2001年考研数学二试题[卷]及的答案解析

合集下载

2002全国研究生考研数学二真题及解析

3
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
，线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1

2002年考研数学二试题[卷]及的答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y ，21|0='=x y 的特解是______．【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+.再以初值代入，21C =±所以应取""+且21C =.于是特解1y x =+.方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+.以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+.（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______．【答案】22π【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦111c o s ,n i i n nπ==+∑ 所以 1011lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+∑⎰11122cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰⎰⎰12222sin2x πππ=⋅=.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但l i m ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313(,,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424y x --=--，即353044x y --+=法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =，代入，计算得 2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=--=-+ 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-+-+所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32. 再考虑（2）21(3)(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x ----=--=-+(32)0.(3)n n n n nx x x x x -=≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +=-两边取极限，于是得 (3),a a a =-2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故()21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)(32)(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x x +-----≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a . 再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-,32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b a x a b b a ξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=. 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以xb =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命1()ln ln (),x x a x a axφ=--- 有()0a φ=，及2111()()()0,222a x a x x a x x x x axφ-'=-+=-< 所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得1ln ln (),b a b a ab-<-即ln ln 1b a b a ab -<-. 右边证毕. 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,12320()(2)(3)(0)lim 0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++=（1）由洛必达法则，12320()(2)(3)(0)lim h f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h h λλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim (49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入 12320()(2)(3)(0)0lim h f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣ 2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =-即 24AB B A -= (2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+(2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --= 得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+ 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ==== 故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系. 又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1T η*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为 []112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++== 已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++ 将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-= 由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当 1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取自由未知量3x k =，则方程组有解 431321,,,23x x k x x k x k =====-+ 即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

考研数学二(解答题)模拟试卷238(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷238(题后含答案及解析)题型有：1.1．设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

正确答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此(a1，a2，…，an)=n。

对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1，故a1，a2，…，an，b线性相关。

综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。

又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。

充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ξ1，ξ2，…，ξn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ξ1，ξ2，…，ξn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组凡维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。

综上，r(a1，a2，…，an)=n。

所以a1，a2，…，an线性无关。

涉及知识点：向量2．已知随机变量X的概率分布为(1)求(X，Y)的概率分布；(2)X与Y 是否相互独立?正确答案：(1)X可能取的值为0，1，2，Y可能取的值为0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=，P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=，故可得如下表格形式(2)因为pij=pi．p.j(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X与Y是相互独立的．解析：考查离散型随机变量的分布与其函数的分布的计算与转化能力．关键是找到与(X，Y)取各值的事件相等的事件．知识模块：概率论与数理统计3．已知线性方程组讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．正确答案：涉及知识点：线性方程组4．求函数y=的导数．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学5．设f(x)在[a，b]可积，求证：Ф(x)=在[a，b]上连续，其中x0∈[a，b]．正确答案：x，x+△x∈[a，b]，考察Ф(x+△x)－Ф(x)=由f(x)在[a，b]可积=>f(x)在[a，b]有界．即｜f(x)｜≤M(x∈[a，b])，则｜Ф(x+△x)－Ф(x)｜≤｜∫xx+△x｜f(u)｜du｜≤｜△x｜．因此，x，x+△x∈[a，b]，有[Ф(x+△x)－Ф(x)]=0，即Ф(x)在[a，b]上连续．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用6．设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．正确答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ’‘(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．涉及知识点：一元函数微分学7．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ef’(ξ)ln正确答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即，整理得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln 涉及知识点：高等数学部分8．设矩阵是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．正确答案：设A*α=λα，由AA*=｜A｜E，有｜A｜α=λAα，即由(3)一(1)，得λ(a—2)=0．由矩阵A可逆，知A*可逆，那么特征值λ≠0，所以a=2．由(1)×b一(2)，得λ(b2+b—2)=0，因此b=1或b=一2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量9．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．正确答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝[f′(χ)－2χf(χ)]且≠0，故f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(χ)＝χf(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ηf′(η)＋f(η)＝0．涉及知识点：一元函数微分学10．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1=E．作B1=P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P=P1Q，则PTAP=QTP1TAP1Q=E，PTBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M=max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελi＞0，i=1，2，…，n．于是E+εPTBP正定，PT(A+εB)P=E+εPTBP，因此A+εB也正定．涉及知识点：二次型11．求y”一y=e|x|的通解．正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y”=y+e|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为y”一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．当x ＜0时，方程为y”一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，据此，有其中C1，C1为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y”=y+e|x|，所以在x=0处y”亦连续，即是通解．涉及知识点：微分方程设A，B为同阶方阵。

2001年考研数学二试题答案与解析

考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于 ( y arcsin x)' , 关系式变成
( y arcsin x)' =1，两边积分得
y arcsin x = x + C,
再以
y
⎛⎜⎜⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0代入得C
=
−
1 2
.
（5）设方程 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11a
1 a 1
11a⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
x t−sin
x
,
记此极限为
f
(x) ，求函数
f
(x) 的间断点并指出其类型。
( ) 解因 f x = e , lim t→x
sin
x t−sin
x
ln
sin sin
t x
cos t
而由洛必达法则得， lim t→x
x sin t −sin
x
ln
sin t sin x
= lim t→x
x⋅
sin t cos t
π
∫ ( ) （3）
2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx =
2
答应填 π 8
分析这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以
π
π
∫ ( ) ∫ 2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx = 2
2 sin2 x cos2 xdx
0
2
π
= 2∫ (2 sin2 x −sin4 x)dx
e2
x− y
⎛⎜⎜⎜⎝2
+
dy dx
⎞⎠⎟⎟⎟
+

1987-1989考研数学二真题及参考答案

(3) 由 y ln x 与两直线 y (e 1) x 及 y 0 围成图形的面积= 3 / 2
(4) 设 L 为取正向的圆周 x2 y2 9 ，则曲线积分 (2xy 2y)dx (x2 4x)dy 的值是 L 18 .
(5) 已知三维线性空间的一组基底 1 (1,1, 0), 2 (1, 0,1), 3 ( 0,1,1) ，则向量＝( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )
其中 s 是曲线
z
y 1
(1 y 3) 绕 Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 Y 轴
x 0
正向的夹角恒大于 / 2 ．
解： S 的方程为 y x2 z2 1，记 S1 ： y 3, (x2 z2) ，知 S S1 为封闭曲面，设其
方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有
2x yz
○1 当 z 0 时， Fz (z)
0dxdy 0 ，此时 fz (z) 0 0；
2x yz
○2
当 0 z 2 时， Fz (z)
z
dy
zy 2
e ydx
z
0
0
2
z e ydy 1
0
2
z ye ydy ，此时
0
fz
(z)
Fz(z)
1 2
z eydy 1 (1 ez ) ；
1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答
数学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分. 只写答案不写解题过程）
(1) t
及
x 1 y 2 z 1 121
都平行，且过原点的平面方程是
x y50
(2) 当 x 1/ ln 2 ；时，函数 y x2x 取得极小值.

