第九章 模型设定误差 《计量经济学》PPT课件

漏掉一个有关变量（omitting a relevant variable） 的误差 ：
Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
vi
（9.1.2）
vi
ui
4
X
3 i
（9.1.3）
被漏掉的变量是被解释变量的滞后项，比如Yt-1。称 为动态设定偏误（dynamic mis-specification）。
包含一个无需或无关变量（including an unnecessary or irrelevant variable）的误差 ：
错误地拟合了如下模型：
Yi 1 2 X 2i vi
（9.2.2）
把模型（9.2.2）看作是模型（9.2.1）的一个特殊情 况，即是模型（9.2.1）中被遗漏变量X3的系数为 0时的结果。把式子（9.2.1）称为无约束模型， 式子（9.2.2）称为受约束模型。那么DW检验的
具体步骤如下：
1. 对模型（9.22）进行OLS回归，并得残差序列ei。 2. 原假设H0：受约束模型为真，即无遗漏变量；
u)
（9.2.14）
从而，在满足经典假定条件下
E(ˆ2 ) 2
实际上，由于模型（9.2.11）引入了一个无关变量 X3，必然有系数α3=0。这可看作是一个约束条件， 即模型（9.2.11）在约束条件α3=0下的特殊形式 即为真实的模型（9.2.10）。因此，在满足经典 假定条件下，所有OLS估计量都是无偏的，且为 一致的（证明省略）。
式子（9.2.6）也可以写成下列形式：
E(ˆ2 ) 2 3b32 其中 b32 x2i x3i / x22i
（9.2.7）
是变量X3对X2回归的斜率系数。如果β3是正的，并 且b32也是正的，将高估真实的β2。 解释变量X2不仅代表了其对Y的直接影响，还包括 了其（通过X3）对Y的间接影响。
现在来看一下和的方差：
Var(ˆ2 )
2 v
x22i
（9.2.8）
Var(ˆ2 )
2 u
x2i (1
r223 )
2 u
x2i
VIF
（9.2.9）
随机干扰项vi的方差估计值为
ˆ
2 v
RSSv
/
n
2
而随机干扰项ui的方差估计值为
ˆ
2 u
RSSu
/
n
3
从而
E
(ˆ
2 v
)
2 u
使X2和X3不相关，也有Var(ˆ2 ) Var(ˆ2 )
R2 0.9283 R2 0.9079 DW 1.0385
• DW=1.0385，n=10，k′=2，给定显著性水平5%，
查表得临界值为dL=0.697和dU=1.641。DW值落在 上下临界值之间，属于无法确定区域。此时，我
们扩大拒绝区域，由于DW=1.0385< dU=1.641，因 此，宁可认定残差中存在正的自相关。说明模型
当X2i和X3i相关，有 x2i x3i 0 ，从而 E(ˆ2 ) 2
（排除 3 0 的可能性），即 ˆ2 是有偏的。
同样可以证明 ˆ1 也是有偏的（证明省略）。
当即X2i和ˆ2X3i是不无相偏关的，，有但可x2以i x证3i 明0，从ˆ1 而仍E是(有ˆ2 )偏的2
（证明省略）。
关于一致性的证明，只要对式子（9.2.5）取概率极 限即可（证明省略）。
RESET检验的具体步骤：
1. 对所选模型
错误地拟合了如下模型：
（9.2.1）
Yi 1 2 X 2i vi
（9.2.2）
漏掉X3的后果是（OLS条件下）： 1. 若X2与X3相关，即相关系数r23不为0，则参数估 计值是有偏且非一致的，即
E(ˆ1) 1
E(ˆ2 ) 2
2. 若X2与X3不相关，即相关系数r23=0，则 ˆ2 是无 偏的，但是 ˆ1仍是有偏的。
二、模型拟合过度（overfitting a model），即包含 一个无关变量。
假设真实模型为：
Yi 1 2 X 2i ui
而错误地拟合了以下模型：
（9.2.10）
Yi 1 2 X 2i 3 X3i vi
（9.2.11）
设定误差将导致以下后果：
1. 模型中所有参数OLS估计量都是无偏的，且为 一致的。
设定偏误（model specification bias）
二、模型设定误差的类型 模型设定误差归纳为如下的原因：
1．漏掉一个有关变量； 2．包含一无关变量； 3．采用错误的函数形式； 4．测量误差； 5．对随机误差项设定不正确。
