圆与三角函数专题
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。
单位圆上三角函数值的计算
单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。
在三角函数中，常常会涉及单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。
在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。
一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。
在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。
因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。
因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。
因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。
当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。
当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。
类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。
二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。
因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。
不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。
举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。
这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。
中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型
中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。
二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。
三角函数和圆的知识点总结
三角函数和圆的知识点总结在圆的知识中，圆是一种简单的几何图形，它有着许多有趣的性质和应用，比如圆周率和圆的面积、弧长等。
下面我们将对三角函数和圆的知识点进行详细的总结。
一、三角函数1. 正弦函数正弦函数是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线。
正弦函数在几何学中常用来描述角的正弦值，它定义为一个直角三角形中对边与斜边的比值。
在代数学中，正弦函数可以用于描述周期性变化的现象，比如声音的波动、天体运动等。
正弦函数的性质包括：- 周期性：正弦函数的周期是2π，即f(x+2π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，正弦函数是先增后减的。
- 奇函数：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
2. 余弦函数余弦函数也是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线，但与正弦函数的波形相位差π/2。
余弦函数描述了一个角的余弦值，它定义为一个直角三角形中邻边与斜边的比值。
在代数学中，余弦函数可以描述一些对称变化的现象，比如振动、波动等。
余弦函数的性质包括：- 周期性：余弦函数的周期也是2π，即f(x+2π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，余弦函数是先减后增的。
- 偶函数：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 正切函数正切函数是斜率的函数，它描述了一个角的正切值，定义为一个直角三角形中对边与邻边的比值。
在几何学中，正切函数用于求解三角形的角度和边长；在物理学和工程学中，正切函数可以描述力和速度的关系。
正切函数的性质包括：- 周期性：正切函数的周期是π，即f(x+π) = f(x)。
- 增减性：在一个周期内，正切函数是先增后减或者先减后增的。
- 奇函数：正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
4. 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，三角函数还有反函数，分别是反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)。
圆和三角函数的知识点总结
圆和三角函数的知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是由平面上到一点距离等于定值的所有点的集合所构成的图形。
这个定值称为圆的半径，记作R。
圆的中心是到圆上任意一点的距离都等于半径的点。
2. 圆的性质（1）圆的直径是经过圆心并且两端点在圆上的线段，其长度等于半径的两倍，即2R。
（2）圆的周长是圆的边界长度，等于2πR。
（3）圆的面积是圆的内部面积，等于πR²。
3. 圆的相关公式（1）周长的计算公式：C = 2πR（2）面积的计算公式：A = πR²4. 圆的图形圆的图形一般用于图像的绘制、工程设计和数学证明等方面，其圆心和半径都是图形的重要参数。
二、三角函数的基本概念1. 三角函数的定义三角函数是一类反映角度和三角形边长关系的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
其中，最基本的三角函数是正弦函数和余弦函数。
2. 三角函数的性质（1）正弦函数的性质：周期性、奇偶性、单调性等。
（2）余弦函数的性质：周期性、偶偶性、单调性等。
（3）其他三角函数的性质：正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的性质。
3. 三角函数的公式三角函数有一系列的常用公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、和角公式等，这些公式能够简化三角函数的计算。
4. 三角函数的图形正弦函数和余弦函数的图形是三角函数中最为常见的图形，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
在图像上，正弦函数是一个周期函数，其图像呈现正弦波形；余弦函数也是一个周期函数，其图像呈现余弦波形。
三、圆和三角函数的关系1. 弧度制和角度制圆和三角函数之间的关系在很大程度上依赖于角度的度量方式。
弧度制是一种更为自然的角度度量方式，而角度制是较为常见的角度度量方式。
弧度制和角度制的关系为：1弧度= 180°/π度。
