九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何
《高中数学立体几何》课件
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力，提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分，对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中，角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中，距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中，具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步， 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合，形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素，没有大 小和形状。在空间中，点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的，它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。
数学高考讲座——立体几何部分.
数学高考讲座——立体几何部分一、高考考查的内容和要求： 文、理共同考查的内容和要求 1、空间图形：（1）平面及其表示；（2）平面的基本性质；（3）几何体的直观图；（4）空间直线与平面的位置关系。
2、简单几何体：（1）棱柱体；（2）棱锥体。
（理科分叉内容：空间向量在立体几何中的应用。
） 二、高考命题走向立体几何部分占11％，也就是占16.5分左右。
一般为一个小题和一个大题。
内容涉及到线、面位置关系、平行和垂直、角和距离以及棱柱、棱锥的概念和性质、体积和面积的计算等问题。
三、立体几何知识梳理1． 立体几何中常用的公理、推论和定理：公理1 如果一条直线上有两个不同点在同一平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。
（即直线在平面上）公理2 如果两个不同的平面有一个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这个点的一条直线。
公理3 不在同一直线上三点确定一个平面。
公理3的三个推论：推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面。
推论2 两条相交的直线确定一个平面。
推论3 两条平行的直线确定一个平面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
定理1（等角定理）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组两条相交直线所成的锐角（或直角）相等。
定理2（线面垂直判定定理）如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2． 空间两条直线的位置关系有两种：共面直线（相交或平行）、异面直线。
3． 直线与平面的位置关系有两种：直线在平面内、直线在平面外（相交或平行）。
4． 两个平面的位置关系有两种：相交、平行。
5． 三种角：异面直线所成的角；直线与平面所成的角和二面角。
重点是线线角。
6． 三种距离：点面距、线面距和面面距，重点是点面距。
7． 棱柱、棱锥的构造特征。
体积、侧面积和表面积计算方法。
8． 理科分叉部分：(1) 基础命题1：两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行。
高三数学一轮复习讲座(九)——立体几何.
直观图和三视图的画法 二、考纲要求：1、了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生活中的简单物体的结构。
能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立 体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。
能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几 何体的三视图与直观图。
了解空间几何体的不同表示形式。
会画某建筑物的视图与直观图。
空间 几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和 实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。
2、理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们 的侧面展开图，、知识网络第三章立体几何初步点、直线、平面占 八、、 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系相交直线异面直线的判定三个公理、三个推论空间直 线- 与平面—直线与平面平行直线与平面相交空间两个平面两个平面垂直的定义 、空间几何体1-两个平面相交 "L"两个平面垂直的判定与性质 空间的角、距离异面直线所成的角、距离空 间 几 何 体直线与平面所成的角、距离正多面体柱、锥、台、 —球的结构特 征柱、锥、台、球的表面积和 体积及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。
理解球的表面积和体积的计算方法。
把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。
3、理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。
会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。
