解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程

教学目标:

1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数

的解法．

2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维．

3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．

教学重点与难点:

个复数相等的充分必要条件的运用．

教学过程:

一、引入新课

问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？

因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？

当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为

二、讲授新课

引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？

解为：

无意义．此时方程的解集为

1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：

当Δ≥0时有实根；

当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．

例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i

x ac

b ±=±=<-=-2244,0442所以

解：

例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，

a=2i-3+（-2i-3）=-6．

我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？

例3 求方程x 2-2ix-5=0的解．

解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ．

练习P22 1、2、3

2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根.

例4、在复数集上解方程x 5=32.

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+===+=+=54sin 54cos 2)5

2sin 52(cos

22

4,3,2,1,0),5

2sin 52(cos 2)

0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos

254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根的几个辐角有什么规律？

复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根的几何意义是：这n个n次方根对应于复平面内的n个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以n r半径的圆.

三、小结：

四、布置作业：P24 12（1-4）、13

五、板书设计（略）