2. 弧长和扇形面积正弦函数和余弦函数的定义涉及到圆的弧长和扇形面积，它们与三角函数之间有着密切的关系。
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
圆与三角函数(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题16 圆与三角函数题型一 利用锐角三角函数值求有关线段的长【典例1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA ＝OB ＝10，sin B =35，以点O 为圆心，12为直径的⊙O 交线段OA 于点C ，交直线OB 于点E 、D ，连接CD ，EC ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）在（l ）的结论下，连接点E 和切点，交OA 于点F ，求CF 的长．【点拨】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，由条件求出OG ，根据切线的判定方法判断即可；（2）先求出CE 长，证明OG ∥EC ，得到△FOG ∽△FCE ，根据相似三角形的性质定理得OF CF=OG CE，可得OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则可得关于x 的方程，解方程即可得解． 【解析】（1）证明：如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，∴∠OGA ＝∠OGB ＝90，∵OA ＝OB ，sin B =35=OGOB ， ∴OG =35×10=6，∵⊙O 的直径为12， ∴半径r 为6，∴OG ＝r ＝6，又OG ⊥AB ， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：∵DE 为⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDE ＝∠ABD ，∴sin∠CDE =CEDE =35， ∴CE 12=35，∴CE =365，∵OA ＝OB ，AG ＝BG ， ∴∠AOG ＝∠BOG ， ∵OE ＝OC ， ∴∠OEC ＝∠OCE ， ∵∠AOB ＝∠OEC +∠OCE ， ∴∠AOG ＝∠OCE ， ∴OG ∥EC ， ∴△FOG ∽△FCE ，∴OF CF=OG CE，∴OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则365×(6−x)=6x ，解得：x =3611． ∴CF =3611． 【典例2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 是直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F ， （1）求证：EF ⊥CD ；（2）若AC ＝10，cos A =56，求线段DF 的长．【点拨】（1）连接DE ，OE ，由条件知DA ＝DC ，∠AED ＝90°，则AE ＝EC ，可证明OE ∥DC ，得出∠EFC ＝90°；（2）可求出AE ＝5，求出DE ，在Rt △DEF 中，cos A ＝cos ∠DEF =56，可求出EF 长，则DF 长可求． 【解析】（1）证明：连接DE ，OE ， ∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴DA ＝DC ， ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，∴AE＝EC，∵OA＝OD，∴OE∥DC，∵EF是圆的切线，∴∠OEF＝90°，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∴EF⊥CD；（2）解：∵AC＝10，∴AE＝CE＝5，∵cos A=56=AEAD，∴AD＝6，∴DE=√AD2−AE2=√62−52=√11，在Rt△DEF中，cos A＝cos∠DEF=5 6，∴EF=56√11，∴DF=√DE2−EF2=√(√11)2−(56√11)2=116．【典例3】（2019•雨花区校级期中）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若tan E=13，BD＝1，求⊙O半径的长度．【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，即可解答本题；（2）根据三角形的相似可以求得BE的长，从而可以得到OD的长．【解析】（1）证明：如图，连接OC．∵OA＝OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°．∴∠E+∠ODC＝90°．又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E．又∵∠CBD＝∠EBC，∴△BCD ∽△BEC ．∴BC BE=BD BC=CD EC．∴BC 2＝BD •BE ．∵tan E =13，∴CD EC=13．∵△BCD ∽△BEC ，∴BC BE=BD BC=CD EC=13．∴BC ＝3BD ＝3，BE ＝3BC ＝9， ∴ED ＝BE ﹣BD ＝9﹣1＝8，∴OD =12ED ＝4， 即⊙O 半径的长度为4．题型二 利用圆中已知条件求锐角三角函数值【典例4】（2019•长春模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若BC＝8，tan C=34，求tan∠DOE的值．【点拨】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）连接AD，求出BD＝CD＝4，AD＝3，求出OD＝2.5，解直角三角形求出DE，再求出答案即可．【解析】（1）证明：连结OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴BD =12BC =4， ∴tanB =AD BD， ∴AD ＝3，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AB =√32+42=5， ∴AO ＝BO ＝2.5，∴OD =12AB =52，在Rt △DEC 中，∵sinC =DEDC ， ∴35=DE 4，∴DE =125，∴tan∠DOE =DE DO =2425．【典例5】（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证：ACsinB=2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC=√3，求BC的长及sin C的值．