4、掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
2022高考数学精英备考专题讲座立体几何
2022高考数学精英备考专题讲座立体几何立体几何一、高考预测立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，-1-主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．2。
线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.[0,]3。
直线与平面所成角的范围是2；两异面直线所成角(0,]的范围是2.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.4。
立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为arcco|a|.-2-特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量BD1与DE所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.7。
高中数学奥赛辅导专题-立体几何(传统方法与向量方法)
1HB高中数学奥赛辅导专题——立体几何（传统方法与向量方法）立体几何（传统方法）知识精要1． 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．2． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．3．解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在直线 都是异面直线，求k 的最大值．解答 考察如图所示的正方体上的四条 线段AC ，BC1，D 1B 1， A 1D ，它们所 在直线两两都是异面直线．又若有5条 或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K 的最大值是4． 练习1：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、中，问共线的三点组的个数是多少 解答：两端点都为顶点的共线三点组共有872⨯=有6132⨯=个；型的共线三点组，所以总共有2831849++=例题2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sin α．解答：如右图所示，平面BCD 与正方体的12条棱的夹角都 等于α，过A 作AH 垂直平 面BCD ．连DH ，则ADH α=∠．设正方 体的边长为b ，则02sin 6033DH b ==AH ==所以sin sin 3AH ADH AD α=∠==． 练习2：如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F (0)AE CFEB FDλλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数． 解答：因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG AC 交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且CG AE CFGB FD FD==，所以G F 平行BD ． 所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以()f λ为常数．例题3：三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨x 是否有最值．解答：当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的3练习3：若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．解答：若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4：在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值． 解答：将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，1A D '==练习4：已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ（102λ<≤）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值． 解答：当12λ=时，2παβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小值为2π．例题5：在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．解答：当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为(2)n nπ-． 练习5：已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积． 解答：联结DP 、DN ，在三角形MDN 为直角三角形，且DP =MN /2=1，又由已知角BAD =600，角ADC =1200，所以点P 的轨迹以点D 为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D 以及三个面围成的几何体的体积为31421639ππ⨯⨯=．立体几何（向量方法）知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零．2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式cos ||||θαβαβ= 求解．3．