4教案：向量的加法
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。
2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。
2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。
3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。
3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。
第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。
4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。
4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。
第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。
6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。
6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。
第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。
向量的加法运算的教学设计
向量的加法运算的教学设计教学设计：向量的加法运算一、教学目标：1.理解向量的概念和性质。
2.掌握向量的加法运算规则。
3.能够通过向量的加法运算解决简单的几何问题。
4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学准备：1.课件、投影仪等教学工具。
2.长度和方向可调节的示教仪器。
3.相关教学素材和练习题。
4.活动和实例的设计。
三、教学过程：步骤一：导入（5分钟）1.利用多媒体展示各种不同方向和长度的箭头图形，引导学生思考箭头图形的特点和表示方式。
2.提问：这些箭头图形有什么共同点？学生回答后，引导学生认识到箭头图形代表量和方向，即向量。
步骤二：概念解释（10分钟）1.通过多媒体课件展示向量的定义和性质，包括大小、方向和平行性质。
2.解释向量加法的概念，即将两个向量的长度和方向相加得到一个新的向量。
步骤三：向量加法规则（15分钟）1.利用示教仪器展示向量的加法法则。
首先定义向量的起点和终点，然后将第二个向量的起点对准第一个向量的终点，得到一个新的向量。
2.引导学生自己发现向量加法规则，并总结出向量加法规则。
步骤四：情境演示（15分钟）1.设计一个实际生活中的情境，如小明从家里出发，先向东行走100米，再向南行走50米。
请问小明最后的位置在哪里？2.让学生使用向量的加法运算解决问题，并将解题思路和结果展示给全班。
步骤五：练习与巩固（15分钟）1.分发练习题，让学生在课堂上独立完成。
练习题包括计算已知向量的和、已知向量和其相反向量的和等。
2.提供答案并进行讲解，帮助学生检查答案和理解解题思路。
步骤六：情境设计（20分钟）1.分组讨论和设计新的情境问题，要求学生利用向量的加法运算解决问题。
2.学生展示自己的情境设计，并全班学生进行讨论和互动。
步骤七：拓展应用（10分钟）1.展示一些向量加法的应用实例，如矢量力学、向量运算在地图和导航中的应用等。
2.引导学生思考向量加法在实际问题中的应用和意义。
四、教学评价：1.课堂作业的完成情况和准确性。
题目：向量的加法和减法说课稿
题目：向量的加法和减法说课稿向量的加法和减法说课稿一、课程背景和目标本节课的主题是向量的加法和减法。
通过本课，学生将研究如何进行向量的加法与减法运算，并能够应用这些知识解决与向量相关的实际问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 向量的定义和表示方式- 向量的加法和减法的运算规则- 向量加法和减法的几何意义- 向量运算在实际问题中的应用2. 教学方法为了达到有效的教学效果，本课采用以下教学方法：- 讲授与演示结合，通过示例向学生介绍向量的定义和表示方式、向量加法和减法的运算规则等基本概念。
- 给予学生练机会，通过练题让学生巩固所学的知识。
- 强调实际应用，通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解向量运算在现实生活中的应用场景。
三、教学流程第一步：引入通过引入一些生活中的例子，引起学生对向量的认知和兴趣。
第二步：向量的定义和表示方式- 通过图示介绍向量的定义和表示方式。
- 向学生解释向量的方向、大小等概念。
第三步：向量的加法和减法的运算规则- 通过示例演示向量的加法和减法的运算过程。
- 引导学生总结加法和减法的运算规则。
第四步：向量加法和减法的几何意义- 通过图示解释向量加法和减法的几何意义。
- 帮助学生理解向量加法和减法的结果在平面坐标系中的表示。
第五步：实际问题的应用- 选取一些简单的实际问题，引导学生运用向量的加法和减法解决问题。
- 提醒学生分析问题，找到解决问题的关键步骤。
第六步：总结与拓展- 总结本节课的教学内容和研究要点。
- 提供一些拓展性问题，激发学生对向量的进一步思考和研究热情。
四、教学资源- 平面坐标系示意图- 向量加法和减法的示例图片- 练题和答案五、教学评估通过教学过程中的参与情况、学生练题的完成情况以及对实际问题的解决能力等多个方面进行评估。
六、课后作业布置练题，要求学生运用所学的向量加法和减法解决问题，并编写课后总结报告。
以上是本节课《向量的加法和减法》的说课稿，希望通过本节课的教学，能够帮助学生深入理解和掌握向量的加法和减法运算，提高他们的问题解决能力和空间思维能力。
《向量的加法》教案优秀2篇
《向量的加法》教案优秀2篇《向量的加法》教案篇一总课题平面向量总课时第18课时分课题向量的加法分课时第1 课时教学目标理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。
重点难点向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
向量加法的交换律和结合律。
引入新课问题1、利用向量的表示，从景点到景点的位移为，从景点到景点的位移为，那么经过这两次位移后游艇的合位移是（如图）这里，向量，，三者之间有什么关系？1、向量加法的定义2、向量加法的三角形法则具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、向量加法的平行四边形法则4、对于零向量和任一向量有，对于相反向量有5、向量加法的运算律交换律结合律6、如果平面内有个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这个向量的和是什么？例题剖析例1、作出下列向量的和：例2、如图，为正六边形的中心，作出下列向量：(1) (2) (3)例3、在长江南岸某渡口处，江水以的速度向东流，渡船的速度为。
渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？巩固练习1、化简。
2、已知点是平行四边形对角线的交点，则下面结论中正确的是( )A、B、C、D、3、在△ 中，求证；4、一质点从点出发，先向北偏东方向运动了，到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量以及。
课堂小结1、向量加法的定义。
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3、向量加法的运算律。
课后训练班级：高一( )班姓名一、基础题1、已知正方形的边长为，则( )A、B、C、D、2、设点是△ 内一点，若，则必有( )A、点是△ 的垂心B、点是△ 的外心C、点是△ 的。