【点拨】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由ACsinB =2R，同理可得：ACsinB=ABsinC=BCsinA=2R，于是得到2R=√3sin60°=2，即可得到BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC=ACAD=AC2R，∴ACsinB=2R；（2）∵ACsinB=2R，同理可得：ACsinB =ABsinC=BCsinA=2R，∴2R=√3sin60°=2，∴BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC•cos B=√2cos60°=√22，AE＝AC•cos45°=√62，∴AB＝AE+BE=√6+√22，∵AB＝2R•sin C，∴sin C=AB2R=√6+√24．【典例6】（2019•泗水县二模）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=35，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°．设∠BAC＝a，则sin a=BCAB=35．易得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x……【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2a的值．（写出完整的解答过程）（2）已知，如图②，点M，N，P为O上的三点，且∠P＝β，sinβ=14，求sin2β的值．【点拨】（1）如图①，设∠BAC ＝a ，根据圆周角定理得到∠COB ＝2α，∠ACB ＝90°，利用正弦的定义得到sin a =BC AB =35．则设BC ＝3x ，AB ＝5x ，利用勾股定理得到AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，根据面积法得CD =125x ，然后在Rt △COD 中利用正弦的定义可求出sin2α的值；（2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，根据圆周角定理得到∠NMQ ＝90°，∠MON ＝2∠P ，∠Q ＝∠P ＝β，利用sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，则MQ =√15t ，根据面积法得到MH =√154x ，然后在Rt △OMH 中利用正弦的定义求出sin ∠HOM 即可．【解析】解：（1）如图①，设∠BAC ＝a ，则∠COB ＝2α，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ACB 中，∵sin a =BC AB =35．∴设BC ＝3x ，AB ＝5x ，∴AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，∵12CD •AB =12AC •BC ，∴CD =3x⋅4x 5x =125x ，在Rt △COD 中，sin ∠COD =CD OC =125x 52x=2425，即sin2α=1225； （2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，∵NQ 为直径，∴∠NMQ ＝90°，∵∠Q ＝∠P ＝β，∴sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，∴MQ =√(4t)2−t 2=√15t ，∵12MH •NQ =12MN •MQ ， ∴MH =x⋅√15x 4x=√154x ， 在Rt △OMH 中，sin ∠HOM =MH OM =√15x 42x =√158，∵∠MON ＝2∠P ，∴sin2β=√158．巩固练习1．（2019•海淀区期末）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE ⊥AB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC ＝PF ；（2）连接OB ，BC ，若OB ∥PC ，BC ＝3√2，tan P =34，求FB 的长．【点拨】（1）连接OC ，根据切线的性质以及OE ⊥AB ，可知∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，从而可知∠EF A ＝∠FCP ，由对顶角的性质可知∠CFP ＝∠FCP ，所以PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，由于OB ∥PC ，且OB ＝OC ，BC ＝3√2，从而可知OB ＝3，易证四边形OBGC 是正方形，所以OB ＝CG ＝BG ＝3，所以BG PG =34，所以PG ＝4，由勾股定理可知：PB ＝5，所以FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．【解析】解：（1）连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∵OE ＝OC ，∴∠E ＝∠OCE ，∵OE ⊥AB ，∴∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，∴∠EF A ＝∠FCP ，∵∠EF A ＝∠CFP ，∴∠CFP ＝∠FCP ，∴PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，∵OB ∥PC ，∴∠COB ＝90°，∵OB ＝OC ，BC ＝3√2，∴OB ＝3，∵BG ⊥PC ，∴四边形OBGC 是正方形，∴OB ＝CG ＝BG ＝3，∵tan P =34，∴BG PG =34， ∴PG ＝4，∴由勾股定理可知：PB ＝5，∵PF ＝PC ＝7，∴FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．2．（2019•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O分别与BC．AC相交于点D，E，且，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD＝4，tan∠CDF=12，求⊙O的半径．【点拨】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，得出∠ODB＝∠C，证出OD∥AC，因此OD⊥DF，即可得出DF是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得出∠ADB＝90°＝∠DFC，证明△DFC∽△ADB，得出CFDF =BDAD，由三角函数得出BD AD =12，求出BD=12AD=12×4＝2，由勾股定理得出AB=√BD2+AD2=2√5，即可得出⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°＝∠DFC ，∵∠ABC ＝∠C ，∴△DFC ∽△ADB ，∴CF DF =BD AD ，∵tan ∠CDF =CF DF =12，∴BD AD =12， ∴BD =12AD =12×4＝2， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．3．（2019•镇江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 延长线上的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝23．