二次根式的化简与最简二次根式ppt课件
《二次根式的加减运算》PPT课件
步骤：
第一步：把每个二次根式 化为最简二次根式。 第二步：对能合并 的二次根式进行合并。
x2
3分钟
总结：
像 3, 12 , 75 这样的二次根式，化简后 被开方数 相同 我们把它们叫做同类二次根式。
因此对于二次根式的加减运算，
首先是将每个二次Байду номын сангаас式化为最简二次根式 ，
然后 是 将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并 。
1.预习下一节 2.完成《中考考什么》本节的习题
只有登上山顶，才能看到那边的风光。 不要常常觉得自己很不幸，世界上比我们痛苦的人还要多。 多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的看法。 越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 狂妄的人有救，自卑的人没有救。 没有热忱，世间便无进步。 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 在幸运时不与人同享的，在灾难中不会是忠实的友人。——伊索 错误犯过一次，尽可能的不要再犯第二次。 诚实的面对你内心的矛盾和污点，不要欺骗你自己。
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式及其化简（课件ppt）
（例） 1 a
1 a
a
a
a a
你会做了吗？
新知讲解
【化简】
(1) 50；
(2) 2； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
(2) 2 = 2 = 2× 7 = 1 14; 7 7 7× 7 7
(3) 1 = 3
拓展提高
5.观察下列各式：
2
-
2 5
=
8 5
=
4 5
2
=
2
2 5
3 - 3 = 27 = 9 3 = 3 3
10 10 10
10
猜想 5 - 5 等于多少，并通过计算验证你的猜想。
26
解：
5
-
5 26
=5
5 26
验证： 5- 5 = 125 = 25×5 =5 5
26 26
ห้องสมุดไป่ตู้26
26
中考链接
6.（2019·云南）要使 x +1 有意义，则x的取值范围为( B ）
（2） 25×6 = 25× 6 =5 6 （3） 5 = 5 = 5
9 93
化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
新知讲解
例题中的化简结果 5 6， 5 中，被开方数都不含分母，也不含能开 3
的尽方的因数。
定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或 因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
2.7.1 二次根式及其化简
北师版 八年级上
新知导入
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2， ∠C＝90°，那么AB边的长是多少？ (2)面积为S的正方形的边长是多少？ (3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？ (π取3.14)
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。
【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。
例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。
二次根式知识结构图
乘法法则 a b .......... .......( a0 除法法则
ab b 0)
二次根式的乘除 a a
最简二次根 式
b b .......... .......( a0 b 0)
二 次 根 式 的 乘 除
方法：1、分解 质因数或因式 2、分母中不含 二次根式
被开方数相同的二次根式加 减时，把系数相加减，根指 二次根式的加 数与被开方数保持不变。
本章知识结构图二次根式的性质二次根式二次根式二次根式的定义确定被开方数中字母的取值范围二次根式的性质代数式11根据二次根式有意义的条件列出不等式或不等式组22解不等式不等式组求出字母的取值范围11必须含有22被开方数是非负数方数非负实数表示为一个平它可以将一个它本身算数平方根的平方式是表示一个非负数的是一个非负数040030201222?????????????aaaaaaaaaaaaaa代数式中不含等符号只能含有运算符号二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式乘除逆运算最简二次根式式00
第十六章 《二次根式》
教材解说
实验中学数学组
教材地位和作用
二次根式属于“数与代数”领域 的内容，它是在学生学习了平方根、 立方根等内容的基础上进行的，是 对七年级上册“实数、整式、分式” 内容的延伸和补充。同时也是以后 学习“解直角三角形”、“一元二 次方程”和“二次函数”等内容的 重要基础.