2001考研数学二真题及答案解析

x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数，得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ，即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内， f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内， f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为： y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ，且= f (0) 0= , g(0) 2 ，
∫ 求

2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)

yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

国防科技大学国防科技大 01 02年操作系统 01 02年离散数学考研真题及答案解析

国防科技大学研究生院2001年硕士生入学考试试题考试科目：操作系统考生注意：1．答案必须写在我校统一配发的专用答题纸上2．统考生做一、二、三、四、五；3．单独考生做一、二、三、六、七；一．（58分）回答如下问题1．（6分）假定有一个支持实时、分时和批处理的操作系统，对该系统应如何设计进程调度策略？2．（5分）什么叫线程？为什么要引进线程？3．（6分）某计算机系统设计成只有一级中断(该级中有多个中断)的中断系统，简述当中断发生时，是如何进入该中断处理程序的？4．（5分）在文件系统中为什么要引进“Open”系统调用？操作系统是如何处理的？5．(5分)假定存储器空闲块有如下结构：请你构造一串内存请求序列，对该请求序列首次满足分配算法能满足，而最佳满足分配法则不能。

6．(6分)为什么要在设备管理中引入缓冲技术？操作系统如何实现缓冲技术？7．(6分)用什么办法可以破坏死锁的循环等待条件？为什么？8．(6分)进程的状态主要有哪些？当发生状态转换时，操作系统完成哪些工作？9．(6分)在文件系统中，为什么要设立“当前目录”？操作系统如何实现改变“当前目录”？10．(7分)举例说明P、V操作为什么要用原语实现？操作系统如何实现这种原语操作？二．(12分)设有四个进程P1，P2，P3，P4，它们到达就绪队列的时刻，运行时间及优先级如下表所示：运行时间(基本时间单位)优先级进程到达就绪队列时间(基本时间单位)P1 0 9 1P2 1 4 2P3 2 8 3P4 3 10 4问：(1)若采用可剥夺的优先级调度算法，给出各进程的调度次序以及每个进程的等待时间。

(2)若采用时间片轮转调度算法，且时间片为2个基本时间单位，试给出各进程的调度次序及平均周围时间。

三．(8分)假设系统由相同类型的m个资源组成，有 n 个进程，每个进程至少请求一个资源。

证明：当n个进程最多需要的资源数之和小于m+n时，该系统无死锁。

四．(12分)在页式虚存系统中，一程序的页面走向(访问串)为 1，2，3，4，1，2，5，1，2，3，4，5 ，设分配给该程序的驻留集为m，试分别计算m=3和m=4时，FIFO和LRU两种算法的页故障次数。

考研数学二解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析)

考研数学二解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析)题型有：1.1．设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy”一y’+=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：在方程xy”一y’+2=0中令y’=P，则y”=P’且xP’一P+2=0由于曲线过原点，则C2=0又2=∫01则C1=6，曲线方程为y=2x+3x2V=2π∫01xydx=2π∫01x(2x+3x2)dx=2．设ρ=ρ(x)是抛物线y=上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算的值．(在直角坐标系下曲率公式为K=正确答案：抛物线在点M(x，y)处的曲率半径3．设A=E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换设x=(x1，x2，x3，x4)T，选取x4为自由未知量，则得方程组的一般解：x1=一x4，x2=2x4，x3=3x4 (x4任意)．令x4=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为α=(一1，2，3，1)T(Ⅱ)对矩阵[A|E]施以初等行变换记E=[e1，e2，e3]，则方程组Ax=e1的同解方程组为从而得Ax=e1的通解为x=k1α+，k1为任意常数，同理得方程组Ay=e2的通解为y=k2α+，k2为任意常数，方程组Az=e3的通解为z=k3α+，k3为任意常数，于是得所求矩阵为+[k1α，k2α，k3α]或k1，k2，k3为任意常数.解析：本题综合考查初等行变换的基本运算、齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组的解的结构等基本概念．注意若记矩阵B、E按列分块分别为B= [x y z]，E= [e1，e2，e3]，则AB=E的第1、2、3列分别是Ax=e1，Ay=e2，Az=e3，因此求矩阵B等价于求解上述3个非齐次线性方程组，而具体求解时采取对矩阵[A|E]施以初等行变换(而不是分别对3个非齐次线性方程组的增广矩阵施以初等行变换)则减少了计算量．4．若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．正确答案：由A的特征多项式=(λ一6)(λ2—4λ一12)=(λ一6)2(λ+2)得A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化对应于特征值6的线性无关特征向量有2个齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量3一秩(6E一A)=2秩(6E一A)=1从而由知a=0，且由此可得对应于λ1=λ2=6的两个线性无关特征向量可取为对于特征值λ3=一2，由得对应的一个特征向量可取为ξ3=(1，一2，0)T．于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]=则P可逆，且使P一1AP=为对角矩阵．5．(2001年)设ρ＝ρ(χ)是抛物线y＝上任一点M(χ，y)(χ≥1)处的曲率半径，s＝s(χ)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算3ρ的值．(在直角坐标系下曲率公式为K＝)正确答案：涉及知识点：一元函数积分学6．如图1—3—10，C1和C2分别是和y＝ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单凋增函数的图象．过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly．记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图彤的面积为S2(y)．如果总有S1(x)＝S2(y)，求曲线C3的方程x＝ψ(y)．正确答案：有由题设，得，而y＝ex，于是，两边对y求导得故所求的函数关系为。

2022年考研数学二真题及答案

2022年考研数学二真题及答案二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题1.函数f(某)某某某12211某2的无穷间断点的个数为A0B1C2D32.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程yp(某)yq(某)的两个特解，若常数,使y1y2是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，则AC1223,,21213BD2312,2312,3.曲线y某与曲线yaln某(a0)相切，则aA4eB3eC2eDe4.设m,n为正整数,则反常积分A仅与m取值有关10mln(1某)n2某d某的收敛性B仅与n取值有关C与m,n取值都有关D与m,n取值都无关5.设函数zz(某,y)由方程F(y,z)0确定,其中F为可微函数,且F0,则某某2某z某yzy=BzC某n(ni)(nj)122A某某nDz6.(4)limi1j1n=Ad某01某0(1某)(1y)2dyBd某01某01(1某)(1y)1(1某)(1y)2dy Cd某01101(1某)(1y)dyDd某0110dy7.设向量组I:1,2,，r可由向量组的是：II：1，2，，线性表示，下列命题正确A若向量组I线性无关，则rB若向量组I线性相关，则r>C若向量组II线性无关，则rD若向量组II线性相关，则r>8.设A为4阶对称矩阵,且A1A1102A0,若A的秩为3,则A相似于01D1101B1101C11二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程y=__________10.曲线y2某23y2yy2y0的通解某1的渐近线方程为_______________y(n)11.函数yln(12某)在某0处的n阶导数12.当0时，对数螺线re的弧长为(0)_____________________13.已知一个长方形的长l以2cm/的速率增加，宽w以3cm/的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________14.设A，B为3阶矩阵，且A三解答题15.求函数f(某)13,B2,A1B2,则AB1__________某21(某t)en2t2dt的单调区间与极值。

考研数学二(二重积分)模拟试卷13(题后含答案及解析)

考研数学二（二重积分）模拟试卷13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，则( )A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b正确答案：A解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以由cosx在上单调减少可得因此有c＞b＞a．知识模块：二重积分2．设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若则I1，I2，I3的大小顺序为( )A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I1＜I3＜I2D．I3＜I1＜I2正确答案：C解析：在D内，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是知识模块：二重积分3．设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较的大小，则有( ) A．I1=I2B．I1＞I2C．I1＜I2D．不能比较正确答案：C解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分区域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭区域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．知识模块：二重积分4．二次积分写成另一种次序的积分是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为D：如图1．5—1所示．则知识模块：二重积分5．已知则I= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：如图1．5—2所示，积分区域由两部分组成设将D=D1∪D2视为y 型区域，则从而故应选(A)．知识模块：二重积分填空题6．由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_________，其值等于__________．正确答案：解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为知识模块：二重积分7．二重积分的符号为____________．正确答案：负号解析：二重积分的积符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定．积分区域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故知识模块：二重积分8．设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2)，则二重积分正确答案：解析：被积函数含有x2+y2的形式，且积分区域是以原点为中心的圆环区域，选用极坐标计算较方便．故知识模块：二重积分9．设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则正确答案：0解析：因积分区域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故知识模块：二重积分10．设交换积分次序后，I=_________．正确答案：解析：积分区域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故知识模块：二重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2001-数二真题、标准答案及解析

