函数的极限函数的连续性

f
( x)
1( x 0), 1( x 0),
y
如图，在点x=0附近，
1
o
x lim f (x) 1 f (0),
-1
x0
lim f (x) 1 f (0),
x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
o
x0
x
定义：设函数f(x)在x x0处及其
附近有定义，而且
lim
xx0
f (x)
f
(x0 )
则称函数f(x)在点 x0 处连续，
x0称为函数f(x)的连续点。
“连续必有极限，有极限未必连续”
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：
(1) f (x) 1 ,点x 0; x
(2)h(x) sin x,点x 0.
= x3
=
34
=f(3)
x3 x 2 4 lim( x 2 4) 5
x3
从而，f(x)在x=3处连续。
பைடு நூலகம்
注：判断函数 f (x) 在x=x0处的连续性有两法： （1）从图象上直观地判断；
（2）从函数 f (x) 在x=x0处是否满足三个条件看
二、单侧连续性：
如果函数 f (x) 在点 x0 处及其右侧
x0
0 x
。-1
lim f (x) -1
x0
lim f (x) 所以，
不存在，从而f(x)在x=0处不连续。
x0
（4）f(x)=
x3 7 x2 4
在x=2处，x=3处
解：因为在x=2处，f(2)不存在，所以f(x)在x=2处不连续。
34
在x=3处，f(3)=
5
lim 而
x3 7 lim( x3 7)
处右连续，在右端点 x b 处左连续，就
说函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连
续。
例如，函数 y 1 x2 上连续，而函数y 1
在闭区间[-1，1] 在开区间（0，1）
内连续，在闭间[0，x 1]上不连续，因为
它在左端点x=0处不是右连续。
练习：
1、连续函数的图象有什么特点？观察下列 函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
(3) f (x) ax2 bx c,开区间(,);
(4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2). x2
(1)
f
(x)
1 x2
,点x
0;
(2) f (x) | x |,点x 0；
不连续
y
连续
o
x
(3) f (x) ax2 bx c,开区间(,); 连续 (4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2).
o
(1)在x0处有定义.
(2) lim xx0
f
(x)
lim
xx0
f
(x)
f
( x0 )
x0
(3)xlim xx0
f
(x)
f
( x0 )
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处 连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以 以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函
数在点x0处是连续的。
y
y
y
Oa
x
连续 y
（1）
Oa
x
不连续 （2）
y
Oa
x
连续 （3）
y
O 不连续
a
（4）
x
Oa
x
不连续
（5）
Oa
x
不连续
（6）
y
y
o
a
x
o
a
x
（7） 不连续
（8） 连续
2、利用下列函数的图象，说明函数在 给定点或开区间内是否连续。
(1) f ( x) 1 ,点x 0; x2
(2) f (x) | x |, 点x 0；
函数的连续性
一种是连续变化的情况 温度计
另一种是间断的或跳跃的
例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加 而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研 究函数连续与不连续的问题。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
§2.6 函数的连续性
一、函数在某一点处的连续性
1.y f (x) y
解：如图
（1）函数
f (x) 1 x
在点x=0处
没有定义，因而它在点x=0
处不连续。
（2）因为
lim sin x 0 sin 0
x0
h(x) sin x在点x 0处连续.
x+1 (x≥0)
(3) f(x)=
在x=0处
y
X-1 (x<0)
1
解：f(x)的定义域为：R,且
lim f (x) 1
2、 f (x) x2 1
x 1
y
x 1(x 1)
2
o1
x
在x 1处没有定义.
x 1
3、
f
(x)
x 2
2
x 1 x 1
y
（1）在x=1处有定义
2.5
2
(2) lim f (x) 2.5
x1
o1
x lim f (x) 2 x1 （3）函数f（x）的极限不存在。
x 1 4、 f (x) 0.5
x2
连续
四、闭区间上连续函数的性质：
f ( x1)y
f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这
3、函数在 x 1 处的极限值和
函数值不相等
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
y 2
2、 lim f (x) 存在。 o 1 x
x x0
lim f (x) f (1)
x1 y
3、
lim
xx0
f
(x)
f (x0)
x 1 x 1
y
（1）在x=1处有定义；
2 o1
（2）函数在x=1处的左 右极限相等，即函数在 x x=1处的极限存在，且 等于2，但不等于f（1）
lim f (x) 2 0.5 f (1)
x1
导致函数图象断开的原因：
y
y
y
2
2.5 2
2
o1 x
o1
x
o1
x
1、函数在 x 1 处没有定义
2、函数在 x 1时极限不存在
附近有定义 并且
y
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
Oa
x
则称f(x)在点 x0处右连续。
类似地：
如果函数 f (x) 在点x0处及其
左侧附近有定义，并且
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
则称f(x)在x0处是左连续。y 如
x 1
f
(x)
x 2
2
x 1 x 1
2.5 2
o1
x
例如函数
f (x)
f (x0 )
y
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
o
x0
x
三、函数的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
区间 (a,b) 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或 说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 f (x)
在开区间 (a, b) 内连续，在左端点x a