重心D、点是△ 的内心3、当时，; 时，平分之间的夹角。
(完整版)向量的加法教案
《向量的加法》教案一、教学目的1、掌握向量加法的概念，能熟练掌握向量加法，平行四边形法则和三角形法投影，并能作出已知两向量的和向量。
2、理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。
掌握有特殊位置关系的两个向量之和，3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。
二、教学重难点：重点：向量加法的运算及其几何意义难点：对向量加法的三角形法则的理解，以及求两共线向量的和。
三、教学过程：一〉回顾旧知：1、什么叫向量？如何表示向量？2、什么叫相等向量？ 二〉新课讲解：在数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。
定义：求两个向量和的运算，收做向量的加法。
向量究竟是按怎样的方法相加的呢？ 首先看下面的这个问题。
如图，作用在同一物体上的不共线的两个力和，它们是怎样合成的？以、为邻边作□ OACB ，则与、 共起点的对角线就是与的合力，即=+即它们是按平行四边形法则合成的。
力的合成等同于向量的加法。
说明向量的加法可以按照平行四边形法则来进行。
平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量、为邻边作□ OACB ，则以O 为起点的对角线就是与的和，这种作两个向量的和的方法叫OCFBCAO+AO做向量加法的平行四边形法则，即： = + 。
法则特点：两个已知向量的起点相同。
例1：如图已知向量、，求作向量 + 。
作法：在平面内任取点O ，作 = ，OB =，以OA 、OB 为邻边作□ OACB ，则= + 。
练习：P84，2点评练习：O 点可以任意选取，因此可以的起点作为O 点，将的起点移到点O 作平行四边形。
问题：观察□ OACB 中还有与相等的向量吗？= ，可见求、之和，可以直接将它们首尾相连，然后连接OC ，则△OAC 边就是 + 。
由此可知，求两个向量的和，只需将它们首尾相连，然后由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点就得到两个向量的和，这就是向量加法的：三角形法则如图，已知非零向量 、 在平面内任取一点A ，作=、= ，则向量叫做 与 的和。
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
向量的加法(说课稿)
案例4：向量的加法402013120144 陈杰华【教材分析】本节内容位于高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课（1课时）。
向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，数乘向量及平面向量基本定理等知识奠定基础，因此，本节内容起着承上启下的重要作用。
由于之前物理里面也学习过力、速度等矢量的分解,因此学生对向量的加法具有一定的基础，在向量的加法学习过程，学生能够与物理中学习过的内容联系起来,对于新课学习很有帮助。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一个本节课最重要的内容，讲授时应一次到位。
不仅要讲述清楚、表述规范，还有通过问题的解决加以强调，并要求学生亲自实践以加深理解。
向量加法的运算律也是本节课的重点内容。
其结论不应简单的给出，而应该让学生按照加法法则作图检验。
【学情分析】1．知识方面本节课学习之前，学生学习了向量的概念,对向量的方向性有了一定的认识。
更重要的是学生在物理中的学习过一些矢量的合成概念，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。
2．能力方面理解力上，学生能够从生活中的一些实际例子对向量加法有一定的感性认识，在直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性，但是这种差异在学习本课之前是学生难以表述清楚，如果学生能够将物理中学习过一些矢量的合成分解和这节课的内容联系起来，就完全能够做到实现物理中的矢量和数学中的向量之间的正迁移.【教学目标】（一)知识与技能：理解向量加法的定义；熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会求两个向量的和，能准确理解，表述向量加法的交换律和结合律，并熟练运用向量加法的交换律和结合律（二）过程与方法：从学生感兴趣的故事，熟悉的实例出发，学生经过观察、分析、归纳、概括出向量加法的概念。
并且自然地得出向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。
向量的加法教案
向量的加法教案教学目标：学生能够理解向量的概念，能够进行向量的加法运算。
教学重点：向量的加法运算。
教学难点：对向量进行加法运算。
教学准备：白板、黑板笔、教学PPT。
教学过程：Step 1：引入和导入（5分钟）- 引入：向量是数学中的重要概念，几何中通常用箭头来表示，用于描述方向和大小。
在几何中，向量是有长度和方向的，并且可用来表示物体在空间中的位置或方向。
- 导入：展示一些日常生活中的向量示例，如风的方向和大小、汽车的行驶方向和速度等，引导学生了解向量的概念和应用。
Step 2：向量的定义（10分钟）- 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头来表示。
向量的大小称为模，方向称为方向角。
- 向量的记法：通常用有向线段AB表示向量，也可以用小写字母加箭头表示，如a→表示向量a。
- 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，用 |a| 或 ||a|| 表示。
向量的方向角用α表示。
Step 3：向量的加法运算（15分钟）- 向量的加法：向量的加法运算是指对两个向量的长度和方向进行相加。
- 向量的加法法则：向量的加法满足交换律和结合律。
- 向量的加法运算示例：通过示例引导学生理解向量的加法运算，如向量A(3,4)和向量B(2,-1)的加法运算：A + B = (3+2,4+(-1)) = (5, 3)。
Step 4：解题方法和例题讲解（20分钟）- 解题方法：要进行向量的加法运算，需要对两个向量的坐标进行相加，即分别对横坐标和纵坐标进行相加。
- 例题讲解：通过几个例题讲解，巩固学生对向量加法的理解，提高解题能力。
Step 5：练习和巩固（15分钟）- 练习：分发练习题让学生进行练习，检验学生对向量加法的掌握程度。
- 巩固：通过板书问题和学生讨论的方式巩固学生对向量加法的理解和应用。
Step 6：作业布置（5分钟）- 布置书面作业：布置作业要求学生进行向量加法的计算练习。
Step 7：课堂总结（5分钟）- 总结：回顾本节课的重点内容，强调向量的概念和向量的加法运算，并与实际生活中的应用进行联系。
高中数学教案：向量的运算
高中数学教案：向量的运算向量的运算一、引言向量是高中数学中的重要内容之一，它具有方向和大小，并且可以进行各种运算。
向量的运算包括向量的加法、向量的减法、数量与向量的乘法等。
本教案将详细介绍向量的运算方法和相关性质。