(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4. 【】
【答】应选(B).
【详解] 由题设,知
( ) (1− cos x) ln 1+ x2
lim
x→0
x sin xn
= lim x→0
1 x2 ⋅ x2 2
x ⋅ xn
=
1 lim
2 x→0
1 xn−3
=
1 lim x3−n 2 x→0
= 0.
n应满足 n ≤ 2;
求 f (x).
【详解】等式两边对 x 求导得
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ f ' ( x) = 2xex + x2ex
而
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = x,
故
xf ' ( x) = 2xex + x2ex .
当 x ≠ 0 时，有
f ' ( x) = 2ex + xex
积分得
f ( x) = ( x +1) ex + C
抛物线上介于点
A(1,1) 与
M
之间的弧长，计算 3ρ
d2ρ ds2
−
⎛ ⎜⎝
dρ ds
⎞2 ⎟⎠
的值.（在直角坐标系下曲
y ''
率公式为 K =
）
3
( ) 1+ y'2 2
【详解】 y' = 1 , y'' = − 1 ,
2x
4 x3
抛物线在点 M ( x, y)( x ≥ 1) 处三维曲率半径
3
【】
于是
f ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = 1,
{ } 从而 f f ⎡⎣( x)⎤⎦ = 1.

2000考研数二真题及解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分15 分，把答案填在题中横线上)(1)lim arctan x x.x 0 ln(12x3 )(2)设函数 y y(x) 由方程2xy x y 所确定，则 dy x 0.(3)dx.2 ( x7)x21(4)曲线 y(2 x1)e x的斜渐近线方程为.1000(5)设 A2300，E为4阶单位矩阵，且 B(E A) 1(E A) 则04500067(E B)1.二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数 f (x)x在 (,) 内连续，且lim f (x)0, 则常数 a, b 满足() bx xa e(A) a0, b0.(B) a0, b0.(C) a0,b0.(D) a0, b0.(2)设函数 f (x)满足关系式 f(x)[ f ( x)] 2x ，且 f (0)0，则()(A) f (0) 是 f ( x) 的极大值.(B)f (0) 是 f ( x) 的极小值.(C)点(0, f (0))是曲线y f (x) 的拐点.(D) f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点.(3 ) 设f (x), g (x)是大于零的可导函数，且f'( x) g (x) f ( x) g '(x) 0, 则当 a x b 时，有 ()(A) f ( x) g(b) f (b) g(x)(B) f ( x)g (a) f (a) g( x)(C)f ( x) g (x) f (b)g (b)(D) f (x) g( x) f (a) g(a)sin 6x xf ( x)6 f ( x)(4) 若 limx 30 ，则 limx2为()x 0x 0(A)0.(B)6.(C)36.(D) .(5) 具有特解y 1e x , y 22xe x , y 3 3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )(A) y yy y0.(B) y y y y 0.(C) y 6 y 11y 6 y0.(D) y2yy2 y0.三、 (本题满分5 分 )ln(1 x)，计算f ( x) dx .设 f (ln x)x四、 (本题满分5 分 )设 xoy 平面上有正方形 D (x, y) 0x 1,0 y1 及直线 l : x y t (t0) .若S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求x0) . S(t) dt,( x五、 (本题满分5 分 )求函数 f ( x)x 2 ln(1 x) 在 x 0 处的 n 阶导数 f n (0)( n 3).六、 (本题满分6 分 )设函数 S( x)x| cost |dt ，(1)当 n 为正整数，且 n x(n1) 时，证明 2nS( x) 2(n1) ；(2)求 limS(x) .xx七、 (本题满分7 分 )某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为 V，流入湖泊内不含A 的6水量为 V，流出湖泊的水量为V，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指63m 0标.为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过 .问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m 0 以内 (注：设湖水中 A 的浓度是均匀的 )八、 (本题满分6 分 )设函数 f ( x) 在 0,上连续，且f ( x) dx 0, f (x)cos xdx0 ，试证明：在 (0, )内至少存在两个不同的点 1,2 ，使 f (1 )f (2 )0.九、 (本题满分 7 分 )已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x0 的某个邻域内满足关系式f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x( x)其中 (x) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小，且 f (x) 在 x1 处可导，求曲线 y f ( x) 在点(6, f (6)) 处的切线方程 .十、 (本题满分 8 分 )设曲线 yax 2 (a 0, x 0) 与 y 1 x 2 交于点 A ，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形 .问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、 (本题满分 8 分 )函数 f ( x) 在 [0,) 上可导， f (0)1且满足等式f (x) f ( x)1x0,f (t )dtx 1 0(1)求导数 f ( x) ；(2)证明：当 x 0 时，成立不等式 e xf (x) 1成立十二、 (本题满分 6 分 )111设2 ,, 0 , A T, BT.其中T 是的转置，12 8求解方程 2B 2 A 2 x A 4 x B 4 x十三、 (本题满 7 分 )a b已知向量组 11 , 22 ,3 1 与向量组 111具有相同的秩，且3 可由1 ,2 ,3 线性表出，求 a, b 的值 .1392 , 20, 363172000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1) 【答案】1 6ln 1 2 x 32 x 3lim arctanxx 洛lim 1 11 x 2【详解】 limarctanx xx 2lim1x 0ln 1 2x3x 02x3x 06x2x 06x 21 x26(2) 设函数 y y( x) 由方程 2xy x y 所确定，则 dy x 0.【答案】 (ln 2 1)dx 【详解】方法 1：对方程2xyx y 两边求微分，有2xy ln 2 (xdy ydx) dx dy.由所给方程知，当 x 0 时 y 1. 将 x 0 ， y 1代入上式，有 ln 2 dx dx dy .所以， dyx 0(ln 2 1)dx .方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有2xy ln 2 (xyy) 1 y .当 x 0 时 y1，以此代入，得 yln 2 1 ，所以 dy x 0 (ln2 1)dx .(3) 【答案】3【详解】由于被积函数在x2 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令x 2 t, x 2t 2dx 2tdt,dx(t22tdt 2 1 arctan t22. 2( x 7) x 29)t 3 3 03 3(4) 【答案】 y 2x 1【公式】 ykx b 为 yf ( x) 的斜渐近线的计算公式： k limy,blim [ f ( x) kx]x xxx xxx1【详解】 klim y lim (21)e x2,xxxx1令1lim( 2eu2 e u )b lim ( y 2x) lim[(2 x 1)e x2 x] uxxxu 0ulim( 2(eu1) e u ) e u 1u lim(2ue u ) 2 11u 0uu 0u所以， x方向有斜渐近线y2x 1 . 当 x时，类似地有斜渐近线 y 2x 1.1总之，曲线 y(2 x 1)e x 的斜渐近线方程为 y 2x 1.1 0 0 0 120 0(5) 【答案】230 0 0 3 4【详解】先求出 ( EB) 1 然后带入数值，由于 B( E A) 1(EA) ，所以( E B) 1E ( E A) 1(EA) －１( EA) 1(E A) ( E A) 1(EA) －１2(E A)1－１ 1(E A)22 0 01 0 0 0 12 4 0 0 1 2 0 02 04 6 0 0 2 3 00 06 834二、选择题 (1) 【答案】 D 【详解】排除法：如果 a0，则在 ( ,) 内 f (x) 的分母 a e bx 必有零点 x 0 ，从而 f ( x) 在 x x 0 处不连续，与题设不符 .不选 ( A) ，若 b 0，则无论 a0 还是 a0 均有 limf (x ),与题x设 lim f (x)0 矛盾，不选 (B) 和 (C) 故选(D). x.