泛函分析课程总结论文

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第一部分：知识点体系

第七章：度量空间和赋范线性空间

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义

定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ⨯→d ：.若对于任何x,y,z 属于X ，有

1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）；

3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称(

)

,X d 为一个度量空间

（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。）

2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间

设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称

为离散的度量空间。

例2.2 序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点

令 称

为序列空间。

例2.3 （3）有界函数空间B(A ）

,x y X ∈1,(,)0,if x y

d x y if x y ≠⎧=⎨

=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),

n n x y ξξξηηη==1||

1(,)21||i i i i i i

d x y ξηξη∞

=-=+-∑(,)S d

设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，

对B(A)中任意两点x,y ，定义

例2.4 可测函数空间

设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，

若

，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令

例2.5 C[a,b]空间

令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义

例2.6 2

l .

记{}2

21k k k l x x x ∞

=⎧⎫

==<∞⎨⎬⎩⎭∑，设{}2k x x l =∈，{}2k y y l =∈，定义

1

2

21(,)()k k k d x y y x ∞

=⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦

∑，

则d 是2

l 上的距离（可以证明d <∞），2

l 按(),d x y 成为度量空间.

（在第二章第二节的理论基础上，进一步导入度量空间的相关概念。）

二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列

设

是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列 的极限。

收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 2、收敛点列在具体空间中的意义

1°n

R 为n 维欧氏空间，()

()()1

2(,,,),1,2,,m m

m

m n x m ξξξ==………为n R 中的点列，

()12,,n n x R ξξξ=∈…,，不难证明 ()()(),0,1m

m i i d x x m i n ξξ→⇔→→∞≤≤.

2°[],C a b 空间中，设{}n x 及x 分别为[],C a b 中点列及点，则

(),0n n d x x x x →⇔→一致收敛.

3°序列空间S 中，设()

()()1

2(,,,),1,2,m m

m

m n x m ξξξ==………及

(,)sup |()()|t A

d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f t g t f t g t -<+-|()()|

(,)1|()()|

X

f t

g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|

a t b

d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞

={}n x {}n x

()12,,,n x ξξξ=…,?分别为S 中点列及点，则(),0m d x x →⇔m x 依分量收敛于x .

4°可测函数空间()M X .设{}n f 及f 分别为()M X 中的点列及点，则

(),0n n d f f f f →⇔⇒（可测）.

3、稠密集，可分空间

1°设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。 4、等价定义：

如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。

对任一

，有M 中的点列 ，使得 2°当E=X 时，称集M 为X 的一个稠密子集。

3°如果X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。

（根据度量空间和直线上函数连续性的定义，第三节继续导入度量空间中映射连续性的概念。）

三、连续映射

1、度量空间中的连续性

设 X=(X,d)，Y=（Y ，d ） 是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X 中一切满足

的x ，成立 则称T 在

连续。

我们也可以用集显来定义映射的连续性

连续性的极限定义

设T 是度量空间(X,d)到（Y ，d ） 中的映射，那么T 在 连续的充要条件为当

时，必有 2、连续映射

如果映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射。

称集合

为集合M 在映射T 下的原像。 定理：

度量空间X 到Y 的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的

原像 是X 中的开集。

3.判断映射连续性共有如下四种方法：

1°（定义法）设

()(

),,,d Y Y d

X =X =是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，

0x ∈X

，如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足

()0,d x x δ

<的x ，有 ()0,d Tx Tx ε

<，则称T 在

x 连续.

E M ⊂x E ∈{}n x ()n x x n →→∞0,

x X ∈0ε>0δ>0(,)d x x δ<0(,)d Tx Tx ε<0x 0,

x X ∈0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞{|,}x x X Tx M Y ∈∈⊂1

T M -