二、向量的加法1. 定义向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的和记作A＋B，可以通过以下方法进行计算：A＋B＝(Ax＋Bx, Ay＋By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx 表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的加法具有以下性质：(1) 交换律：A＋B＝B＋A(2) 结合律：(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，其中C为另一个向量三、向量的减法1. 定义向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的差记作A－B，可以通过以下方法进行计算：A－B＝(Ax－Bx, Ay－By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的减法具有以下性质：(1) 减法的定义：A－B＝A＋(－B)(2) 减法的运算规则：A－B＝A＋（－B）＝A＋（－1）B＝A－B四、数量与向量的乘法1. 向量的数量乘法给定一个向量A和一个实数k，向量A与实数k的乘积记作kA，它是一个新的向量，计算方法为：kA＝(kAx, kAy)其中，kAx表示向量A在x轴上的分量乘以实数k，kAy表示向量A在y轴上的分量乘以实数k。
2. 向量的点乘向量的点乘又称为数量积，给定两个向量A和B，它们的点乘记作A·B或者AB，计算方法为：A·B＝|A||B|cosθ其中，|A|表示向量A的模长，|B|表示向量B的模长，θ表示A和B的夹角。
3. 向量的叉乘向量的叉乘又称为向量积，给定两个向量A和B，它们的叉乘记作A×B或者AXB，计算方法为：A×B＝|(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBx－AyBx)k|其中，i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。
《向量的加法》教学设计
《向量的加法》教学设计【教学目标】1、知识目标：掌握向量加法的定义，会用三角形法则和平行四边形法则作向量的加法。
掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们解决实际应用题。
2、能力目标：理解和体会实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识，培养分类、数形结合等能力。
3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养创新意识。
【教学重点难点】1、重点：三角形法则，平行四边形法则及应用。
2、难点：向量加法的运算律。
【教法】“启发式”、”探究式”与“讲解式”相结合。
【学法】课前指导预习，课内引导学生发现，采用合作学习方式。
【教学手段】多媒体辅助教学【教学探究过程】一、复习回顾1、向量的概念：既有又有的量叫向量。
2、平行向量：方向或的向量叫平行向量，平行向量也叫做。
3、相等向量：相等且相同的向量叫相等向量。
4、长度为0的向量叫，长度为1的向量叫。
二、创设情境，导入新课我们知道有理数可以进行加法运算，那么向量能否进行加法运算呢？首先看下面的例子：1、飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京，与从广州直接飞往北京的位移相同，我们把后一次位移叫前两次位移的合位移。
2、一重物从A搬运到B处，它的实际位移可看作水平分位移与竖直分位移的合位移。
那么向量的加法如何定义呢？三、概念形成已知和，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做向量和的和向量，记作＋＝，这种作法叫做三角形法则。
同样，作＝，＝，因为AD∥BC且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量与的和，记作＋，这种作法叫平行四边形法则。
特点：三角形法则两向量首尾相连，平行四边形法则两向量有共同起点。
四、概念深化理解1、提出问题，让学生分组讨论，形成答案。
⑴两个向量的和仍然是向量吗？⑵三角形法则对于两个向量共线时适用吗？⑶当两个向量共线时，如何作出两向量的和向量？结论：向量加法的三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的。
当两向量不共线时，两法则的意义一致；当两向量共线（平行）时，平行四边形法则不再适用，而三角形法则依然成立。
6.2.1向量的加法运算 教案
6.2.1向量的加法运算教学目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算3.理解数的加法与向量的加法的联系与区别教学重点：掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算教学难点：从集合角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、导入新课，板书课题我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢?接下来我们来学习一下向量的加法运算【板书：向量的加法运算】二、出示目标，明确任务1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算3.理解数的加法与向量的加法的联系与区别三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）下面，阅读课本P7-P10页练习以上内容，思考如下问题：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材1.自学指导1（5min）阅读课本7-8页的内容，思考并完成如下问题（1）如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？（2）由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？（3）如图6.2-3在光滑的平面上，物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能做出这个物体所受的合力F 吗？（4）向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？（5)如果向量a,b 共线，他们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量a+b 吗？（6）通过例1的学习，总结两种方法做题时的方法及关键点？审题： 关键词： 知识点： 关联知识点： 作答：2.自学指导2（5min ）阅读课本9-10页练习以上的内容，思考并完成以下问题（1）结合例1，探索b a b a ,, 之间的关系？（2）数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？试着验证（a+b ）+c=a+(b+c)?（3）在例2中，理解题意，提取关键信息，画出简图进行分析，将实际问题用向量的图形语言表征，从而与解直接三角形建立联系。
向量的加法(教案)
向量的加法 教学目标：1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量。
2.掌握向量加法的交换律和结合律，会运用它们来进行向量运算。
教学重点：向量加法的平行四边形法则和三角形法则. 教学难点：对向量加法定义的理解。