【点拨】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC ＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；（2）由勾股定理得出OA=√AB2+OB2=13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．【解析】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD +∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∵点B 在圆O 上，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）解：∵∠ABO ＝90°，∴OA =√AB 2+OB 2=√52+122=13，∵AC ＝AB ＝5，∴OC ＝OA ﹣AC ＝8，∴tan ∠BDO =OC OD =812=23；故答案为：23．4．（2019•思明区质检）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE ⊥AB 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AD ．若AF ＝3，tan ∠ABD =34，求⊙O 的直径．【点拨】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF＝BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．【解析】解：如图，连接BE．∵AF＝AD，AB⊥EF，∴BF＝BD．∵AB＝AC，∴∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tan∠E＝tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF＝90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF＝3，∴AB＝4．∵∠BAE＝90°，∴BE是⊙O的直径．∵tan∠E＝tan∠FBA=34，AB＝4，∴设AB ＝3x ，AE ＝4x ，∴BE ＝5x ，∵3x ＝4，∴BE ＝5x =203，即⊙O 的直径是203．5．（2019•长宁区一模）如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC ＝AB ，OC ＝3，sin A =35．求：（1）圆O 的半径长；（2）BC 的长．【点拨】（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，设OH ＝3k ，AO ＝5k ，则AH =√AO 2−OH 2，得到AB ＝2AH ＝8k ，求得AC ＝AB ＝8k ，列方程即可得到结论；（2）过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，在 Rt △ACG 中，∠AGC ＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sin A=OHAO=35，设OH＝3k，AO＝5k，则AH=2−OH2∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sin A=CGAC=35，∵AC＝8，∴CG=245，AG=√AC2−CG2=325，BG=85，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC=√CG2+BG2=√(85)2+(245)2=8√105．6．（2019•武昌区模拟）如图1，△ABC 是等腰三角形，O 是底边BC 中点，腰AB 与⊙O 相切于点D（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接CD ，若tan ∠BCD =√24，⊙O 的半径为√3，求BC 的长．【点拨】（1）连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，再根据切线的性质得OD ⊥AB ，然后利用角平分线的性质得到OF ＝OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，根据三角函数的定义得到DF CF =√24，设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x 根据相似三角形的性质得到BF DF =DF FO ，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD ，OA ，作OF ⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，而OF ⊥AC ，∴OF ＝OD ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，∵tan ∠BCD =√24，∴DF CF =√24， 设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x ， ∵O 是底边BC 中点，∴OB ＝OC ＝4a ﹣x ，∴BF ＝OB ﹣OF ＝4a ﹣2x ，∵OD ⊥AB ，∴∠BDO ＝90°，∴∠BDF +∠FDO ＝90°，∵DF ⊥BC ，∴∠DFB ＝∠OFD ＝90°，∠FDO +∠DOF ＝90°， ∴∠BDF ＝∠DOF ，∴△DFO ∽△BFD ，∴BF DF =DF FO ， ∴√2a =√2a x ， 解得：x 1＝x 2＝a ，∵⊙O的半径为√3，∴OD=√3，∵DF2+FO2＝DO2，∴（√2x）2+x2＝（√3）2，∴x1＝x2＝a＝1，∴OC＝4a﹣x＝3，∴BC＝2OC＝6．。
5.3.2单位圆与三角函数
0°，90°，180°，270°和360°的正弦、余弦、正切值表
（角度制）
0°
90°
180°
270°
（弧度制）
0
2
π
3
2
2π
sin
0
1
0
−1
0
cos
1
0
−1
0
1
tan
0
不存在
0
不存在
360°
0
【跟踪训练1】
7
利用单位圆求 的正弦、余弦、正切值。
6
解：如图所示，过点做轴的垂线，垂足为点
1
口诀：“一全正二正弦三正切四余弦”
+
−
+
−
−
sin
sin 的正负
取决于
上下结构
−
+
−
+
cos
cos 的正负
取决于
左右结构
+
+
−
tan
tan 的正负由
, 共同决定
对称结构
【题型探究】
例1.求 270° 的正弦、余弦、正切。
1
270°
−1
1
−1 0, −1
三角函数表示吗？
−1
−1
,
1
1
角的终边与单位圆的
交点的坐标可以表示
为 cos , sin ，如图
−1
所示，
−1
cos , sin
单位圆与三角函数的关系解析
单位圆与三角函数的关系解析三角函数是数学中一个重要的概念，它与单位圆之间有着密切的关系。
在解析几何中，单位圆是指半径为1的圆，它在坐标系中的位置为原点(0, 0)。