成本函数 ：
Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
4
X
3 i
ui
（9.1.1）
ˆ2
yi x2i x32i yi x3i x2i x3i x22i x32i ( x2i x3i )2
（9.2.13）
将式子（9.2.12）代入（9.2.13）得，
ˆ2
2
x32i
x2i (ui u ) x2i x3i x3i (ui x22i x32i ( x2i x3i )2
ˆ2
x2i yi x22i
将式子（9.2.3）代入（9.2.4）得，
（9.2.4）
ˆ2
பைடு நூலகம்
x2i (2 x2i
3 x3i
x22i
ui
u)
2
3
x2i x3i x22i
x2i (ui u ) x22i
（9.2.5）
由经典假定X2i和X3i与ui不相关，得
E(ˆ2 )
2
3
x2i x3i x22i （9.2.6）
方差分别为：
Var (ˆ 2
)
2 v
x22i
VIF
(9.2.15)
Var(ˆ2 )
2 u
x22i
（9.2.16）
一般情况下，包含无关变量X3将使的方差不必要地 增大。
§9.3 模型设定误差的检验
一、检验是否含有无关变量
对于模型含有无关变量的检验程序比较简单， 可直接使用t 检验和F 检验来完成。
依旧存在遗漏的变量。
• 对于模型一：
Yˆi
141.7667
63.4777 X i
12.9615X
2 i
+0.9396X
3 i
se (6.3753) (4.7786) (0.9857) (0.0591)
t (22.2368) (13.2837) ( 13.1501) (15.8968)
R2 0.9983 R2 0.9975 DW 2.7002
Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
4
X
3 i
5
X
4 i
wi
（9.1.4）
事实上，模型（9.1.4）中系数λ5一定为0，否则，模 型（9.1.1）的“正确”性就出现矛盾。也就是说， 模型（9.1.4）在λ5=0的约束条件下即为模型 （9.1.1）。从而有
wi
ui
5
X
4 i
ui 因为真实模型中5 =0 （9.1.5）
随机误差项的设定错误：
等价于 不同于
Yi Xiui
（9.1.8）
lnYi ln ln Xi ln ui
（9.1.9）
Yi Xi ui
（9.1.10）
§9.2 模型设定误差的后果
一、模型拟合不足（underfitting a model），即漏 掉一个有关变量 假如真实模型为：
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ui
第九章 模型设定误差
§9.1 模型设定误差的类型 一、模型设定误差的含义
经济学家多年来对“真理”的寻求曾给人一种观 感：经济学家们就好像在一间黑房子里搜寻一只 原本并不存在的黑猫，而计量经济学家还经常声 称找到了一只 。
----Peter Kennedy 模型设定误差(model specification error)或模型
查表得临界值为dL=0.879和dU=1.32。DW=0.7157< dL=0.879，存在正的自相关，表明存在遗漏变量。
• 对于模型二：
Yˆi
222.3833 8.025Xi
+2.5417
X
2 i
se (23.4878) (9.8095) (0.8691)
t (9.4680) ( 0.8181) (2.9245)
备择假设H1：无约束模型为真，即遗漏了变量。 排并列将，残对差排序序列后e残i按差照序遗列漏计解算释d变统量计X量3的：递增次序
n
(ei ei1)2
d i2 n
ei2
i 1
（9.3.2）
3. 给定显著性水平，查DW表，若统计量显示为正
自相关，则拒绝原假设，首先考虑存在模型设定
误差。
• 例9.1 我们来看一个教学例子。表9.1给出了一个 总成本（Y）和产出(X)的数据，现在来建立总成 本函数模型
2. 随机干扰项的方差是无偏的。
3. 所有参数的估计量都不是有效的。
4. 假设检验和区间估计等参数的统计显著性检验 和模型预测都有效，但参数估计值的方差增大， 接受错误假设的概率会较大。
简单的推导 ：