教学方法：学生自学探讨与教师启发引导相结合 复习回顾1.既有 又有 的量叫做向量.2.向量 的大小,也就是向量 的长度(或称模),记作| |3.零向量:长度为0的向量.记作4.单位向量:长度等于1个单位长度的向量. 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量. 6.相等向量:长度相等且方向相同的向量.7:下列各命题的条件是结论的什么条件:(1)向量 是 // 的 条件 (2)向量 是 // 的 条件 我们知道,数是可以进行加减运算的,向量是否也能进行运算？ 一.问题引入1、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+A B CA BCA BCOABaaa bb b二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作= =，则+=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+aaA BCa +ba +baa b b aｂｂ ａa５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使=， =， =则(+) +==+，+ (+) ==+ ∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例二（P83）略 练习：P84 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：P91第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿《向量的加法》
向量的加法授课教师：江苏省盐城中学 侯爱娟教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（苏教版）一．教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．二．重点难点重点：向量加法运算的意义和法则． 难点：向量加法法则的理解．三．教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．四．教学过程Ⅰ．创设情境 直观感知A以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？问题2：这是大桥南端的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与1F 2F F 1F 2F的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）Ⅱ．抽象概括 形成定义 （一）建立数学模型若记则向量OB 叫做向量,OA a AB b ==a 与b 的和，记为a b += OA AB OB += ．问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——AB BO AO +=，即向量AO 为向量与AB BO的和（二）抽象数学概念问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量a 与b和的定义吗？学生活动：在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．a b（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；（3）和向量又是什么？——连接向量a 的起点与向量b 的终点，并指向b 的终点，得到的向量OB 即为向量与的和；a b（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．和的定义：已知向量，在平面内任取一点O ，作,a b ,OA a AB b == ，则向量叫做向量的和．记作：．即a ．OB,a b a b + b AB OB +=+=OA 向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连． 问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则． 问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．（三）尝试运用法则试一试：如图，已知a 、b ，作出a b +向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． Ⅲ．类比猜想 探究性质问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法 性 质0a a +=()0a a +-=a b b a +=+()(a b c a b c ++=++)0a a +=()a a 0+-=a b b a +=+()(a b c a b c )++=++交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．Ⅳ．数学运用 深化认识abba abba例1．如图，O为正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的中心，作出下列向量：（1） （2） （3）13O A O A +36OA A A + 52365A A A A +（4）134634A A A A A A ++ （5）1223344556A A A A A A A A A A ++++A3推广1：1223341n n 1n AA A A A A A A AA -++++=推广2：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++0=墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥北东BV 船A DD分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB 表示水流速度，AD表示游谁度？艇的速度，那是游艇的实际速AC ，三个向量应满足什么关系？AC AB AD =+．，设表示游艇的速度，解：如图B 表示水流速度， A AD AC表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．在AC AB AD =+ ABCDRt ACD ∆中，， 5090ACD ∠=|= |||12.5DC AB =||2AD = ，的方向由南向北航行，其航向应为北偏西． 展延伸 一、课时小结：留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步． 我们今天所学习的向量随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学 二、拓展延伸：同学后完成（所以030CAD ∠=30答 若艇要沿着与桥平行Ⅴ．回顾反思 拓1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，工具被越来越广泛的应用．（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请们课下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？,a b是任意两个向量，则a b + 与a b 之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话+题进行拓展探究．关于“向量的加法教案”的说明数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．说明一：关于目标定位景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．说明二：关于地位作用“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．说明三：关于学情诊断本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力． 对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、数学的一些重要思想．同时，的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．说明四：关于教法设计基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法，遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：（1）讲背景、重过程、强调本质本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．（2）讲方法、重能力、渗透思想向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．。