(2) 【答案】 C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f ( x) 在 x 0 出具有二阶导数且 f (x 0 ) 0 ，f ( x 0 ) 0 ，那么： (1) 当 f ( x 0 )0 时，函数 f (x) 在 x 0 处取得极大值；(2) 当f( x0 )0 时，函数 f ( x) 在x0处取得极小值；f ( x) [ f( x)] 2x 中x0 ，得f(0)02【详解】令等式 f (0)0 ，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数 (因为下式右边存在，所以左边也存在)：f ( x) ( x2f ( x) ) 1 2 f ( x) f ( x)以 x 0 代入，有 f(0) 1，所以f(0)lim f ( x) f (0)lim f ( x)1.x 0x0x 0x从而知，存在x0 去心邻域，在此去心邻域内，f( x) 与x同号，于是推知在此去心邻域内当 x0 时曲线 y f (x) 是凸的，在此去心临域内x0 时曲线 y f ( x) 是凹的，点 (0, f (0))是曲线 y f ( x) 的拐点，选(C).(3)【答案】 A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知f '(x) g( x) f (x)g '( x) 0,想到设函数为相除的形式f ( x).g ( x)【详解】f (x) f '(x) g( x) f ( x)g '(x)设 F (x)，则 F (x)20,g(x)g( x)则 F ( x) 在 a x b 时单调递减，所以对 a x b ， F (a) F ( x) F (b) ，即f (a) f ( x) f (b)g( a)g( x)g(b)得 f ( x)g(b) f (b) g( x), a x b ， ( A) 为正确选项.(4)【答案】 (C)【分析】本题有多种解法：(1)将含有 f (x) 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之； (2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出 f (x) 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法 1：凑成已知极限6 f ( x) 6x xf ( x) 6x sin 6x sin 6x xf ( x)x 2x 3x 312而lim 6x sin 6x 洛 lim 6 6cos6x lim 6(1 cos6x) 2 2 (6x)36x 3 3x 2 3x 2 lim x2x 0x 0x 0x 0(由于 1 cos x1 x2 1 cos(6 x) 1 (6 x)2 )6f ( x)6x sin 6xsin 6x 2 xf ( x) 2所以lim36 0 36x 2limx 3lim x 3x 0x 0x 0方法 2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出sin 6x xf ( x)a ， lim a 03xx 0从而sin 6x xf (x)ax 3f ( x)ax 3 sin 6xx6f ( x)6ax 3 sin6 x3 6x sin 6 xxaxx 2x 2x 3所以lim 6f ( x)ax 3 6xsin 6x 极限的四则运算lim a6x sin 6xx 2limx 3limx 3x 0x 0xx 06 6cos6 x21(6x) 20 lim lim2363x2x 2x 0x方法 3：将 sin 6x 在 x0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x 3 项：sin 6x6x (6 x)33)6x 36x3( x 3),3!(x于是sin 6x xf ( x) 6xxf (x)36x 3( x 3 ) 6f ( x) 36 ( x 3 ) ,x 3x 3x 2x 3从而lim 6f ( x)sin 6x xf ( x) 36 lim (x 3) 036 036.x 2lim x 3 3x 0x 0x 0x(5) 【答案】 B 【详解】由特解 y 1e x , y 2 2xe x ，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道， r 2 1 为特征方程的二重根；由 y 3 3e x 可知 r 1 1 为特征方程的单根，因此特征方程为(r 1)(r 1)2 r 3 r 2 r 1 0,由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为y y y y 0.三【详解】方法 1：为了求不定积分，首先需要写出f (x) 的表达式 .为此，令 ln xt ，有 xe tf (t ) f (ln x)ln(1 x)ln(1 e t )xe tf ( x)dxe x ln(1 e x )dxln(1 e x )de xe xln(1 e x ) e x e xdx 分部积分1 e xe x ln(1 e x )1 e x e x dx拆项1 e xe x ln(1 e x )(1 e x )dx1 e x e x ln(1 e x )1dx1 e x dxe x e x ln(1 e x )1dx 1 1 x de xee x ln(1 e x )1dx 1 1 x d(e x 1)ee x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C方法 2：作积分变量替换，命 xln t ，f ( x)dxf (ln t)1dt ln(1 t) dtln(1 t )d1t t 2tln(1 t) 1dt ]分部积分[tt(1 t )ln(1 t)( 1 1 )dt部分分式求和tt1tln(1 t ) 1dt1 d(1 t )ln(1 t)ln t ln(1 t) Ctt1 tte x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C.四【详解】先写出面积S(t ) 的( 分段 ) 表达式，1S(t)Ox+y=t 1当 0 t 1 时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：S(t )1 t2 ；2当 1 t 2 时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于 x y t 与 y 1 交点的纵坐标为 t 1 ，于是，小三角形的边长为： 1 ( t 1)2 t ，所以S(t )1 1(2 t )21 1 (t2 4t4)1 t2 2t 1 ；222当 t2 时，图形面积就是正方形的面积： S( t) 1，则1 t2 , 0 t 1,2S(t ) 11(2 t) 2 ,1 t2,21, 2 t.x x 11 t 3 x当 0x 1时，2dtS(t )dtt 232当 1 x2时， x1 S(t )dtxS(t )dt0S(t)dt11( x 1) 1 ( x 2)366当 x2 xS(t )dt2x S(t )dt 1时，S(t)dt21 x 3x16x1 x 3 x2x1 1 x2 因此S(t)dt63x 1x2x 3 ; 61 1t 2dt x1 2) 2]dt2[1 (t 0121 x 3 x 2x1 66 3x 1dtx 1.2五【详解】方法 1：按莱布尼茨高阶导数公式：(uv)( n)u (n) v C n 1u (n 1) v C n k u ( n k) v ( k)uv (n ) .为了求 ln(1 x) 的 n 阶导数，设 y ln(1x) ，y1 ； 1 xy1212；1 x1xy21 1 2；1313x xy(4)1 2 1 2 3 3x414 1x一般地，可得y( n )( 1)n 1( n 1)!(1x) n即ln(1( n)(1)n 1( n1)! x)(1x)n设 u ln(1x) ， v x2，利用上述公式对函数展开，由于对x2求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项f ( n) (x)x2 ( 1)n 1(n1)!(1x) n代入 x0 ，得：f ( n) (0)n( n 1)(1)n3 (n .2nx ( 1)n 2 (n 2)!n(n 1) ( 1)n3 (n1)! .(1 x) n 1(1x)n23)!( 1)n 1 n! , n 3,4 .n 2方法 2：y f (x) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f ( x) f (0) f (0) x f (0)x2f ( n ) (0)n(x n) 2!xn!求 f n (0)( n3)可以通过先求 y f ( x) 的的麦克劳林展开式，则展开式中 x n项的系数与 n ! 的乘积就是y f ( x) 在点 x0处的n阶导数值f(n)(0).由麦克劳林公式，ln(1 x)x x2x3(n 1x n 2( xn 2), 231)n 2所以x2 ln(1x)x3x4x5(1)n 1 x n 2( x n ).23n 2对照麦克劳林公式f ( x) f (0)f(0)f(0)x2f (n ) (0)x n n), x2!n!(x1!从而推知f ( n) (0)( 1)n 1n!n 2得f( n)(0)(1)n 1 n! , n 3,4 .n 2六【详解】因为 cosx0 ，且 nx (n 1) ，n x (n 1)cosx dx.所以cosx dx0 cosx dx定积分的性质又因为 cosx 具有周期，所以在长度为的积分区间上的积分值均相等：acos x dx ，cos x dxa0 从而ncos x dx2cosx dxn cosx dx 0 cosx dx(n 1)ncosx dx n( 2 cos xdxcos xdx)2n(sin x 2 sin x )n(1 (01)) 2n2(n 1)所以cosxdx 2(n 1).2nx2( n1), 即2nS(x)2(n 1).所以cosxdx(2) 由 (1) 有，当 nx( n 1)2nS(x)2( n1)时，xn( n 1)命 n取极限，2n22 ， lim 2(n 1)2(1 1 ) 2limlimlim nn( n 1)n1nnn(1)n由夹逼定理，得lim S(x)2 .xx七【详解】设从 2000 年初 (相应 t0 )开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为 m ，浓度为m，V则在时间间隔 [ t,t dt ] 内，排入湖泊中 A 的量为：m 0V(t dtdt )m 0dt ，流出湖泊的水中 A 的量为m Vdtmdt .V6 6V33(mm) dt .