五代数方程的求解课件
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公开课《方程的意义》课件
方程的解法举例
一元一次方程
$x + 2 = 3$，解得 $x = 1$。
一元二次方程
$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x = 3$ 或 $x = -1$。
分式方程
$frac{x}{2} - frac{5}{3} = 1$， 解得 $x = frac{11}{2}$。
绝对值方程
$|x| - 2 = 3$，解得 $x = 5$ 或 $x = -5$。
03
方程的应用
代数方程的应用
代数方程在数学教育和研究中占据着重要的地位。在 数学教育中，代数方程是中学数学课程中的重要内容 ，是学生学习数学的基础。在数学研究中，代数方程 也是许多数学分支的基础，如代数学、几何学、分析 学等。
代数方程在数学领域中有着广泛的应用，它是一种重 要的数学工具，用于解决各种数学问题。代数方程可 以用来表示数学关系，解决代数问题，求解未知数等 。
02
方程的解法
方程的解的概念
方程的解
满足方程的未知数的值。
解方程
通过一定的方法找到满足方程的未知数的 值。
解方程的步骤
化简方程、移项、合并同类项、求解未知 数。
方程的解法分类
代数法
通过代数运算求解方程。
几何法Байду номын сангаас
通过几何图形求解方程。
三角函数法
通过三角函数性质求解方程。
微积分法
通过微积分知识求解方程。
几何方程在几何教育和研究中占据着重要的地位。在几何教育中，几何方程是中学几何课程 中的重要内容，是学生学习几何的基础。在几何研究中，几何方程也是许多几何分支的基础 ，如解析几何、微分几何、线性代数等。
几何方程在科学和工程领域也有着广泛的应用。例如，在物理学中，几何方程可以用来描述 物理现象和规律；在工程学中，几何方程可以用来解决各种工程问题，如机械设计、航空航 天等。
解方程技巧大全(课件)-数学五年级上册
）
2、 2 与2x不一定相等（
）
3、等式一定是方程 (
)
4、方程一定是等式(
)
5、2(x+y)表示x与y的和的2倍（
）
6、 2 一定大于2（ ）
）
7、x的5倍加上5，写成式子是5x+5,是方程（
）
8、解方程的依据是等式的性质（
9
9 、等式的左右两边同时加上或减去同一个数，方程左
右两边仍然相等（ ）
1、已知x=4是方程ax-18=6的解,则a的值是（
2、当a=3，b=5时，2a+3b=(
)
3、当m=3，n=5时，2 +2 =(
)
4、当5x=11时，x=(
),4x=(
)
5、当x=（
）时，式子3(x+5)=12
6、当7x-3=4x+6时，x=(
).
）
8
8
类型四、判断
1、 2 与2x一定不相等（
2.7x-x=4.42
9.3x-6.2x=2.48
9x+5x=8.4
17
17
类型五、解方程
（6）综合类型
7x-11=5x+3×93
23-3x=43-7x
5x-4.2=3x+2.8
38-5x=26+x
18
18
类型五、解方程
（6）综合类型
18-2x=21-3x
7x-3=4x+6
33-9x=23+x
5x-4.2=3x+2.8
11
类型五、解方程
（3）形如ax+b=c
5.5x+6.7=7.8
12.6-5x=3.6
2、 2 与2x不一定相等（
）
3、等式一定是方程 (
)
4、方程一定是等式(
)
5、2(x+y)表示x与y的和的2倍（
）
6、 2 一定大于2（ ）
）
7、x的5倍加上5，写成式子是5x+5,是方程（
）
8、解方程的依据是等式的性质（
9
9 、等式的左右两边同时加上或减去同一个数，方程左
右两边仍然相等（ ）
1、已知x=4是方程ax-18=6的解,则a的值是（
2、当a=3，b=5时，2a+3b=(
)
3、当m=3，n=5时，2 +2 =(
)
4、当5x=11时，x=(
),4x=(
)
5、当x=（
）时，式子3(x+5)=12
6、当7x-3=4x+6时，x=(
).