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，.OA OB OA OP OBOP ∴⊥⊥⊥ ，，()O OP z O xyz -以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，,0,0,,0,,0,0AB a A B C ⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝设，则()0,0,.OP h P h =设，则()D PC 为的中点，Ⅰ 1,0,,,0,2OD h PA h ⎛⎫⎫∴==- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又，11 (2)OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴平面∥∥()2,PA a = Ⅱ,h∴ ,OD ⎛⎫∴=⎪ ⎪⎝⎭,PBC n ⎛=- ⎝ 可求得平面的法向量cos ,OD n OD n OD n ⋅∴〈〉==⋅OD PBC θ设与平面所成的角为，sin cos ,OD n θ=〈〉= 则OD PBC ∴ 与平面所成的角为． 练习1如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离解答 在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直 角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为30DBA ∠=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(2E D （Ⅰ）1((1,0,1)2AE BF ==-co A E AE AE∴< 14-=即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量m = 设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量．(BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩020x x x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy=⎧⎪⇒=取(1n =∴cos ,m n m n m n <>===即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为 （Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<> ||||||AB nAB AB n = ||||5AB n n === 所以点A 到平面BDF 5例题2 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO 所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一图11A个法向量，由,3.0,0331=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅zyzyxO取得)3,0,1(=n．设二面角O—AC—O1的大小为θ，由、1BO的方向可知=<θ，1BO>，所以COS<=cosθn，1BO.43||||1=⋅BOn即二面角O—AC—O1的大小是.43arccos练习2如图,在直三棱柱111ABC A B C-中，13,4,5,4AC BC AB AA====，点D为AB的中点(Ⅰ)求证1AC BC⊥；(Ⅱ) 求证11AC CDB平面；(Ⅲ)求异面直线1AC与1B C所成角的余弦值解答∵直三棱锥111ABC A B C-底面三边长3,4,5AC BC AB===，1,,AC BC CC两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC=-=,11110,AC BC AC BC∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB与1C B的交点为E，则E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4)2DE AC=-=-111,//2DE AC DE AC∴=∴111,,DE CDB AC CDB⊂⊄平面平面1//AC CDB∴平面(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB=-=111111cos,||||AC CBAC CBAC CB∴<>==∴异面直线1AC与1B C5例题3 在ΔABC中，已知66cos,364==BAB，AC边上的中线BD=5，求SINA．解答以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限由630sin =B ，则4,)(,3BA B B == ，设=（x ，0），则43(,6x BD += ，由条件得5)352()634(||22=++=x ，从而x=2，314-=x （舍去），故2(,3CA =- ．于是141439809498091698098||||cos =+⋅++-=⋅=CA BA A ∴1470cos 1sin 2=-=A A 练习3 在平面上给定ABC ∆，对于平面上的一点P ，建立如下的变换 :f AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为'P ，'()f P P =，求证 f 只有一个不动点（指P 与'P 重合的点）．解答：依提意，有12AQ AP = ，且111()224AR AB AQ AB AP =+=+ ，'1111()2248AP AC AR AC AB AP =+=+++ ，要使'P 与P 重合，应111248A P A C A B A P =++ ，得1(42)7AP AC AB =+ ，对于给定的ABC ∆，满足条件的不动点P 只有一个．