因而时间从 t 到 tdt 相应地湖泊中污染物A 的改变量为： dm63由分离变量法求解：dmdt(mm )63两边求积分：dmd (mm )m 0mdt363tC 1t C 1m 0 mm 0 m3ln()63()()63 6 3m 0 m t C 1m 0 m tC 1 m m 0 t C 1ln(e3e3e36 )363 363m 0 C 1tm 0 t C 1m3e 3 e3mC e 3 , (C 3e 3 )229m 0 . 于是 mm 0t初始条件为m(0)5m ，代入初始条件得C(1 9e 3) ，要满22足污染物 A 的含量可降至 m 0 内，命 m m 0 ，得 t6ln 3 . 即至多需经过 6 ln 3年，湖泊中A 的含量降至 m 0 以内 .八【证明】方法 1：令 F (x)x f (t )dt,0 x，有 F (0)0,由题设有 F( )0 .又由题设f ( x)cos xdx 0 ，用分部积分，有f (x)cos xdxcos xdF( x)F ( x)cos x 0F ( x)sin xdxF (x)sin xdx由积分中值定理知，存在(0, )使F (x)sin xdxF ( )sin(0)因为(0, ) ， sin0 ，所以推知存在(0, ),使得 F() 0 . 再在区间[0, ] 与 [ , ] 上对 F (x) 用罗尔定理，推知存在 1(0, ) ，2( , ) 使F(1) 0,F(2) 0，即f ( 1 ) 0, f ( 2 ) 0方法 2：由0 f (x)dx 0及积分中值定理知，存在 1 (0, ) ，使 f ( 1)0 . 若在区间 (0, )内 f ( x) 仅有一个零点 1 ，则在区间 (0, 1)与 ( 1, ) 内 f ( x) 异号 . 不妨设在 (0, 1 ) 内f (x)0 ，在 ( 1 , ) 内 f ( x)0. 于是由f ( x) dx 0,f (x)cos xdx 0 ，有f (x)cos xdxf (x)cos 1dx0f ( x)(cos x cos 1 )dx1cos 1 )dxf ( x)(cos x cos 1) dx0 f (x)(cos x1当 0x1时，c o sx 1 ，f ( x)(cos x cos 1 ) 0；当1x时，co scosxc o s 1 ，仍有 f (x)(cos x cos 1 )0 ，得到： 0 0 . 矛盾，此矛盾证明了f ( x)在 (0,) 仅有 1个零点的假设不正确，故在(0, ) 内 f ( x) 至少有 2个不同的零点 .九【详解】为了求曲线y f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程，首先需要求出 y f (x) 在x 6处的导数，即切线斜率 . 而函数又是以周期为 5 的函数，且在 x 1 处可导，则在 x 6处可导，且其导数值等于函数在 x 1 处的导数值 .将 f (1sin x) 3 f (1 sin x)8x (x) 两边令 x0 取极限，由 f 的连续性得f (1)3f (1) lim(8 x( x)) 02 f (1) 0x故 f (1)0 ，又由原设 f (x) 在 x 1处可导，两边同除 sin x ，lim f (1 sin x)f (1)3lim f (1sin x) f (1) lim 8xlim ( x)x 0sin xx 0sin x xsin x x 0 sin x 根据导数的定义，得f (1) 3 f (1) lim8xx lim (x) x 8 4 f (1)8xxsin x x 0 x sin x所以 f (1) 2 ，又因 f (6)f (5 1) f (1) ，所以 f (6) 2 ，由点斜式，切线方程为( y f (6))f (6)( x6).以 f (6)f (1) 0, f (6) 2 代入得 y 2( x 6). 即 2x y 12 0.十【详解】首先联立两式，求直线与曲线的交点： 1 x 2ax 2，得： x1，而 x 0 ，1 a则交点坐标为：1 ,aOA 的方程为 yax ( x, y) () . 由点斜式，故直线.1 a 1 a1 a由旋转体体积公式 Vb 2( x)dx ，要求的体积就是用大体积减去小体积：fa1 Va 1 0211a2x2axa 1 ax 2 2a 1 2 x 4 )dxdxdx(a1 a1 a12 3 2 x5 a 12a2a xa3(1 a)5515(1a)2为了求 V 的最大值，对函数关于a 求导，5 a 2 53dV 2 2 2 2 2 2a (1 a)2(1 a)2aa2da5 155 15(1 a) 515(1a) 2(1 a)235 a 2 ]5 a 2 ]2 (1 a)2[2 a(1 a)2 [2 a(1 a) 2215(1 a)515 7(1a)225 21 2a 2 ]2 [2 a 2a2 a ]2 [2a2 a ][4 a a157 15 7157(1 a)2(1a) 2(1 a)2命 dV 0,得唯一驻点 a4 ，所以 a 4也是 V 的最大值点，最大体积为 V a 432 5 .da1875十一【详解】 (1) 为了求 f (x) ，将 f ( x) f ( x)1x0 两边同乘 ( x 1) ，得x f (t) dt1 0( x 1) f ( x) ( x 1) f ( x)xf (t )dt 0,两边对 x 求导，得f ( x) ( x 1) f ( x)f ( x) ( x 1) f ( x) f ( x)即( x 1) f (x) ( x 2) f ( x) 0 .上述方程为二阶可降阶微分方程，令uf ( x) ，化为 ( x 1)u ( x 2)u0 ，即du ( x 2)u( x 1)dx两边求积分：du ( x 2) dx (11 )dxu( x 1)x 1即 ln u( x ln( x 1)) C 1所以ue (x ln( x 1) C 1)(ex1e C1)x 1令 CC 1，则 uCe x ，于是 f( x) uCe xex 1 x.1再以 x 0 代入原方程 f(0) f (0)1 0f (t) dtf (0) f (0)0 ，由 f (0) 1 ，有1f (0)1，于是 C1, f ( x)e xx .1(2)方法 1：用积分证 .f ( x)f (0)xf (t )dt1 x e ttdt.1xe ttxt牛 -莱公式t xx而dtdteee10 t1两边同乘以 ( 1) ，得：ex 1 x e tdt 0，t1即ex f ( x)1xe t10 tdt1方法 2 ：用微分学方法证 .因 f (0) 1, f ( x) 0 ，即 f ( x) 单调递减，所以当 x 0 时 f (x) 1.要证 f ( x)e x ，可转化为证明f ( x) e x 0 ，令 ( x )f ( x ) e x ，则，且( x)f ( x) exf ( x)e x( x)(0)110x1所以，当 x0 时 (x) 0，即 f (x)e x .结合两个不等式，推知当x 0时， e xf (x) 1.证毕 .十二【详解】由题设得A111121T 2 121 0 ， BT 112 .0 212121 012所以A 2T TT2A ， A 4 8A ；B 24， B 216代入原方程 2B 2 A 2 xA 4 xB 4 x中，得16 Ax 8Ax 16 x，即8 A2E x其中 E 是三阶单位矩阵，令 xTx 1 ,x 2 ,x 3 ，代入上式，得线性非齐次方程组x 1 1x 2 0 22x 1 x 2 0(1)x 11x 2 2x 3 12显然方程组得同解方程为2x 1 x 2 0x 1 1x 2 2x 3 1(2)2令自由未知量x 1 k, 解得 x 2 2k,x 3k1 2故方程组通解为x 1 k 1 0 x 22k k 2 0 ， ( k 为任意常数 )x 3k1 1122十三【详解】方法 1：先求1 ,2 ,3, 将矩阵作初等行变换，得1 3 9 1 3 9 1 3 91,2,32 0 66 12 0 1 23170 10200 0知1,2,3 2.故 1,2,31,2,32， 1,2,3作初等行变换0 a b 1 1 0 1,2,31 2 10 3 11 1 0a 3b因为1, 2,32 ，所以 a3b又3 可由1 ,2 ,3 线性表出，故1 ,2 ,3 ,3 1,2,32将 1, 2, 3, 3 作初等行变换1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b12b0 1 260 03b 5 1 2b3由1,2,3,3，得3b51 2b 0，解得 b5 ，及 a 3b15.23方法 2：由方法 1 中的初等变换结果可以看出1,2 线性无关，且33 122，故1,2,32 ，1 ,2是1, 2 , 3的极大线性无关组. 又1, 2,31 ,2 ,32 ，1 ,2 ,3 线性相关 . 从而得a b 0 a b 1,2,31 2 1 1 310,1 1 01 0 0计算三阶行列式得a 3b 0 ，得 a 3b又 3 可由1 ,2 , 3线性表出，即可由1 ,2 线性表出，1 ,23 线性相关，有1 3 b 1 3 b 1 3 b1,2,320 16 1 2b 0 61 2b3 1 00 103b0 3b 10 12b6行列式展开得6 3b10 1 2b 0 ，65 1 2b0 ，得 b 5 及 a 3b 15.所以 3b3方法 3：先利用 3 可由 1, 2 , 3 线性表出，故方程组1, 2 , 3 X有解，即1 3 9 x 1 b 26x 21 3 17 x 3有解 . 对其增广矩阵施行初等行变化1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b2b10 1 260 51 2b3b3由其次线性方程组有解的条件 (系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知3b 5 12b5 1 b 0解得 b 5. 33 3又因为1和2线性无关，且33 122 ，所以向量组1 ,2 ,3的秩为 2 ，0 a b 0 a b 由题设条件知1 ,2 ,32 ，从而1 ,2 ,31 2 1 1 3 1 0,1 11 0 0解得 a 15。