）
8
8
类型四、判断
1、 2 与2x一定不相等（
2.7x-x=4.42
9.3x-6.2x=2.48
9x+5x=8.4
17
17
类型五、解方程
（6）综合类型
7x-11=5x+3×93
23-3x=43-7x
5x-4.2=3x+2.8
38-5x=26+x
18
18
类型五、解方程
（6）综合类型
18-2x=21-3x
7x-3=4x+6
33-9x=23+x
5x-4.2=3x+2.8
11
类型五、解方程
（3）形如ax+b=c
5.5x+6.7=7.8
12.6-5x=3.6
解方程ppt课件
解方程的思路
01
02
03
理解方程
首先需要理解方程的意义 和背景，了解方程的形式 和特点。
寻找规律
观察方程的特点，寻找规 律和线索，这有助于找到 解方程的思路和方法。
选择方法
根据方程的特点和规律， 选择合适的方法来解方程 ，比如因式分解法、公式 法、图解法等。
解方程的步骤
观察
观察方程的特点， 寻找规律和线索。
计算
按照选定的方法进 行计算，求解方程 的根。
读题
仔细阅读题目，理 解方程的形式和要 求。
选择方法
根据方程的特点和 规律，选择合适的 方法来解方程。
检验
对求解结果进行检 验，验证是否满足 方程的条件。
02
一元一次方程的解法
去分母法
总结词
通过将方程两边同时乘以方程中各项 的最小公倍数，将方程中的分母去掉 ，使方程变得简单明了。
矩阵法的适用范围
适用于系数行列式不为0的 情况
适用于需要求解高阶线性方 程组的情况
04
高次方程的解法
因式分解法
定义
将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
原因
高次方程的解法需要将方转化为 多个低次方程，从而简化计算过程。
通过等式的变形，将方程组中的一个方程的未知数用含另 一个未知数的式子表示出来
将表示出来的式子加或减另一个方程，消去一个未知数
加减消元法的适用范围 适用于方程组中有相同未知数的系数的情况 适用于方程组中某一个未知数的系数是负数的情况
矩阵法
矩阵法的基本步骤
建立方程组的增广矩阵
对增广矩阵进行初等行变换 ，得到方程组的解
【最新】浙教版七年级数学下册第五章《5.5分式方程(2)》公开课课件.ppt
数后,分数的值变为它的倒数,那么加上的
这个数是多少?
3 x 2
解 :设这个数为x,则可列方程 2 x 3 ,
3.某车间加工1200个零件，原来每天可加工x个，则 1200 需_____x ___天可加工完成；如果采用新工艺，工效是 原来的1.5倍，这样每天可以加工_1_._5_x_个，同样多的
头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一
架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像
清晰。
如果用焦距f=35mm的相机拍摄离镜头的跳高
u=2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距
离v大约是多少？（精确到0.1mm）
变式：照相机成像应用了一个重要原理，即 1 1 1 f uv
(V≠f)，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头
每个月的用水量×水的单价=每个月的用水费. 今年的用水单价=去年用水单价×(1+1/3). 所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量. 每个月的用水量=水费/水的单价.