例题4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC ． 已知,21,2,2===AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小．解答 （Ⅰ）以D 为原点，、、分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>111).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、CE 的距离为1．（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，Y ，Z ）．由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y ,即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，M ，N ），则 ).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角． 故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π练习4如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB =2，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值．解答（I ）以B 为原点，1BB 、分别为Y 、Z 轴建立 空间直角坐标系． 由于BC =1，BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C - 设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EB EA a E )0,2,23()2,,23(0a a --⋅--=,432)2(432+-=-+=a a a a.,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE ． 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14143||=+=，故异面直线AB 、EB 1的距离为1． （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量A B 与11的夹角．.22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座05几何解题途径的探求方法
比赛讲座 05－几何解题门路的探究方法一．充足地睁开想象想象力，就是人们平时说的形象思想或直觉思想能力。
想象力关于人们的创建性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评论：“想象是促使人类发展的伟大天分。
”解题一项创建性的工作，自然需要丰富的想象力。
在解题过程中，充足睁开想象，主假如指：1．全面地假想假想，是指对同一问题从各个不一样的角度去察看思虑和深入剖析其特点，推断解题的大概方向，构想各样不一样的办理方案。
例1．在ABCD中，AB=AC ，D 是BC边上一点，E是线段AD上一点，且BED2CED BAC ，求证：BD=2CD （ 92年全国初中联赛试题）例2．在ABC 中，AB>AC， A 的外角均分线交ABC 的外接圆于D，DE AB 于E。
求证：AE ( AB AC )（ 89 年全国高中联赛试题）23．在Rt ABC的斜边上取一点D，使ABD和ACD的内切圆相等。
证明：S ABC AD 2（31 届 IMO 备选题）例 4．设 A 是三维立体a bc的长方体砖块。
若 B 是全部到 A 的距离不超出 1 的点的会合（特别地， B 包含 A），试用abc的多项式表示 B 的体积（ 84 年美国普特南数学竟赛试题）2．宽泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其有关的各样不一样的事物，进行由此彼的考虑。
在解题过程中，我们如能根椐问题特点宽泛地联想熟知命题，并想法将其结论或解法加以利用，则无疑是获取解题门路的简捷方法。
例 5．在ABC 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C的大小成等比数列，且 b2a2ac ，求角B（85年全国高中联赛试题）例6．四边形 ABCD内接于 o ，对角线 AC BD 于 P ， E 是 CD 的中点，OF AB于F。
求证：PE OF （78年上海高中竟赛试题）例7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在棱 AA1上，且A1F : FA 1 : 2，求平面B1EF与底面A1 B1C1D1所成的二面角。
九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何
竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1. （2006吉林预赛）正方体－A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线和直线1所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数为 （ C ）A. 1B. 2C. 3D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体作直线l ，1111ABCD A B C D -中，P为棱上一点，过点P 在空间的条数使l 与平面和平面11C D 均成030角，则这样的直线l 为（B ）A. 1 B .2 C. 3 D .43．(集训试题)设O 是正三棱锥底面是三角形的中心，过O 的动平面与交于S ，与、的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++ （ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值 C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面无关的常数解：设正三棱锥中，各侧棱两两夹角为α，与面所成角为β，则31△·21(31·α)··β。
