容
静摩擦力产生临界状况 圆锥面上临界问题 弹簧和绳连接物体临界问题
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(小1)明求站绳在断水时平球地速面度上大，小手v1握和不球可落伸地长时轻速绳度一大端小 v，2.绳另一端系有质量为m小球，甩动手腕，使 (球2)在问竖绳直能平承面受内最做大圆拉周力运多动大．？当球某次运动到 (运大最落间径3动，)低地绳、变到绳点．长绳化最长时已为重绳低应，知和3长/点为绳握空4，d时多忽绳气，使断少然手阻重球掉？断 离 力力反，最掉 地 ．加复要大， 面速上使水球 高度述球平飞 度为运抛距行为g动.出离水d忽，，水为平视若手平多距手绳与距少离运仍球离？d动在之后最半球
市级公开课：圆周运动中的临界问题教学设计
圆周运动中的临界问题教学设计汕头市潮阳实验学校叶建森一．教学任务分析以圆盘和滑块为载体的圆周运动问题经常作为高考座上的“座上宾”，它是考试的热点和学习的难点；而竖直面内的圆周运动是曲线运动的重要知识点，更是高考中的重点考查内容之一，高考中有关圆周运动的试题往往涉及临界或极值问题，出题的方式既可以是计算题也可以是选择题，对考生的要求较高，所以弄清不同模型的临界条件是分析解决这类问题的关键。
二．学情分析与设计思想物理学中的临界问题一直是学生难以掌握的知识难点，虽然高一到高二我们在很多方面都讲过临界问题，比如追及与相遇中有临界问题、牛顿第二定律的综合应用中有临界问题、平抛有临界问题等等。
但是学生在碰到这些临界问题时往往无从下手，因为他们对临界状态的分析能力不足，他们缺乏感性认识，所以对临界点的把握处于一个比较模糊的状态。
本节课我们想借助圆周运动中的临界问题，以基本模型为原型，进行拓展、延伸和变化，从题目中的难题进行拆解然后一步一步还原，在每一步的还原中架设一级一级的台阶，带领学生领悟圆周运动中的力的渐变过程和解题奥妙，再加上现场实验的演示，更近一步促进学生对临界问题的感悟和认识，从而帮助学生解决相应的问题。
三．教学重难点如何分析和解决圆周运动中的临界问题四．教学设计本节课在课前根据老师们以往的教学经验精心组编和筛选了三道经典例题先发给学生去完成，教师对学生可能出现的错误情况进行预估预判，可能出现的问题有哪些，然后根据可能出现的错误进行课程内容的设计，特别是给学生的第一道题，难度较大，学生的解题情况可能各式各样的都有，出现的原因是学生对圆台上连接体临界问题认识不到位，导致分析思路较为混乱，学生也很想知道这类问题的解题技巧及分析思路是什么，从而激起了学生的求知欲望，然后老师通过难题的拆解，一步一步带领学生认识达到临界状态前的一个受力的渐变过程，从而让学生掌握处理此类问题的技巧。
五．教学流程（一）课题引入展示例题，该题是昨天留给学生的作业的第一题例1：如图，质量为m的小木块A和质量为2m的小木块B(可视为质点)放在水平圆盘上，A、B与转轴O的距离分别为l和2l,A、B与转盘间的动摩擦因数为μ，A与B用一根不可伸长的细线连接(初始状态拉力为0)，现让转盘角速度从零开始缓慢增加,若要使A、B与转台保持相对静止，则角速度的最大值为多少？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）此例题的作用是让学生根据自己以往学过的知识大胆去处理，并从中发现不足，这个例题的难度系数是比较大的，学生的解答肯定是乱七八糟的什么样的答案和结果都有。
高中物理 专题 圆周运动中的临界问题课件 新人教版必修2
(2)代入数据 v＝4 m/s， 可得 F＝m(vL2－g)＝2×(04.25－10)N＝44 N，即 A 受到杆的拉 力为 44 N．根据牛顿第三定律可得 A 对杆的作用力为拉力，大小 为 44 N. (二)完美答案[(1)16 N (2)44 N]
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(三)总结提升 (1)杆对物体即可提供向下的拉力(v> gr时)也可提供向上的 支持力．(v< gr时) (2)杆拉小球过最高点的条件是 v≥0.