考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后

考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x 垂直，则=A．-1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=-3．C．a=-3，b=1．D．a=-1，b=-1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要.B．充分非必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：A解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=a f(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f’(1)=a．C．可导且f’(1)=b．D．可导且f’(1)=ab．正确答案：D解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．正确答案：同阶；同阶；高阶解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef( x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.故可去间断点为3个,即0,1±. (2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则【答案】A【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim 3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,y dy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-,故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2000年考研数学二真题及答案详解

0
（1）当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2）求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
x 1 t 2dt + 02
x 1
⎛ ⎜⎝
−
1 2
t
2
+
2t
−1⎞⎟⎠
dt
= − 1 x3 + x2 − x + 1
6
3
当 x > 2 时，
x
∫0
S
(t
)dt
=
2
∫0
S
(t
)dt
+
x
∫2
S
(t
)dt
=
x
−1
因此
⎧ ⎪ ⎪
1 x3, 0 ≤ x ≤ 1, 6
∫x 0
S
(t
)
dt
=
⎨⎪− ⎪
1 6
x3
+
【详解】由 B = ( E + )A −1 ( E − A) ，有
(E + A) B = E − A
即
AB + A + B + E = 2E,
(E + A)(E + B) = 2E,
也即
1 (E + A)(E + B) = E,
2
故
⎡ 1 0 0 0⎤
( B + E )−1 = 1 ( E + A) = ⎢⎢−1 2 0 0⎥⎥

考研数学二解答题专项强化真题试卷44(题后含答案及解析)

考研数学二解答题专项强化真题试卷44(题后含答案及解析)题型有：1.1．证明方程lnx=在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．正确答案：当0＜x＜e时，F’(x)＜0，F(x)严格单调减少；当e＜x＜+∞时，F’(x)＞0，F(x)严格单调增加，因此，F(x)在区间(0，e)，和(e，+∞)内分别至多有一个零点．由闭区间上连续函数的零点定理可知，F(x)在(e一3，e)和(e，e4)内分别至少有一个零点，综上所述，方程在(0，+∞)内有且仅有两个不同的实根．2．(2000年)设曲线y＝aχ2(a＞0，χ≥0)与y－1－χ2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝aχ2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?正确答案：当χ≥0时，由解得，故直线OA的方程为令＝0，并由a ＞0得唯一驻点a＝4 由题意知a＝4时，旋转体体积最大，最大体积为V＝涉及知识点：一元函数积分学3．(1999年试题，八)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f’’(ξ)=3．正确答案：由题设f(x)具有三阶连续导数，且f’(0)=0，则由麦克劳林公式得其中η介于0与x之间，且x∈[-1，1]．在上式中分别令x=一1和x=1，并由已知条件f(一1)=0,f(1)=1，f’(0)=0，得两式相减，得f’’(η1)+f’’(η2)=6由已知f’’(x)连续，则在闭区间[η1，η2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有则由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η1，η2]c(一1，1)，使解析：在泰勒展开式中一般取x’为一阶导数值是已知的点(例如f’(x0)=1)或隐含已知的点，比如极值点，最值点等，ξ的选取在x0与x之间，一般还随着x的变化而变化．知识模块：一元函数微分学4．讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数。