另一方面，记O 到各面的距离为d ，则，31S △·31△·31△·31△·213⋅d ·α213⋅d ·α213⋅d ··α，故有：···β(···)，即d PS PR PQ βsin 111=++=常数。
故选D 。
4．（2006年江苏）过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有（C ） A ．0条B ．1条C ．4条D ．无数多条5.（2006天津）已知P 为四面体ABC S -的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ D ）A ．圆或椭圆B ．椭圆或双曲线C ．双曲线或抛物线D ．抛物线或椭圆6．（2006年南昌市）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形(,,,A B C D 按反时针方向排列),侧棱PB 垂直于底面,且PB ＝3,记APD θ∠=,则sin θ＝（C ） A ．22 B ．33 C ．55 D ．667．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B ） A ．(1)(2)(5) B ．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D ．(3)(4)(5)【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
【精】高中数学：立体几何优质讲义.docx
高中数学：立体几何优质讲义姓名:指导：日期：立体几何证平行（一）甄蟻平有＜■图丄E）--------------- K如果两条蛾切平行于第三条最，那么这两条蛾相互平行.2.如果一条蛛平行于另一个平面，那么这条蟻就平行于这这条地的平面与已知平而的交蟻. 图丄】3 .血果商个平面平行，那玄另一个平血虹诳两个平血的交妹互制平行.4如果两喪直蟻都制另一•个平而垂直.那么这两条直蟻平有.5一在同T面内，如果两条直或垂直于同一条直墟，那么这两条直慟'成.，程茜师中学亞建化L.如果平而外一条直絞平行于平面内的一条直銭，那衣宜城与平而干径 :!.如果两个平部平行，一个平薊内的任何一条直域平行于另一个平面. 3 .州果平血*了平而如一条如果干时垂直于另--条直邑, 4 一如果平面与平面外一条直理同时垂直于另一个平面,I. 如果一个平而内有两果闵全平f li 平有于另一个平而,丄如果两个平面揺平行于第三个平潮，那互这两个平面平有. 3.如果两个平面问畦垂直于同一条面雄，那么这两个平ffii 平行.证塔直大部分毎是通过隼直证垂直:下能ii 史旳时榛.平移到另i 一个位置证垂直. （一） 或蟻垂西如果一案直蛾垂直于一个平St 那佥谊条宜戒垂直于这个平ifi 内的任何一条直銭一 （二） 蜷海垂苴【一如果一条直蜷垂直于平而内两条招交的部，那么这条直坡就垂直于两条相交直域所在的平面. 丄如果睥个平而常有，在其中一个 平血內，垂森于公芯検的il 注垂立于yi-t-Tni!. t 三）而而垂直（■囲At ）【.辻一个平而垂洼旳平而垂辻于巳辻平而. 土二部南为直请的两个平面垂直.〈理科）（四〉不能祝匿征垂直的情况L 把已知蟻成ffii 平秽到容駐证照垂直的位置 2.询和已知蟻或面平行的蟻凍海证垂直一那么场面平有. 图卩二.求相疔，求距离，成求体根〈一）求術》〈理我丄技线爾.絞血曲•和二而跆歩L建系，崖可能il.薮将计算的点落在抽我和軸而L坐株系可以任意拆向*凡是角度渉成的面都要至少已如（SU出）3个点，肅度演及的絞都要至少巳知《成求出）£个点.歩，标期段坐标，不能表廚的可以持定字毋系数，当盧坐岳中只舍有一个未知字毋时可以直接代入下一歩求解：当点坐标中含有£个以上未知字毋盹需要握据以下三点列式求字母取住.①前量垂成a ijj =>^15 +y L k'i + -^i = u囲向量其蟻，"Jj2n W =虹2.乂 =加.=切崖向0模，何|=巧了「了歩丄表航向量，终点跋起点歩4:朮法曲丽1也（歩I上（如丄"I'""（歩3丄不姉妨X."中一一个字辱为。
《高中数学课件-立体几何》
圆锥的表面积
了解计算圆锥表面积的技巧和实际应用。
空间几何体的整体平移、镜面对称、旋转等变 换
研究空间几何体在平移、镜面对称和旋转等变换下的性质和变化规律，加深对立体几何的理解。
1
平移
学习如何进行几何体的平移变换和平移向量
镜面对称
2
的表示。
探索几何体的镜面对称性质以及对称轴的确
定。
3
旋转
了解几何体的旋转变换和旋转角度的计算方 法。
立方体的投影
研究立方体在不同投影面上的阴影和形态。
棱锥的投影
了解棱锥在平面上的投影与形状之间的关系。
圆柱的投影
观察圆柱在平面上的投影图和实际形状之间的相似性。
空间几何体的体积计算
了解如何计算不同空间几何体的体积，包括棱柱、棱锥、圆柱和圆锥等。
棱柱的体积
学习计算棱柱体积的公式和方法。
棱锥的体积
探索计算不同类型棱锥体积的公式和技巧。
向量是立体几何中重要的概念，通过学习向量运算，我们可以解决许多立体几何问题。
1
向量的定义
介绍向量的基本概念和性质。
2
向量的加法和减法
学习如何进行向量的加法和减法运算。
3
数量积和向量积
讲解向量的数量积和向量积及其意义与应用。
立体图形的投影
探索立体图形在不同平面上的投影，帮助我们更好地理解其形状和属性。
圆柱的体积
了解计算圆柱体积的公式和实际应用。
圆锥的体积
讲解如何计算圆锥体习如何计算各种空间几何体的表面积，包括棱柱、棱锥、圆柱和圆锥等。
立方体的表面积
探索计算立方体表面积的方法和技巧。
棱锥的表面积
讲解计算棱锥表面积的公式和实际应用。
《高中数学立体几何》课件
本课程将介绍立体几何概念、用途和计算问题。掌握立体几何的基本原理和 解题方法，为学生今后考入理工类大学打下坚实的数学基础。
什么是立体几何
定义
立体几何是研究三维空间中的点、线、面、体之间 相互关系的数学学科。
应用
立体几何是极其重要的数学分支，广泛应用于数学、 物理学、工程技术等领域。