(三)总结提升 (1)物体所受静摩擦力的大小和方向随圆盘转速的变化而变 化． (2)物体所受静摩擦力达到了最大静摩擦力，此时对应的角 速度也达到了临界值．
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(四)变式训练
在水平圆盘上分别放甲、乙、丙三个质量分别为 m、2m、
3m 的物体，其轨道半径分别为 r、2r、3r(如图所示)，三个物体
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2. 若物块与转台相对静止做非匀变速运动 物块所受静摩擦力除了提供所需向心力，必须沿切线方向有 力的作用，改变物块速度大小，因此静摩擦力一分力指向圆心， 沿切线方向分力不为 0，两分力合力为静摩擦力，所以静摩擦力 方向一定不指向圆心． 若转台加速转动，摩擦力方向如图甲所示． 若转台减速转动，摩擦力方向如图乙所示．
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所以 FN＝mvl2－mg＝2.6 N 根据牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小为 2.6 N，方向 竖直向上． (二)完美答案 (1)2.42 m/s (2)2.6 N 方向竖直向上
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(三)总结提升 (1)轻绳连接物体过最高点的条件为 v≥ gr. (2)物体在最高点速度越大，绳拉力越大；当 v< gr时，物体 不能过最高点．
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（
A、）B
A、a处为拉力，b处为拉力
B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力
D、a处为推力，b处为推力
b
a
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例：长度为L＝0.5m轻质细杆OA，A端有一质
量为m＝3.0kg小球，如图5所示，小球以O点
为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高
点时小球速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此
（ BCD ）
A．小球对圆环压力大小等于mg B．小球向心力等于重力 C．小球线速度大小等于 Rg D．小球向心加速度大小等于g
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例：用长为l细绳，拴着质量为m小球，在竖直 平面内做圆周运动，则如下说法中对旳是 （） A.小球在最高点所受向心力一定是重力 B.小球在最高点绳拉力也许为零 C.小球在最低点绳子拉力一定不小于重力 D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则 它在最高点速率为零
使小球在竖直面内做半径为R圆周运
O
动，如下说法对旳是：
BC
A、小球过最高点时起码速度为 ；Rg
B、小球过最高点时，杆所受弹力可以等于零；
C、小球过最高点时，杆对球作用力可以与球所受 重力方向 相反，此时重 力 一定不小于杆对球作用力；
D、小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所 受重力方向相反。
第33页
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图所示为模拟过山车试验装置，小球从左侧 最高点释放后可以通过竖直圆轨道而抵达右 侧．若竖直圆轨道半径为R，要使小球能顺利 通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道最 高点时角速度最小为( )
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杂技演员演出“水流星”，在长为1.6 m细绳一端，系一种与水总质量为m＝0.5 kg盛
水容器，以绳另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过
专题 圆周运动临界问题
专题 圆周运动的临界问题一．水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化。
关键：（1）找出与最大静摩擦力对应的临界条件 （2）牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变1．单个物体做圆周运动【例1】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r时，细绳的拉力T 22．绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，A 、B 物体质量均为m ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置，A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直，随着圆盘角速度ω的增加，摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态，（两物体均看作质点）求：（1）ω1＝Lg 3μ时，细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1（2）ω1＝Lg 53μ时，细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C ．此时圆盘的角速度为2μg rD ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动【针对训练1】如图所示，水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A 、B 的质量分别为m 、2m ，A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ， A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）A ．绳中无拉力时，A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B ．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于√μg rC ．若转台转动的角速度为√6μg r ，则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D ．物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】（多选）如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
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常见 类型
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动
①轻绳模型 ： 能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
mg m
2
R
v临界 Rg
1、轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚 好没有力的作用：
mg m
2
R
v临界 Rg
v rg
（2）小球能过最高点条件：
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力） （3）不能过最高点条件：v rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
圆周运动的临界问题
例1 （高考题）如图4所示，细杆的一端与 一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。 现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中 a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点， A 、B 则杆对球作用力可能是 （ ） b A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上
例 如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小 球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角 分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内， 两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下 两绳拉力分别为多大？
如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD， 其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平 线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且 从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能 保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后（ ） A
专题：圆周运动中的临界问题探究1 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(讲义)
二、重难点提示：重点：1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；2. 会用极限法分析临界条件。
难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。
一、水平面内圆周运动临界产生原因1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。
2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。
二、水平面内圆周运动的两种模型1. 圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。
水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。
临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝Rg，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。
下图均为平台转动类甲乙丙2. 火车拐弯类如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg 和轨道支持力N 的合力F 提供火车拐弯时所需的向心力。
圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。
临界条件：若v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。
火车转弯问题类变形：12 345【方法指导】临界问题解题思路1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。
2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。
3. 对研究对象进行受力分析。
哪些力存在临界？（摩擦力、弹力）4. 运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F 。
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
创新微课
(2)绳子被拉断
创新微课 现在开始
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
创新微课
圆周运动中的临界问题
创新微课
1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
创新微课
圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
高中物理新教材《6.4圆周运动的临界问题》公开课优秀课件(精品、好用、与教材同步)
C．汽车转弯的速度为 30 m/s 时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过 8.0 m/s2