例题欣赏
解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则今年 的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意得
30 (1 1)x
15 x
5
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:56:46 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
人教版五年级数学上册5.3解方程课件(13张PPT)
x=6
x=6是不是正确的答 案呢？检验一下。
方程左边=x+3 =6+3 =9 =方程右边 所以，x=6是方程的解。
课堂检测
1.解方程。
（1）100+ x ＝ 250 解： 100+x-100＝250-100
x＝150
（3）x－63＝36 解：x－63＋63＝36＋63
x＝99
（2）x+12＝31
解： x+12-12＝31-12 x＝19
x+3－3=9－3
为什么要减3？
x=6
探究新知
用等式的性质来求：
x+3=9
等式两边减去同一个数， 左右两边仍然相等。
x
x+3－3=9－3
为什么要减3？
x=6
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的 解的过程叫做解方程。
探究新知
规范解答：
等号对齐。
第二行起写解。
x+3=9 解：x+3－3=9－3
(2) x－5.8＝ 8.3 解： x－5.8+） x ＝（ 14.1 ）
谢谢
人教版-数学-五年级上册
5
简易方程
第3课时
解 方 程 (1)
新课导入—探究新知—课堂检测—课堂小结—课后作业
教学目标
1.初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间 的联系和区分。 2.经历利用等式的性质1解简易方程的步骤和过程，掌握解方程的方法。 3.在解方程过程中通过由具体到一般的抽象概括过程，培养代数思想和符号意识。
1.后面括号中哪个x的值是方程的解？
（1）x+32=76 (x=44，x=108) x=44
五年级【数学(人教版)】解方程(第2课时)-1教学设计
五年级【数学(人教版)】解方程（第2课时）1教学设计一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材的第四章第三节，即解方程。
在这一节中，学生们将学习如何通过代数方法解一元一次方程，掌握解方程的基本步骤和技巧。
二、教学目标本节课的教学目标有三：1. 让学生掌握解一元一次方程的基本步骤和技巧。
2. 培养学生运用方程解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和团队合作能力。
三、教学难点与重点本节课的重点是一元一次方程的解法，难点是对方程的变形和求解过程的理解。
四、教具与学具准备1. PPT课件，用于展示和解题演示。
2. 白色粉笔，用于板书和解题过程。
3. 练习题，用于随堂练习和巩固知识。
五、教学过程1. 情景引入：以“小明买书”的故事引入，讲述小明用20元钱买了一本书，已知书的单价为x元，求x的值。
通过这个故事，让学生感受到方程在实际生活中的应用。
2. 知识讲解：讲解一元一次方程的定义和解法。
通过PPT课件和板书，演示解题过程，让学生理解和掌握解方程的基本步骤和技巧。
3. 例题讲解：讲解一道典型的一元一次方程例题，让学生跟随步骤求解，巩固解方程的方法。
4. 随堂练习：分发练习题，让学生独立解答。
在解答过程中，我会巡回指导，帮助有困难的学生解决问题。
6. 拓展延伸：布置课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题。
六、板书设计板书设计如下：一元一次方程：ax + b = 0解方程步骤：1. 移项：将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边。
2. 合并同类项：将移项后的等式中的同类项合并。
3. 系数化为1：将未知数的系数化为1，得到未知数的值。
七、作业设计课后作业：（1）2x 5 = 9（2）5x + 3 = 27（3）3x 6 = 12答案：（1）x = 7（2）x = 5（3）x = 8八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析一、情景引入情景引入是激发学生兴趣和好奇心的重要环节。
通过讲述小明买书的故事，我能够将方程的概念与实际生活联系起来，让学生感受到方程在解决实际问题中的应用。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
《代数方程的求解》课件
量的值。
添加标题
换元法：通过引入 新的变量，将原方 程组转化为更简单 的形式，从而更容
易求解。
添加标题