判定方法
全等性和相似性的判定方法非常的重要，我们将详细探讨。
立体几何中的平行与垂直
平行性质
掌握和理解平行线及其性质，将有助于解决立体几 何中很多形状相似、全等等问题。
垂直性质
垂直性质也是立体几何常见的性质之一，掌握垂直 关系及其应用将使你在解题时事半功倍。
立体几何的计算问题和解法
1
表面积和体积
了解计算表面积和体积的基本公式和应用场景，可为解决立体几何问题提供强有 力的支持。
2
三视图
掌握三视图生成及其应用，能够快速准确计算立体和思考方法，并通过多做习题来加强应用实践。
概念
立体几何涉及到许多概念，如棱锥、棱柱、圆锥、 圆柱、球、圆等。
立体几何的图形与性质
平面图形
圆的面积，直线与平面的关 系，多边形的性质等。
几何体
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、 球、棱台、正四面体、正六 面体、正八面体、正二十面 体等。
性质总结
一些特殊的立体几何图形， 如对称性、表面积和体积等。
立体几何的投影与展开
投影
了解并掌握立体几何图形在平面上的投影，是解决 立体几何问题的关键。
展开
将一个三维立体图形切割后，展开成一个平面图形， 方便研究，是解决立体几何问题的有效方法之一。
立体几何中的相似与全等
相似
两个形状相似是指这两个形状在形状上相同，但大小比例不同。
立体几何公开课课件
立体几何公开课课件立体几何是数学中的一个分支，主要研究三维空间中的图形、体积和表面积等性质。
本课程旨在介绍立体几何的基本概念和相关定理，帮助学习者理解和掌握立体几何的基本知识和解题方法。
一、立体几何概述立体几何是研究三维空间中图形的一门学科。
在立体几何中，我们关注的是不同形状的物体，例如立方体、球体、圆锥等，并研究它们的性质和特点。
1.1 空间几何空间几何是研究空间中的图形和性质的学科，它包括平面几何和立体几何两个方面。
而本课程主要关注的是立体几何部分。
二、立体几何的基本概念在学习立体几何前，我们需要了解一些基本概念，这些概念对于理解和应用立体几何知识非常重要。
2.1 点、线、面在立体几何中，点、线、面是最基本的图形元素。
点是没有大小和形状的，只有位置。
线是由无数个点组成的，没有宽度和厚度。
面是由无数个线组成的，具有长度和宽度。
2.2 图形的投影在三维空间中，我们可以将图形投影到二维平面上，以便更好地观察和分析。
常见的投影方法有平行投影和透视投影。
三、立体几何的性质和定理立体几何中有许多重要的性质和定理，它们给出了图形之间的关系和计算方法。
在本课程中，我们将介绍一些常见的性质和定理，并通过实例演示应用方法。
3.1 最短距离定理最短距离定理是立体几何中一个重要的定理，它指出在两个不共面的点之间，最短距离是它们连线上的一条线段。
3.2 空间角的性质空间角是立体几何中的一个重要概念，它是由两条交叉线和它们的公共点确定的。
在本课程中，我们将介绍空间角的性质和计算方法。
四、立体几何的应用立体几何在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计、工程测量、计算机图形学等领域，立体几何都扮演着重要的角色。
本课程将通过实例展示立体几何在实际问题中的应用。
4.1 体积计算体积是立体图形的一个重要性质，它用于衡量物体所占的空间大小。
在本课程中，我们将介绍一些常见图形的体积计算方法，例如长方体、圆柱体等。
4.2 表面积计算表面积是立体图形的另一个重要性质，它用于衡量物体的外表面积。
2020年高考数学复习备考讲座《“立体几何”内容剖析及备考建议》
（二）空间角及点面距离的计算
• 新课标Ⅰ卷对立体几何解答题的考查，一般分成两部分，前一 部分主要考查空间中点、线、面的位置关系。后一部分理科主 要考查空间角的计算问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的 考查，理科2011—2017这七年中有5年都考查了二面角问题, 这两年才考线面角。而文科第（2）问一般研究几何体的体积 或点面距，通过计算发现垂直关系、进而证明线面垂直找到几 何体的高，当然也注意高、底面、等积的转换．
“立体几何”内容剖析及备考建议
• 一、考纲要求、考点分布及考查特点 • 二、高考真题剖析热点问题及应对策略
• （一）平行与垂直的证明 • （二）空间角及点面距离的计算 • （三）多面体与球的切接 • （四）几何作图问题 • （五）三视图 • （六）关注数学文化、冷门与创新问题
• 三、立体几何专题一轮复习建议
外接球的表面积为
（A） 4
（B） 16 3
（C） 32
（D）16
3P
O
A
C
B 一般地：（由两个有公共斜边的直角三角形组成的）三棱锥
A BCD（ AD AB，BC CD），知道 BD 的中点 M 是其外
接球的球心．
18:20:21
模型研究 ——以直三棱柱为基础的特殊几何体的外接球的球心
直棱柱如果有外接球，则其外接球的球心在两底面多边 形的外接圆圆心的连线的中点上．对于一些 有垂直关系的、 可以补成直棱柱的四棱锥或三棱锥通过补成直三棱柱较易求 得其外接球的半径．
18:20:21
（三）多面体与球的切接
• 一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算。 • 二是考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能
点评：这是信息丰富、很重基础的好题 。 据已知，侧面是腰长为 6 全等的等腰 直角三角形，底面是边长 6 2 的 等边三角形，点 D 底面中心， 侧棱垂直于相对侧面。
高三数学教师培训立体几何专题讲座
高三数学教师培训立体几何专题讲座⒈考试说明对该内容的要求，20XX年、20XX年、20XX年三年高考中对该内容的考查情况分析.近三年全国及各省市考题立体几何统计表1、新课程标准对立体几何有了一个全新的要求，这主要体现在强调了立体几何的两个主要系统（平行和垂直）。
对四个公理和几个定理只要求了解它们可以作为推理论证的依据，对判定定理只要求理解，而对性质定理则又增加了证明的要求。
要求能运用公理定理和以获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