单位圆上的点(x, y)与三角函数的关系可以通过三角函数的定义来解析。
三角函数包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)，它们的值是根据单位圆上的点(x, y)的坐标来确定的。
首先，我们来看正弦(sin)和余弦(cos)函数。
对于单位圆上的任意一点(x, y)，其对应的弧度角θ可以通过三角函数的反函数(arcsin和arccos)来计算。
对于正弦函数来说，sinθ = y，而余弦函数则是cosθ = x。
因此，我们可以通过单位圆上的点的y 坐标来计算正弦值，通过点的x坐标来计算余弦值。
接下来是正切(tan)与余切(cot)函数。
正切函数定义为tanθ = sinθ/cosθ，而余切函数则是cotθ = cosθ/sinθ。
我们可以利用单位圆上的点(x, y)和三角函数的关系来计算正切和余切的值。
最后是正割(sec)和余割(csc)函数。
正割函数定义为se cθ = 1/cosθ，而余割函数则是cscθ = 1/sinθ。
我们可以将正割和余割的值与单位圆上的点的x坐标和y坐标来计算。
除了通过三角函数的定义来计算单位圆上的点的三角函数值外，我们还可以利用三角函数图像的周期性来计算。
以sin函数为例，对于单位圆上的第一象限(0 ≤ θ ≤ π/2)上的任意一点(x, y)，我们可以发现在π/2的位置上，sin函数的值是最大的，为1。
而在0和π/2之间的位置上，sin函数的值是递增的，也就是说，随着弧度角θ的增大，sin函数的值也增大。
同样的道理，我们可以得到余弦、正切、余切、正割和余割在单位圆上的图像。
总结起来，单位圆与三角函数的关系可以通过三角函数的定义来解析。
我们可以通过单位圆上的点(x, y)的坐标来计算正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的值。
圆与三角函数线
05
实例分析
三角函数线在几何问题中的应用
确定角度
01
三角函数线可以用来确定几何图形中的角度，例如在三角形中，
通过三角函数线可以找到角的大小。
计算长度
02
利用三角函数线，可以计算出几何图形中某条边的长度，例如
在直角三角形中，可以通过三角函数线计算斜边长度。
解决最值问题
03
通过三角函数线，可以解决几何图形中的最值问题，例如在圆
圆与三角函数线在解析几何问题中的应用
极坐标与直角坐标转换
圆和三角函数线在解析几何中常常用于极坐标与直角坐标之间的转换，例如在求解某些 曲线方程时，可以将极坐标转换为直角坐标，或者将直角坐标转换为极坐标。
解决轨迹问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些轨迹问题，例如在平面内求一个点绕另一个 点做圆周运动的轨迹。
解决最值问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些最值问题，例如在平面内求一个点到另一个 点的距离的最大值或最小值。
06
总结与展望
总结
圆与三角函数线是数学中两个重要的 概念，它们在几何、代数和三角学等 多个领域都有广泛的应用。
三角函数线是三角函数在直角坐标系 中的图像表示，包括正弦线、余弦线 和正切线等。
圆是二维平面上的一个封闭曲线，其 性质包括圆心到圆上任一点的距离相 等、经过圆心的直径将圆分成两个相 等的部分等。
圆与三角函数线在解析几何、微积分、 物理和工程等领域都有广泛的应用， 是数学和科学研究中不可或缺的工具。
未来研究方向
随着数学和科学技术的不断发展， 圆与三角函数线的研究也在不断
深入。
未来研究方向包括探索圆与三角 函数线的更多性质和应用，以及 如何将它们应用于实际问题中， 如物理学、工程学和经济学等。
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。
本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。
单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。
单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。
单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。
三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。
我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。
1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。
2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。
3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。
具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。
这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。
数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)
2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。
专题 三角函数与圆-圆中三角形函数的综合运用
专题三角函数与圆——圆中三角函数的综合运用
1、如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与P A的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝1
2
，求sin∠E的值.
2、在锐角三角形ABC中，BC＝5，sin A＝4
5
，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA＝BC，求AI的长.
3、在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且P A＝PC
（1）如图1，求证：OP∥BC
（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值.
4、如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC ＝∠D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tan D＝1
2
，求sin A的值.
5、已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，P AB是经过圆心O的割线. （1）求证：∠PTA＝∠BTO；
（2）若PT＝4，P A＝2，求sin B的值.
6、如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD＝∠AB C．（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝2
3
，tan∠AEC＝
5
3
，求圆的直径.