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版一、教学目标：1. 让学生理解向量的加法概念，掌握向量加法的运算规则。
2. 培养学生利用向量加法解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的运用和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 向量的加法定义：两个向量相加，即求它们的和向量。
2. 向量加法的运算规则：三角形法则和平行四边形法则。
3. 向量加法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 向量加法的运算规则及运用。
2. 利用向量加法解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的加法概念和运算规则。
2. 利用多媒体演示向量加法的运算过程。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量加法在实际问题中的应用。
4. 运用案例分析法，分析向量加法在实际问题中的具体运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考向量加法的意义。
2. 讲解向量的加法概念，阐述向量加法的运算规则。
3. 演示向量加法的运算过程，让学生直观地感受向量加法。
4. 练习向量加法的运算，巩固所学知识。
5. 引导学生运用向量加法解决实际问题，提高学生的应用能力。
6. 课堂小结，梳理本节课所学内容。
7. 布置课后作业，巩固所学知识。
8. 课后反思：总结课堂教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学策略1. 案例导入：通过简单的实际问题，如物体运动中的速度合成，引导学生理解向量加法的实际意义。
2. 互动教学：在讲解向量加法规则时，鼓励学生参与，例如通过学生在黑板上画图演示向量加法。
3. 分组讨论：让学生以小组为单位，探讨向量加法在不同情境下的应用，如力学中的力的合成。
4. 问题解决：设计一些富有挑战性的问题，让学生运用向量加法解决，提高学生的解决问题的能力。
5. 技术辅助：利用计算机软件或教具，如GeoGebra，直观展示向量加法的动态过程。
七、教学评估1. 课堂问答：通过提问，检查学生对向量加法概念和运算规则的理解。
2. 练习题：设计不同难度的练习题，让学生在课后巩固知识。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
《向量的加法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.1 向量的加法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
【教学目标与核心素养】A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
【教学重点】：两个向量的和的概念及其几何意义；【教学难点】：向量加法的运算律。
【教学过程】【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量和，如图在平面内任取一点O ，作，则向量叫做和的和，记作．即。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
思考2：某物体受到F 1，F 2作用，则该物体所受合力怎么求？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。
AC AB BC a b b AB a OA ==,OB a b b a +OB AB OA b a =+=+F 21F F 和2.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．【口诀】起点相同，对角线为和。
向量的加法教学设计
向量的加法教学设计教学设计：向量的加法1.教学目标：-理解向量的概念和性质；-掌握向量的加法运算方法；-能够应用向量加法解决实际问题。
2.教学准备：-课件、投影仪；-向量的定义、性质以及加法运算的介绍材料；-练习题集；-测验或考试试卷。
3.教学步骤：步骤一：直观理解向量的概念和性质（约20分钟）-通过引入长度和方向的概念，解释向量的定义；-介绍向量的性质，包括共线、相等、反向等；-利用示例和图示，帮助学生直观理解向量的概念和性质；-引导学生提出问题，激发学生思考。
步骤二：向量的加法运算方法（约30分钟）-介绍向量的加法运算方法：平行四边形法则；-分析加法运算的基本步骤和要点；-利用示例，演示向量的加法运算方法；-鼓励学生积极参与，提出问题并回答。
步骤三：练习和巩固（约30分钟）-分发练习题集，并指导学生完成一些基础练习题；-在学生独立完成练习题后，进行讲解和答疑；-强调练习题中的思维方法和解题技巧；-提供一些拓展题目，挑战学生的思维。
步骤四：应用以及实际问题解决（约30分钟）-利用实际生活中的例子，引入向量的应用场景；-指导学生将实际问题转化为向量的加法问题；-鼓励学生运用所学知识解决应用问题；-与学生共同分析并讨论解决方案。
步骤五：综合评价和总结（约20分钟）-对本节课的学习进行总结和回顾；-进行小组或个人的测验，检验学生对知识的掌握程度；-根据测验结果，进行评价和反馈；-引导学生总结本节课的学习收获和困惑。
4.教学延伸：-给学生布置课后作业，进一步巩固所学知识；。
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。
向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。
向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。
二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
数学教案向量的基本运算
数学教案向量的基本运算数学教案：向量的基本运算一、引言在数学中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述物理空间中的位移、速度和力等物理量。
向量的基本运算包括加法、减法和数乘运算，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本教案将从理论和实践两个方面，详细介绍向量的基本运算。
二、向量的表示与性质向量通常用有序数组表示，如(A1, A2, A3)。
向量的性质包括大小、方向和共线性。
大小由向量的模表示，方向由箭头指向确定，共线性由向量的比例关系决定。
三、向量的加法运算1. 向量的三要素及图解法：两个向量相加所得的和向量，大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相同。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相加。
3. 示例题：根据图示求两个向量的和向量。