考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设(k=1，2，3)，则有( )．A．l1先比较l1，l2，由于l2-l1=因此l2＜l1．再比较l2，l3，l3一l2=ξ2＞0，ξ2∈(2π，3π)．因此l3＞l2最后比较l1，l3．l2一l1=令t=x一2π，则l3一l1因此l3＞l1，综上有l3＞l1＞l2，选D．知识模块：一元函数积分学2．(2003年试题，二)设则极限等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，所以由于所以选B．[评注]考查定积分的计算和求数列极限．知识模块：一元函数积分学3．(2002年试题，二)设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，逐一分析4个选项，设f1(x)=则,因此f(x)为奇函数．设f2(x)=则由于f(x)的奇偶性未给定，所以f2(x)的奇偶性不确定，设f3(x)=，则因此f(x)为奇函数．设f4(x)=则,因此f4(x)为偶函数，综上，选D．[评注]的奇偶性与f(x)奇偶性的关系是：若f(x)为奇函数，则为偶函数；若f(x)为偶函数，则为奇函数．知识模块：一元函数积分学4．(1999年试题，二)设则当x→0时，α(x)是β(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题设，因此当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价无穷小，选C．[评注]考查无穷小量的比较及极限的计算．知识模块：一元函数积分学5．(1997年试题，二)设则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：由题设，被积函数f(x)=esinx.sinx具有周期2π，所以[评注]判定F(x)是否为常数，看F’(x)是否恒为0即可，然后再取特殊值即可判定F(x)是正常数，还是负常数或恒为0等．知识模块：一元函数积分学6．(2010年试题，4)设m，n是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n有关C．与mn取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：无界函数的反常积分有两个瑕点x=0和x=1，同理，x→0+时，In2(1一x)一x2，设q为一个常数，则又因为m，n是正整数，所以则必然存在q∈(0，1)，使得极限存在．同理，因x→1-时，对于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根据无界函数的反常积分的审敛法2可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与m，n均无关，故正确答案为D．知识模块：一元函数积分学7．(2009年试题，一)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1—3—4所示，则函数的图形为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由定积分的性质可知y=f(x)的图像与x轴、y轴及x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当x∈[一1，0]时，F(x)≤0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；(Ⅱ)当x∈[0，1]时，F(x)≤0且单调递减；(Ⅲ)当x∈[1，2]时，F(x)单调递增；(Ⅳ)当x∈[23]时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除B选项．综上可知，正确选项为D. 知识模块：一元函数积分学8．(2008年试题，一)如图1—3—5所示，设图中曲线方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分表示( )．A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积正确答案：C解析：定积分因为af(a)是矩形ABOG的面积是曲边梯形ABOD的面积，二者之差就是曲边三角形ACD的面积．故应选C．知识模块：一元函数积分学9．(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：的大小跟曲线y=f(x)与x轴所围面积大小有关．因为F(3)故应选C．[评注]应用定积分的几何意义做本题较为简便，若直接去计算定积分，则十分复杂．知识模块：一元函数积分学填空题10．(2001年试题，一)_________.正确答案：解析：已知f(x)为连续函数，若f(x)为奇函数，则若f(x)为偶函数，则知识模块：一元函数积分学11．(1999年试题，一)函数在区间上的平均值为__________.正确答案：由平均值的定义知解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意．知识模块：一元函数积分学12．(2009年试题，二)已知，则k=_________．正确答案：因为，所以极限存在．故k从而k=一2．涉及知识点：一元函数积分学13．(2010年试题，12)当0≤0≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________.正确答案：题设曲线的弧长涉及知识点：一元函数积分学14．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学15．(2002年试题，一)位于曲线y=xe-x(0≤x解析：无界图形的面积可由广义积分计算．知识模块：一元函数积分学16．(1998年试题，一)曲线y=一x3+x2+2x与x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S=__________．正确答案：先由已知y=一x3+x2+2x可得其与戈轴的三个交点，x1=一1，x2=0，x3=2，作出草图(见图1——11)可有助于用定积分表示面积S，因此涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）213lim21-++--→x x xx x ＝______．【答案】6-【考点】洛必达法则【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：2112(1)limlim 2(1)(2)x x x x x x x →→-=+--+112x x →=+6=- 方法二：使用洛必达法则计算21lim2x x x →+-12121321lim 1++---=→x x x x 623221221-=--=.（2）设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为______．【答案】022=+-y x【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难易度】★★ 【详解】解析：在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导,得2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将1,0==y x 代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为11,2y x -=即 x −2y +2=0. （3）x x x x d cos )sin (22π2π23⎰-+＝_______．【答案】8π 【考点】定积分的换元法【难易度】★★【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故()()322322222222221sin cos cos sin cos sin 24x x xdx x x x x dx xdx ππππππ---+=+=⎰⎰⎰ 221(1cos 4)8x dx ππ-=-⎰.8π=（4）过点)0,21(且满足关系式11in arcs 2=-+'xyx y 的曲线方程为______．【答案】1arcsin 2y x x =-【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:原方程'arcsin 1y x =可改写为()'arcsin 1,y x =两边直接积分,得arcsin y x x C =+ 又由1()0,2y =解得1.2C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2y x x =- 方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x=解得ln arcsin ln arcsin 1arcsin 1arcsin 1(),arcsin x x y e C e dx x e C e dx x C x x--⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰又由1()0,2y =解得1.2C =- 故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-（5）设方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a ＝______．【答案】2-【考点】非齐次线性方程组解的判定【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112a aA a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦()()()()1120113,001222a a a a a a -⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11a a a a a=+-=解得2-=a 或1=a .由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1=a 时,原方程无解,因此只能是2-=a .二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设⎩⎨⎧>≤=,1||,0,1||,1)(x x x f 则)]}([{x f f f 等于（）（A ）0．（B ）1．（C ）⎩⎨⎧>≤.1||,0,1||,1x x（D ）⎩⎨⎧>≤.1||,1,1||,0x x【答案】B 【考点】复合函数【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。

解析：由题易知1)(≤x f ，所以1)]([=x f f ，1)1()]}([{==f x f f f ，选B.（2）设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比)1(2-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）4．【答案】B【考点】无穷小量的比较【难易度】★★【详解】解析：由题易知:341021lim 21lim 0sin )1ln()cos 1(lim 14022020<⇒<+⇒=⋅⋅⇒=+-+→→→n n xx x x x x x x x x n x n x n x（3）曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为（）（A ）0．（B ）1．（C ）2．（D ）3．【答案】C【考点】函数图形的拐点1210lim lim 01sin lim 2102002>⇒>+⇒==⋅⇒=-+→→→n n x x x x x e x x n x n x x n x【难易度】★★ 【详解】解析：)2(24)1(4)1(8)3(8)3(4)1(2)3)(1(8)3(2)1(2)1)(3(4)3)(1(4)3(2)1)(3(2)3)(1(2222222-=-+-+-+-='''-+--+-=-+--+--+-=''--+--='x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x y由0=''y 得，1=x 或3=x ，带入0≠'''y ，故)(x f 有两个拐点.（4）已知函数)(x f 在区间)1,1(δδ+-内具有二阶导数，)(x f '严格单调减少，且1)1()1(='=f f ，则（）（A ）在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f <)(．（B ）在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f >)(．（C ）在)1,1(δ-内，x x f <)(，在)1,1(δ+内，x x f >)(．（D ）在)1,1(δ-内，()f x x >，在)1,1(δ+内，()f x x <．【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：令x x f x F -=)()(，则1)()(-'='x f x F ，因为在区间)1,1(δδ+-上，)(x f '严格单调减少，所以当)1,1(δ-∈x 时，01)1()(=-'>'f x F ，)(x F 单调递增，01)1()1()(=-=≤f F x F ；当)1,1(δ+∈x 时，01)1()(=-'<'f x F ，)(x F 单调递减，01)1()1()(=-=≤f F x F ；故在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有0)(<x F ，即x x f <)(.（5）设函数()f x 在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数)(x f y '=的图形为（）【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：由图可知)(x f 有两个极值点，横坐标分别记作)(,2121x x x x <，故)(x f '在且仅在这两处的值为0，故选D 。