这应该说是大大降低了立体几何的整体难度，强调了应用定理证明问题。
2、而对空间向量的应用则提出了较高的要求，这主要体现在以下几个方面：①理解直线的方向向量和平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面和面面的平行和垂直关系；③能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理（强化了计算证明而弱化了一些烦难的逻辑证明）；④能用向量方法解决一些线线、线面和面面夹角的计算问题。
3、了解向量方法在研究几何问题中的作用。
这无疑对我们今后的教学指出了明确的方向，就是弱化逻辑论证强化用向量的计算和论证。
4、山东省目前有A 、B 两个版本，高考只能考察它们的交集，在立体几何方面由于A 版没有球面距离，高考没有考察；B 版必修2没有异面直线所成的角、线面角、二面角，因此高考文科没有考察；空间距离在课程标准和高考考纲中没有，尽管教材中有这个内容，但高考三年内也没有考察。
07年，文理科的立体几何都是两个题。
其中文科立体几何选择题是考察三视图；解答题是直四棱柱内线线垂直和线面平行的证明。
理科中选择题与文科相同，解答题直四棱柱中线面平行的证明和求二面角。
07年是新课程高考的第一年，考试说明有了变化：立体几何在新教材中分成必修和选修两部分，选修部分只要求理科学生掌握。
必修部分要求掌握简单的空间几何体的画法（三视图、直观图）、表面积以及体积的计算公式；点、线、面之间的位置关系；对于新内容，高考中有了体现。
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竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1. （2006吉林预赛）正方体－A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线和直线1所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数为 （ C ）A. 1B. 2C. 3D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体作直线1111ABCD A B C D -中，P为棱上一点，过点P 在空间线l 的条l ，使l 与平面和平面11C D 均成030角，则这样的直数为（B ）A. 1 B .2 C. 3 D .43．(集训试题)设O 是正三棱锥底面是三角形的中心，过O 的动平面与交于S ，与、的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++ （ ） A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面无关的常数解：设正三棱锥中，各侧棱两两夹角为α，与面所成角为β，则31△·21(31·α)··β。
另一方面，记O 到各面的距离为d ，则，31S △·31△·31△·31△·213⋅d ·α213⋅d ·α213⋅d ··α，故有：···β(···)，即d PS PR PQ βsin 111=++=常数。
故选D 。
4．（2006年江苏）过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有（C ）A ．0条B ．1条C ．4条D ．无数多条5.（2006天津）已知P 为四面体ABC S -的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ D ）A ．圆或椭圆B ．椭圆或双曲线C ．双曲线或抛物线D ．抛物线或椭圆6．（2006年南昌市）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形(,,,A B C D 按反时针方向排列),侧棱PB 垂直于底面,且PB ＝3,记APD θ∠=,则sin θ＝（C ） A ．22B ．33 C ．55 D ．667．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B ） A ．(1)(2)(5) B ．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D ．(3)(4)(5)【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
∴选 【 B 】8．(2005全国)如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A '垂直，使得α 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ） A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面A BD D B C '''与为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11A A E E '='，故l 为定值.当E '位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为2243l 与2363l ，故S 不为定值。
选B.9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C ）A ．2006B ．21003C ．100310032-D ．100210032-.解： 正2n 边形n A A A 221Λ，对角线共有 )32()32(221-=-⨯⨯n n n n 条.计算与一边21A A 平行的对角线条数，因2121//++n n A A A A ，与21A A 平行的对角线的端点只能取自24个点，平行线共2条。
故与某一边平行的对角线共n(2)条。
由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(23)(2)(1)条。
因此正确选项是 C.10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。
