刚体6个自由度 自由度数目减少(由于约束)
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由书p91图可知：
当 oX oN 时，oY oM
oZ ox3 时，oM oM ' 当
所以 oM 、oM '、oZ、ox3 在同一平面 ，且
oN 平面 从 oZ 上一点作oM '的垂线a，显然 a在 上，则
oN a oM ' a
§1.5.2 刚体的运动方程
刚体：6个自由度 自由度数目减少 (由于约束)
例子：绕固定点的转动——3个自由度； 定轴转动——1个自由度。
在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力
但：由拉格朗日方程中不容易得到约束反力
(以前仅讨论理想约束) 办法：回到牛顿表述
一、动量定理
定点转动角动量定理
刚体：特殊的质点组。 考察刚体整体运动：
v 1 ：质点在 K1 系中的速度；
v：质点在K系中的速度； V：K1系对 K 0 系的速度。 则：
v 0 v1 V
dr d ' r v1 ω r v ω r dt dt
v 0 V v ω r
上式右边各项再对时间求导，有
dV w V dt ( K1、K 系坐标原点对K0系的加速度)
K 设： 0 系——惯性系， 1 系—相对 K 0 系的速度为V(t) K
K系——相对 K1 系的角速度为 ω(t )
则：K系——非惯性系
做的事：在K系中建立运动方程 设：矢量A，
dA ——A在K1 系中的导数，则 dt
dA d ' A ω A dt dt
令 v 0 ：质点在 K 0 系中的速度；
dA ω A dt
一般情况：A相对于运动坐标系改变，说明如下。
设： 1、K 分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。 K
现在 K1、K系中分别求矢量 A(t) 随时间的变化率。
i, j, k：K 系中的单位常矢量 i, j, k 对 K1系不是常矢量，即 i i(t ), j j(t ), k k (t )
三、刚体的动平衡 (见p88，略。)
四、刚体的自由运动
自由运动：不受外力、不受约束。 即：
F0
M (o) 0
有： R 0 0
(质心：匀速运动)； (绕质心的转动，且角动量守恒)
L( o ) 0
I 设：e1 , e 2 , e 3 为三个惯量主轴方向， 1 , I 2 , I 3 为沿这
I 11 ( I 3 I 2 ) 2 3 M 1 I 2 2 ( I 1 I 3 ) 31 M 2 I ( I I ) M 2 1 1 2 3 3 3
——欧勒动力学方程
§1.5.3 非惯性系中的运动
若：将参考系固连在刚体上，只要刚体不是作匀速运 动，这一参考系为非惯性系。
并设它们之间的夹角为 ，显然有
ω ω自转 ω进动
L在 ox1 x3平面内，L与 x3 的夹角：
L与 ox3 的夹角： 2
L在 ox1 轴的投影： L1 I1ω1
ω 由图：ω， 进动在
则：
ox1 上的分量相等
进动 cos( ) 1
2
L1 L cos( 2 ) L sin 进动 sin I1 I1 I1
对上式作和：
d (r m r ) r F r F mara R 0 a dt a a a a a a内 a a a 外 a
d (r m r ) r F ( mara ) R 0 a a a a a外 dt a a a
MR 0 Fa 外 F
a
R 0：质心在静止系中的矢径。
对第a个质点： 其中：
ma R a Fa内 wk.baidu.coma 外
R a R 0 ra
ra ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。
因为：
d (R a R a ) R a R a R a R a R a R a dt
而
d'L I 11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3 dt
L1 I11
L2 I 2 2
L3 I 3 3
(ω L)1 2 L3 3 L2 2 I 33 3 I 22 ( I1 I 2 )23
(ω L)2 3 L1 1 L3 3 I11 1 I 33 ( I1 I 3 )31 (ω L)3 1 L2 2 L1 1I 22 2 I11 ( I 2 I1 )12
又
rc
m r m
a a a
a a
0
则
m r
a
a a
0
d 0 (ra mara ) ra Fa 外 dt a a
d (ra mara ) ra Fa 外 dt a a
令
L( o ) ra ma ra
a
M ( o ) ra Fae
a
则
dL( o ) M ( o ) ——对质心的角动量定理 dt
描述刚体的运动方程组
MR 0 F
（平动）
（转动）
dL dL( o ) M 或 M(o) dt dt
二、刚体的静平衡
平衡时：
R 0 0,
dL 0 dt
F 0, M 0
——平衡方程
例题：见p88 [例1]
在 K1 中对矢量 A(t ) Ax (t )i(t ) Ay (t ) j(t ) Az (t )k (t )
求导，得
