自动控制原理(数学模型)

t0
（4）实位移定理
L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：
左
0
f
(t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
0
0
s

lim s
s
1 s2

0
（7）终值定理 lim f (t) lim s F(s) （终值确实存在时）
t
s0
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
Fo K 2 x0
K 1 ( x i x m ) f ( x m x o ) K 2 xo
K1 x m K1 x i K 2 x o
x m

x i

K2 K1
x o

K2 f
xo

x o
K1 K2 K1
x o

K2 f
xo

x i
x o
f
K1K2 (K1 K2)
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0

0
令 sA s
f (t ) estdt F (s) F(s A) 右 0
例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
f


lim
s0
s
ss

1
as

b

1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2

0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
0 初条件 n>m
0 t 0
例6 f t 1 0 t a , 求F(s)
0 t a
解. f (t) 1(t) 1(t a)
L
f
(t)
L1(t ) 1(t

a)
1 s

e as

1 s

1 e as s
（5）复位移定理 L e At f (t) F (s A)
0
f nt snF s sn-1 f 0 sn-2 f 0 sf n-2 0 f n1 0
0初条件下有： L f nt snF s
例2 求 L (t) ?
解. t 1t
d mr(t)
d m1r(t)
dr (t )
bm dt m bm1 dt m1 ... b1 dt b0r(t )
一、线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur
(t)

L
di(t) dt

Ri (t )

uc
(t)
i(t ) C duc (t ) dt

xo

K1 K1 K2
x i
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri E b
电枢反电势：E b ce m
— 克希霍夫 — 楞次定律
电磁力矩： M m cm i
— 安培定律
力矩平衡： J m m fmm M—m 牛顿定律
m m
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
h0

Qr 0 S
上两式相减可得线性化方程
dh
1
dt
2S
h0 h S Qr
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
三、拉普拉斯变换
定义： L[ f (t )] F (s) f (t ) etsdt 0
F(s) 像

f
(t
)
原像
1 常见函数的拉氏变换
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
Lδt L1t s 1 δ 0 1 0 1 s
例3 求 Lcos( t) ?
解. cos t 1 sin t

Lcos t 1

Lsin t

1


s

s2

2

s
s2 2
（3）积分定理
L1t

1 estdt
0

1 s
e st
0

1 0 1
s
1 s
（2）指数函数 f (t ) eat


L[ f (t )] eat estdt esatdt
0
0

1 sa
e (sa)t
0

1 (01) sa
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
dh
1
h
h0
dt
|h0 h
h0 2
h h0
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
d (h0 h) (
dt
S
h0

2
1 h0
h)
1 S
(Qr 0

Qr )
dh0 dt S
（2）微分定理 L f t s F s f 0



证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0

f t dest
0
0
0

0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
1 sa
（3）正弦函数
0 f(t) sinωt
t0 t 0
L
f(t)


sin t estdt
1
e jt e jt est dt
0
0 2j
1

e -(s-j)t e(s j)t dt
0 2j

1 2j
ss2
cos5(t

π 15
2

s2 s2 2
)
52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
LC
d
2uc (t ) dt 2

RC
duc (t ) dt

uc (t )
d 2uc (t ) dt 2

R L
duc (t ) dt

1 LC
uc (t )

1 LC
ur (t)
例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K1( xi xm )
B :
Fm f ( x m x o )
cos
1t
5t

e at
s2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1
s ssa s
s

52 ss3
a
s
s3 3 2
52
例9
Le

2t cos
- π s e 15
( 5t
s 2

s
π 3
52
)

Le
2t


π s
e 15
L
f tdt

1 Fs 1
s
s
f -10
零初始条件下有：
L
f t dt
1 F s
s
进一步有：

L

f t dtn

1 sn
F s
1 sn
f 1
0

1 s n1
f 20 1
s
f n0
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)

y(x0)
y( x0 )( x

x0 )
1 2!
y( x0 )( x

x0 )2

取一次近似，且令
第二章 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
• §2.1 引言 • §2.2 控制系统的数学模型—微分方程
• §2.3 控制系统的复域模型—传递函数
• §2.4 控制系统的结构图及其等效变换
§2.1 引言
•数学模型
数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的 数学表达式。在静态时（即可变量的导数为零），描述变 量之间关系的代数方程，叫静态方程式。
s0 0 dt
s0
左 df (t) limestdt 0 dt s0


t
df (t) lim df (t)
0
t 0
lim f (t) f (0) 右 lims F(s) f (0)
t
s0
例11 F (s)
1
s(s a)( s b)
消去中间变量可得：
L 1 Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
ur
获得微分方程的步骤
1.根据各元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定输入、输 出。
2.根据元件的工作原理，列出相应的微分方程。 3.消去中间变量，得到输出、输入之间关系的微分方程。
控制系统微分方程的建立： 控制系统的微分方程和前面没有什么区别，但是 一般来说控制由许多子系统组成： 1.一级一级传送； 2.前后两个连接的两个元件中，后级对前级有否负载效应。
Tm m m K m ur
Tmm m K m ur

Tm J m R /( R fm ce cm K m cm /( R fm ce cm )
)
电机时间常数 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
L变换
(s2

a1s

a2 )Y (s)

1 s
1
Y (s) s(s2 a1s a2 )
L-1变换 yt L1 Y (s)
用L变换方法解线性常微分方程
anc (n) an1c (n1) ... a1c a0c bm r (m ) bm 1r (m 1) ... b1r b0 r


s
1
j
e (s j)t
0

s
1
j
e (s j)t

0

1 1
1 1 2 j


2j

s

j

s
j


2j

s2
2

s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s

lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
(0
)

lim
t 0
f
(t
)

lim
s
s

F
(s)
f t t
例10
1
F(s) s2
f (0)
lim s F(s)
n个

例4 求 L[t]=? t 1tdt
解.
Lt L 1t dt

11 ss

1t s
t 0

1 s2
例5
解.
求
t2
L
2


?
L t2 2 L
t2 t dt
2
t dt

1 s

1 s2

1 t2 s2
1 s3
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
既有 y E 0 sin x0 x
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh
1
dt S
h S Qr
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量