数学思考
1 3 的结果是 2 B.2到3之间 C.3到4之间
（株洲） D.4到5之间
2、当实数X满足什么条件时，
x 1 有意义？ x 1
3、计算
1 27 18 12 3
的结果是
。（临沂）
不到之处
敬请批评指正
2.7 第1课时 二次根式及其化简
a （a 0，b 0） b
等于
=
算术平方根的商
典例精析
例4：化简
5 （3） 9
3 （4） 13
解 题 模 板
（ 1 ）解：原式 5 9 5 3 （2）解：原式
3 13 3 13
课堂训练：基础训练P31 7、化简（2）（3）（4）
13 13 39 13
现在你能用上面的性质说明 8 2 2 吗？
例2：化简：
(1) 50； (2) 2 ； 7 (3) 1 . 3
解 题 模 版
（2）解：原式
（ 1 ）解：原式 25 2 25 2
5 2
（3）解：原式 1 3 3 3
2 7 2 7 7 7
14 7
3 3
例6. 化简:
① 2028
② 25 -17
169 4 3 13 2 3 26 3
1、一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式; a
2、a叫做被开方数.
例1：判断下列式中哪些是二次根式.
1 2 ( m 3 ) ⑵ (3) (4) 16, ⑴ ， x ( x 0) 2 解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫 做二次根式.
1
9 11 3 .
=3+1-3 =1.
设 a0 ， ，化简下列二次根式 . b0
1
72;
2
8a 2 b 3 .
（ 1 ）解：原式 36 2 （2）解：原式 4 2 a 2 b 2 b 36 2
6 2
4 2 a 2 b2 b
二次根式的化简精选教学PPT课件
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .
16.3 二次根式的加减 课件(4课时)
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3
(3)
48 6
1 3 6
3
(4)下列计算正确的是（Ｄ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
C.4 5 5 4 D. a 3 a 1 a
2
2
练习2计算：
（1） 80 20 5 5
二次根式的除法公式：
a a a 0,b 0
b
b
a a a 0,b 0
b
b
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
先化简,后合并
计算: 8 18 4 2
2 23 24 2
2 3 4 2
如何合并 同类二次
9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解: ∵（ 6 14）2 6+2√ 84 +14=20+2√ 84
（ 7 13 ）2 20+2 91
又 ∵ 6 14 0
7 13 0
6 14 7 13
已知a 3 2， b 3 2， 求a2 ab b2的值.
初二-第4讲-二次根式的化简与计算
估算一、专题精讲题型一、估算无理数在哪两个整数之间例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（）A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、26考点：估算无理数的大小．分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．解答：解：∵×=，又∵24＜25，∴×之值会介于24与25之间，故选C．点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．（2）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4考点：估算无理数的大小．分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．解答：解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选B．点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．变式训练1．估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间解答：解：∵2=＜=3，∴3＜＜4，故选B．2．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2解答：解：∵49＜59＜64，∴7＜＜8，∴7﹣6＜﹣6＜8﹣6，即1＜n＜2．故选D．题型二、按要求估算例2．（1）估算下列各数的大小．（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．考点：估算无理数的大小．分析：（1）（2）借助“夹逼法”先将其范围确定在两个整数之间，再通过取中点的方法逐渐逼近要求的数值，当其范围符合要求的误差时，取范围的中点数值，即可得到答案． 解答：解：（1）∵有62=36，6.52=42.25，72=49， ∴估计在6.5到7之间，6.62=43.56，6.72=44.89；∴≈6.65；（2）∵43=64，53=125， ∴4.53=91.125，4.43=85.184，∴≈4.45．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．变式训练1、估算下列数的大小.（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）. 解答：（1） ∵3．6＜＜3.7,∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）. （2） ∵9＜＜10,∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.题型三、用估算比较两个数大小例3．（1）通过估算，比较下面各数的大小. （1）与 ; （2）与3.85. 解答： （1）∵＜2,∴-1＜1,即＜. （2）∵3.85=14.8225,∴＞3.85.