那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共2762312224=⨯=C ，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连20285=⨯条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部.二、填空题部分1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s ,则s 的最大值为12.2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 33144π-．3．（2006年上海）在△中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边上一点D 作直线，与边或者相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且将△的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭36．4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米，n 平方米，p 平方米，则它的体积为4()()()()s m n p m n p p m n n p m +++-+-+- 立方米．5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于33 .6．（2006年江苏）长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是 ()4,5 ．7．(2005全国)如图，四面体的体积为61，且满足,32,45=++︒=∠AC BC AD ACB 则=CD 3.解：,61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD Θ 即.12≥⋅⋅AC BC AD又,32233≥⋅⋅≥++=AC BC AD AC BC AD 等号当且仅当12===AC BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面，3=∴DC .8．（2004 全国）如图、正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A BD A --的度数是.F ，则解：连结1,D C ⊥1作CE BD ，垂足为E ，延长交1A B 于1FE BD ⊥，连结，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角11A BD A --的平面角.连结，设1，则112, 3.AC AD BD ===1Rt ABD ∆在中，1123AB AD AE BD ⋅==， CED1C1A1B1ADF第7题在22222242213cos 42223AE CE AC AE AC AEC AEC AE CE AE -+--∆∠====-⋅中,.0120,AEC FEA AEC ∴∠=∠∠而是的补角，060FEA ∴∠=.【原创】2008年高考立体几何问题研究综述直线、平面、简单几何体是高考的必考内容。
一般以客观题的形式考查基础知识，以解答题的形式考查综合问题。
2008年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的判断与论证，空间角与距离的计算，直线、平面、简单几何体与其它知识的交汇与运用等。
试题设置形式和数量不一：有12份试卷是“两小一大”共三道题、4份试卷是“一小一大”共两道题、全国Ⅱ和四川卷是“三小一大”共四道题、江苏卷仅一道大题，分值由13:27不等，平均分不足22，题目难度一般仍在中等左右。
1、客观题的考查研究1．1、线面位置关系的判断问题例1. （湖南5）设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α∥α,则m ∥nB.若⊂α⊂α∥β∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 解析 对每个选支逐一分析判断，可得正确答案（D ）。
评注 本题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，同类的还有天津5、安徽4。
线面位置关系的判断是立体几何的基本知识和基本技能，是高考的必考内容，多出现在填空、选择题中。
1．2、几何元素的计数问题例2.（辽宁11）在正方体-1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱1，1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，，都相交的直线（ ）A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析 方法1：易知三条异面直线A 1D 1，，平行于同一平面，记它 们依次为,在直线a 上任取一点E ，过E 作直线11,b b c c P P （如图1）。
设直线1,b b 确定平面α，直线1,c c 确定平面β，又两平面有公共点E ，故它 们必交于过E 的一条直线l 。
在α内直线l 与1b 交于E ，则必与1b 的平行线b 相交，记交点为F ；同理记直线l 与c 的交点为G ，则直线l 与直线分别交于点E ，F ，G 。
因为点E 是任取的，故这样的直线有无数条。
方法2：过直线a 的平面旋转扫过全空间时，除去与都平行的平面外，其余位置上的平面都与同时相交（记交点为M ，N ），这些同时与相交的平面中，除一个会出现∥a 外，其余的直线都与直线a 相交，因此这样的直线有无数条。
方法3：在直线上任取一点P ，则P 与直线A 1D 1确定一个平面γ，该平面与直线必有交点，记为Q ，直线与直线A 1D 1共面且不平行，故它们必有交点，这样直线与直线A 1D 1，，都相交，又直线随P 的变化而变化，故这样的直线有无数条。