dAy dAz dA dAx di dj dk i j k Ax Ay Az dt dt dt dt dt dt dt dAy dAx dAz i j k Axω i Ay ω j Az ω k dt dt dt
则：计算 , ,
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2上任意
选取，则：取
ox1 沿oN方向
0
于是有： 1
2 sin 3 sin
六、欧勒动力学方程
刚体的运动方程为：
而 L I ω 中 I 不是常数，这样要得到M与ω的
R
a1
a
dL M ——对固定点的角动量定理 dt
以质心为坐标原点：(仍在惯性系中)
r ma (R 0 a ) Fa 内 Fa 外
r ma ra (R 0 a ) ra Fa 内 ra Fa 外 ma ra R 0 ma ra a ra Fa内 ra Fa 外 r
ma R a Fa内 Fa 外
所以：
ma R a R a R a Fai R a Fae d ma (R a R a ) R a Fa内 R a Fa 外 dt
N N d 作和： dt (R a ma R a ) R a Fa内 R a Fa 外 a 1 a 1 a 1
N
0 R a Fa 外 R a Fa 外
a 1 a 1
N
N
其中：
N d N (R a ma R a ) R a Fa 外 dt a 1 a 1
(R
a 1
N
N
a
ma R a ) L ——对固定点o的总角动量
Fa 外 M ——对固定点o的总力矩
因此 a oN , oM '组成的平面，即 ox1 , ox2 平面。
由此 oZ 在
x1 x2 平面的投足落在 oM 上，得到 '
沿
oM '方向。 又 oM '与 x2 的夹角为 ，这样 在 x1 , x2的分量为 1 sin sin 2 sin cos
dω d ' ω d 'ω [ ωω ] dt dt dt
dv 0 w a 2ω v ω r ω (ω r) dt
惯性系中：
dv 0 m f dt
ma f mw mr ω 2mv ω mω (r ω)
——非惯性系中的运动方程 f ：外力
mw：平动加速度产生的惯性力 mr ω：角加速度产生的惯性力
2mv ω ：科里奥利力
mω (r ω) ：惯性离心力
关系很困难。
dL M dt
(对静止坐标系)
办法：建立运动坐标系——坐标轴沿三个惯量主
轴方向 此时： L
I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
dA 设：矢量A， ：相对静止坐标系的改变量 dt dA 若：A相对于运动坐标系不变，则 仅仅是由于运动 dt
坐标系转动而引起的，故
dv d ' v ω v a ω v dt dt
d 'v a ( K 系中质点的加速度) dt
d dω dr (ω r ) r ω dt dt dt
d 'ω d 'r r ω ( ω r) dt dt
ω r ω v ω (ω r)
d'A d' ： 在运动坐标系中求导 ：A在运动坐标系中的改变 dt dt 令A=L ，得：dL d ' L ω L dt dt
又 所以
dL M dt
d'L ω L M dt
对运动坐标系：
L I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
进动 L I1 常量 (注意： 角动量守恒)
且 ω 不变 ( L Iω——匀速旋转)
L与 ox3 轴的夹角不变
规则进动：对称陀螺自由转动，有 绕 x3转动 + x3 轴绕空间固定轴(L轴)进动， 且 x3与L之间的夹角 保持不变。
五、欧勒运动学方程
对称陀螺的基本运动：
(1)刚体绕对称轴的自转； (2)自转轴绕空间固定轴的进动； (3)自转轴和固定轴间夹角的章动。 用欧勒角描述这三种运动： 设：o——固定点；oz：固定轴
：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； ：进动角速度——沿oz方向
：自转角速度——沿 ox3 方向。 ：ox3 和oz间的夹角——章动角； ：章动角速度——沿oN方向。
三个主轴的转动惯量
则：
L I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
讨论： 1. I1 I 2 I 3 ——球对称陀螺(任意选取三个相互垂 直的轴作惯量主轴) 此时：
L Iω
2. I1 I 2 I , I 3 0 ——转子
L I11e1 I 2 2 e 2 I (ω1 ω2 )
1． 在 x1 x 2平面， 在 由图：
：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
x1 , x2 , x3 的分量 1 , 2 , 3 。
1 cos , 2 sin , 3 0
2． 在 x3 上的投影： 3 cos
即：L在
x1 x 2 平面内， ox3 。
3. I1 I 2 I 3 ——对称陀螺 ( I1 I 2 I 3：不对称陀螺) 此时：平面 x1 x 2 内的任一轴都是主轴 选 ox2 L L2 0
2 0
L, ω, x3 在同一平面
将ω 分解到 x3和 L 的方向上，分别称为 ω自转 和 ω 进动，
3． 沿 x3 方向
sin 沿 oM '方向，即