图像法：通过绘制 二元一次方程组的 图像，利用图像的 交点来求解方程组
的解。
添加标题
公式法：对于一些 特殊的二元一次方 程组，可以通过使 用公式直接求解。
二元一次方程组的解与系数的关系
二元一次方程组的解与系数的关系：解与系数成正比 解与系数的关系：解与系数成反比 解与系数的关系：解与系数成线性关系 解与系数的关系：解与系数成非线性关系
步骤：首先将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配 方得到一个完全平方的形式，最后对方程进行化简求解
添加项标题
注意事项：在配方过程中要注意符号问题，以及保证等式两边相 等
公式法
定义：公式法是一种通过代数运算求解代数方程的方法 适用范围：适用于一元一次方程、一元二次方程等 步骤：首先将方程化为标准形式，然后利用公式求解 注意事项：在使用公式法时需要注意公式的适用范围和精度要求
求解方法：配方法、公式法、因式分解法等
一元二次方程的解法
定义：一元二次 方程是只含有一 个未知数，并且 未知数的最高次 数为2的方程
解法：配方法、 公式法、因式分 解法
注意事项：判别 式Δ的应用，根的 判别与求根公式 的使用
实际应用：一元 二次方程在生活 中的应用举例
一元二次方程的根与系数的关系
THANK YOU
汇报人：PPT
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
代数方程的定义
代数方程：由未知数和常数通过 有限次的加、减、乘、除、乘方 和开方等代数运算所组成的等式
常数：已知的数
添加标题
添加标题
换元法：通过引入 新的变量，将原方 程组转化为更简单 的形式，从而更容
易求解。
添加标题
图像法：通过绘制 二元一次方程组的 图像，利用图像的 交点来求解方程组
的解。
添加标题
公式法：对于一些 特殊的二元一次方 程组，可以通过使 用公式直接求解。
二元一次方程组的解与系数的关系
二元一次方程组的解与系数的关系：解与系数成正比 解与系数的关系：解与系数成反比 解与系数的关系：解与系数成线性关系 解与系数的关系：解与系数成非线性关系
步骤：首先将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配 方得到一个完全平方的形式，最后对方程进行化简求解
添加项标题
注意事项：在配方过程中要注意符号问题，以及保证等式两边相 等
公式法
定义：公式法是一种通过代数运算求解代数方程的方法 适用范围：适用于一元一次方程、一元二次方程等 步骤：首先将方程化为标准形式，然后利用公式求解 注意事项：在使用公式法时需要注意公式的适用范围和精度要求
求解方法：配方法、公式法、因式分解法等
一元二次方程的解法
定义：一元二次 方程是只含有一 个未知数，并且 未知数的最高次 数为2的方程
解法：配方法、 公式法、因式分 解法
注意事项：判别 式Δ的应用，根的 判别与求根公式 的使用
实际应用：一元 二次方程在生活 中的应用举例
一元二次方程的根与系数的关系
THANK YOU
汇报人：PPT
汇报时间：20XX/XX/XX
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代数方程的定义
代数方程：由未知数和常数通过 有限次的加、减、乘、除、乘方 和开方等代数运算所组成的等式
常数：已知的数
添加标题
代数方程和微分方程求解PPT教学课件
2020/12/12
8
多项式运算的几个常用函数：
P=conv(p1,p2);
%多项式乘法
[d,r]=deconv(p1,p2); %多项式除法
Dp=polyder(p);
%多项式的导数
Ip=polyint(p) %多项式的积分（原函数）
Y=polyval(p,x)
%输出多项式p在向量x
的值
2020/12/12
9
多项式求根的函数为 r=roots(p)
求得多项式p的所有根。
例4.3：求多项式 x 6 2 x 5 0 1 x 4 3 3 x 8 3 2 2 x 8 2 2 13 x 6 19 22 6 的根并在多项式图形中表示。
2020/12/12
10
参考程序：
q =[1 -20 138 -328 -223 1692 1260]; r=roots(q); x=-2.2:0.05:8; y=polyval(q,x); y1=polyval(q,r); plot(x,y,r,y1,'p') xlim([-2.2,8]) legend('polynomial','roots')
2020/12/12
11
2020/12/12
12
线性方程组的求解
线性方程组 Ax=b
可以利用矩阵除法直接得到。但当系数矩阵为稀 疏矩阵时，利用稀疏矩阵函数可以得到更高的计 算效率。 稀疏矩阵利用函数
A1=sparse(A); 定义。
2020/12/12
13
例4.4：求解n阶线性方程组
2 1
0 x1 1
4
也可以利用下面的语句求解
>>
线性代数线性方程组解的结构ppt课件
k1
k2
设
ξ
=
kr kr +1
是方程组的任一解.