变式训练1．（2010•杭州二模）估计大小关系是﹣1________ 0.5． 解答：解：∵0.5=﹣1，＜3．∴﹣1＜0.5．题型四、用估算法求解实际问题的近似解例4．（1）某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况 下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长（估 算到0.1）考点：算术平方根；估算无理数的大小．分析：根据面积相等列出关系式，解得x ，进即可得到正方形的边长．13.6380013.613.63800380031212153331212215解答：解：根据题意得：x2=8×4=32 x≈5.6．答：正方形的边长约为5.6米．点评：本题主要考查长方形、正方形的面积，根据面积相等得到方程是解题的关键．变式训练1．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接）解答：答：不能．理由：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，得3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∴x=或x=﹣（舍去），∴长方形纸片的长为，∵50＞49，∴＞7，∴3＞21，∴长方形纸片的长应该大于21cm，又∵已知正方形纸片的边长大只有20cm，∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．题型五、表示一个无理数的小数部分例5．（1）（2010•巫山县模拟）已知，m、n分别是的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是（）A．B．C．D．考点：估算无理数的大小．专题：探究型．分析：先估算出的值，进而可得出m、n的值，再代入2m﹣n进行计算即可．解答：解：∵≈1.732，∴6﹣的整数部分为4，小数部分为6﹣﹣4，即n=2﹣，∴2m﹣n=8﹣2+=6+．故选B．点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟记≈1.732是解答此题的关键．（2）（1）已知数M的平方根是a+5及﹣3a+11，求M．（2）已知5+与5﹣的小数部分分别是a、b，求3a+2b的值．考点：估算无理数的大小；平方根．专题：探究型．分析：（1）由于M的平方根是a+5及﹣3a+11，所以这两个数互为相反数，据此可求出a的值，进而得出数M；（2）先估算出的取值范围，再得出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．解答：解：（1）∵M的平方根是a+5及﹣3a+11，∴a+5=3a﹣11，解得a=8，∴a+5=8+5=13，∴M=132=169；（2）∵3＜＜4，∴5+的小数部分是﹣3；5﹣的小数部分是，4﹣，∴a=﹣3，b=4﹣，∴3a+2b=3（﹣3）+2（4﹣）=﹣1．点评：本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义，在解答（2）时要先估算出的大小，再进行计算．变式训练1．（2013•吴江市模拟）3+的整数部分是a ，3﹣的小数部分是b ，则a+b 等于__________．解答：解：∵1＜＜2，∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴1＜3﹣＜2，设3﹣的整数部分为m ，则m=1， ∴3﹣的小数部分b=3﹣﹣m=2﹣， ∴a+b=4+2﹣=6﹣．故答案为6﹣．2．设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣|=7﹣．二次根式的化简及计算一、专题精讲题型一：二次根式的概念例1．（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥2331xx 04221x y+x y +2x 02x y +331x421x y+31x -31x -13A ． 3到4之间B ． 4到5之间C ． 5到6之间D ． 6到7之间解答：解：∵正方形的面积为28，∴它的边长为， 而5＜＜6． 故选C ．2、（宝坻区二模）估算的值在（ ） A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 解答：解：∵＜＜， ∴2＜＜3，∴5+2＜5+＜5+3， 即7＜5+＜8， 故选：D ．3、通过估算比较大小： _________．解答：解：∵2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴＜．4.化简：=-2)3(π 。
【数学课件】二次根式的化简
解 设菱形ABCD的两条对角线相交于点O.
由于AC⊥BD，因此△OAB是直角三角形.
由于
OA=
1 2
AC
=
1× 2
4
3=2
3，
OB
=
12 BD
=
1× 2
8= 4，
因此 AB2=OA2+OB2=( 2 3 )2+42
从而
=22× ( 3 )2+16 =4×3+16 =28. AB= 28 = 22× 7 = 2 7 .
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
然后根据积的算术平方根的性质和公式②， 就可以把根号下的平方因子去掉平方号后移到根 号外面(例如， 32· a2· ab =3a ab ).
人教版八年级数学下册精品课件 最简二次根式2
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替 后移到根号外面 . （3）将被开方数中的分母化去
14
1、化简下列各式：
(1) 250a3b(b 0); (1) 5a 10ab
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
（1） 12 （ ×）；（2） 45a2b（× ）； √ （3） 30x（ ）；（4） x y （ ×）；
x3
× √ （5）4 11 （ ）；（6）5m m2 9（ ）；
2
× （7） 25m4 225m2 （ ）； 25m2 (m2 9)
9
练习1.将下列二次根式化成最简二次根式.