模型（9.1.10）的离差形式为：
yi 2 x2i ui u
由式子（3.1.18）得
（9.2.12）
•
模型一：Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
4
X
3 i
ui
•
模型二：Yi
1 2 Xi
3
X
2 i
u2i
• 模型三：Yi 1 2 Xi u3i
表9.1 总成本（Y）与产出（X）
产出(X)
总成本（Y）
1
193
2
226
3
240
4
244
5
257
6
260
7
274
8
297
9
350
10
420
图9.1 总成本曲线
因为如果模型错误地选取了无关变量，那么 其系数的真值一定为零，所以，只需对无 关变量系数的显著性进行检验即可。
二、检验是否有相关变量的遗漏或函数形式 设定偏误
我们永远都不能肯定用来做经验验证的模型是 “真理，完全的真理，非真理莫属”。 与多选无关变量相比，遗漏相关变量或模型的函 数形式设定偏误所导致的后果要严重的多。通常 情况下，我们要对模型进行相关的检验，诸如R2 检验、t 检验、F 检验、DW 检验和异方差检验等。 如果检验结果合理，我们就认为获得了一个好的 模型；如果检验结果不够理想，比如，DW 检验 不通过等，我们就会担心模型的适宜性，并着手 寻找补救办法。但是，我们也许还要更多地考虑 是否漏掉了某个重要的变量或者模型采用了错误 的函数形式，然后再去寻找修正方法。
采用了错误的函数形式（wrong function form）：
ln Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
4
X
3 i
ui
（9.1.6）
测量误差偏误（error of measurement bias） ：
Yi*
1*
* 2
X
* i
3*
X
*2 i
4*
X
*3 i
ui*
（9.1.7）
其中，Yi*和Xi*均为观测值，不是真实的Yi和Xi。
• 用OLS方法对上述三个模型进行回归（已经按被 遗漏变量X2、X3递增排序）：
• 对于模型三：
Yˆi 166.4667 19.9333Xi se (19.0214) (3.0656)
R2 0.8409 R2 0.8210
t (8.7515) (6.5023)
DW 0.7157
• DW=0.7157，n=10，k′=1，给定显著性水平5%，
3. 随机干扰项的方差 2是有偏的。
4. ˆ2 的方差是真实估计量 ˆ2 的方差的一个有偏
估计量。
5. 与 ˆ2的方差相关的检验，包括假设检验、区间
估计等，估计参数的统计显著性检验和模型预测
等都会导致错误的结论。
简单的推导 ：
yi 2 x2i 3x3i ui u
（9.2.3）
从模型（9.2.2）得到的OLS估计量为：
• 对于模型一，DW=2.7002，n=10，k′=3，给定显著
性水平5%，查表得临界值为dL=0.525和dU=2.016。 DW落在[4-dU，4-dL]=[1.984，3.475]区域，表明残 差中不存在显著的正相关。从而可以判断模型没
有遗漏的变量。
（三）拉姆齐的RESET检验
拉姆齐（Ramsey）于1969年提出了回归设定误 差检验(regression specification error test， RESET)，它是一般性设定误差检验（test for general mis-specification）。
基本思想是：如果事先知道哪个变量被遗漏了，
那么只要将这个变量引入模型，并对其进行显著 性检验即可。但是，问题在于我们并不知道到底 遗漏了哪个变量。因此，需要寻找一个替代变量Z 来替代被遗漏的变量，并进行上述检验。在拉姆 齐的RESET检验中，采用了被解释变量的估计值 的若干次幂的线性组合来作为替代变量。
（一）残差图示法
进行OLS回归，得到残差序列ei，并做其与时间t 或某解释变量X的散点图，从图形上来考察残差序 列ei是否有规律地变动，以此来判断模型是否有遗 漏变量或函数形式设定的错误。
（二）DW检验
确定模型存在遗漏有关变量（非纯自相关）还是 模型真的存在自相关（纯自相关）。
假如真实模型为：
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ui（9.2.1）