kr+2
则
kn
y1 = c1,(r+1) yr+1 + + c1n yn
y2
=
c y 2,(r+1) r+1
+
+ c2n yn
(*)
yr = cr,(r+1) yr+1 + + crn yn
k1 = c k 1,(r+1) r+1 + k2 = c k 2,(r+1) r+1 + kr = c k r,(r+1) r+1 +
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
通解（方程组的全部解）可以表示为：k1x1 + k2x2 + + ksxs
0 0
c1nkn
c2
n
kn
+
crn kn 0
0
kn
c1r+1
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
浙教版数学四年级下册《五 代数式与方程》复习课件
3a＝5b
×5 ×5
15a＝25 b
8(x＋5)＝96
÷8
÷8
1 (x＋5)＝ 12
练一练： 1、在 里填数。
2a＝3b
×4 ×4
8 a＝ 12 b
20(x＋3)＝60
÷20
÷20
1 (x＋3)＝ 3
在○里填上合适的运算符号，在（ ）里填上合 适的数。
1.x＋4＝48
x＋4 ○＋ （15 ） ＝48○＋ （15 ）
保持两边平衡。
b
a
等式的 左边
等式的 右边
等号
用字母a表示一个 的质量，每个 都重一个单位，右图用等式表示为a＝3。
a＝3
1.从天平左侧和右侧的托盘里分别放进或取出2 个 ，你 还能用等式表示吗？
a＝3
a＋2＝3＋2
a＝3
a＋2－2＝3＋2－2
（1）如果天平两侧分别放进或取出5个 、8
个 ……呢？
第一次
第二次
30a－20a＝（30－20）a ＝10a
第二次比第一 次多爬行多少 厘米？
随堂练习： 1.化简下列各式。
24b－9b
＝（24－9）b ＝15b
5x＋3x－7
＝（5＋3）x－7 ＝8x－7
12b＋4b＋9b
＝（12＋4＋9）b ＝25b
6x－3x＋5
＝（6－3）x＋5 ＝3x＋5
随堂练习：
5× ＝80
5× ＝80
如果用过x代替 ，这个图形算式可以怎么写？
5x＝80
你能求x的值吗？
等式两 边都除 以5.
5x＝80
解：5x＝80
积除以一 个因数
x＝80÷5
x＝16
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
×5 ×5
15a＝25 b
8(x＋5)＝96
÷8
÷8
1 (x＋5)＝ 12
练一练： 1、在 里填数。
2a＝3b
×4 ×4
8 a＝ 12 b
20(x＋3)＝60
÷20
÷20
1 (x＋3)＝ 3
在○里填上合适的运算符号，在（ ）里填上合 适的数。
1.x＋4＝48
x＋4 ○＋ （15 ） ＝48○＋ （15 ）
保持两边平衡。
b
a
等式的 左边
等式的 右边
等号
用字母a表示一个 的质量，每个 都重一个单位，右图用等式表示为a＝3。
a＝3
1.从天平左侧和右侧的托盘里分别放进或取出2 个 ，你 还能用等式表示吗？
a＝3
a＋2＝3＋2
a＝3
a＋2－2＝3＋2－2
（1）如果天平两侧分别放进或取出5个 、8
个 ……呢？
第一次
第二次
30a－20a＝（30－20）a ＝10a
第二次比第一 次多爬行多少 厘米？
随堂练习： 1.化简下列各式。
24b－9b
＝（24－9）b ＝15b
5x＋3x－7
＝（5＋3）x－7 ＝8x－7
12b＋4b＋9b
＝（12＋4＋9）b ＝25b
6x－3x＋5
＝（6－3）x＋5 ＝3x＋5
随堂练习：
5× ＝80
5× ＝80
如果用过x代替 ，这个图形算式可以怎么写？
5x＝80
你能求x的值吗？
等式两 边都除 以5.