四、向量的减法运算1. 向量的定义及图解法：两个向量相减所得的差向量，大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相反。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相减。
3. 示例题：根据图示求两个向量的差向量。
五、向量的数乘运算1. 向量的定义及图解法：一个向量乘以一个实数所得的向量，向量的大小等于实数与向量大小的乘积，方向与原向量相同(正数)或相反(负数)。
2. 分量法：将向量的分量分别乘以实数。
3. 示例题：根据图示求向量的数乘。
六、向量的基本运算的性质1. 加法和减法的性质：交换律、结合律、零向量和负向量。
2. 数乘的性质：分配律、加法的结合律、单位向量。
七、实际应用1. 位移向量：描述物体在空间中的位置变化。
2. 速度向量：描述物体在空间中的运动状态。
3. 力向量：描述物体受力及其方向。
八、小结通过本教案的学习，我们了解了向量的基本运算，包括加法、减法和数乘运算。
向量运算不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学等领域也具有重要的意义。
在实际问题中，我们可以通过运用向量的基本运算来描述物体的位置、运动和受力等情况，提高问题解决的效率。
(教案) 向量的加法运算Word版含解析
6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课标解读课标要求核心素养1.借助实例理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行加法运算.(重点)3.理解向量加法运算的几何意义.(难点)1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法则,培养直观想象核心素养.2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数学运算核心素养.俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝不动.问题1:车子为什么纹丝不动?答案天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.问题2:这则故事给我们的启示是什么?答案要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.1.向量的加法(1)定义:求①两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.(2)向量求和的法则:三角形法则已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a与b的和,记作②a+b,即a+b=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗平行四边以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作③▱OACB,则以O为起点的形法则向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和,即OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b特别提醒三角形法则与平行四边形法则的区别与联系三角形法则平行四边形法则区别满足条件两向量“首尾相接”两向量“共起点”适用范围所有向量不共线的两向量联系平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=④b+a.(2)结合律:(a+b)+c=⑤a+(b+c).思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗?提示相同.3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时取“=”.探究一向量加法运算法则的应用例1如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.解析解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,接着作向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则得向量OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,然后作向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)+c=a+b+c.解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,以OA 、OB 为邻边作▱OADB,连接OD,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC,连接OE,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c. 思维突破向量求和法则的应用技巧(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用. (2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和. 1-1如图(1)、图(2)所示,试作出向量a 与b 的和. 解析如图①、图②所示.OB⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求. 探究二向量加法运算律的应用例2化简下列各式:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 2-1化简:(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 探究三向量加法的实际应用例3在某地抗震救灾时,一架飞机先从A 地按北偏东35°方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员,然后从B 地按南偏东55°方向飞行800km 将受伤人员送往C 地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.解析如图所示,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°方向飞行800km 到达B 地,从B 地按南偏东55°方向飞行800km 到达C 地.则飞机飞行的路程是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,两次飞行的位移的和是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+800=1600(km),∠ABC=35°+55°=90°, 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+8002=800√2(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.故飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800√2km,方向为北偏东80°. 思维突破向量加法解决实际问题的应用技巧(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.3-1如图,用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A 处和B 处所受力的大小(绳子的质量忽略不计). 