(1)m 5n (m 0) (2) 7 14x 7x2 (x 1) 24m
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x 8x3 2x
x2 4x2
2x
2x 4
13
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数不含分母。
3
解(1)因为被开方数 5a 含分母３，
3
所以 5a 不是最简二次根式．
3
(2)因为被开方数分解：42a 237 a
所以 42a 是最简二次根式．
注:被开方数比较复杂时，
应先进行因式分解再观察
5
例2.将下列二次根ห้องสมุดไป่ตู้化成最简二次根式.
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
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7
1.化简下列二次根式：
解 1 24
46
4 6 2 6
2 28
47 4 7 2 7
其中字母a、b可以是什么数？有什么限制条件吗？
注意公式里的条件 噢！
4
例题1：计算下列各式。
(1) 81 64
(2) 25 6
(3) 5 9
5
观察与思考
56
5
3
观察式子的,你能说出化简后二次根式的特点吗?
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）这些二次根式中的被开方数不含能够开的 出来的因式
13
4、强化练习
1、指出下列各式中哪些是最简二次根式：
(1) 30m
(2) 1 x 2
2x2 y 2 (3)
xy
(4) x2 2x 4
(5) 101
2、把下列各式化成最简二次根式：
(1) a3 2a2 a
.
(2) yz 3x2
3、 已知 5 2.236
求 2000的近似值 (结果保留三个有效数字 )
12
课堂小结
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab a • b
a
b
是化简二次根式的依据之一。
a （a≥0， b＞0）
b
2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。
3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
强化练习2：
（1） 32 ＝ 4 2
（2） 72 ＝ 6 2
（3） 1.5
（4） 12 7
6 ＝2
2 21
＝
7
1
（5）
5
＝5 5
（6） 2 5
＝ 10 5
这些二次根式中 的被开方数不含 能够开的出来的 因式 ，被开方数不是 分数， 分母中也不含二 次根式， 满足这三点的二 次根式叫最简二 次根式。
10
强化练习
1、下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 32 52 3 5 15
正确解法： 32 52 32 52 3 5 15 2 48 412 2 12 2 4 3 4 3
48 16 3 42 3 4 3
3 4a2 b2 4a2 b2 2a b ～～～～～ 性质错用 11
3 32
4 54
16 2 16 2 4 2
96 9 6 3 6
8
例2：化简下列二次根式
1 9a3ba 0,b 0
解：1 9a3b
32 • a2 • a •b
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
3a ab
②再根据积的算术平方根的 性质和 a2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。
9
尝试练习
设 a 0 ，b 0 ，化简下列二次根式。
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
14
例3：如图:隔湖
有两点A、B，
从与AB方向成
直角的BC方向
上的点C，测得
A
AC=70m，
CB=50m，求
AB。
C
B
15
（2）被开方数不是分数 （3）分母中也不含二次根式
温馨提示：化简计算时，通常要求最终结果是整式或最
简二次根式，即要求结果的分母里不含有根号，而且各
个二次根式是最简二次根式！
6
例题1：化简下列各式。
(1) 50 (4) 45
2
(2) (5)
2 7
125 12
(3) 1 3
(6) 2.5
化简二次根式的方法：ห้องสมุดไป่ตู้
2、商的算术平方根的性质
a a a 0,b 0
bb
两数…个的…非算负术…数平…的 方商 根的 的算 商术平方根等于这两个非负
3
发现规律：
a b a b （a≥0，b≥0） ，
a b
a （a≥0， b＞0）． b
( a · b )2 =( a )2·( b )2 = a· b ,
（a≥0， b＞0）．
八年级下册数学
二次根式的化简
（最简二次根式）
1
学习目标
1：掌握积的二次根式和商的二次根式 的计算公式，会进行简单的二次根式 化简；
2：理解最简二次根式的概念，会判断 代数式是不是最简二次根式；
2
知识探究
1、积的算术平方根的性质
ab a • ba 0,b 0
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积