其中，当0>x 时，)(x f 先增后减再增，故)(x f '先正再负再正，进一步排除B. 三、（本题满分6分）求⋅++⎰1)12(d 22x xx【考点】不定积分的第二类换元法【难易度】★★★【详解】解析：设tan ,x u =则2sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du uduu u u u ==++⎰⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C =+ 2arctan(1Cx=++四、（本题满分7分）求极限xt xx t xt sin sin )sin sin (lim -→，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】★★★【详解】解析：=)(x f xx xt xx x t xt xx t x t xx t ext x t sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )1sin sin 1(lim )sin sin (lim =-+=-⋅-⋅-→-→由此表达式知x ＝0及x ＝k π（k ＝±1，±2，…）都是f （x ）的间断点．由于e elim )(lim sin 0==→→xx x x x f ，所以x ＝0是f （x ）的可去（或第一类）间断点；而x ＝k π（k ＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任一点)1)(,(≥x y x M 处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点)1,1(A 与M 之间的弧长，计算222)d d (d d 3ss ρρρ-的值．（在直角坐标系下曲率公式为))1(||232'+"=y y K【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析："'y y ==抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径332221(1')1()(41)."2y x x K y ρρ+====+抛物线上AM的弧长11().s s x ===⎰⎰故3213(41)4d x d dx ds ds dx ρρ⋅+⋅===221()d d d ds ds dx ds dx ρρ=⋅== 因此()2322213()314369.2d d x x ds ds ρρρ-=⋅+-=六、（本题满分7分）设函数)(x f 在),0[+∞上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ．若,e d )(2)(0x x f x t t g =⎰求)(x f ．【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：)())((d )()(0x f x f g t t g x f '⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 解析：等式两边对x 求导得：xx e x xe x f x f g 22)())((+='⋅，又因为)(x g 是)(x f 的反函数，故x x f g =))((，所以有xx xe e x f +='2)(C xe e dx xe e e dx xe e x f x x x x x x x ++=++=+=⎰⎰])([)2()(又因为)(x f 在0=x 处连续，由0)0(1)(lim 0==+=+→f C x f x 得1-=C故1)(-+=xx xe e x f . 七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(e 2)(),()(x f x g x g x f x-='='，且0)0(=f ，2)0(=g ，求.d ))1()(1)((π2x x x f x x g ⎰+-+【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】★★★★【详解】解析：因为)(e 2)(),()(x f x g x g x f x-='='，所以)(e 2)(x f x f x-=''其对应的齐次微分方程为0)()(=+''x f x f 特征方程为012=+r ，i ±=r所以齐次微分方程的通解为x C x C x f sin cos )(21+=设非齐次微分方程的特解为xCe x f =)(*，则,)(,)(**x x Ce x f Ce x f ="='代入微分方程得1=C ，所以非齐次微分方程的通解为xe x C x C xf ++=sin cos )(21，又0)0()0(,0)0(='==fg f ,xe x C x C xf ++-='cos sin )(21, 得1,121=-=C C , 故xe x x xf ++-=sin cos )(求积分：x x f x x f x f x x x x f x x g +=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎰⎰⎰⎰1)(d )11(d )()(d 11d )1()(1)(00ππ02ππ π1e 101)0(π1)π(1)(π0++=+-+=+=πf f x x f . 八、（本题满分9分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点).0,21( （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小．【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】解析：（1）设曲线L 过点),(y x P 的切线方程为)(x X y y Y -'=-，令0=X ,得切线在y 轴上的截距y x y Y '-=．由题设知 y x y y x '-=+22，令yu x=,则此方程可化为.12u x u '-=+ 分离变量得,d 1d 2xxu u -=+ 积分得C x u u ln ln )1ln(2+-=++，即 .22C y x y =++ 代入条件021==x y得21=C ，于是得L 的方程2122=++y x y , 即241x y -=. （2）曲线L ∶)210(412≤≤-=x x y 在点),(y x 处的切线方程为 ),(2)41(2x X x x Y --=-- 即4122++-=x xX Y .它在x 轴与y 轴上的截距分别为)41(212+x x 与412+x ．所围面积,d )41()41(21.21)(210222x x x x x S ⎰--+= 令0)413)(41(41)41(2)41(241)(2222222=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅+⋅='x x x x x x x x x S . 得)(x S 在]21,0[内的唯一驻点63=x , 易知63=x 是最小值点．由此，所求切线为41363632++⋅-=X Y ,即3133+-=x y .九、（本题满分7分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>K ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念【难易度】★★★★【详解】解析：设雪堆在t 时刻的体积3π32r V =，侧面积22r π，雪堆半径)(t r r =．由题设知kS tV -=d d ，所以有,π2d d π222r k t r r ⋅-=即.d d k t r -= 积分得C kt r +-=．又由00r r t ==，有0r C =，于是kt r r -=0．又由03|81|===t t V V ，即3030π3281)3(π32r k r ⋅=-，得061r k =，从而).6(60t r r -= 令0=r 得雪堆全部融化所需时间为6=t 小时．十、（本题满分8分）设)(x f 在区间)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，0)0(=f ，（1）写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在],[a a -上至少存在一点η，使.d )(3)(3x x f f a aa ⎰-="η【考点】泰勒中值定理、介值定理【难易度】★★★★【详解】解析：（1）对任意],[a a x -∈，，！222)()0(!2)()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ''+'=''+'+=其中ξ在0与x 之间．（2）令t t f x F xd )()(0⎰=，则)(x F 在],[a a -具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开式为32!3)(!2)0()0()0()(x F x F x F F x F ξ'''+''+'+= ,3)(!2)0(!3)(!2)0()0(03232x f x f x f x f x f ξξ''+'=''+'++= 所以，312!3)(!2)0()(a f a f a F ξ''+'=)0(!3)(!2)0()(12322a a a f a f a F <<<<-''-'=-ξξξ，又，！2)()(·3)]()([3)()(d )(213213ξξξξf f a f f a a F a F x x f aa ''+''=''+''=--=⎰- 由于)]()([2121ξξf f ''+''介于)(1ξf ''和)(2ξf ''之间，由介值定理知存在[]a a ,-∈η，使得 )]()([21)(21ξξηf f f ''+''=''，则有)(3d )(3ηf a x x f a a ''=⎰-. 十一、（本题满分6分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110,11011001B i A ，且矩阵X 满足E BXA AXB BXB AXA ++=+，其中E 是3阶单位阵，求X ．【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念【难易度】★★★【详解】解析：由题设的关系式得()(),AX A B BX B A E -+-= 即()().A B X A B E --= 由于行列式1110110,001A B ---=-≠所以矩阵A B -可逆， ()111100011010001001110101100112010011010011001001001001A B E --⎛⎫ ⎪-=-−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第3行加到第1,2行第2行加到第1行所以()1112011,001A B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭故()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦125012.001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 十二、（本题满分6分）已知4321,,,αααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，若211ααβt +=，322ααβt +=，433ααβt +=，144ααβt +=，讨论实数t 满足什么关系时，4321,,,ββββ也是0=Ax 的一个基础解系．【考点】齐次线性方程组的基础解系【难易度】★★★★【详解】由于1234,,,ββββ均为1234,,,αααα的线性组合，所以1234,,,ββββ均为0Ax =的解. 下面证明1234,,,ββββ线性无关.设112233440k k k k ββββ+++=，即141122233344()()()()0k tk tk k tk k tk k αααα+++++++=，由于1234,,,αααα线性无关，因此其系数全为零，即141223340,0,0,0k tk tk k tk k tk k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩其系数行列式41001001010001t t t t t =- 可见，当410t -≠，即1t ≠±时，上述方程组只有零解12340k k k k ====，因此向量组1234,,,ββββ线性无关，又因0Ax =的基础解系是4个向量，故1234,,,ββββ也是0Ax =的一个基础解系.。