解析如图,设CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示A,B 所受的力, 10N 的重力用CG ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示,则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG⃗⃗⃗⃗⃗ . 易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°, ∴|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos30° =10×√32=5√3(N).|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos60°=10×12=5(N).故A 处所受的力的大小为5√3N,B 处所受的力的大小为5N. 1.在四边形ABCD 中,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则() A.四边形ABCD 一定是矩形 B.四边形ABCD 一定是菱形 C.四边形ABCD 一定是正方形 D.四边形ABCD 一定是平行四边形答案D 由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD 必为平行四边形. 2.化简OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PS ⃗⃗⃗⃗ +SP ⃗⃗⃗⃗ 的结果为() A.QP⃗⃗⃗⃗⃗ B.OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.SP ⃗⃗⃗⃗ D.SQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案B OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PS ⃗⃗⃗⃗ +SP ⃗⃗⃗⃗ =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +0=OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.(多选题)在如图所示的▱ABCD 中,下列结论正确的是() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案ABD 由▱ABCD 知A,B,D 正确,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以C 错误. 4.若a 表示“向东走8km ”,b 表示“向北走8km ”,则|a+b|=,a+b 的方向是. 答案8√2km;东北方向 解析如图所示,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.解析在平面内任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,如图所示: 则由向量加法的三角形法则,得OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c,故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求向量a+b+c. 逻辑推理——向量加法的应用如图,在正六边形OABCDE 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用向量a,b 将OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来. 解析如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP,OPDE 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b. ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b.在△AOB 中,根据向量加法的三角形法则, 得OB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+a+b. 同理,在△OBC 中, OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+a+b+b, 在△OED 中,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a+b. 素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的核心素养. P,Q 是△ABC 的边BC 上的两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明如图,取BC 的中点O,连接AO 并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四边形ABDC 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连接PD,QD,则四边形APDQ 是平行四边形,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 1.(多选题)下列等式正确的有() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0答案ABD 由向量加法的三角形法则和零向量的定义可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 不正确. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确. 2.在▱ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是() A.菱形B.矩形 C.正方形D.不确定 答案B3.在▱ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案C4.在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=1,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为() A.2B.2√3C.3D.4答案D 在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=1, 所以AC=2,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故其长度为4. 5.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)a+b+c=; (2)b+d+c=. 答案(1)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗解析(1)a+b+c=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 6.若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB=. 答案120°解析由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知四边形ACBP 为平行四边形, 又P 为外心,所以四边形ACBP 为菱形, 且PA=PC=AC,∠ACP=60°, 易得∠ACB=120°.7.如图所示,已知在矩形ABCD 中,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求|a+b+c|的大小. 