1 sin sin cos 2 sin cos sin 3 cos
(欧勒运动学方程)
若：已知 1 , 2 , 3
当 oX oN 时，oY oM
oZ ox3 时，oM oM ' 当
所以 oM 、oM '、oZ、ox3 在同一平面 ，且
oN 平面 从 oZ 上一点作oM '的垂线a，显然 a在 上，则
oN a oM ' a
§1.5.2 刚体的运动方程
刚体：6个自由度 自由度数目减少 (由于约束)
例子：绕固定点的转动——3个自由度； 定轴转动——1个自由度。
在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力
但：由拉格朗日方程中不容易得到约束反力
(以前仅讨论理想约束) 办法：回到牛顿表述
一、动量定理
定点转动角动量定理
刚体：特殊的质点组。 考察刚体整体运动：
v 1 ：质点在 K1 系中的速度；
v：质点在K系中的速度； V：K1系对 K 0 系的速度。 则：
v 0 v1 V
dr d ' r v1 ω r v ω r dt dt
v 0 V v ω r
上式右边各项再对时间求导，有
dV w V dt ( K1、K 系坐标原点对K0系的加速度)
K 设： 0 系——惯性系， 1 系—相对 K 0 系的速度为V(t) K
K系——相对 K1 系的角速度为 ω(t )
则：K系——非惯性系
做的事：在K系中建立运动方程 设：矢量A，
dA ——A在K1 系中的导数，则 dt
dA d ' A ω A dt dt
令 v 0 ：质点在 K 0 系中的速度；
dA ω A dt
一般情况：A相对于运动坐标系改变，说明如下。
设： 1、K 分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。 K
现在 K1、K系中分别求矢量 A(t) 随时间的变化率。
i, j, k：K 系中的单位常矢量 i, j, k 对 K1系不是常矢量，即 i i(t ), j j(t ), k k (t )
三、刚体的动平衡 (见p88，略。)
四、刚体的自由运动
自由运动：不受外力、不受约束。 即：
F0
M (o) 0
有： R 0 0
(质心：匀速运动)； (绕质心的转动，且角动量守恒)
L( o ) 0
I 设：e1 , e 2 , e 3 为三个惯量主轴方向， 1 , I 2 , I 3 为沿这
I 11 ( I 3 I 2 ) 2 3 M 1 I 2 2 ( I 1 I 3 ) 31 M 2 I ( I I ) M 2 1 1 2 3 3 3
——欧勒动力学方程
§1.5.3 非惯性系中的运动
若：将参考系固连在刚体上，只要刚体不是作匀速运 动，这一参考系为非惯性系。
并设它们之间的夹角为 ，显然有
ω ω自转 ω进动
L在 ox1 x3平面内，L与 x3 的夹角：
L与 ox3 的夹角： 2
L在 ox1 轴的投影： L1 I1ω1
ω 由图：ω， 进动在
则：
ox1 上的分量相等
进动 cos( ) 1
2
L1 L cos( 2 ) L sin 进动 sin I1 I1 I1
对上式作和：
d (r m r ) r F r F mara R 0 a dt a a a a a a内 a a a 外 a
d (r m r ) r F ( mara ) R 0 a a a a a外 dt a a a
MR 0 Fa 外 F
a
R 0：质心在静止系中的矢径。
对第a个质点： 其中：
ma R a Fa内 wk.baidu.coma 外
R a R 0 ra
ra ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。
因为：
d (R a R a ) R a R a R a R a R a R a dt
而
d'L I 11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3 dt
L1 I11
L2 I 2 2
L3 I 3 3
(ω L)1 2 L3 3 L2 2 I 33 3 I 22 ( I1 I 2 )23
(ω L)2 3 L1 1 L3 3 I11 1 I 33 ( I1 I 3 )31 (ω L)3 1 L2 2 L1 1I 22 2 I11 ( I 2 I1 )12
又
rc
m r m
a a a
a a
0
则
m r
a
a a
0
d 0 (ra mara ) ra Fa 外 dt a a
d (ra mara ) ra Fa 外 dt a a
令
L( o ) ra ma ra
a
M ( o ) ra Fae
a
则
dL( o ) M ( o ) ——对质心的角动量定理 dt
描述刚体的运动方程组
MR 0 F
（平动）
（转动）
dL dL( o ) M 或 M(o) dt dt
二、刚体的静平衡
平衡时：
R 0 0,
dL 0 dt
F 0, M 0
——平衡方程
例题：见p88 [例1]
在 K1 中对矢量 A(t ) Ax (t )i(t ) Ay (t ) j(t ) Az (t )k (t )
求导，得
dAy dAz dA dAx di dj dk i j k Ax Ay Az dt dt dt dt dt dt dt dAy dAx dAz i j k Axω i Ay ω j Az ω k dt dt dt