5x＝80
解：5x＝80
积除以一 个因数
x＝80÷5
x＝16
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
线性代数完整版ppt课件
a 31 a 32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
人教版五年级上册数学《方程的意义》课件
等价
方程的变形规则：等式两边同时进行相同的运算，等式仍然成立 方程的变形技巧：利用等式的性质，如加法交换律、乘法分配律等，进行变形 方程的变形目的：使方程更加简洁、易于求解 方程的变形方法：如移项、合并同类项、去括号等
代入法：将方程变形后的未知数代入原方 程求解
加减法：将方程变形后的未知数加减常数 求解
等
解应用题：通过 建立方程，求解 实际问题
证明定理：通过 方程，证明数学 定理和公式
研究函数：通过 方程，研究函数 的性质和图像
解决几何问题： 通过方程，解决 几何问题，如面 积、体积等
解决实际问题：如计算面积、体积、路程等 优化决策：如选择最优方案、制定计划等 科学研究：如物理、化学、生物等领域的研究 经济分析：如市场预测、投资决策等
描述物理现象：通过方程描述物理现象，如牛顿第二定律、能量守恒 定律等 解决实际问题：通过方程解决实际问题，如求解工程问题、经济问 题等
预测未来：通过方程预测未来，如天气预报、股市预测等
优化设计：通过方程优化设计，如优化生产流程、优化产品设计等
确定未知数：找出题目中的未知数，并用字母表示 列出等式：根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式 求解方程：通过加减乘除等运算，求解出未知数的值 检验方程：将求解出的未知数代入原方程，检验方程是否成立
• a. 方程的解必须满足方程的等式关系 • b. 方程的解必须满足实际问题的要求 • c. 方程的解必须满足数学逻辑的合理性 • d. 方程的解必须满足数学运算的准确性 • e. 方程的解必须满足数学符号的规范性 • f. 未知条 件，明确题目要求解决的问题。
解方程：根据方程的性质和运算法则， 解出方程。
设未知数：根据题目中的已知条件和 未知条件，设出未知数。
方程的变形规则：等式两边同时进行相同的运算，等式仍然成立 方程的变形技巧：利用等式的性质，如加法交换律、乘法分配律等，进行变形 方程的变形目的：使方程更加简洁、易于求解 方程的变形方法：如移项、合并同类项、去括号等
代入法：将方程变形后的未知数代入原方 程求解
加减法：将方程变形后的未知数加减常数 求解
等
解应用题：通过 建立方程，求解 实际问题
证明定理：通过 方程，证明数学 定理和公式
研究函数：通过 方程，研究函数 的性质和图像
解决几何问题： 通过方程，解决 几何问题，如面 积、体积等
解决实际问题：如计算面积、体积、路程等 优化决策：如选择最优方案、制定计划等 科学研究：如物理、化学、生物等领域的研究 经济分析：如市场预测、投资决策等
描述物理现象：通过方程描述物理现象，如牛顿第二定律、能量守恒 定律等 解决实际问题：通过方程解决实际问题，如求解工程问题、经济问 题等
预测未来：通过方程预测未来，如天气预报、股市预测等
优化设计：通过方程优化设计，如优化生产流程、优化产品设计等
确定未知数：找出题目中的未知数，并用字母表示 列出等式：根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式 求解方程：通过加减乘除等运算，求解出未知数的值 检验方程：将求解出的未知数代入原方程，检验方程是否成立
• a. 方程的解必须满足方程的等式关系 • b. 方程的解必须满足实际问题的要求 • c. 方程的解必须满足数学逻辑的合理性 • d. 方程的解必须满足数学运算的准确性 • e. 方程的解必须满足数学符号的规范性 • f. 未知条 件，明确题目要求解决的问题。
解方程：根据方程的性质和运算法则， 解出方程。
设未知数：根据题目中的已知条件和 未知条件，设出未知数。
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7
5.2.2 LU decomposition
AφQ
LUφQ
where
LUA（可求L,U 出 的所有元
let
UφY
then
LYQ
Require O(2n2) arithmetic operation
Bas20i2s0/7o/3f0 other iterative methods
8
5.2.3 Tridiagonal system (TDMA)
A W WA SSA PPANNA EE
Q P
2020/7/30
5
5.2 直接法
5.2.1 Gauss elimination 5.2.2 LU decomposition 5.2.3 Tridiagonal system 5.2.4 Cyclic reduction
2020/7/30
6
5.2.1 Gauss Elimination
from forward elimination
By backward substitution, we have