7、如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AD于E，连BE，CD CB
. （1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若AE＝6，⊙O的半径为5，求tan∠BEC的值.。
三角函数和圆
三角函数和圆-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
课题三角函数和圆
一、知识回顾：
1、三角函数的定义：sinα=对边/斜边 cosα=邻边/斜边 tanα=对边/邻边
2、圆的有关性质。
3、圆中常见辅助线。
4、求三角函数的策略：构建直角三角形。
方法：①等角代换②做垂直构造直角三角形
圆中求三角函数的策略：①利用同弧所对的圆周角相等转换②利用直径所对的圆周角是直角或利用垂径定理构造构造直角三角形。
二、例题讲解：
分析：（1）圆中若有切线现，常把切点半径连。
（2）求BD的关键是求半径。
法一：利用（1）的结论找相似，二：作弦心距构造直角三角形用勾股定理。
（3）①等角转换②找直角三角形③做垂直用面积法④等角转换。
分析：（1）垂径定理（知二推三）（2）课本常变形考题先求CD。
根据∠B的正弦值巧设辅助未知数计算，再利用相似。
三、习题分析：
四、课后训练：
五、总结与反思：
1、遇线段的比，常常巧设辅助未知数，帮助理解各线段之间的数量关系。
2、求三角函数的策略：构建直角三角形。
方法：①等角代换②做垂直构造直角三角形。
圆周运动与三角函数
圆周运动与三角函数圆周运动是物体绕某一点，按同一直径的一定路程运动的现象，是一种经典的动力学运动。
圆周运动的特点是，它的研究与三角函数息息相关。
三角函数中的余弦、正弦、正切函数和反三角函数，包括弧度和弦度，都是圆周运动研究中不可或缺的数学方法。
圆周运动是一种普遍存在的运动，存在于自然界的许多现象当中，例如行星的运行、风车的转动等。
它的详细的数学描述、研究分析以及理论分析，都是用三角函数来完成的。
圆周运动的轨迹可用三角函数记录下来，其状态可以以余弦方程来定义，表示从某一低点出发，圆周运动的轨迹以正余弦为正弦函数的曲线为基础。
关于圆周运动，我们首先需要了解三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数是通过构造三角形来解释一些运动规律的数学方法，它求出各个角度对应的正弦值，在物理学、工程学及其他学科中使用较多。
正弦函数y=sinθ表示在一个圆心角θ的余弦值，它的图像曲线是著名的“正弦曲线”，它的起伏状和圆周运动的拖累波状相同，所以用正弦函数可以描述圆周运动中物体的运动轨迹。
余弦函数y=cosθ表示一个圆心角θ的正弦值，余弦的图像曲线是一条更平坦的贝塞尔曲线，它能很好的描述圆周运动中物体的瞬时状态，即在某一时刻物体与圆心连线的形成夹角。
正切函数y=tanθ表示一个圆心角θ的正切值，它同样能够表示物体圆周运动的状态，可以用来描述物体在某一时刻的运动速率，速率的变化趋势也可以表示出来。
反三角函数也是用来表示圆周运动的重要方法，其中最常用的是反余弦函数和反正切函数，它们可以将圆周运动映射成一般函数，这样我们就可以用函数的方法求解它们对应的圆周运动的问题。
弧度和弦度也是表示圆周运动不可或缺的重要概念，它们都可用三角函数来表示。
弧度是表示某一角度大小的单位，它表示一个圆弧的长度与直径的比值，这一比值的值可用π来表示；弦度是指某一弧的长度，它与角度的大小和圆的半径之间有着一定的关系。
总而言之，圆周运动和三角函数是密不可分的，三角函数是圆周运动的基础，也是圆周运动的基本要素之一。
中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。
（1）求证：AE∥BD。
（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
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第21题专练
课前练习：
南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价）
(1)求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BO 平分∠ABC 交AC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交AC 于点D ．
(1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若AD =2，tan ∠BOC =2，求⊙O 的半径．
2.在⊙O 中，AB ⌒=AC ⌒，点F 是AC 上一点，连接AO 并延长交BF 于E.
(1)如图1，若BF 是△ABC 高，求证：∠CBF=∠CAE ;
（2）如图2，若BF 是△ABC 内的角平分线，BC=10，COS ∠BCA=13,求AE 的长.
图2F E O C
B A 图1F E O
C B
3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 相交于E
(1) 若∠AOD ＝45°，求证：CE ＝2ED
(2) 若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值
4.如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 、C 均在⊙O 上，且P A ＝PB
(1) 求证：PB 为⊙O 的切线
(2) 连AB ，若AB ＝6，tanC ＝2
3，求P A 的长
5.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ．
(1) 求证：AC 平分∠DAB ； (2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝ 4 5 ，求AF FC
的值．
E O A D
C
6.已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O 于点D
(1) 如图1，求证：BD＝ED
(2) 如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝6，sin∠BAC＝3
5
，求OE的长。