则：计算 , ,
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2上任意
选取，则：取
ox1 沿oN方向
0
于是有： 1
2 sin 3 sin
六、欧勒动力学方程
刚体的运动方程为：
而 L I ω 中 I 不是常数，这样要得到M与ω的
R
a1
a
dL M ——对固定点的角动量定理 dt
以质心为坐标原点：(仍在惯性系中)
r ma (R 0 a ) Fa 内 Fa 外
r ma ra (R 0 a ) ra Fa 内 ra Fa 外 ma ra R 0 ma ra a ra Fa内 ra Fa 外 r
ma R a Fa内 Fa 外
所以：
ma R a R a R a Fai R a Fae d ma (R a R a ) R a Fa内 R a Fa 外 dt
N N d 作和： dt (R a ma R a ) R a Fa内 R a Fa 外 a 1 a 1 a 1
N
0 R a Fa 外 R a Fa 外
a 1 a 1
N
N
其中：
N d N (R a ma R a ) R a Fa 外 dt a 1 a 1
(R
a 1
N
N
a
ma R a ) L ——对固定点o的总角动量
Fa 外 M ——对固定点o的总力矩
因此 a oN , oM '组成的平面，即 ox1 , ox2 平面。
由此 oZ 在
x1 x2 平面的投足落在 oM 上，得到 '
沿
oM '方向。 又 oM '与 x2 的夹角为 ，这样 在 x1 , x2的分量为 1 sin sin 2 sin cos
dω d ' ω d 'ω [ ωω ] dt dt dt
dv 0 w a 2ω v ω r ω (ω r) dt
惯性系中：
dv 0 m f dt
ma f mw mr ω 2mv ω mω (r ω)
——非惯性系中的运动方程 f ：外力
mw：平动加速度产生的惯性力 mr ω：角加速度产生的惯性力
2mv ω ：科里奥利力
mω (r ω) ：惯性离心力
关系很困难。
dL M dt
(对静止坐标系)
办法：建立运动坐标系——坐标轴沿三个惯量主
轴方向 此时： L
I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
dA 设：矢量A， ：相对静止坐标系的改变量 dt dA 若：A相对于运动坐标系不变，则 仅仅是由于运动 dt
坐标系转动而引起的，故
dv d ' v ω v a ω v dt dt
d 'v a ( K 系中质点的加速度) dt
d dω dr (ω r ) r ω dt dt dt
d 'ω d 'r r ω ( ω r) dt dt
ω r ω v ω (ω r)
d'A d' ： 在运动坐标系中求导 ：A在运动坐标系中的改变 dt dt 令A=L ，得：dL d ' L ω L dt dt
又 所以
dL M dt
d'L ω L M dt
对运动坐标系：
L I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
进动 L I1 常量 (注意： 角动量守恒)
且 ω 不变 ( L Iω——匀速旋转)
L与 ox3 轴的夹角不变
规则进动：对称陀螺自由转动，有 绕 x3转动 + x3 轴绕空间固定轴(L轴)进动， 且 x3与L之间的夹角 保持不变。
五、欧勒运动学方程
对称陀螺的基本运动：
(1)刚体绕对称轴的自转； (2)自转轴绕空间固定轴的进动； (3)自转轴和固定轴间夹角的章动。 用欧勒角描述这三种运动： 设：o——固定点；oz：固定轴
：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； ：进动角速度——沿oz方向
：自转角速度——沿 ox3 方向。 ：ox3 和oz间的夹角——章动角； ：章动角速度——沿oN方向。
三个主轴的转动惯量
则：
L I11e1 I 2 2 e 2 I 3 3e 3
讨论： 1. I1 I 2 I 3 ——球对称陀螺(任意选取三个相互垂 直的轴作惯量主轴) 此时：
L Iω
2. I1 I 2 I , I 3 0 ——转子
L I11e1 I 2 2 e 2 I (ω1 ω2 )
1． 在 x1 x 2平面， 在 由图：
：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
x1 , x2 , x3 的分量 1 , 2 , 3 。
1 cos , 2 sin , 3 0
2． 在 x3 上的投影： 3 cos
即：L在
x1 x 2 平面内， ox3 。
3. I1 I 2 I 3 ——对称陀螺 ( I1 I 2 I 3：不对称陀螺) 此时：平面 x1 x 2 内的任一轴都是主轴 选 ox2 L L2 0
2 0
L, ω, x3 在同一平面
将ω 分解到 x3和 L 的方向上，分别称为 ω自转 和 ω 进动，
3． 沿 x3 方向
sin 沿 oM '方向，即
1 sin sin cos 2 sin cos sin 3 cos
(欧勒运动学方程)
若：已知 1 , 2 , 3