Require O(n3/3) arithmetic operation
Backward substitution O(n2/2)
Pivoting
2020R/7/3a0rely used in CFD
elimination:
*
*
*
Gives upper bi-diagonal matrix. By backward substitution, we get
2020/7/30
*
9
5.2.3 Tridiagonal system:块三对角方程 组
A
i W
i1
A
i P
i
A
i E
i
1
Qi
eliminatio n :
• 计算模板(计算分子;解元SE)
2020/7/30
2
5.1 代数方程系统: 计算模板
2D 2阶 模板
2D 3阶 模板
3D 2阶 模板
2020/7/30
3
5.1 代数方程系统: 整体方程系统
• 流场中每一点都有一个方程(小组), 整个计算域就有一 个大型稀疏方程系统
AQ
(2)
A:稀疏方 ,其阵 结构依 的赖 排于 序。
迭代次数：
15
5.3.2 收敛性：收敛速度
AQ
AMN 要想收敛快，M要 A求 ,N： 0
2020/7/30
16
5.3.3 一些基本迭代方法 • Jacobi method:
k1 i
ik
Rik Aii
i 1
n
R ikQ i A ix jk j A ix jk j,i1,2,.n ..C,onverge slow
GMRES • 5.3.8 Multigrid methods
2020/7/30
12
5.3.1 基本概念
Matrix A is sparse
设n次迭代的近似解为 n, 不满足上述方程，带入上述方程后
有残量 n ：
迭代误差
迭代解的收敛： 0,or 0
实际计算中:
PA PQ
2020/7/30
P预处理矩阵，加速收 速敛 度
j 1
ji1
• Gauss-Seidel Method:
k1 i
ik
Rik Aii
i1
n
RikQi Aijxkj1 Aijxkj
j1
ji1
2 times as fast as Jacobi
• Successive Over-relaxation (SOR if w>1):
Useful for solving linear systems occurring in certain PDE’s
(五) 代数方程的求解
• 5.1 代数方程系统 • 5.2 直接法 • 5.3 主要迭代法 • 5.4 其他迭代方法
2020/7/30
1
5.1 代数方程系统
• 有限差分(体积)离散格式提供一个网格点(单元 ）的代数方程, 以线性代数方程为例：
A PP A l l Q P
l
(1)
• P点和周围邻居点构成计算模板(比差分基架还 大）
k1 i
Hale Waihona Puke ikRik Aii
i1
n
RikQi Aijxkj1 Aijxkj
j1
ji
For positive definite matrix, the SOR converges for 02.
2020/7/30
17
GS 和SOR的一般形式
AX b ,
A LU
GS :
LX p 1 b UX p
A
i* P
A
i P
A
i W
A A i * 1 i 1
P
E
and
Q
* i
Q
i
A
i W
A Q i * 1 *
P
i1
back substituti on :
i
A
i* P
1
Q
* i
A
i E
i
1
2020/7/30
10
5.2.3 Tridiagonal system (cont)
13
5.3.2 收敛性
• Consider an iterative scheme for a linear system M称为迭代矩阵
上两式相减 或
这里 n
2020/7/30
14
5.3.2 收敛性（续）
设特征向量完备，则
2020/7/30
趋于零的充要条件：k 1 1 is the largest eigenvalue
在结构网格上 从的 西排 南序 角： 开始 向， 东向 ，北 向
2020/7/30
4
5.1 代数方程系统: 系数矩阵的存储
• 只存储非零的对角元 素
• 2维5点格式： 5 Ni *Nj
• 3维7点格式： 7 Ni *Nj*Nk
• Al,l-Nj=W • Al,l-1 =S • Al,l =P • Al,l+1 =N • Al,l+Nj=E
X p 1 L 1 b UX p
SOR :
X p 1 L 1 b UX
收敛条件：
p ( 1 ) X p
a i a ij , i j i
• 计算量 O (n) • 周期三对角方程组 • 三对角方程组的并行化解法
– cyclic reduction, recursive doubling, SPP…
• 五对角方程组（类似三对角）
2020/7/30
11
5.3 迭代法
• 5.3.1 基本概念 • 5.3.2 收敛速度 • 5.3.3 一些基本方法 • 5.3.4 不完全LU 分解方法 • 5.3.5 ADI 和其他分裂方法 • 5.3.6 Conjugate gradient methods • 5.3.7 Bi-conjugate gradients,CGSTAB,