解析：选 CD.汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力 提供向心力，不能说受到向心力，故 A 错误；如果车速达到 30 m/s，需要的向心力 F＝ mvr2＝2.0×103×130002 N＝1.8×104 N，故 B 错误；最大静摩擦力 f＝1.6×104 N，则 F＞f， 所以汽车会发生侧滑，故 C 正确；最大加速度为：a＝mf ＝12.6××110034 m/s2＝8.0 m/s2，故 D 正确．
（可视为质点）， 另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝ 37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张 力为FT（sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示）。求： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
③选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后， 要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后 列方程求解。
（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω 变化时，物体有远
离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受 力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别 是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
是：FT＝0。
（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类： 一类是与摩擦力有关的临界问题；一类是与弹力有关的临界问题。 第一、与摩擦力有关的临界极值问题
圆周运动中的临界问题专题
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg 〔可理解为恰好转过或恰好转不过的速度〕即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界〔实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动〕 [例题1]如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 310，则有关小球能够上升到最大高度〔距离底部〕的说法中正确的是〔 〕 A 、一定可以表示为gv 220B 、可能为3RC 、可能为RD 、可能为35R[延展]汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．〔2〕如右图所示，小球过最高点时，轻质杆〔管〕对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg 〔N 为支持力〕②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大〔此时F N 为拉力，方向指向圆心〕 典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程[例题2]在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在OR圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
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θ θ
ω L m
3.滑动与静止的临界问题 在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细 线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分 别为 ， ，A、B与盘面间最大静摩擦力均为重 力的0.4倍，g=10m/s2取。试求： （1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度；
示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则 此时轻杆OA将（B ）
m
N
A
A．受到6.0N的拉力 B．受到6.0N的压力
mg
O
C．受到24N的拉力
D．受到54N的拉力
如图所示，在电动机距轴O为r处固定一质量为m的
铁块，电动机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，
则电动机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？ （1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动 ? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无 作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若 电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来? 此情况下，对地面的最大压力是多少? m
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对杯底的压力？
A
v2 最高点A： mg+N=m A R
A
N mg
(1)当N 0, v gR (临界速度)
D
N
N
B
v (2)当N 0, v gR , N m mg R
(3)当v gR时, 物体离开圆轨道做曲线运动
2 v 最低点C: N mg m C R
2
C
mg
2 vB 水平直径B点：N m R
质量为 m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，
若经最高点不脱离轨道的临界速度为 v，则当小球以2v
A、 0 B、mg C、3mg
速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为（ C ）
D、5mg
模型：杆球模型（有内外轨支撑）
O
·O
质点被轻杆拉着在 竖直面内做圆周运动
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D．当ω增子中的临界问题 如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小球，上 面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与
45°。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？
r O
半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖 直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小 于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度 为v，则( BD ) A．v的最小值为 B．v若增大，球所需的向心力也增大 C．当v由 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小 D．当v由 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
2.脱离与不脱离的临界问题 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直 方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，一长为L的轻 绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为 m的小物体．物体以速度v绕圆锥体的轴线在水平面内做 匀速圆周运动．（结果可保留根式） （1）当v1=
（2）当v2=
时，求绳对物体的拉力；
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s A B
30° 45°
L
ω
C
1.绳子中的临界问题 如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水 平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆 上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线， C端固定在 转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒 为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 ( A ) A．AC先断 B．BC先断 C．两线同时断 D．不能确定哪根线先断
力学是关于运动的科学，它的任务是以 完备而又简单的方式描述自然界中发生的运 动。 -------基尔霍夫
第二章 匀速圆周运动
专题 圆周运动的临界问题 （2课时）
情景创设：杂技演员表演“水流星”节目，我们发现 不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子在 竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会 从杯子里洒出。这是为什么？
T
mg
应用：杂技演员表演“水流星”节目，我们发现不管 演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子在竖直 面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯 子里洒出。这是为什么？
应用：如图所示，质量为0.5kg的杯子里盛有1kg的水，
用绳子系住水杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动
半径为1m，水杯通过最高点的速度为4m/s，求：
如图所示，直角架ABC的AB边在竖直方向上，在B点 和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量为1kg的小球 于D点，且BD⊥CD，∠ABD＝30°，BD＝40cm．当直角 架以AB为轴，以10rad/s的角速度匀速转动时，求细绳 BD和CD的张力各为多大？
40N，0
模型：绳球模型（无内轨支撑）
· O
· O
质点在细绳作用下在 竖直面内做圆周运动
质点沿竖直光滑轨道 内侧做圆周运动
模型：绳球模型（无内轨支撑） 2
v 最高点：mg T m L
v 0 gL
T mg
O
思考：过最高点的最小速度是多大? 当V= v 0 gL 时，T=0
v2 当v v 0时，T m mg L 当v v 0时，物体离开圆面做曲线运动 v2 最低点：T mg m R
质点沿竖直光滑细管 内做圆周运动
过最高点的最小速度是多大?
V=0
当v0
gL时，N 0
v 当v v0时, 杆对物有向下的拉力, N m mg L
v2 当v v0时, 杆对物有向上的支持力, N mg m L 2
Ｌ
长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小
球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度；
（3）当A即将滑动时，烧断细线， A、B运动状态如何？
A继续做圆周运动，B做离心运动
1.绳子中的临界问题 如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细
线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为 ω，
则
（ A ）
B ω A P
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，
另一端固定，其细线长为0.8m，现为了使一质量为
0.2kg的小球做圆周运动，则小球在最高点的速度至少
为多少？
α
1.绳子中的临界问题 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆 的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b 在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转 动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法 正确的是( AC) A．a绳的张力不可能为零 B．a绳的张力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω> ，b绳将出现弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力 一定发生变化