解析如图所示,过点D 作AC 的平行线,交BC 的延长线于点E. ∵DE ∥AC,AD ∥BE,∴四边形ADEC 为平行四边形, ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是a+b+c=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a+b+c|=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3.8.(多选题)向量a 、b 均为非零向量,下列说法中正确的是() A.若向量a 与b 反向,且|a|>|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 B.若向量a 与b 反向,且|a|<|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 C.若向量a 与b 同向,则向量a+b 与a 的方向相同 D.若向量a 与b 同向,则向量a+b 与b 的方向相同答案ACD 当向量a 与b 反向,且|a|<|b|时,向量a+b 与b 的方向相同,只有B 错误,A 、C 、D 都正确.9.(多选题)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则下列等式中正确的是()A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案ABC FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.10.已知▱ABCD,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,且b 是非零向量,则下列结论:①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|,其中正确的有.(填序号) 答案①③解析因为在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以a 为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在有风,风使雨滴以4√33m/s 的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.解析如图,用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示雨滴下落的速度,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示风使雨滴水平向东移动的速度. 以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作四边形OACB,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 就是雨滴下落的实际速度. 在Rt △OAC 中,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√33, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =√42+(4√33)2=8√33, ∴tan ∠AOC=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√334=√33,∴∠AOC=30°.故雨滴着地时的速度大小是8√33m/s,方向为南偏东30°.12.过△ABC 内一点M 任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C 作l 的垂线,垂足分别为D,E,F,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0恒成立,则点M 是△ABC 的() A.垂心B.重心C.外心D.内心答案B 设直线l 过点A,则|AD|=0,有BE⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 则直线AM 经过BC 的中点,同理,直线BM 经过AC 的中点.直线CM 经过AB 的中点,所以点M 是△ABC 的重心.13.设|a|=2,e 为单位向量,求|a+e|的最大值. 解析在平面内任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,则a+e=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为e 为单位向量,所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知,当点B 在点B 1处时,O,A,B 1三点共线,此时|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |(即|a+e|)最大,最大值是3.。
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5.2向量的加法
教学目标
1．知识目标
掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。
2．能力目标
使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
3．情感目标
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。
教学重点、难点
重点:.向量加法的两个法则及其应用；
难点:.对向量加法定义的理解。
突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。
教学方法
结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。
通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。
采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。
教学过程
请同学们思考
平行四边形法则的步骤。
为起点，,a b为邻边作平行四边形教师引导学生观察利用平行四边形求和时两向
=,
a=
BC
b
由此得出向量加法的交换律
c，怎么求三个向量的意的组合，任意的顺序进行了。
()
告诉我们，首尾相连首尾连，反过来，
三、例题
探究，变式引申
例3.(多媒体)如图，O 为正六边 形ABCDEF 的中心，求出下列向量:.
(1)OC +OA ;(2)BC FE +;(3)FE +OA
（学生回答，教师提问:.依据是什么？适时点评）
对于例1这个图形，你能设计出一个问题让别的同学解答吗？
变式:.如图，正六边形AOBCDE 中，
此题留为课后思考题
教师演示
学生自己提出问题，互相启发、补充。
教师完善。
向量的拆分，不仅开阔了学生的思路，而且再一次体现了向量是沟通几何与代数的桥梁。
巩固所学知识，进一步完善认知结构，并且使学生对自己的学习进行自我评价。
五、课堂小结.
1．向量加法的平行四边形法则，要点:.起点相同，过起点。
2．向量加法的三角形法则，要点:.首尾相连，首尾连。
3．向量加法满足交换律和结合律，即
,)+=+++=++a b b a (a b)c a (b c 。
学生思考，讨论补充，师生共同完善。
师生共探。
注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力。
E
D
A
P
O
C
B
表示出来
将，用OC OP b a b OB a OA ,.,==_ F
_ E
_ A
_ D
_ B
_ C。